Projeto: O Quinto Postulado de Euclides e as Geometrias não-Euclidianas Geraldo José Gomes Glorinha Jéssica Professor: Ren...
Objetivos Gerais <ul><li>Caracterizar a Geometria Euclidianas e a não-Euclidiana; </li></ul><ul><li>Destacar as diferenças...
Subtemas da Geometria Euclidiana <ul><li>O Teorema das Paralelas; </li></ul><ul><ul><li>Definição; </li></ul></ul><ul><ul>...
Subtemas da Geometria Não-Euclidiana <ul><li>História da Geometria Não-Euclidiana; </li></ul><ul><li>Tipos de Geometria Nã...
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Geometria Euclidiana <ul><li>Aplicação </li></ul><ul><li>A Geometria Euclidiana é aplicada no estudo de áreas e ângulos de...
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Geometria Não-Euclidiana <ul><li>História da Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><li>Por volta de 1820 já se conheciam ...
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Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada   </li></ul><ul><ul><li>Segue-se um exemplo de uma charada que pode ser resolvida...
Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada   </li></ul><ul><li>Podemos pensar o caçador não voltaria ao ponto de partida e, ...
Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada   </li></ul><ul><li>Não nos podemos esquecer de que a Terra não é uma superfície ...
Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada   </li></ul><ul><ul><li>E o Urso? Como a história decorre no Pólo Norte, só pode ...
Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Aplicações </li></ul><ul><ul><li>Na Saúde:  os tratamentos e procedimentos nas terapias r...
Bibliografia <ul><li>Tinoco,L.  Geometria Euclidiana Por Meio da Resolução de Problemas . Instituto de Matemática/UFRJ – P...
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O quinto postulado de euclides e as geometrias

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  1. 1. Projeto: O Quinto Postulado de Euclides e as Geometrias não-Euclidianas Geraldo José Gomes Glorinha Jéssica Professor: Renato Aquino Seropédica Dezembro de 2011
  2. 2. Objetivos Gerais <ul><li>Caracterizar a Geometria Euclidianas e a não-Euclidiana; </li></ul><ul><li>Destacar as diferenças entre a Geometria Plana e a Geometria Não Plana; </li></ul><ul><li>Citar aplicações da Geometria Euclidianas e da não-Euclidiana. </li></ul>
  3. 3. Subtemas da Geometria Euclidiana <ul><li>O Teorema das Paralelas; </li></ul><ul><ul><li>Definição; </li></ul></ul><ul><ul><li>Teorema das Paralelas; </li></ul></ul><ul><ul><li>Quinto Postulado de Euclides; </li></ul></ul><ul><ul><li>Demonstração do Teorema das Paralelas; </li></ul></ul><ul><ul><li>Aplicações. </li></ul></ul>
  4. 4. Subtemas da Geometria Não-Euclidiana <ul><li>História da Geometria Não-Euclidiana; </li></ul><ul><li>Tipos de Geometria Não-Euclidiana; </li></ul><ul><li>Charada; </li></ul><ul><li>Aplicação. </li></ul>
  5. 5. Geometria Euclidiana <ul><li>O Teorema das Paralelas </li></ul><ul><ul><li>Definição </li></ul></ul>“ Duas retas de um plano são ditas paralelas quando não têm ponto em comum”
  6. 6. Geometria Euclidiana <ul><li>Teorema das Paralelas </li></ul><ul><li>“Se as retas r e s são paralelas e t é uma transversal a elas, então os ângulos  e  são iguais.” </li></ul>
  7. 7. Geometria Euclidiana <ul><li>Quinto Postulado de Euclides </li></ul><ul><li>“ Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela a ela.” </li></ul>
  8. 8. Geometria Euclidiana <ul><li>Demonstração do Teorema das Paralelas </li></ul><ul><ul><li>Hipótese: s//r. </li></ul></ul><ul><ul><li>Tese:  =  . </li></ul></ul><ul><ul><li>Supondo, por absurdo, que  , pode-se construir uma reta p , contendo o ponto B e fazendo com t um ângulo  ’, igual a  . Pela recíproca: p // s , temos que por B há duas retas, r e p , paralelas a s , o que contraria o Postulado da Paralelas (Quinto Postulado de Euclides). Logo  =  . </li></ul></ul>
  9. 9. Geometria Euclidiana <ul><li>Aplicação </li></ul><ul><li>A Geometria Euclidiana é aplicada no estudo de áreas e ângulos de figuras geométricas. </li></ul>
  10. 10. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>História da Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><li>Na forma como conhecemos a Geometria, podemos estabelecer seu ponto inicial na Grécia, por volta de 300a.C, quando Euclides escreveu “Os Elementos”. Nesse tempo a Geometria que chamamos de Geometria Euclidiana estava totalmente desenvolvida. </li></ul><ul><li>Começaram ocorrer vários questionamentos sobre essa geometria euclidiana, o que levou muitos matemáticos estudarem sobre o assunto. Isso gerou um grande acontecimento na história da matemática que foi a descoberta das geometrias não euclidianas, o que aconteceu por volta da primeira metade do século XIX. Esta descoberta poderia ter acontecido séculos antes senão existissem os preconceitos de que a geometria euclidiana era a única possível e que era a geometria do universo. Um preconceito tão forte que impediu Gauss de publicar os próprios achados sobre o assunto. Assim a descoberta dessas novas geometrias representam uma vitória contra uma concepção euclidiana do mundo. </li></ul>
  11. 11. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>História da Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><li>Por volta de 1820 já se conheciam os principais teoremas da geometria não-euclidiana, nome dado por Gauss. Gauss não publicou suas conclusões e em 1829 Lobachevsky e em 1832 Johann Bolyai publicaram seus trabalhos independentes sobre o assunto. </li></ul><ul><li>A razão pela qual Gauss manteve em segredo suas descobertas, foi o fato de que a filosofia de Kant dominava a Alemanha da época e seus dogmas eram que as idéias da geometria euclidiana eram as únicas possíveis. Gauss sabia que essa idéia era totalmente falsa, mas para não entrar em conflito com os filósofos da época resolveu manter-se em silêncio. </li></ul><ul><li>Em 1829 ele escreveu o seguinte para Bessel: “Não irei dedicar muitos de meus esforços para escrever algo publicável sobre esse assunto (fundamentos da geometria), pois tenho horror aos gritos histéricos que ouviríamos dos beócios se eu tornasse claro meus pensamentos sobre o assunto.” </li></ul>
