Asintoti

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Asintoti

  1. 1. Rette asintotiche o asintotiUna retta costituisce unasintoto per il grafico diuna funzione se,considerato un genericopunto P del grafico ecalcolata la sua distanzadalla retta, si verifica chetale distanza tende azero, al tendere di Pall’infinito.xyOPHIn simboli: limP-> ∞ PH = 0
  2. 2. Si tratta di esplicitare il calcolo simbolico delladefinizione. A tale scopo occorre:a) calcolare la distanza punto-retta, eb) di stabilire come far tendere il punto P all’infinito.Si presentano tre casi:1. La retta asintotica è parallela all’asse x (si parla diasintoto orizzontaleasintoto orizzontale).2. La retta è parallela all’asse y ( si parla di asintotoasintotoverticale).verticale).3. La retta è una generica retta del piano: né parallelaad un asse né all’altro ( si parla di asintoto obliquoasintoto obliquo)
  3. 3. ASINTOTO ORIZZONTALEIn questo caso il limite della definizione di asintoto siesplicita nel seguente modo:La distanza PH è espressa da:PH = | f(x) – l |e per far tendere Pall’infinito occorre fartendere la sua ascissa x adinfinito. In conclusione:limx-> ∞ | f(x) – l | = 0limx-> ∞ | f(x) – l | = 0y = lxyOP(x;f(x))Hf(x)l
  4. 4. ASINTOTO VERTICALExyOP(x;f(x))x = xoxoIn questo caso il limite della definizione di asintoto siesplicita nel seguente modo:La distanza PH è espressada:PH = | x – xO |e per far tendere Pall’infinito occorre fartendere la sua ascissa x adxO. In conclusione:limx-> xo| x – xO | = 0limx-> xo| x – xO | = 0
  5. 5. ASINTOTO OBLIQUOxyOIn questo caso il limite della definizione di asintoto siesplicita nel seguente modo:La distanza PH, dalla retta asintotica y = mx + q èespressa da:| mx – f(x) + q |PH = ————————√ m2+ 1il punto P tendeall’infinito per xtendente all’infinito:P(x;f(x))Hy = mx +q
  6. 6. Il limite della definizione diventa:limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0( siccome il risultato deve essere zero, la quantità aldenominatore, in quanto costante numerica, può esseretrascurata).Va notato che tutte le quantità presenti nelladefinizione sono note:1. l’equazione della retta y = mx + q,2. l’equazione f(x) della funzione,3. il risultato del limite.
  7. 7. Fine della trattazione teoricaTermina lo svolgimento della teoria relativa agliasintoti di una funzione.Ora si apre il capitolo applicativo della teoria relativoalla ricerca degli eventuali asintoti di una funzione diequazione assegnata.
  8. 8. PROBLEMA INVERSOSi pone il problema di stabilire sotto quali condizioniuna data funzione ammette asintoti.Caso dell’asintoto orizzontaleCaso dell’asintoto orizzontale.Ipotesi: se la funzione y = f(x), è tale che il limite:limx-> ∞ f(x),esiste e vale l, finito, cioè se si verifica che:limx-> ∞ f(x) = lTesi: allora il grafico della funzione ammette asintotoorizzontale y = l.
  9. 9. Caso dell’asintoto verticaleCaso dell’asintoto verticale.Ipotesi: se la funzione y = f(x), è tale che il limite:limx-> xof(x),esiste e vale infinito, cioè se si verifica che:limx-> xof(x) = ∞Tesi: allora il grafico della funzione ammette asintotoverticale: x = xo.
  10. 10. Asintoto obliquoPremessa:Condizione necessaria affinché la funzione f(x)ammetta asintoto obliquo è che risulti:limx-> ∞ f(x) = ∞N.B.: il limite infinito costituisce solo una condizione necessaria:Se tale limite è verificato NON è detto che la funzione ammettaasintoto obliquo.Comunque se tale limite NON è verificato allora la funzione NONammette asintoto obliquo.
  11. 11. Caso dell’asintoto obliquoCaso dell’asintoto obliquo.In questo caso si tratta di calcolare i coefficientidell’equazione della retta asintotica:y = mx + q.Quindi il problema consiste nel ricercare le incognitedel problema: i due coefficienti mm e qq.A questo scopo ricorriamo alla definizione data diasintoto obliquo, espressa dal limite:limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.in cui, ora, m e q figurano come parametri incogniti.
  12. 12. Procedura risolutiva:Se il limitelimx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.risulta nullo, a maggior ragione risulta nullo anche illimite:| mx – f(x) + q |limx-> ∞ ———————— = 0xChe può essere scritto:mx f(x) qlimx-> ∞ | —— - —— + —— | = 0x x x
  13. 13. Da cui si ha:f(x) qlimx-> ∞ | m - —— + — | = 0x xil limite qlimx-> ∞ —xvale zero, perciò il limite di sopra diventa:f(x)limx-> ∞ | m - —— | = 0xDa questa relazione si può ricavare il parametro m:f(x)mm = limx-> ∞ —— (*)x
  14. 14. Una volta determinato m, si passa a calcolare ilparametro q.Dal limite della definizione:limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.dopo aver sostituito il valore calcolato di mm, si puòricavare q:qq = limx-> ∞ [ f(x) - mmx ] (**)in conclusione la funzione ammette asintoto obliquose i due limiti (*) e (**) , che permettono di ricavare idue parametri mm e qq, esistonoesistono e sono finitifiniti.
  15. 15. In conclusione per calcolare un asintoto obliquo sidevono calcolare i due limiti:f(x)mm = limx-> ∞ ——xqq = limx-> ∞ [ f(x) - mmx ]Questi due limiti devono esistere ed essere finiti.N.B.: anche se uno dei due risultasse infinito, alloral’asintoto NON esiste.
  16. 16. Caso particolare relativo alle funzioni razionali fratte.Per le funzioni di equazione:P(x)f(x) = ——— con P(x), Q(x) polinomi,Q(x)esiste asintoto obliquo quando il grado del numeratoresupera di una unità quello del denominatore.Si perviene, per via elementare, all’equazionedell’asintoto eseguendo la divisione P(x) : Q(x) .Il quoziente di tale divisione dà l’equazione dell’asintoto.
  17. 17. Se P(x) è di 1 gradosuperiore a quello di Q(x),allora il quoziente risultadi 1° gradoP(x) Q(x)———………. mx + q——— quozienterestoL’equazione dell’asintoto è data da: y = mx + q .

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