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teoria sugli asintoti di una funzioe. Teoria e

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    Asintoti Asintoti Presentation Transcript

    • Rette asintotiche o asintotiUna retta costituisce unasintoto per il grafico diuna funzione se,considerato un genericopunto P del grafico ecalcolata la sua distanzadalla retta, si verifica chetale distanza tende azero, al tendere di Pall’infinito.xyOPHIn simboli: limP-> ∞ PH = 0
    • Si tratta di esplicitare il calcolo simbolico delladefinizione. A tale scopo occorre:a) calcolare la distanza punto-retta, eb) di stabilire come far tendere il punto P all’infinito.Si presentano tre casi:1. La retta asintotica è parallela all’asse x (si parla diasintoto orizzontaleasintoto orizzontale).2. La retta è parallela all’asse y ( si parla di asintotoasintotoverticale).verticale).3. La retta è una generica retta del piano: né parallelaad un asse né all’altro ( si parla di asintoto obliquoasintoto obliquo)
    • ASINTOTO ORIZZONTALEIn questo caso il limite della definizione di asintoto siesplicita nel seguente modo:La distanza PH è espressa da:PH = | f(x) – l |e per far tendere Pall’infinito occorre fartendere la sua ascissa x adinfinito. In conclusione:limx-> ∞ | f(x) – l | = 0limx-> ∞ | f(x) – l | = 0y = lxyOP(x;f(x))Hf(x)l
    • ASINTOTO VERTICALExyOP(x;f(x))x = xoxoIn questo caso il limite della definizione di asintoto siesplicita nel seguente modo:La distanza PH è espressada:PH = | x – xO |e per far tendere Pall’infinito occorre fartendere la sua ascissa x adxO. In conclusione:limx-> xo| x – xO | = 0limx-> xo| x – xO | = 0
    • ASINTOTO OBLIQUOxyOIn questo caso il limite della definizione di asintoto siesplicita nel seguente modo:La distanza PH, dalla retta asintotica y = mx + q èespressa da:| mx – f(x) + q |PH = ————————√ m2+ 1il punto P tendeall’infinito per xtendente all’infinito:P(x;f(x))Hy = mx +q
    • Il limite della definizione diventa:limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0( siccome il risultato deve essere zero, la quantità aldenominatore, in quanto costante numerica, può esseretrascurata).Va notato che tutte le quantità presenti nelladefinizione sono note:1. l’equazione della retta y = mx + q,2. l’equazione f(x) della funzione,3. il risultato del limite.
    • Fine della trattazione teoricaTermina lo svolgimento della teoria relativa agliasintoti di una funzione.Ora si apre il capitolo applicativo della teoria relativoalla ricerca degli eventuali asintoti di una funzione diequazione assegnata.
    • PROBLEMA INVERSOSi pone il problema di stabilire sotto quali condizioniuna data funzione ammette asintoti.Caso dell’asintoto orizzontaleCaso dell’asintoto orizzontale.Ipotesi: se la funzione y = f(x), è tale che il limite:limx-> ∞ f(x),esiste e vale l, finito, cioè se si verifica che:limx-> ∞ f(x) = lTesi: allora il grafico della funzione ammette asintotoorizzontale y = l.
    • Caso dell’asintoto verticaleCaso dell’asintoto verticale.Ipotesi: se la funzione y = f(x), è tale che il limite:limx-> xof(x),esiste e vale infinito, cioè se si verifica che:limx-> xof(x) = ∞Tesi: allora il grafico della funzione ammette asintotoverticale: x = xo.
    • Asintoto obliquoPremessa:Condizione necessaria affinché la funzione f(x)ammetta asintoto obliquo è che risulti:limx-> ∞ f(x) = ∞N.B.: il limite infinito costituisce solo una condizione necessaria:Se tale limite è verificato NON è detto che la funzione ammettaasintoto obliquo.Comunque se tale limite NON è verificato allora la funzione NONammette asintoto obliquo.
    • Caso dell’asintoto obliquoCaso dell’asintoto obliquo.In questo caso si tratta di calcolare i coefficientidell’equazione della retta asintotica:y = mx + q.Quindi il problema consiste nel ricercare le incognitedel problema: i due coefficienti mm e qq.A questo scopo ricorriamo alla definizione data diasintoto obliquo, espressa dal limite:limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.in cui, ora, m e q figurano come parametri incogniti.
    • Procedura risolutiva:Se il limitelimx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.risulta nullo, a maggior ragione risulta nullo anche illimite:| mx – f(x) + q |limx-> ∞ ———————— = 0xChe può essere scritto:mx f(x) qlimx-> ∞ | —— - —— + —— | = 0x x x
    • Da cui si ha:f(x) qlimx-> ∞ | m - —— + — | = 0x xil limite qlimx-> ∞ —xvale zero, perciò il limite di sopra diventa:f(x)limx-> ∞ | m - —— | = 0xDa questa relazione si può ricavare il parametro m:f(x)mm = limx-> ∞ —— (*)x
    • Una volta determinato m, si passa a calcolare ilparametro q.Dal limite della definizione:limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.dopo aver sostituito il valore calcolato di mm, si puòricavare q:qq = limx-> ∞ [ f(x) - mmx ] (**)in conclusione la funzione ammette asintoto obliquose i due limiti (*) e (**) , che permettono di ricavare idue parametri mm e qq, esistonoesistono e sono finitifiniti.
    • In conclusione per calcolare un asintoto obliquo sidevono calcolare i due limiti:f(x)mm = limx-> ∞ ——xqq = limx-> ∞ [ f(x) - mmx ]Questi due limiti devono esistere ed essere finiti.N.B.: anche se uno dei due risultasse infinito, alloral’asintoto NON esiste.
    • Caso particolare relativo alle funzioni razionali fratte.Per le funzioni di equazione:P(x)f(x) = ——— con P(x), Q(x) polinomi,Q(x)esiste asintoto obliquo quando il grado del numeratoresupera di una unità quello del denominatore.Si perviene, per via elementare, all’equazionedell’asintoto eseguendo la divisione P(x) : Q(x) .Il quoziente di tale divisione dà l’equazione dell’asintoto.
    • Se P(x) è di 1 gradosuperiore a quello di Q(x),allora il quoziente risultadi 1° gradoP(x) Q(x)———………. mx + q——— quozienterestoL’equazione dell’asintoto è data da: y = mx + q .