• Like
8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal

  • 131 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
131
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
11
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS UNIDADE 8 DISTRIBUCIÓNS CONTINUAS. DISTRIBUCIÓN NORMAL. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 2. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua.Función de densidade.Distribución normal.Variable aleatoria da distribución normal.Función de densidade dunha normal.Distribución normal estándar.Tipificación da variable.Aproximación da binomial pola normal. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 3. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Lembremos primeiro que é unha variable aleatoria continua: Variable aleatoria: Chámase variable aleatoria a toda lei (función) que asocia a cada elemento do espazo mostral E dun experimento aleatorio un número real. Variable aleatoria continua: O percorrido, ao menos teórico, está formado polos infinitos valores dun intervalo ou de varios. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 4. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua.EXEMPLO 1: Consideramos o experimentoaleatorio “elixir ao azar unneno de 6 anos da poboacióngalega” e a cada posibleresultado asociámoslle unnúmero real que é a súa altura . X=“altura do neno” é unhavariable aleatoria continua poisos seus posibles resultados sonnúmeros reais pertencentes a unintervalo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 5. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua.Exemplo 2: Consideramos o experimentoaleatorio “elixir ao azar unestudante que no curso2008-2009 se presentou áproba de selectividade” e acada posible resultadoasociámoslle un número real queé a nota media obtida na proba . X=“nota media deselectividade” é unha variablealeatoria continua pois os seusposibles resultados son númerosreais pertencentes a unintervalo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 6. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. A variable aleatoria continua X pi=p(X=xi)ten unha probabilidade cero detomar exactamente calquera x1 p1dos seus valores. x2 p2 En consecuencia, a súadistribución de probabilidade . .non se pode dar de formasimilar a unha variable . .aleatoria discreta ondedefiniamos a función de . .probabilidade mediante unha xn pntáboa coma esta === 1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 7. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. As distribucións de probabilidade son idealizacións dos polígonos de frecuencias. No caso dunha variable estatística continua consideramos o histograma de frecuencias relativas (ou máis exactamente o histograma das densidades das frecuencias relativas), e compróbase que ao aumentar o número de datos e o número de clases o histograma tende a estabilizarse chegando a converterse o seu perfil na gráfica dunha función.  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 8. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 9. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Exemplo : (obtido de distintas páxinas de internet como http://www.tuveras.com/estadistica/normal/normal.htm ou http://www.monografias.com/trabajos27/probabilidad- continua/probabilidad-continua.shtml) Rexistráronse os tempos que tardou unha empresa de mensaxería en entregar 190 paquetes con destinatarios diferentes dentro dunha mesma cidade. Os datos agrupáronse considerando intervalos de cinco días, para posteriormente reducir a amplitude dos intervalos, tomando unha amplitude de tres días por intervalo, a continuación de dous días e finalmente dun día. O que interesa ao futuro cliente é a probabilidade de que se faga unha entrega nun certo tempo, polo que habería que considerar as frecuencias relativas, obtendo as seguintes táboas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 10. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Intervalos de un día Intervalos de dous días IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 11. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Debuxamos os histogramas e os polígonos de frecuencias correspondentes para poder vercomo se aproximan, se é que ocorre, a unha curva continua. As barras rosas (e a liña vermella) corresponden aos intervalos de cinco días; as barras e liñaazuis, aos intervalos de tres días; as barras e liña amarelas, aos intervalos de dous días; e as amarelas díasbarras e liña verdes, aos intervalos dun día. Pódese ver que as barras das frecuencias relativas "achapárranse" e as liñas están tanseparadas do lado esquerdo (neste caso) que non se pode falar dunha aproximación continua aunha soa liña IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 12. