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Logaritmi

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  • 1. Funzione esponenzialeIl Logaritmo. Proprietà
  • 2. Dato un numero reale a positivo (a > 0 e a ≠ 1), sidefinisce funzione esponenzialela funzione che ad x R associa ax : f: x-> ax (a > 0, a ≠ 1).In base alla definizione, la funzione esponenziale ha comedominio R e come codominio R+: Dom: x (-∞; +∞ ); coDom: x (0; +∞ );
  • 3. RIPASSOProprietà delle potenze: Proprietà inverse:(a > 0, b > 0; R) (a > 0, b > 0; R)1. a • a =a . 1. a =a • a2. a :a = a . 2. a = a :a3. (a ) = a . 3. a = (a ) = (a )4. (a • b) = a • b 4. a • b = (a•b)5. a = a . 5. a = a b b b b Casi particolari: .a0 = 1; .a-n = 1/an -> a -n - b n b a
  • 4. Bisogna distinguere i due casi: 1) 0 < a < 1; 2) a > 1.1 caso: y = ax 0<a<1 la funzione y = ax risulta sempre positiva: ax > 0 , per Vx R. ax1 e decrescente per V x1, x2 con x1 < x2 ax2 ne segue ax > ax . 1 2 x1 x2
  • 5. 2 caso: y = ax a>1 la funzione y = ax risulta sempre positiva: ax > 0 , per Vx R ax2 e crescente: per V x1 , x2, con x1 < x2 ax1 ne segue ax < ax . 1 2 x1 x2
  • 6. In base alla definizione, la funzione esponenziale ha comedominio R e come codominio R+: Dom: x (-∞; +∞ ); coDom: x (0; +∞ ); 1 1 y = ax 0<a<1 y = ax a>1
  • 7. Equazioni esponenzialiSi definisce equazione esponenziale un’equazione in cui l’incognitafigura all’esponente, cioè un’equazione del tipo: aP(x) = aQ(x)Es.: 43x – 1 = 83 + xProcedura risolutiva: si devono scrivere i due membridell’equazione sotto forma di potenze della stessa base. 22(3x – 1)= 23(3 +x) ; 26x – 2= 29 +3x ; da cui 6x – 2= 9 +3x .Es.: 3x(3x-2) = 1 3x(3x-2) = 30 ; x(3x-2) = 03x+2 = 4•2x; 3x • 32 = 4•2x; 3x/2x= 32/22; (3/2)x = (2/3)-2; x = -2
  • 8. Definizione di Logaritmo
  • 9. Data l’equazione ax = b si dimostra che, per a > 0, a ≠ 1 e b > 0, ammette una ed una sola soluzione x R. Dimostrazione grafica: l’equazione data si associa al sistema: y = ax y = b. Graficamente la soluzione del sistema è rappresentatadall’intersezione del grafico della funzione esponenziale y = axcon la retta y = b. Tali grafici si intersecano in uno ed un solopunto.
  • 10. y 0<a<1 y a >y=ax 0 y=ax b y=b b y=b logab x logab x La soluzione dell’equazione si definisce:logaritmo in base a di b e si scrive x = logab. Quindi, si definisce logaritmo in base a (con a > 0, a ≠1) delnumero reale b (con b>0), l’esponente che si deve dare ad a perottenere b.
  • 11. Le basi dei logaritmi notevoli sono: la base 10, in questo caso,convenzionalmente si scrive Log e si parla di logaritmi decimali;la base e; in questo caso si scrive log oppure ln in questo casosi parla di logaritmo neperiano o naturale.Casi particolari:loga a = 1; loga 1 = 0;Esempi:calcolare log2 8;si indica log2 8 = x, da cui 2x=8, 2x = 23, quindi x=3.calcolare log½ 8;si indica log½ 8 = x, da cui (½)x=8, (½ )x = 23, (2)-x =23quindi x=-3.
