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  • 1. FÍSICA I
  • 2. Bloque IINTRODUCCIÓN A LA FÍSICADpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria- Aspectos fundamentales- Vectores
  • 3. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 4. Tema 1. Concepto de Física.Sistemas de medida.Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 5. 1 Concepto de Física2 MediciónContenidos3 Errores en la medida4 Error de una magnitud experimental5 Propagación de errores6 Cifras significativas
  • 6. Ciencia que estudia los componentes fundamentalesde la materia y sus interacciones.1 Concepto de Física- Trata de ofrecer una modelización matemática- Se basa en la observación y la experimentaciónAporta a la ingeniería- Marco conceptual- Técnicas y avances
  • 7. Medir significa comparar con un patrón o unidad2 Medición¿Se necesita una unidad para cada magnitud?La definición de una magnitud debe incluir cómo medirlaEn Mecánica basta conMasa kgLongitud mTiempo sSI
  • 8. Ecuación de dimensionesUn alumno duda entre dos expresiones para la fuerza centrífuga:¿Cuál es dimensionalmente incorrecta?Demostrar que a todas estas formas de expresar una energía lescorresponde la misma ecuación dimensional.Ej.Ej.RmFRvmF 22ω==221vmEc =Energía potencial gravitatoriaEnergía cinéticaTrabajo termodinámicohgmEp =VpW =
  • 9. Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir3 Errores en la medidaError: diferencia entre la medida y el valor verdaderoToda medida implica cierta incertidumbreIncertidumbre: estimación del errorError estadístico: fluctúa en una serie de medidasprecisiónError sistemático: fijo en una serie de medidas exactituddesconocido
  • 10. Fluctuaciones:4 Error de una magnitud medida experimentalmenteValor verdadero:Una medida: error del instrumentoResultado:Varias medidas:insx∆nxxnii∑== 1( )∑=−−=nii xxns1211Error: ( )∑=−−==∆nii xxnnnsx12exp)1(12ins2exp xxx ∆+∆=∆xx ∆±Estimación
  • 11. Error de una magnitud medida experimentalmenteSe mide la masa de un objeto:Masa (g) 125 124 123 125 126 122Ej. Precisión balanza: 1 gEstimar la masa con su error absoluto y relativo.
  • 12. 1,71,751,81,850 5 10 15 20TemperaturaResistividad(10-8Ωm)ρx∆z∆5 Propagación de erroresMagnitud obtenida de una gráficaMedidas indirectasAjuste por mínimos cuadradosy = mx + cy = 326,97x - 0,2153R2= 0,99110246810120 0,01 0,02 0,03 0,04i (Amperios)V(voltios)zzfyyfxxff ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆2minmax zzz−=∆
  • 13. Propagación de erroresSe mide el lado de una superficie cuadrada. Estimar el valor de lasuperficie con su error.llllSS ∆=∆∂∂=∆ 2SMAX = (l+∆l)2∆S= (SMAX- Smin)/2=2 l ∆lSmin = (l-∆l)2S = l2l+∆ll-∆lll ∆l
  • 14. Propagación de erroresSe mide el lado de una superficie cuadrada con una cinta métricacuya precisión es de 1 cm. El valor de la medida es 1 m. Estimar elvalor de la superficie con su error.l = 1.00 ± 0.01 mS = l2= 1 m2SMAX = (l+∆l)2= 1.012= 1.02 m2Smin = (l-∆l)2= 0.992= 0.98 m2∆S= (SMAX- Smin)/2 = 0.02 mS = 1.00 ± 0.02 m2m02.02 =∆=∆∂∂=∆ llllSS
  • 15. 1,71,751,81,850 5 10 15 20TemperaturaResistividad(10-8Ωm)ρx∆z∆Propagación de erroresMagnitud obtenida de una gráficaMedidas indirectasAjuste por mínimos cuadradosy = mx + cy = 326,97x - 0,2153R2= 0,99110246810120 0,01 0,02 0,03 0,04i (Amperios)V(voltios)zzfyyfxxff ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆2minmax zzz−=∆ +−−=∆−=−−=∆= 222222121xnDDEDFncxmycDEDFnmDEm( ) ( )2222 11111∑∑∑∑∑∑∑∑∑ −=−=−=== iiiiiiiiii ynyFyxnyxExnxDynyxnxcon:
  • 16. Propagación de erroresEstimar la aceleración del objeto del ej. anterior, con su error, para F = 2 N.Ej.05101520100 105 110 115 120 125 130 135 140masa (g)aceleración(ms-2)F=0,5 NF=1 NF=1,5 NF=2 N