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Unha posible solución é utilizar a densidade do intervalo, que se vai definir como o cociente da frecuencia relativa entre a amplitude do intervalo: frecuencia relativa densidade do intervalo = lonxitude do intervalo Deste xeito, ás distribucións de frecuencias anteriores pódeselles engadir a columna correspondente á densidade: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 13. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Intervalos de 3 dias Intervalos de 5 dias Intervalo frec frec.rel. densidad Intervalo frec frec.rel densidad [0,3) 93 0.489 0.163 . [3,6) 30 0.158 0.053 [0,5) 115 0.605 0.121 [6,9) 18 0.095 0.032 [5,10) 31 0.163 0.033 [9,12) 13 0.068 0.023 [10,15) 17 0.089 0.018 [12,15) 9 0.047 0.016 [15,20) 12 0.063 0.013 [15,18) 8 0.042 0.014 [20,25) 10 0.053 0.011 [18,21) 6 0.032 0.011 [25,30) 5 0.026 0.005 [21,24) 6 0.032 0.011 [24,27) 4 0.021 0.007 [27,30) 3 0.016 0.005 Intervalos de 2 días IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 14. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Intervalo frec Frec. Rel. densidad [20,21) 2 0.011 0.011 Intervalos de un día [21,22) 2 0.011 0.011 [22,23) 2 0.011 0.011 [23,24) 2 0.011 0.011 [24,25) 2 0.011 0.011 [25,26) 1 0.005 0.005 [26,27) 1 0.005 0.005 [27,28) 1 0.005 0.005 [28,29) 1 0.005 0.005 [29,30) 1 0.005 0.005 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 15. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Debuxamos os histogramas e polígonos de frecuencias correspondentes. As barras rosas, e a liña vermella, corresponden aos intervalos de cinco días; as barras e liñaverdes, aos intervalos de tres días; as barras e liña amarelas, aos intervalos de dous días; e as amarelas díasbarras e liña azuis, aos intervalos dun día. Observamos que coa densidade se se aproximan os histogramas a unha liña continua (amellor aproximación presentada é a liña azul) cando os intervalos se reducen continuamente. O resultado é unha liña continua que é a gráfica dunha certa función denominada funciónde densidade da distribución probabilística. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 16. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Agora, considerando a maneira na que se definiu a densidade dun intervalo como: frecuencia relativa densidade do intervalo = lonxitude do intervalo e lembrando que a frecuencia relativa se pode identificar coa probabilidade dun suceso (no exemplo da mensaxería sería a probabilidade de entregar un paquete dentro dun intervalo dado de tempo): frecuencia absolutafrecuencia relativa = = probabilidade do suceso nº total de datos Entón, despexando no primeiro cociente a frecuencia relativa e igualando con esta segunda expresión obtemos que probabilidade do suceso = (densidade do intervalo)· (lonxitude do intervalo) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 17. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. É dicir, que a probabilidade de que ocorra un suceso corresponde áárea das barras do histograma construído tendo en conta adensidade dos intervalos; e que cando tales intervalos teñen unhaamplitude que tende a cero, e a gráfica convértese na curvacontinua da función de densidade, entón a probabilidade de que unsuceso ocorra nun intervalo (a,b) é a área baixo a curva da funciónnese intervalo: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 18. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. E, polo tanto, o cálculo de tal probabilidade realízase utilizando cálculo integral: p( a < X < b ) = p( X ∈ ( a, b ) ) = ∫ f ( x ) dx b a onde f(x) é a función de densidade da probabilidade correspondente. No caso das variables continuas só se pode calcular a probabilidade de que un suceso caia dentro dun intervalo, debido a que a exactitude dos instrumentos de medición sempre é relativa e está moi lonxe da "exactitude" dos cálculos matemáticos. Por isto, a probabilidade de que a variable aleatoria tome un valor exacto é nula: p ( X = a) = ∫ f ( x ) dx = 0 a a Isto pódese explicar do seguinte xeito: se, como xa dixemos, a probabilidade (frecuencia relativa) é igual á densidade do intervalo pola amplitude do intervalo, entón non importa o grande que sexa a densidade de tal intervalo porque, como xa tamén se dixo, por ser variable continua a amplitude do intervalo tende a cero e, polo tanto, a probabilidade é igual a cero. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 19. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidadecontinua. Outros exemplos: Nas seguintes páxinas web atopamos aplicacións que nos amosan con exemplos como pasamos do histograma de frecuencias relativas á gráfica dunha función que chamaremos función de probabilidade ou función de densidade. http ://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/WebQuest http://www.ite.