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Objetivos Gerais   Caracterizar a Geometria Euclidianas    e a não-Euclidiana;   Destacar as diferenças entre a    Geome...
Subtemas da Geometria Euclidiana   O Teorema das Paralelas;    • Definição;    • Teorema das Paralelas;    • Quinto Postu...
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Geometria Euclidiana   O Teorema das Paralelas    • Definição       “Duas retas de um plano são      ditas paralelas quan...
Geometria Euclidiana   Teorema das Paralelas    “Se as retas r e s são paralelas e t é      uma transversal a elas, então...
Geometria Euclidiana   Quinto Postulado de Euclides“Por um ponto fora de uma reta passa     uma única reta paralela a ela.”
Geometria Euclidiana   Demonstração do Teorema das Paralelas                      Hipótese: s//r.                        ...
Geometria Euclidiana   Aplicação    A Geometria Euclidiana é aplicada no    estudo de áreas e ângulos de figuras         ...
Geometria Não-Euclidiana   História da Geometria Não-Euclidiana         Na forma como conhecemos a Geometria, podemosesta...
Geometria Não-Euclidiana   História da Geometria Não-Euclidiana        Por volta de 1820 já se conheciam os principaisteo...
Geometria Não-Euclidiana   História da Geometria Não-Euclidiana       Por mais de dois mil anos os geômetras seocuparam n...
Geometria Não-Euclidiana   Tipos de Geometria Não-Euclidiana    • GEOMETRIA RIEMANNIANAUm espaço com uma métrica da forma...
Geometria Não-Euclidiana   Tipos de Geometria Não-Euclidiana    • GEOMETRIA DESCRITIVA          Método de representar ob...
Geometria Não-Euclidiana   Tipos de Geometria Não-Euclidiana    • GEOMETRIA N-DIMENSIONAL    As primeiras e nebulosas noç...
Geometria Não-Euclidiana   Tipos de Geometria Não-Euclidiana    • GEOMETRIA DIFERENCIAL         A geometria diferencial é...
Geometria Não-Euclidiana   Charada    • Segue-se um exemplo de uma charada      que pode ser resolvida com base na      G...
Geometria Não-Euclidiana   Charada    Podemos pensar o caçador não voltaria ao       ponto de partida e, portanto, que o ...
Geometria Não-Euclidiana   CharadaNão nos podemos esquecer deque a Terra não é umasuperfície plana, mas curva.Assim a sol...
Geometria Não-Euclidiana   Charada    E o Urso? Como a história decorre no Pólo     Norte, só pode ser um Urso Polar e, p...
Geometria Não-Euclidiana   Aplicações    • Na Saúde: os tratamentos e procedimentos      nas terapias respiratórias (pulm...
Bibliografia   Tinoco,L. Geometria Euclidiana Por Meio    da Resolução de Problemas. Instituto de    Matemática/UFRJ – Pr...
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O quinto postulado de euclides e as geometrias

  1. 1. Projeto: O Quinto Postulado deEuclides e as Geometrias não-Euclidianas Geraldo José Gomes Glorinha Jéssica Professor: Renato Aquino Seropédica Dezembro de 2011
  2. 2. Objetivos Gerais Caracterizar a Geometria Euclidianas e a não-Euclidiana; Destacar as diferenças entre a Geometria Plana e a Geometria Não Plana; Citar aplicações da Geometria Euclidianas e da não-Euclidiana.
  3. 3. Subtemas da Geometria Euclidiana O Teorema das Paralelas; • Definição; • Teorema das Paralelas; • Quinto Postulado de Euclides; • Demonstração do Teorema das Paralelas; • Aplicações.
  4. 4. Subtemas da Geometria Não- Euclidiana História da Geometria Não- Euclidiana; Tipos de Geometria Não-Euclidiana; Charada; Aplicação.
  5. 5. Geometria Euclidiana O Teorema das Paralelas • Definição “Duas retas de um plano são ditas paralelas quando não têm ponto em comum”
  6. 6. Geometria Euclidiana Teorema das Paralelas “Se as retas r e s são paralelas e t é uma transversal a elas, então os ângulos  e  são iguais.”
  7. 7. Geometria Euclidiana Quinto Postulado de Euclides“Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela a ela.”
  8. 8. Geometria Euclidiana Demonstração do Teorema das Paralelas Hipótese: s//r. Tese: =. Supondo, por absurdo, que , pode-se construir uma reta p, contendo o ponto B e fazendo com t um ângulo ’, igual a . Pela recíproca: p//s, temos que por B há duas retas, r e p, paralelas a s, o que contraria o Postulado da Paralelas (Quinto Postulado de Euclides). Logo =.
  9. 9. Geometria Euclidiana Aplicação A Geometria Euclidiana é aplicada no estudo de áreas e ângulos de figuras geométricas.
  10. 10. Geometria Não-Euclidiana História da Geometria Não-Euclidiana Na forma como conhecemos a Geometria, podemosestabelecer seu ponto inicial na Grécia, por volta de 300a.C, quandoEuclides escreveu “Os Elementos”. Nesse tempo a Geometria quechamamos de Geometria Euclidiana estava totalmente desenvolvida. Começaram ocorrer vários questionamentos sobre essageometria euclidiana, o que levou muitos matemáticos estudaremsobre o assunto. Isso gerou um grande acontecimento na história damatemática que foi a descoberta das geometrias não euclidianas, oque aconteceu por volta da primeira metade do século XIX. Estadescoberta poderia ter acontecido séculos antes senão existissem ospreconceitos de que a geometria euclidiana era a única possível eque era a geometria do universo. Um preconceito tão forte queimpediu Gauss de publicar os próprios achados sobre o assunto.Assim a descoberta dessas novas geometrias representam umavitória contra uma concepção euclidiana do mundo.