  • 17. Propagación de erroresSe miden la masa y velocidad de un objeto:Masa (g) 125 124 123 125 126 122Ej.Estimar la energía cinética con su error absoluto y relativo.Precisión balanza: 1 gVelocidad (m/s) 3.23 3.21 3.21 3.19 3.27 3.24 3.17 3.21Determinar la fuente de error más importante para la Ecin.Precisión velocímetro: 0.01 m/s
  • 18. Propagación de erroresExperimento: ley de Hooke para un muelle F = k ∆lEj.Fuerza (N) Alargamiento (cm)1.00 ± 0.01 1.2 ± 0.11.50 ± 0.01 1.9 ± 0.12.00 ± 0.01 2.3 ± 0.12.50 ± 0.01 3.0 ± 0.13.00 ± 0.01 3.5 ± 0.13.50 ± 0.01 4.3 ± 0.1Representar los datos del experimento F(∆l).Obtener la constante k, con su error por mínimos cuadrados.
  • 19. 6 Cifras significativasSon los dígitos de una medición que se conocen con certeza másuno o dos dígitos inciertos.Números contados: no están sujetos a error (salvo condiciones muy complicadas)Números definidos: no están sujetos a error.Regla 1. En números sin ceros, todos los dígitos son significativos.Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos.Regla 3. Los ceros a la izquierda no son significativos.Regla 4. Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos.Regla 5. Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser significativos.Se evitan confusiones en notación científica.Reglas de redondeo
  • 20. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 21. Tema 2. Estructura de la materia´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 22. 1 Partículas elementales2 ÁtomosContenidos3 Moléculas4 Estados de la materia5 Interacciones fundamentales
  • 23. Partículas que forman la materia (no se pueden dividir con los medios actuales)1 Partículas elementalesLeptones: electrones, neutrinos, muonesQuarks: forman los protones, neutrones, mesones (hadrones)+ partículas de intercambio (fotón, W y Z, gluones)+ bosón de Higgs (origen de la masa)Las más importantes para la estructura de la materia son:electrones, protones y neutrones+ antipartículas
  • 24. Fuerza electromagnéticaNeutrones, electrones y protones se combinan para formar átomos.2 ÁtomosCorteza de electrones: carga negativa, 10-10mÁtomo: unidad menor de unelemento químico que conserva suspropiedades.Núcleo: carga positiva, 10-15m, casi toda la masa (fuerza fuerte)Cada elemento se caracteriza por su número de protones.
  • 25. Los átomos suelen agruparse en moléculas (o redes).3 MoléculasLos electrones externos se mueven entre los distintos núcleos.CO2CH4H2ONH3 ADN
  • 26. 4 Estados de la materiaLíquido: las distancias intermoleculares son similares a los sólidosLos enlaces se crean y destruyen >> Volumen casi constanteGas: las distancias intermoleculares son mayores y las fuerzas menoresNo conservan forma ni volumenPlasma: partículas positivas y negativas desligadasSólido: los átomos se sitúan en posiciones fijas de una red periódica 10-10mForma y volumen casi constantes
  • 27. 5 Interacciones fundamentalesInteracción IntensidadrelativaAlcance Propiedad BosónmediadorFenómenosGravitatoria 10-38∞ masa ¿Gravitón? Galaxias…planetasNuclearfuerte1 10-15m carga color gluón Estabilidad delnucleoNuclear débil 10-1410-18m carga débil bosón débil DesintegraciónradiactivaElectro-magnética10-2∞ carga eléctrica fotón Átomos…materia
  • 28. Interacciones fundamentalesLa interacción gravitatoria entre un electrón y un protón es despreciablefrente a su interacción electromagnética. Sin embargo, el movimiento de laLuna alrededor de la Tierra (ambas formadas esencialmente por protonesy electrones) se describe utilizando la interacción gravitatoria.¿Por qué no se considera la interacción electromagnética?¿Y por qué se desprecia la fuerza nuclear fuerte entre sus protones?¿Por qué los protones del núcleo de los átomos no se separan si soncargas positivas que se repelen?Ej.Ej.