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos /mem2001/variablesestadisticas/archivos/continua.htm IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 20. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típica Unha función y=f(x) é función de densidade dunha variable aleatoria continua X se: f(x) é non negativa en todo o seu dominio. A probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores nun intervalo [a,b] é a área baixo a curva correspondente a ese intervalo. A área total baixo a curva vale 1. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 21. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típica Sexa X unha variable aleatoria continua e f a súa función de densidade. Defínese función de distribución F de X de xeito similar a como se facía en variables aleatorias discretas. Chámase función de distribución de X á función definida por: F ( x ) = p( X ≤ x ) = ∫ f ( t ) dt x −∞F(x)=área comprendida pola función de densidade, o eixe OX e a recta t=x IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 22. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típica Media ou esperanza dunha variable aleatoria continua. Sexa X unha variable aleatoria continua que ten por percorrido o intervalo [a,b] e sexa f(x) a súa función de densidade, defínese media ou esperanza da variable aleatoria continua X como: µ = ∫ x ⋅ f ( x ) dx b a Varianza dunha variable aleatoria continua. Nas mesmas condicións definimos varianza da variable aleatoria continua X como: 2 σ 2 = ∫ ( x − µ ) ⋅ f ( x ) dx b a Desviación típica dunha variable aleatoria continua. σ = σ2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 23. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típicaExemplo:A función de densidade dunha variablealeatoria continua ven definida por:  2 x se 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  0 no resto •Representa dita función e comproba que se trata dunha función de densidade.•Calcula a función de distribución da variable aleatoria continua F(x) e represéntaa.•Calcula esperanza, varianza e desviación típica. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 24. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típicaRepresenta dita función e comproba que se tratadunha función de densidade. f(x) é unha función de densidade pois:Todas as súas imaxes son positivas ou 0. Toda a gráficaestá no eixe OX ou por enriba del.A área encerrada pola gráfica e o eixe OX é: Área do triángulo=(base . altura)/2=(1 . 2)/2=1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 25. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típica y f(x)=0 f(x)=2x 2.8 Relleno 2 f(x)=0 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 f(x) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 26. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típicaCalcula a función de distribución da variable aleatoriacontinua F(x) e represéntaa.Se x<0 F ( x ) = p ( X ≤ x ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ 0 ⋅ dt = 0 x x −∞ −∞Se 0≤x≤1 F ( x ) = p ( X ≤ x ) = ∫ f (t )dt = ∫ f (t ) dt + ∫ f (t )dt = ∫ 0 ⋅ dt + ∫ 2t ⋅ dt = x 0 x 0 x −∞ −∞ 0 −∞ 0 x  2t 2  = 0 +   = x2  2 0Se x>1 F ( x ) = p( X ≤ x ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = x 0 1 x −∞ −∞ 0 1 0 1 x = ∫ 0 ⋅ dt + ∫ 2t ⋅ dt + ∫ 0 ⋅ dt = 0 + t 2 0 + 0 = 1 −∞ 0 1 [ ] 1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 27. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típica y f(x)=0 f(x)=x^2 2.8 f(x)=1  0 se x < 0 2.6  2.4  2.2 F ( x ) =  x 2 se 0 ≤ x ≤ 1  2 1.8 1 se x > 1 1.6   1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 28. 2. Función de densidade,función dedistribución,media,varianza e desviación típica Calcula esperanza, varianza e desviación típica. 1 1 1  2 x3  2µ = ∫ x ⋅ 2 x ⋅ dx = ∫ 2 x 2 ⋅ dx =   = 0 0  3 0 3 2 1 1 2  18 8   2x 8x 8x  4 3 2σ 2 = ∫  x −  ⋅ 2 x ⋅ dx = ∫  2 x 3 − x 2 + x  ⋅ dx =  − +  = 0  3 0  3 9   4 9 18  0 2 8 8 1 8 4 1 4 1= − + = − + = − = 4 9 18 2 9 9 2 9 18 1σ= = 0,003 18 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 29. 3. Distribución normal.Experimento de Galton. Unha primeira aproximación á distribución normal pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou quincunce) no que experimentalmente obtiña a curva da distribución normal. Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos distribuídos regularmente. Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída dependendo do azar. As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no borde inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da distribución normal. Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 30. 