  11. 11. Geometria Não-Euclidiana História da Geometria Não-Euclidiana Por volta de 1820 já se conheciam os principaisteoremas da geometria não-euclidiana, nome dado por Gauss.Gauss não publicou suas conclusões e em 1829 Lobachevsky eem 1832 Johann Bolyai publicaram seus trabalhosindependentes sobre o assunto. A razão pela qual Gauss manteve em segredo suasdescobertas, foi o fato de que a filosofia de Kant dominava aAlemanha da época e seus dogmas eram que as idéias dageometria euclidiana eram as únicas possíveis. Gauss sabiaque essa idéia era totalmente falsa, mas para não entrar emconflito com os filósofos da época resolveu manter-se emsilêncio. Em 1829 ele escreveu o seguinte para Bessel: “Não ireidedicar muitos de meus esforços para escrever algo publicávelsobre esse assunto (fundamentos da geometria), pois tenhohorror aos gritos histéricos que ouviríamos dos beócios se eutornasse claro meus pensamentos sobre o assunto.”
  12. 12. Geometria Não-Euclidiana História da Geometria Não-Euclidiana Por mais de dois mil anos os geômetras seocuparam nas tentativas de provar o postulado dasparalelas como um teorema a partir dos restantes,nove axiomas e postulados, o que culminou emalguns dos desenvolvimentos de maior alcance damatemática moderna. Das muitas demonstraçõesdadas a este postulado foi provado que cada umadelas se baseava numa suposição tática equivalentea ele.
  13. 13. Geometria Não-Euclidiana Tipos de Geometria Não-Euclidiana • GEOMETRIA RIEMANNIANAUm espaço com uma métrica da forma onde os são constantes ou funções de x, y e z, é conhecido agora como espaço de Riemann e a geometria desse espaço como geometria Riemanniana.
  14. 14. Geometria Não-Euclidiana Tipos de Geometria Não-Euclidiana • GEOMETRIA DESCRITIVA  Método de representar objetos tridimensionais por meio de projeções convenientes sobre um plano bidimensional, segredo absoluto. Tornou-se a geometria descritiva; • GEOMETRIA PROJETIVA  Desargues, Monge e Carnot iniciaram o estudo da Geometria projetiva, mas quem a desenvolveu foi Jean Victor Poncelet.  Quando a Geometria Projetiva se utiliza de elementos ideais no infinito, há uma simetria notável entre pontos e retas.
  15. 15. Geometria Não-Euclidiana Tipos de Geometria Não-Euclidiana • GEOMETRIA N-DIMENSIONAL As primeiras e nebulosas noções de um hiperespaço n – dimensional (n>3) em pontos se perdem na obscuridade do passado e se confundem com considerações metafísicas. O primeiro artigo publicado que lidava explicitamente com geometria pontual de dimensão superior foi escrito por Arthur Cayley (1821 – 1895) em 1843, depois do qual o assunto recebeu a atenção dos matemáticos ingleses, J.J. Sylvester (1814 – 1897) e W. K. Clifford (1809 – 1887).O pioneirismo do trabalho feito por H.G. Grassmann (1809 – 1877) e Ludwig Schläfli (1814 – 1895) em geometria em dimensão superior, na Europa Continental, por algum tempo não chamou a atenção.
  16. 16. Geometria Não-Euclidiana Tipos de Geometria Não-Euclidiana • GEOMETRIA DIFERENCIAL A geometria diferencial é o estudo das propriedades das curvas e superfícies, e suas generalizações, por meio do cálculo. Na maior parte dos casos, a geometria diferencial investiga curvas e superfícies nas vizinhanças imediatas de qualquer de seus pontos. Conhece-se esse aspecto da geometria diferencial como geometria diferencial local. Porém, há às vezes propriedades da estrutura total de uma figura geométrica que decorrem de certas propriedades locais que a figura apresenta em cada um de seus pontos. Isso leva ao que se chama de geometria integral ou geometria diferencial global.
  17. 17. Geometria Não-Euclidiana Charada • Segue-se um exemplo de uma charada que pode ser resolvida com base na Geometria Não Euclidiana:  Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 Km para Sul, 10 Km para Leste e 10 Km para Norte, voltando assim ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso. Qual a Cor do Urso?
  18. 18. Geometria Não-Euclidiana Charada Podemos pensar o caçador não voltaria ao ponto de partida e, portanto, que o problema não tem solução:
  19. 19. Geometria Não-Euclidiana CharadaNão nos podemos esquecer deque a Terra não é umasuperfície plana, mas curva.Assim a solução é: Andando 10Km segundo aquelas 3 direçõesperpendiculares, o caçador sóvoltará ao ponto de partida seiniciar a sua caminhada no PóloNorte.
  20. 20. Geometria Não-Euclidiana Charada E o Urso? Como a história decorre no Pólo Norte, só pode ser um Urso Polar e, por isso um urso branco.
  21. 21. Geometria Não-Euclidiana Aplicações • Na Saúde: os tratamentos e procedimentos nas terapias respiratórias (pulmões), terapias cardíacas (coração) e terapias renais, usam volumes de fluídos. • Na Agricultura: a fim de determinar o volume de silos ou depósitos de armazenamento – para grãos, feno, palha, etc.
  22. 22. Bibliografia Tinoco,L. Geometria Euclidiana Por Meio da Resolução de Problemas. Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto Fundão. 3º ed. Rio de Janeiro, 2011. http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opomb o/seminario/alice/geometria_ne.htm http://educacaomatematica.vilabol.uol.co m.br/histmat/introducao.htm

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