  • 12. Dalla definizione di logaritmo si hanno le due seguentiidentità:Per definizione di logaritmo logab = x (1)si ha ax = b, (2)1. ora, se si sostituisce b, dato dalla (2) nella (1), si ha: loga ax= xQuesta identità si utilizza per scrivere un numero reale x informa logaritmica.2. Se si sostituisce x, dato dalla (1) nella (2), si ha: a logab = b,Questa identità si utilizza per scrivere un numero realeb, positivo, in forma esponenziale.
  • 13. Proprietà dei logaritmi.Prima proprietà:Il logaritmo del prodotto di due numeri reali è uguale alla sommadei logaritmi dei moduli dei due fattori. loga(p•q) = loga|p| + loga|q|.Osservazione: al 1 membro deve valere la condizione: p•q > 0; il fatto che sia p•q > 0, implica la doppiaconseguenza: o (p>0 e q>0) opp. (p<0 e q<0).quindi, al secondo membro è necessario considerare il valoreassoluto di p e di q.
  • 14. Seconda proprietà:Il logaritmo del quoziente di due numeri reali è uguale alladifferenza dei logaritmi dei moduli dei due numeri. loga( p ) = loga|p| - loga|q|. qOsservazione:al 1 membro deve essere p/q > 0; il fatto che sia p/q > 0, implica la doppiaconseguenza: o (p>0 e q>0) opp. (p<0 e q<0).quindi al secondo membro è necessario considerare il valoreassoluto di p e di q.
  • 15. Terza proprietà:Il logaritmo della potenza di un numero reale positivo è uguale alprodotto dell’esponente per il logaritmo della base dellapotenza: loga pk = klogap con p>0; k REs.: loga n√pm = (m/n)logap .
  • 16. Dimostrazione della 1A proprietà: supponendo p>0; q>0, loga(p•q) = logap + logaq.si sostituisce loga p = x e loga q = y, (*)Per la definizione di logaritmo risulta: ax = p e ay = q , si moltiplicano membro a membro le dueuguaglianze: ax•ay = p•q, per la 1A proprietà delle potenze si ha: ax + y = p•q.In questa uguaglianza x + y rappresenta l’esponente che bisognadare ad a per ottenere p•q. Quindi per definizione di logaritmo,risulta: x + y = loga (p•q).Per le sostituzioni (*), si ha: loga p + loga q = loga (p•q).
  • 17. Dimostrazione della 2A proprietà: supponendo p > 0; q > 0, loga(p/q) = loga p - loga q.si sostituisce loga p = x e loga q = y, (*)Per la definizione di logaritmo risulta: ax = p e ay = q, si dividono membro a membro le dueuguaglianze: ax /ay = (p/q), per la 2A proprietà delle potenze si ha: ax - y = p/q.In questa uguaglianza x - y rappresenta l’esponente che bisognadare ad a per ottenere (p/q). Quindi per definizione dilogaritmo, risulta: x - y = loga (p/q).Per le sostituzioni (*), si ha: loga p – loga q = loga (p/q).
  • 18. Dimostrazione della 3A proprietà: loga pk = klogap con p>0 e con k Rsi sostituisce logap = x (*)Per la definizione di logaritmo risulta: ax = p; si elevano entrambi i membri a potenza k : (ax) k = pk,per la 3A proprietà delle potenze si ha: akx = pk. In questa uguaglianza kx rappresenta l’esponente che, dato ad a, dà come risultato pk. Quindi per definizione di logaritmo, risulta: kx = loga pkPer la sostituzione (*), si ha: kloga p = loga pk.
  • 19. SCHEMA PROPRIETA’ DEI LOGARITMI Proprietà dirette: Proprietà inverse:loga(p•q) = loga|p| + loga|q|. logap + logaq = loga(p•q)loga( p/q ) = loga|p| - loga|q|. loga p - loga q = loga( p/q )loga pk = kloga |p|. kloga p = loga pk .a>0; a≠1; k R a>0; a≠1; p>0; q>0; k Ro (p>0 e q>0) opp. (p<0 e q<0).