3. Distribución normal. Existen unha grande cantidade de fenómenos naturais, como talle e peso dunha persoa, frecuencia cardíaca, altura dunha árbore de certa especie... que presentan unhas características comúns. Os resultados concéntranse ao redor dunha media, e os escasos valores afastados dela fano simetricamente a un e outro lado desa media. Os histogramas e polígonos de frecuencias correspondentes a ditos fenómenos cando o número de datos é alto e os intervalos son moi pequenos seméllanse á curva obtida mediante o experimento de Galton. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 31. 3. Distribución normal. Exemplo (obtido da páxinahttp://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.as) 1ª Figura - Valores detensión arterial sistólica nunhamostra de 1000 pacientesisquémicos ingresados en UCI. 2ª Figura - Valores detensión arterial sistólica dunhamostra de 5000 pacientesingresados en UCI. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 32. 3. Distribución normal. Podemos ver como os polígonos de frecuenciasdeste exemplo aseméllanse á seguinte curvachamada curva ou campá de Gauss: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 33. 3. Distribución normal. A distribución normal chámase así porque durante moito tempo se pensou que ese era o comportamento normal de todos os fenómenos. Os exemplos empregados para explicar a idea intuitiva de distribución de probabilidade continua deixan constancia de que isto non é certo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 34. 4. Variable aleatoria da distribución normal. Dise que unha variable aleatoria X segue unha distribución normal de media μ e desviación típica σ e desígnase por N(μ,σ) se se cumpren as seguintes condicións :•A variable percorre toda a recta real, é dicir, de -∞ a +∞.•A súa función de densidade é a expresión en forma de ecuación matemática da curva de Gauss: 2 1  x −µ  1 − ⋅  f ( x) = ⋅e 2 σ  σ ⋅ 2π onde: e=2,7182… π=3,1415… μ=media da variable aleatoria X σ=desviación típica da variable aleatoria X Os valores μ e σ son denominados parámetros da distribución normal. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 35. 4. Variable aleatoria da distribución normal. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 36. 4. Variable aleatoria da distribución normal. Na seguinte aplicación podemos observar cal sería a forma da función de densidade da distribución normal dependendo dos seus parámetros μ e σ. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 37. Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidadecontinua que aparecen en numerosas ocasións Distribución uniformecontinua A función dedensidade dadistribución uniformecontinua é: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 38. Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidadecontinua que aparecen en numerosas ocasiónsDistribución exponencial: A distribución exponencial é unhadistribución de probabilidadecontinua con un parámetro λ > 0cuxa función de densidade é: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 39. Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidadecontinua que aparecen en numerosas ocasións Distribución gamma. En estatística a distribucióngamma é unha distribución deprobabilidade continua con dousparámetros k e λ cuxa funciónde densidade para valores x > 0é Aquí e é o número e e Γ é afunción gamma. Para valoresenteiros a función gamma quedacomo Γ(k) = (k − 1)! (sendo ! afunción factorial). IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 40. Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidadecontinua que aparecen en numerosas ocasións Distribución Pareto. En estatística a distribuciónPareto, formulada polo sociólogoVilfredo Pareto, é unhadistribución de probabilidadecontinua con dous parámetros ae b cuxa función de densidadepara valores é: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 41. Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidadecontinua que aparecen en numerosas ocasións A distribución χ² (de Pearson) En estatística, a distribuciónχ² (de Pearson) é unhadistribución de probabilidadecontinua cun parámetro k querepresenta os graos deliberdade da variable aleatoria: onde Zi son variables dedistribución normal, de mediacero e varianza un. O que avariable aleatoria X teña estadistribución represéntasehabitualmente así: . IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 42. Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidadecontinua que aparecen en numerosas ocasións A distribución t de Student A distribución t de Student é adistribución de probabilidade docociente onde Z ten unha distribución normalde media nula e varianza 1 V ten unha distribución chi-cadrado con ν graos de liberdade Z e V son independentes IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 43. 