  • 29. Interacciones fundamentalesSea un átomo de hidrógeno formado por un protón y un electrón.¿Sigue siendo hidrógeno si se le quita el electrón?¿Y si en lugar de uno tiene dos electrones?¿Y si tiene un protón, un neutrón y un electrón?¿Y dos protones, un neutrón y un electrón?¿Y dos neutrones y un protón?Sean dos cuerpos cuya estructura interna se muestra en la figura.¿Cuál de ellos será anisótropo?Ej.Ej.
  • 30. ResumenCuerpoinhomogéneoQuarksNúcleoÁtomoMoléculasRegiónhomogéneaFuerza electromagnéticaFuerza gravitatoria Fuerza fuerteFuerza débilUniverso
  • 31. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 32. Tema 3. Vectores´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 33. 1 Componentes de un vector2 Suma de vectoresContenidos3 Productos con vectores4 Momento de un vector respecto a un punto5 Derivación e integración de vectores6 Operadores diferenciales7 Coordenadas polares
  • 34. Vectores: representan magnitudes físicas que requierenmódulo y dirección.1 Componentes de un vectorRepresentación:YkOiXZvxjvzvyvzγkvjvivv zyx++=( )zyx vvvv ,,=( )γβα cos,cos,cosvv=ComponentesVectoresunitariosCosenosdirectores
  • 35. Componentes de un vectorUn barco recorre 5 millas hacia el este, luego 4 millas hacia el sury por último, 2 millas hacia el oeste.Hallar la magnitud y dirección del desplazamiento resultante.Ej.
  • 36. 2 Suma de vectoresGráficamente:( )21212121 ,, zzyyxx vvvvvvvvv +++=+=v1v2v1 + v2v1v2v1 + v21221 vvvv+=+Propiedades:( ) ( )321321 vvvvvv++=++ConmutativaAsociativa
  • 37. Resta de vectoresGráficamente:( ) ( )2121212121 ,, zzyyxx vvvvvvvvvvv −−−=−+=−=v1v2- v2v1v2v1 - v2v1v2v1 - v2v1 - v2 - v2
  • 38. Suma de vectoresUn barco recorre 5 millas hacia el este, luego 4 millas hacia el sury por último, 2 millas hacia el oeste.Hallar la magnitud y dirección del desplazamiento resultante.Ej.La suma de dos vectores A y B es un vector C de módulo 24 ycuyos cosenos directores son 1/3, -2/3, 2/3.El vector 3A-2B tiene por componentes 7,9,3.Calcular las componentes de los vectores A y B.Ej.