  • 20. Teorema del cambiamento della base.Passaggio dal logaritmo in base a di un numero bal logaritmo in base k di b.Il logaritmo in una nuova base k del numero b è uguale alrapporto tra il logaritmo nella base a, di partenza, di b e illogaritmo nella base di partenza a della nuova base k: logab logkb= logak a>0, a≠1; b>0, b≠1; k>0, k≠1;
  • 21. Dimostrazione del teorema.Si pone logkb = x (*)per definizione di logaritmo, risulta: kx = b;ora si calcola il logaritmo in base a di entrambi i membri: loga kx = loga b,per la proprietà del logaritmo di una potenza, risulta: x• loga k = loga bper la sostituzione (*): logkb • loga k = loga bda cui, ricavando logkb, il teorema: logab logkb= logak
  • 22. Caso particolare. Se si pone: b = a logab logkb= logakLa relazione diventa: logaa logka= logakDa cui: 1 Cioè, scambiando la base k del logaritmo logka= con il suo argomento a, si ottiene il logak reciproco del logaritmo in base a di k.
  • 23. La Funzione LogaritmoDato un numero reale a positivo (a > 0 e a ≠ 1), sidefinisce funzione logaritmicala funzione che ad x R+ associa logax : f: x -> logax (a > 0, a ≠ 1; x > 0). y = logaxIn base alla definizione, la funzione logaritmica ha comedominio R+ e come codominio R: Dom: x (0; +∞ ); coDom: x (-∞ ; +∞ );
  • 24. Nella definizione di funzione esponenziale: y = ax , x rappresenta l’esponente che bisogna dare ad a perottenere y; questa è la definizione di logaritmo in base a di y: x = logay.La funzione esponenziale risulta invertibile.Ora il grafico di x = loga y coincide con quello di y = ax.Ma se si opera lo scambio di variabili x <=> y, allora si ottiene y = logax.Quindi il grafico della funzione logaritmica risultasimmetrico del grafico di y = ax, rispetto alla bisettrice del 1e 3 quadrante.
  • 25. In base alla definizione di logaritmo, si deduce che si trattadell’operazione inversa dell’elevamento a potenza. y = ax y=xy = ax, a>1 y = logax y = logax, a>1
  • 26. y = a x, 0<x<1 y=x y = logax, 0 <a< 1
  • 27. y = logax, 0 <a< 1y = logax, a>1
  • 28. Esercizio.Le funzioni: f(x) = log(x-1)2 e g(x) = 2log(x-1)Sono la stessa funzione? Spiegare.Non sono la stessa funzione.Infatti, le due funzioni hanno domini diversi:Domf(x): (x-1)2 > 0 -> V x ≠ 1. x {(-∞; 1) v (1; +∞)}Domg(x): x – 1 > 0 -> x > 1. x (1; +∞).Per rendere le due funzioni identiche si deve scrivere: g(x) = 2log|x-1|tenendo presente la terza proprietà.
  • 29. Calcolare il dominio della funzione: f(x) = log(x2-1) (2x2 – 3x)Si tratta di una funzione logaritmica di base (x2-1)e argomento (2x2 -3x).Primo modo:Per la definizione di logaritmo, occorre porre le condizioni sullabase : (x2 – 1) > 0 e x2 – 1 ≠ 1e sull’argomento del logaritmo: (2x2 – 3x) > 0Quindi si tratta di risolvere il sistema: x2 – 1 > 0 x2 – 1 ≠ 1. 2x2 – 3x > 0
  • 30. Secondo modo:Si applica il teorema del cambiamento di base per scrivere lafunzione nel seguente modo: f(x) = log (2x2 – 3x) log (x2- 1)Si hanno le condizioni sugli argomenti dei due logaritmi: (2x2 – 3x) > 0; x2 – 1 > 0E la condizione sul denominatore: log (x2- 1) ≠ 0 cioè (x2- 1) ≠ 1Quindi si ritrova il sistema precedente: x2 – 1 > 0 x2 – 1 ≠ 1. 2x2 – 3x > 0

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