5. Función de densidade dunha distribuciónnormal.Propiedades da función de densidade dunha distribución normal. Dom f=(-∞,+ ∞) Simetrías: A función é simétrica respecto á recta x=μ. Puntos de corte cos eixes:   2 µ  0, 1 − 2  e 2σ  σ 2π  Co eixe OY   Co eixe OX non ten puntos de corte. Asíntotas: Ten unha asíntota horizontal x=0. Crecemento e decrecemento: f crece ata x= μ e decrece a partir de x= μ. Máximos e mínimos: f ten un máximo absoluto en x= μ . Puntos de inflexión:Ten dous puntos de inflexión en x= μ-σ e x= μ+ σ. Área encerrada baixo a curva =1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 44. 5. Función de densidade dunha distribuciónnormal. y Exemplo: Distribución normal N(3,1) f(x)=1/(1*sqr(2*pi))*e^(-0.5*((x-3)/1)^2) Relleno 1 x(t)=3 , y(t)=t Serie 1 0.045 Serie 2 0.04 Domf=(-∞,+∞) f é simétrica respecto a x=3 Punto de corte (0, 0.0003 ) 0.035 f é crecente en (-∞,3) e é decrecente en (3, +∞) f ten un máximo absoluto en (3, 0.0254) 0.03 f ten dous puntos de inflexión (2, 0.0154 ) e (4, 0.0154 ) Área encerrada baixo a gráfica=1 Máximo absoluto 0.025 N(3,1) 0.02 pto de inflexión pto de inflexión 0.015 0.01 0.005punto de corte co eixe OY μ=3 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 45. 6. Distribución normal estándar. É fácil comprender que para cada parella de valores μ e σ a distribución N(μ, σ) terá unha función de densidade distinta. Temos unha familia de distribucións normais. De entre todas elas, ten especial interese a distribución N(0, 1) na que a media vale cero (μ=0) e a desviación típica vale a unidade (σ=1). Esta distribución chámase distribución normal estándar e ten por función de densidade : x2 1 − f ( x) = ⋅e 2 2π IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 46. 6. Distribución normal estándar. Se X é unha variable aleatoria continua que segue unha distribución normal estándar (N(0,1)) a súa función de distribución será: F ( x ) = p( X ≤ x ) = ∫ f (t )dt = x −∞ = Área comprendida pola gráfica da función de densidade f, o eixe de abscisas e a recta t=x A función de distribución dunha variable normal estándar está tabulada. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 47. 6. Distribución normal estándar. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 x(t)=0.7 , y(t)=t 0.032 0.03 0.028 N(0,1) 0.026 0.024 F(x)=p(X ≤ x)= 0.022 =Área comprendida pola gráfica de f, 0.02 o eixe de abscisas e a recta t=x 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.002 x -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 48. 1. Distribución normal estándar. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 49. 6. Distribución normal estándar.Manexo de táboas: 0.034 y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) Relleno 2 x(t )=1.65 , y(t)=t 0.032Problema directo: 0.03 0.028 N(0,1)Caso 1: p(X≤x) sendo x positivo 0.026 0.024 Exemplo: p(X≤1,65) 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.002 x=1,65 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 50. 6. Distribución normal estándar. Solución: Como 1.65 é 1.6+0.05a intersección da fila1.6 coa columna 0.05dános o resultadobuscado que é 0.9505 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 51. 6. Distribución normal estándar.Caso 2: p(X≥x) sendo x positivo y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032 x(t)=1.65 , y(t)=tExemplo: p(X≥1.65) 0.03 0.028 N(0,1) 0.026 0.024 0.022 Área encerrada pola curva = 1 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 p(X≤1,65) 0.008 0.006 0.004 0.002 p(X≥1,65) x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.002 x=1,65 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 52. 6. Distribución normal estándar. Solución: Tendo en conta que a área total encerrada pola curva é 1, verifícase: p(X≥1,65)=1-p(X≤1,65)=1-0.9505=0.0495 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 53. 6. Distribución normal estándar. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)Caso 3: p(X≤x) sendo x negativo 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032 x(t)=-1.65 , y(t)=t x(t)=1.65 , y(t)=t 0.03Exemplo: p(X ≤ -1,65) 0.028 0.026 N(0,1) 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 p(X≤-1,65) 0.004 p(X≥1,65) 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 x= -1,65 -0.002 x= 1,65 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 54. 6. Distribución normal estándar.Solución: Na táboa aparecen só valores positivos polo que empregaremos a simetría par da función de densidade. Podemos ver no debuxo que p(X≤-1,65)=p(X≥1,65) e polo tanto p(X≤-1,65)=p(X≥1,65)= 1-p(X≤1,65)= =1-0.9505=0.0495 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 55. 6. Distribución normal estándar. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))Caso 4: p(X≥x) sendo x negativo 0.034 Relleno 2 x(t)=-1.65 , y(t)=t 0.032 0.03Exemplo: p(X ≥ -1,65) 0.028 N(0,1) 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 x=-1,65 -0.002 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 56. 