  • 39. áreasen2121 ==∧ αvvvv3 Productos con vectoresProducto de un vector por un escalar:( )zyx vnvnvnvvvvn ++=+++= ...2121212121 cos zzyyxx vvvvvvvvvv ++==⋅ αvvvProducto escalar de vectoresv1v2αProducto vectorial de vectoresv1v2α21 vv∧Dirección v1 y v2⊥MóduloSentido: regla tornillo21 vv∧222111zyxzyxvvvvvvkji=
  • 40. Productos con vectoresProducto mixto( )333222111321zyxzyxzyxvvvvvvvvvvvv =∧⋅v2v3v1= volumen del paralelepípedo
  • 41. Productos con vectoresEj. Hállese el ángulo que forman los vectores:Los cosenos directores de un vector unitario A cumplen:Calcular el producto vectorial de este vector por elEj.kjiBkjiA543543−+=++=43coscos32coscos==γββα( )kjiB++= 29
  • 42. 4 Momento de un vector respecto a un puntoMomento de respecto a O vrvvM∧=∧= OPOvdvvrvM== αsenOrvMvvM⊥⊥OOdirecciónOvMOr vP
  • 43. En el punto P(2, 3, 2) se aplican los vectoresCalcular el momento del sistema respecto al punto A(-1, 0, 2).Momento de un vector respecto a un puntoEj.( )( )2,3,11,3,221−=−=vv
  • 44. 5 Derivación e integración vectorialttvttvtvtvtt ∆−∆+=∆∆=→∆→∆)()(limlimdd00Cordenadas cartesianas:)(tv)( ttv ∆+v∆=tvtvtvtv zyxdd,dd,ddddPropiedadestssvtvdddddd=( )tvtvtvvdddddd 2121+=+( )tvavtatvadddddd+=cteddvvtv ⊥( )tvvvtvtvvdddddd 212121⋅+⋅=⋅( )tvvvtvtvvdddddd 212121∧+∧=∧
  • 45. Integración vectorial∫∫ ∫∑∫ ++=∆=→∆itvitvitvttvtv zyxitddd)(limd0
  • 46. Derivación e integración vectorialDado el vector (1,-2, 3), aplicado en el punto (3t, 2, gt2)Calcular (O es el origen):Dados los vectores:Calcular:Ej.Ej.AMtOddBABAt⋅∧ddAkjiBktjtitA++=+−= 22
  • 47. 6 Operadores diferencialeskzjyix∂∂+∂∂+∂∂=∇GradienteDivergenciaRotacionalkzjyix∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφzvyvxvv zyx∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇zyx vvvzyxkjiv∂∂∂∂∂∂=∧∇
  • 48. 7 Coordenadas polaresjiujiurϕϕϕϕϕ cossensencos+−=+=ϕϕϕϕϕϕuujuuirrcossensencos+=−=uryxP(r,ϕ)rϕuϕOϕϕsencosryrx==xyyxrarctan22=+=ϕ
  • 49. Bloque IIMECÁNICADpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria- Cinemática- Dinámica- Energía- Fluidos- Oscilaciones
  • 50. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 51. Tema 4. CinemáticaDpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 52. 1 Reposo y movimiento2 VelocidadContenidos3 Aceleración4 Componentes intrínsecas de la aceleración5 Estudio de algunos movimientos especiales7 Velocidad radial y transversal6 Movimiento circular
  • 53. MecánicaÁrea de la Física que estudia cómo las interacciones entreobjetos afectan a su movimiento.CinemáticaDescripción del movimiento.Aproximación: Objetos Masas puntuales
  • 54. Son conceptos relativos: dependen del sistema de referencia. Sistema de referencia: objeto material al que asociamos unosejes de coordenadas + origen de tiempos.1 Reposo y movimientoVector de posición: vector queune el origen del sistema decoordenadas con el móvil.kOiXYZ P(x,y,z)y xjrz
  • 55. La velocidad describe la trayectoria.2 VelocidadVelocidad media:ttrttrtrvt ∆−∆+==→∆)()(ddlim0ttrttrv∆−∆+=)()(∆rXYZr’r∆s
  • 56. Dos ciclistas avanzan por un terreno llano a 36 km/h.El segundo pasa por una meta volante 1 minuto después del primero.¿Qué distancia les separa en ese instante?Unos kilómetros más adelante, comienzan a subir un puerto de 18 km.El primer ciclista sube todo el puerto a 18 km/h.El segundo sube los primeros 9 km del puerto también a 18 km/h.¿Cuánto tiempo después que el primer ciclista llega a mitad del puerto?¿Qué distancia les separa en esa situación?¿A qué velocidad ha de subir el perseguidor la segunda mitad del puertopara alcanzar al escapado?VelocidadEj.
  • 57. Un socorrista en A ve a un bañista en apuros en B.El socorrista puede correr por la arena a 25 km/h y nadar a 10 km/h.Calcular la trayectoria para llegar de A hasta B en el menor tiempo.(Nota: para resolver la ecuación se puede utilizar por ejemplo una hoja de cálculo).Si hubiera corriente, discutir su efecto sobre el resultado.VelocidadAB60 m80 m50 mEj.Sol.