  12. 12. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>História da Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><li>Por mais de dois mil anos os geômetras se ocuparam nas tentativas de provar o postulado das paralelas como um teorema a partir dos restantes, nove axiomas e postulados, o que culminou em alguns dos desenvolvimentos de maior alcance da matemática moderna. Das muitas demonstrações dadas a este postulado foi provado que cada uma delas se baseava numa suposição tática equivalente a ele. </li></ul>
  13. 13. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Tipos de Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><ul><li>GEOMETRIA RIEMANNIANA </li></ul></ul><ul><li>Um espaço com uma métrica da forma </li></ul><ul><li>onde os são constantes ou funções de x, y e z, é conhecido agora como espaço de Riemann e a geometria desse espaço como geometria Riemanniana. </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Tipos de Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><ul><li>GEOMETRIA DESCRITIVA </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Método de representar objetos tridimensionais por meio de projeções convenientes sobre um plano bidimensional, segredo absoluto. Tornou-se a geometria descritiva; </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>GEOMETRIA PROJETIVA </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Desargues, Monge e Carnot iniciaram o estudo da Geometria projetiva, mas quem a desenvolveu foi Jean Victor Poncelet. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Quando a Geometria Projetiva se utiliza de elementos ideais no infinito, há uma simetria notável entre pontos e retas. </li></ul></ul></ul>Geometria Não-Euclidiana
  15. 15. <ul><li>Tipos de Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><ul><li>GEOMETRIA N-DIMENSIONAL </li></ul></ul><ul><li>As primeiras e nebulosas noções de um hiperespaço n – dimensional (n>3) em pontos se perdem na obscuridade do passado e se confundem com considerações metafísicas. O primeiro artigo publicado que lidava explicitamente com geometria pontual de dimensão superior foi escrito por Arthur Cayley (1821 – 1895) em 1843, depois do qual o assunto recebeu a atenção dos matemáticos ingleses, J.J. Sylvester (1814 – 1897) e W. K. Clifford (1809 – 1887).O pioneirismo do trabalho feito por H.G. Grassmann (1809 – 1877) e Ludwig Schläfli (1814 – 1895) em geometria em dimensão superior, na Europa Continental, por algum tempo não chamou a atenção. </li></ul>Geometria Não-Euclidiana
  16. 16. <ul><li>Tipos de Geometria Não-Euclidiana </li></ul><ul><ul><li>GEOMETRIA DIFERENCIAL </li></ul></ul><ul><li>A geometria diferencial é o estudo das propriedades das curvas e superfícies, e suas generalizações, por meio do cálculo. Na maior parte dos casos, a geometria diferencial investiga curvas e superfícies nas vizinhanças imediatas de qualquer de seus pontos. Conhece-se esse aspecto da geometria diferencial como geometria diferencial local. Porém, há às vezes propriedades da estrutura total de uma figura geométrica que decorrem de certas propriedades locais que a figura apresenta em cada um de seus pontos. Isso leva ao que se chama de geometria integral ou geometria diferencial global. </li></ul>Geometria Não-Euclidiana
  17. 17. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada </li></ul><ul><ul><li>Segue-se um exemplo de uma charada que pode ser resolvida com base na Geometria Não Euclidiana:  </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 Km para Sul, 10 Km para Leste e 10 Km para Norte, voltando assim ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Qual a Cor do Urso? </li></ul></ul></ul>
  18. 18. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada </li></ul><ul><li>Podemos pensar o caçador não voltaria ao ponto de partida e, portanto, que o problema não tem solução: </li></ul>
  19. 19. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada </li></ul><ul><li>Não nos podemos esquecer de que a Terra não é uma superfície plana, mas curva. </li></ul><ul><li>Assim a solução é: Andando 10 Km segundo aquelas 3 direções perpendiculares, o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no Pólo Norte. </li></ul>
  20. 20. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Charada </li></ul><ul><ul><li>E o Urso? Como a história decorre no Pólo Norte, só pode ser um Urso Polar e, por isso um urso branco. </li></ul></ul>
  21. 21. Geometria Não-Euclidiana <ul><li>Aplicações </li></ul><ul><ul><li>Na Saúde: os tratamentos e procedimentos nas terapias respiratórias (pulmões), terapias cardíacas (coração) e terapias renais, usam volumes de fluídos. </li></ul></ul><ul><ul><li>Na Agricultura: a fim de determinar o volume de silos ou depósitos de armazenamento – para grãos, feno, palha, etc. </li></ul></ul>
  22. 22. Bibliografia <ul><li>Tinoco,L. Geometria Euclidiana Por Meio da Resolução de Problemas . Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto Fundão. 3 º ed. Rio de Janeiro, 2011. </li></ul><ul><li>http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/alice/geometria_ne.htm </li></ul><ul><li>http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/introducao.htm </li></ul>

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