6. Distribución normal estándar. Solución: y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 x(t)=1.65 , y(t)=t Empregando a simetría par da 0.032función de densidade, a área 0.03correspondente á p(X≥-1,65) é 0.028 N(0,1)exactamente igual á 0.026correspondente a p(X≤1,65). 0.024 Polo tanto p(X≥-1,65)= 0.022p(X≤1,65)=0.9505 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.002 x=1,65 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 57. 6. Distribución normal estándar. Caso 5: p(x0≤X≤x1) sendo x0 e x1 y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 x(t)=0.85 , y(t)=tpositivos. 0.032 x(t)=1.65 , y(t)=t 0.03 0.028 N(0,1)Exemplo: p(0,85≤X≤1,65) 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 p(0,85≤X≤1,65) 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.002 x=0,85 x=1,65 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 58. 6. Distribución normal estándar.Solución: y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032 p(0,85≤X≤1,65)= x(t)=0.85 , y(t)=t x(t)=1.65 , y(t)=t 0.03=p(X≤1,65)-p(X≤0,85)= 0.028 N(0,1) 0.026=0,9505-0,8023=0,1482 0.024 0.022 Relleno verde ------ p(X≤0,85) 0.02 Relleno vermello--- p(X≤1,65) 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 p(0,85≤X≤1,65) 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.002 x=0,85 x=1,65 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 59. 6. Distribución normal estándar. Caso 6: p(x0≤X≤x1) sendo x0 e x1 y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032negativos. x(t)=-0.85 , y(t)=t x(t)=-1.65 , y(t)=t x(t)=1.65 , y(t)=t 0.03 x(t)=0.85 , y(t)=t 0.028 N(0,1) 0.026Exemplo: p(-1,65≤X≤-0,85) 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 p(-1,65≤X≤-0,85) 0.01 p(0,85≤X≤1,65) 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -0.002 x=0,85 x=1,65 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 60. 6. Distribución normal estándar.Solución: Empregando a simetría par da función de densidadevemos que p(-1,65≤X≤-0,85)=p(0,85≤X ≤1,65)= de acordo co caso 5 =0.1482 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 61. 6. Distribución normal estándar. Caso 7: p(x0≤X≤x1) sendo x0 negativo y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 x(t)=-1.65 , y(t)=te x1 positivo. 0.032 x(t)=0.85 , y(t)=t 0.03 0.028 N(0,1)Exemplo: p(-1,65≤X≤0,85) 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 p(-1,65≤X≤0,85) 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 x=-1,65 -0.002 x=0,85 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 62. 6. Distribución normal estándar.Solución: y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032 x(t )=-1.65 , y(t)=t De forma similar ó caso 5 x(t )=0.85 , y(t )=t 0.03 p(-1,65≤X≤0,85)=p(X≤0,85)-p(X ≤-1,65) 0.028 N(0,1) 0.026 0.024 0.022 p(-1,65≤X≤0,85) 0.02 0.018 0.016 Relleno vermello --- p(X≤0,85) 0.014 Relleno verde ------- p(X≤-1,65) 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 x=-1,65 -0.002 x=0,85 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 63. 6. Distribución normal estándar. A partir deste punto estamos nos casos 1 e 2 p(-1,65≤X≤0,85)=p(X≤0,85)-p(X ≤-1,65)= =p(X ≤0,85)-p(X≥1,65)= =p(X ≤0,85)-(1-p(X ≤ 1,65))= =0,8023-1+0,9505=0,7528 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 64. 6. Distribución normal estándar.Problema inverso:Caso 1: A probabilidade está na táboa.Exemplo : Calcula x0 se p(X≤x0)=0,8186Solución:Mirando na táboa a probabilidade 0,8186corresponde a fila 0,9 e a columna 0,01 polotanto x0=0,9+0,01=0,91 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 65. 6. Distribución normal estándar. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 x(t)=0.91 , y(t)=t 0.032 0.03 0.028 N(0,1) 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 p(X≤x0)=0,8186 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 x0 -0.002 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 66. 6. Distribución normal estándar. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 67. 6. Distribución normal estándar.Caso 2: A probabilidade non está na táboa.Exemplo : Calcula x0 se p(X≤x0)=0,2981Solución:Como a probabilidade non está na táboa, e ademais émenor de 0,5, deducimos que x0 é un número negativo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 68. 6. Distribución normal estándar. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032 x(t)=-0.53 , y(t)=t x(t)=0.53 , y(t)=t 0.03 0.028 N(0,1) 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 p(X≤x0)=0,2981 p(X≥-x0)=0,2981 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 x0 -x0 -0.002 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 69. 6. Distribución normal estándar. p(X≤x0)=p(X≥-x0)=1-p(X≤-x0)=0,2981 sendo –x0 positivo Polo tanto p(X≤-x0)=1-0,2981=0,7019 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 70. 