  • 58. Las ciudades A y B distan 60 km.Un coche realiza los primeros 30 km a 40 km/h.Calcular la velocidad a la que debe cubrir los restantes 30 km para que lavelocidad media en el trayecto total A-B sea de 60 km/h.VelocidadA B60 km30 km40 km/hEj.Las ciudades A y B distan 100 km. Un coche va de A hasta B a 50 km/h.¿A qué velocidad debe regresar desde B hasta A para que la velocidadmedia en el trayecto total (A-B-A) sea de 100 km/h?Ej.
  • 59. No es en general tangente ni perpendicular a latrayectoria.Siempre apunta hacia el lado cóncavo.3 Aceleraciónttvttvtvat ∆−∆+==→∆)()(ddlim0∆vXYZv’vav’v
  • 60. at Aceleración tangencial: cambios en lamagnitud de la velocidad4 Componentes intrínsecas de la aceleraciónntnntt uvutvuauaaρ2dd+=+=an Aceleración normal: cambios de direcciónaTvaaN
  • 61. Componentes intrínsecas de la aceleración∆θvv’R∆sCtangentenormalvv’∆v∆θ
  • 62. 5 Estudio de algunos movimientos particulares• Movimiento rectilíneo uniforme• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado• Movimiento con aceleración constanteEl movimiento se produce en un planoLa trayectoria es una parábola• Movimiento con aceleración variable: métodosnuméricos20021attvxx ++=tvxx 00 +=atvv += 020021tatvrr++= tavv+= 0
  • 63. Estudio de algunos movimientos particularesUn ascensor sube a la velocidad constante de 7 m/s.Cuando arranca, se deja caer un grave desde 60 m.¿Dónde y cuando se encuentran ambos móviles?Ej.Ej. 4.660 mEj. Se lanza un cuerpo B horizontalmente a 4 m/s.Al mismo tiempo, se lanza A hacia arriba a 20 m/s.La distancia horizontal inicial es 4 m.¿A qué altura y en qué instante se encontrarán?Hallar la velocidad de cada uno de los cuerpos.AB20 m/s4 m/s4 m
  • 64. Estudio de algunos movimientos particularesComentar la posible veracidad del siguiente texto y analizar laexplicación que se presenta.Ej.El piloto que cayó desde su avión... y volvió a subirse en él (1917)Hasta 1918 los pilotos de combate no comenzaron a llevar paracaídas. Por un lado, muchos eran jóvenestemerarios que se negaban a usarlos por temor a ser considerados cobardes. Y por otro lado, los altosmandos también opinaban que al utilizarlos se menoscababa el espíritu de lucha. Muchos pilotos perdieronla vida por no usar paracaídas, pero también se cuentan sorprendentes casos de pilotos arrojados fuera desu avión en pleno vuelo y que lograron volver a subir en él.Una tarde de 1917, Grahame Donald, piloto escocés de la RAF,pilotaba a una altura de 2000 m su Sopwith Camel. En unabrusca maniobra, Grahame puso el avión boca abajo (B), pero enese instante se le rompió la correa de seguridad... MientrasGrahame caía, el avión comenzó a descender y, extrañamente,completó un amplio rizo (C). En una entrevista concedida 55años más tarde Grahame explicó:"Los primeros 500 m pasan muy rápido. Mientras caía empecé aoír mi pequeño y fiel Sopwith Camel en algún lugar cercano. Derepente caí de nuevo en él. "El piloto cayó sobre el ala superior del avión. Después consiguióentrar en la cabina y hacerse con el control del aparato. Ya comocomandante de la RAF, también combatió en la Segunda GuerraMundial. (“On a Wing and a Prayer”, J. Levine).extraído de http://aldea-irreductible.blogspot.com
  • 65. Estudio de algunos movimientos particularesSea un móvil que acelera desde el reposo conHallar la posición y velocidad del objeto, x(t) y vx(t).Ej.Ej. Caída libre de un paracaidista:Buscar qué velocidad límite es razonableObtener la aceleración, velocidad y posición en función del tiempoAnalizar la precisión del cálculo−= 2lim21vvgabtxaa20= a0 y b ctesSol.
  • 66. Estudio de algunos movimientos particularesDesde una altura de 30 m se deja caer un móvily otro móvil se lanza con velocidad horizontal de 3 m/s.¿Cuál tardará más en caer?Ej.Ej.Un coche de 1000 kg circula a velocidad constante v0.El conductor ve a cierta distancia otro vehículo detenido y frena tras 0.5 s.La fuerza del proceso de frenado sobre el coche es 5000 N.Calcular y representar la distancia de frenado en función de v0.Nota: la distancia de frenado se define como la distancia recorrida por el vehículodesde que se avista el obstáculo hasta su detención. Sol.Se deja caer una piedra desde una torre de 100 m.Cuando lleva recorridos 20 m se deja caer otra piedra.¿Qué distancia las separa cuando la primera llega al suelo?Ej.
  • 67. 6 Movimiento circular• Movimiento circular uniforme• Movimiento circular uniform. acelerado20021tt αωθθ ++=tϖθθ += 0tαωω += 0tddθω =Se definen nuevas magnitudes: θ, ω, αVelocidad angular:Aceleración angular:tddωα =Relaciones vectoriales:)( rvarv××=×=×=ωωωω
  • 68. Movimiento circularHallar la velocidad angular de la Luna en su movimiento alrededor de laTierraEj.Ej. Una rueda comienza a girar desde el reposo de forma que su velocidadangular aumenta uniformememente hasta 200 rpm en 6 s.Después gira a esa velocidad durante un tiempo.Finalmente se aplica un freno hasta detenerla en 5 minutos.El número total de revoluciones es 3100.Dibujar la velocidad angular en función del tiempo.Hallar el tiempo total de rotación.Hallar el ángulo total girado.
  • 69. 7 Velocidades radial y transversaltrvrdd=Velocidad radial:trvddθθ =Velocidad transversal:OYXθdθr dθdrrPP’drOYXθrtrvrdd=trvddθθ =trvdd=
  • 70. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 71. Tema 5. Movimiento relativo´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 72. 1 Movimiento de traslación relativo2 Movimiento de rotación relativoContenidos
  • 73. 1 Movimiento de traslación relativo• Composición de movimientos• Movimiento relativottAaaVvvRrr=+=+=+=Transformación de Galileo:cV <<Trayectoria desde OZZ’ X’YY’rr’VO’OR
  • 74. Movimiento de traslación relativoEj. Un ascensor sin techo sube verticalmente a 2 m/s.Desde él, se lanza hacia arriba una piedra a 17.6 m/s respecto del mismo.Calcular lo que ha subido el ascensor cuando el grave cae en su suelo.v = 2 m/sv = 17.6 m/s
  • 75. Movimiento de traslación relativoEj. La cabina de un ascensor de altura 3 m asciende con aceleración de 1 m/s2.A una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo.Calcular cuanto tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor.Ej. 4.6a = 1 m/s23 m
  • 76. Movimiento de traslación relativoEj. Una lancha pone rumbo hacia un puerto situado 18 km al N.Aparece una densa niebla y el piloto mantiene el rumbo norte.La velocidad relativa respecto al agua es de 10 km/h.Tras 2 h la niebla se levanta y la lancha se encuentra 2 km al E del puerto.¿Cuál fue la velocidad media de la corriente durante esas 2 h?18 kmPuerto2 km10 km/hN
  • 77. Movimiento de traslación relativoEj. La velocidad de la corriente de un río muy ancho que fluye de E a O es v0.Dos botes parten a la vez desde una boya situada en medio del río.El bote A navega hasta un punto a d km en dirección O y regresa a la boya.El bote B navega hasta un punto a d km en dirección S y regresa a la boya.El motor de ambos botes es idéntico y les proporciona una velocidad(respecto al agua) de a v0, donde a>1.Hallar la relación entre los tiempos empleados por cada bote.dBoyaNdv0
  • 78. Movimiento de traslación relativoEj. La velocidad de la corriente de un río que fluye de O a E es 10 nudos.A las 9h, se celebra una regata de O a E, con viento de O a E de 10 nudos.A las 12 h, se celebra la misma regata de O a E, sin viento.¿En qué regata se consiguen mejores tiempos?BoyasalidaNd10 nudosBoyallegada