6. Distribución normal estándar. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) 0.034 Relleno 3 Relleno 4 0.032 x(t)=0.53 , y(t )=t 0.03 0.028 N(0,1) 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 p(X≤-x0)=0,7019 0.01 0.008 0.006 p(X≥-x0)=0,2981 0.004 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -x0 -0.002 -0.004 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 71. 6. Distribución normal estándar. A táboa dinos que : –x0=0,53 é dicir: x0=-0,53 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 72. 7. Tipificación da variable.Tipificación da variable: É evidente que non se poden construír táboas similares á da N(0,1) para todos os tipos posibles de distribucións N(μ,σ) pois μ e σ toman infinitos valores. A mellor opción é transformar a variable X que segue unha distribución N(μ,σ) noutra variable Z que segue unha distribución N(0,1). Esta transformación recibe o nome de tipificación da variable. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 73. 7. Tipificación da variable.Haberá que realizar dous pasos:•Centrar: Trasladar a media da distribución á orixe de coordenadas•Reducir a desviación típica a 1. É dicir, dilatar ou contraer a gráfica da distribución para que coincida coa lei estándar. Estes dous pasos conséguense simultaneamente co seguinte cambio de variable: X −µ Z= σ IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 74. 7. Tipificación da variable. Na seguinte gráfica vemos os dous pasos da tipificación. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2)) f(x)=1/(0.5*sqr(2*pi))*e^((-1/2)*((x-3)^2/0.5^2)) f(x)=1/(0.5*sqr(2*pi))*e^((-1/2)*((x/0.5)^2)) f(x)=0.04 0.05 N(0,0.5) f(x)=0.01x+0.035 f(x)=-0.01x+0.045 x(t)=0.3 , y(t )=t 0.045 f(x)=0.01x+0.017 f(x)=-0.01x+0.023 Centrar: X-μ 0.04 N(3,0.5) 0.035 Reducir a desviación típica a 1 0.03 (X-μ)/σ 0.025 N(0,1) 0.02 0.015 0.01 0.005 x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 75. 7. Tipificación da variable.Exemplo: O peso das troitas dunha piscifactoría segueunha lei N(200,50). Extráese unha ao azar:•Cal é a probabilidade de que o seu peso non exceda os 175 gr?.•Cal é a probabilidade de que o seu peso exceda os 370 gr?.•Cal é a probabilidade de que o seu peso estea comprendido entre 225 e 275 gr?. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 76. 7. Tipificación da variable. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 77. 7. Tipificación da variable. Cal é a probabilidade de que o seu peso non exceda os 175 gr?. A nosa variable aleatoria é X=“peso da troita” que segue unha distribución N(200,50). Pídennos p(X≤175), como dita normal non está tabulada debemos tipificala para poder empregar as táboas da N(0,1). IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 78. 7. Tipificación da variable.  X - 200 175 − 200  p(X ≤ 175) = p ≤  = p( Z ≤ -0,5)  50 50  sendo Z unha variable que segue unha distribución N(0,1) p(Z ≤ -0.5) = p(Z ≥ 0.5) = 1 - p(Z ≤ 0.5) = = 1 - 0.6915 = 0.3085 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 79. 7. Tipificación da variable.Cal é a probabilidade de que o seu peso excedaos 370 gr?.Pídennos p(X>370); tipificamos para poderempregar as táboas da N(0,1).  X - 200 370 - 200   17  p(X > 370) = p >  = p Z > =  50 50   5 = p( Z > 3,4 ) = 1 - p(Z ≤ 3,4) = 1 - 0.9997 = 0.0003 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 80. 7. Tipificación da variable.Cal é a probabilidade de que o seu peso esteacomprendido entre 225 e 275 gr?.Pídennos p(225≤X≤275); tipificamos para poderempregar as táboas da N(0,1).  225 - 200 X − 200 275 − 200  p(225 ≤ X ≤ 275) = p ≤ ≤ =  50 50 50  = p( 0,5 ≤ Z ≤ 1,4 ) = p( Z ≤ 1,4 ) − p( Z ≤ 0.5 ) = 0,9192 − 0,6915 = = 0,2277 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 81. 8. Aproximación da binomial pola normal.Consideremos as seguintes situacións:Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 5 veces”Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas”X segue unha distribución binomial B(5, ½) que ten por media edesviación típica : 1 μ = n ⋅p = 5⋅ = 2,5 2 1 1 σ = n ⋅ p ⋅ q = 5 ⋅ ⋅ = 1,12 2 2Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 10 veces”Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas”X segue unha distribución binomial B(10, ½) que ten por media edesviación típica : μ = n ⋅ p = 10 ⋅ 1 = 5 2 1 1 σ = n ⋅ p ⋅ q = 10 ⋅ ⋅ = 1,58 2 2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 82. 8. Aproximación da binomial pola normal.Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 20 veces”Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas”X segue unha distribución binomial B(20, ½) que ten por media edesviación típica : 1 μ = n ⋅ p = 20 ⋅ = 10 2 1 1 σ = n ⋅ p ⋅ q = 20 ⋅ ⋅ = 2,24 2 2Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 30 veces”Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas”X segue unha distribución binomial B(30, ½) que ten por media edesviación típica : 1 μ = n ⋅ p = 30 ⋅ = 15 2 1 1 σ = n ⋅ p ⋅ q = 30 ⋅ ⋅ = 2,73 2 2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 83. 