  • 79. 2 Movimiento de rotación relativo• Estas aceleraciones no corresponden a una interacción)(2rvaarvv××−×−=×−=ωωωωMagnitudes en el sistema en rotación:Coriolis Centrífuga• Afectan al movimiento de los cuerpos respecto a la Tierra:- Centrífuga: cambio de la vertical y desvío al S (hemisf N)- Coriolis: desvío al E en mov. vertical y a la dcha en mov. horizontalPlano ecuatorialNλω 22cosr( )r∧∧− ωωλrg0ω
  • 80. Movimiento de rotación relativo¿Sigue la bola una trayectoria recta en la película?¿Y en una cámara fija?)(2 rvaa××−×−= ωωωCoriolisωv’ac
  • 81. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 82. Tema 6. Dinámica´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 83. 1 Primera ley de Newton2 Segunda ley de Newton3 Tercera ley de Newton4 Masa inercial y masa gravitatoria5 Principio de conservación del momento lineal6 Principio clásico de la relatividad7 Fuerzas de inercia8 Momento de una fuerza9 Momento angular10 Fuerzas centrales11 Equilibrio de una partículaContenidos
  • 84. DinámicaEstudia las interacciones entre objetos y las relaciona con sumovimiento.Aproximación: Objetos Masas puntuales
  • 85. 1 Primera ley de Newton• Define qué es un sistema de referencia inercial• Se opone a la visión aristotélica del movimientoLey de la inercia: en un sistema de referencia inercialuna partícula sin interaccionesmantiene su velocidad constante.
  • 86. 2 Segunda ley de Newton• Si la masa es constante:• Si se conoce la forma de F se puede derivar el movimientoSegunda ley:tpFdd=Se define el momento lineal: vmp=amF=
  • 87. 3 Tercera ley de NewtonSon fuerzas sobre objetos distintos.Ley de acción y reacción: si dos partículas interaccionan lafuerza que la primera ejerce sobre la segundaes igual pero de sentido contrarioa la fuerza que la segunda ejerce sobre la primera.2112F21F 2112 FF−=
  • 88. Leyes de NewtonTEST DE PENSAMIENTO ARISTOTÉLICO- Sea un objeto que se encuentra en reposo sobre un suelo horizontal. Si elrozamiento entre el objeto y el suelo es cero, para mover el objeto se debe ejerceruna fuerza:(a) mayor que el peso del objeto(b) mayor que la masa del objeto(c) mayor que la inercia del objeto(d) de cualquier magnitud.- Un niño da vueltas en un tiovivo como indica la figura. Si el niño se suelta, ¿cuálde las trayectorias dibujadas seguirá antes de golpear al suelo?giroVista superiorABCDFísica , Seis ideas fundamentales, T.A. Moore
  • 89. Leyes de Newton- Un niño lanza una pelota hacia arriba, que sube hasta alcanzar su máximaaltura y luego cae al suelo. Si se ignora la resistencia del aire, ¿qué fuerzasactúan sobre la pelota durante su vuelo?(a) sólo la fuerza constante de la gravedad(b) la fuerza de la gravedad y una fuerza ascendente decreciente(c) la fuerza constante de la gravedad y una fuerza ascendentedecreciente que actúa sólo hasta que la pelota alcanza su altura máxima(d) una fuerza ascendente decreciente antes de que la pelota alcance sumáxima altura y una creciente fuerza de gravedad descendente después- Un ciclista avanza sin pedalear sobre un camino horizontal plano. ¿Por quéacaba por llegar al reposo?(a) Todos los objetos que se mueven llegan al reposo de forma natural(b) La fricción frena constantemente la bicicleta(c) La fricción a la larga supera la fuerza que mantiene la bicicleta enmovimiento(d) La fuerza del movimiento inicial de la bicicleta se gasta(…)
  • 90. Leyes de NewtonNos situamos en la orilla de un río de anchura L.Lanzamos un objeto verticalmente y el aire ejerce sobre élen todo momento una fuerza F constante hacia la otra orilla.¿Caerá el objeto en el río?Ej.Guisasola et al., La enseñanza de resolución de problemasde Física en la Universidad, Ed. Octaedro, Barcelona (2005).