8. Aproximación da binomial pola normal. y Serie 10.34 Serie 2 B(5,1/2) Se representamos os polígonos de probabilidades Serie 3 Serie 40.32 0.3 destas distribucións obtemos:0.280.26 B(10,1/2)0.240.22 0.20.18 B(20,1/2)0.16 B(30,1/2)0.140.12 0.10.080.060.040.02 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 84. 8. Aproximación da binomial pola normal. Observamos que a medida que aumenta o número de probas, o polígono de probabilidades achégase á curva da distribución normal. Para unha distribución B(n, ½), a media e a desviación típica veñen dadas por: 1 n μ = n ⋅p = n ⋅ = 2 2 1 1 n σ = n ⋅p⋅q = n ⋅ ⋅ = 2 2 4 Cando o nº de probas n aumenta a distribución B(n, ½) achégase a unha distribución normal : n n  N ,  2 4    IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 85. 8. Aproximación da binomial pola normal. De Moivre demostrou que, baixo certas condicións, a distribución binomial B(n,p) se pode aproximar mediante a distribución normal ( N np, npq ) As condicións de aplicabilidade da aproximación de De Moivre son: np≥5 e nq≥5 Nota : Canto maior sexa n e canto máis próximo sexa p a 0,5, tanto mellor será a aproximación realizada. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 86. 8. Aproximación da binomial pola normal.Calculo de probabilidades puntuais. Lembremos que unha distribución binomial corresponde a unha variable aleatoria discreta e, polo tanto, ten sentido calcular probabilidades puntuais. Por outra banda, a distribución normal corresponde a unha variable aleatoria continua e, polo tanto, non ten sentido calcular probabilidades puntuais, pois son todas nulas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 87. 8. Aproximación da binomial pola normal.Como proceder para calcular unha probabilidadenunha distribución binomial cando aproximamos polanormal? Consideraremos os valores da variable aleatoria discreta como marcas de clase de intervalos do seguinte xeito: p( X = a ) = p( a − 0,5 < Y < a + 0,5 ) p( X ≤ a ) = p( Y ≤ a + 0,5 ) p( X < a ) = p( Y ≤ a − 0,5 ) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 88. 8. Aproximación da binomial pola normal. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 89. 8. Aproximación da binomial pola normal.Exemplo:O promedio de acertos notiro á canastra dunxogador de baloncesto édo 73%. Se lanza 200veces:Cal é a probabilidade deque enceste máis de 160lanzamentos?Cal é a probabilidade deque enceste 160 veces? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 90. 8. Aproximación da binomial pola normal. O experimento aleatorio consiste en que o xogador tire 200 veces á canastra. A variable aleatoria, en principio discreta, sería X=“nº de canastras encestadas”. Dita variable aleatoria discreta segue unha distribución binomial B(200, 0,73). O esquema da situación sería: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 91. 8. Aproximación da binomial pola normal. F C F F C C F F F F C C C C C F F F C F F F C F C F C C C C F F F F C C C C F F F F C C C C F F F F C C C C C F F C C F C F F C . . . IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 92. 8. Aproximación da binomial pola normal. F . . . F F C C F C=“conseguir F C F C F canastra” F C C F C C F=“fallar o tiro” F F F C C p(C)=0,73=p F F C C F F p(F)=0,27=q C C F F C n=nº de probas=200 C F F C F C F C C F F C C F C C F F C F F C C C F F C C F C C IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 93. 8. Aproximación da binomial pola normal. Como o número de probas é alto, podemos pensar en aproximar dita binomial a través dunha distribución normal. Vemos que se cumpren as condicións de aplicabilidade da aproximación de De Moivre: n ⋅ p = 200 ⋅ 0,73 = 146 ≥ 5 n ⋅ q = 200 ⋅ 0,27 = 54 ≥ 5 Polo tanto a variable aleatoria discreta X pode aproximarse por unha variable aleatoria continua Y que segue unha distribución normal N(np, npq ) = N( 146 , 6.27 ) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 94. 8. Aproximación da binomial pola normal.Cal é a probabilidade de que enceste máis de160 lanzamentos?.  Y − 146 160,5 − 146  p( X > 160 ) = p( Y ≥ 160,5 ) = p ≥ =  6,27 6,27  = p( Z ≥ 2,31) = 1 − p( Z ≤ 2,31) = 1 − 0,9896 = 0,0104 Sendo Z unha distribución normal N(0,1) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  • 95. 8. Aproximación da binomial pola normal.Cal é a probabilidade de que enceste 160veces? p( X = 160 ) = p( 159,5 ≤ Y ≤ 160,5 ) =  159,5 − 146 Y − 146 160,5 − 146  = p ≤ ≤ =  6,27 6,27 6,27  = p( 2,15 ≤ Z ≤ 2,31) = p( Z ≤ 2,31) − p( Z ≤ 2,15 ) = = 0,9896 − 0,9842 = 0,0054 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.