  • 91. Leyes de NewtonEn la página 60 del libro “Física”de J. Catalá (1988) sedescriben los postulados de ladinámica. Encontrar un error enel texto que corresponde alprimer postulado, Principio deindependencia de las fuerzas:Ej.
  • 92. 4 Masa inercial y masa gravitatoriaSon iguales en todos los experimentos realizados.Masa inercial: relaciona la fuerza sobre un objeto con loscambios en su movimiento (2ª ley).Masa gravitatoria: propiedad de los cuerpos que determinasu atracción gravitatoria.amF=
  • 93. 5 Principio de conservación del momento linealSi dos partículas interaccionan el momento total se conserva.212p∆1p∆21 pp∆−=∆Una interacción es un intercambio de momento.
  • 94. 6 Principio de equivalenciaAplicamos la transformación de Galileo para v<<c.Las leyes del movimiento son las mismas para todos losobservadores inerciales.Einstein lo generalizó para todas las leyes de la Física.
  • 95. 7 Fuerzas de inerciaNo corresponden a una interacción entre objetosNo aparecen por pares (3ª ley de Newton)Son fuerzas ficticias que aparecen al observar un cuerpo desdeun sistema de referencia no inercial.Ej. G.Donald
  • 96. 8 Momento de una fuerzaDepende del punto respecto al cual se calculeθsenFrMFrMoo=×=XYZOMFrθA
  • 97. Momento de una fuerzaEquilibrioLa fuerza verticalcompensa la pesa.¿Ha de ser la fuerzaoblicua mayor o menor?FF
  • 98. 9 Momento angularEc. Fundamental para estudiar el movimiento de rotación:θsenrmvLvmrprL=×=×=MtL =ddDepende del punto respecto al que se calculese han de calcularrespecto al mismo puntoMLyrLOvθ
  • 99. F10 Fuerzas centralesEl momento angular respecto al centro de fuerzas esconstante.Fuerzas cuya dirección siempre pasa por un punto fijoCentro de fuerzas
  • 100. 11 Equilibrio de una partículaLas ligaduras pueden reducir elnº de ecuaciones necesarias.Equilibrio estático: partícula en reposoEquilibrio cinético: partícula con MRUCondición:Son equivalentes:cambio de SR inercial===⇒⇒=∑∑∑=0000 0zyxTotalFFFFa
  • 101. Materiales adicionales: FORCE CONCEPT INVENTORYAlgunos errores conceptuales sólo pueden corregirse si sediscuten explícitamente y se reflexiona sobre ellos. Primera ley de NewtonSi no existen fuerzas la dirección y sentido de v son constantes Segunda ley de NewtonNo se requiere fuerza para que un cuerpo se mueva en unadirección (o sentido)Fuerza constante implica aceleración constanteLa aceleración g es independiente del pesoEl momento lineal es un vector… Tercera ley de NewtonThe Physics Teacher 30 141 (1992)
  • 102. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 103. Tema 7. Dinámica de lossistemas de partículasDpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 104. 1 Centro de masas2 Movimiento del centro de masas3 Masa reducida4 Fuerzas de contacto5 Sistemas con masa variable6 Momento angular de un sistema de partículas7 Momento angular interno y orbitalContenidos
  • 105. 1 Centro de masasDefinición:∑∑=iiiiimrmrCM∑∑∑∑∑∑===iiiiiiiiiiiiiiimzmzmymymxmx CMCMCMCoord. cartesianas:Objetos continuos:∫∫∫∫∫∫ ===dmzdmzdmydmydmxdmx CMCMCMObjetos discretos:YLYCZCXCCSistema COXLZLSistema L
  • 106. Centro de masasObjetos continuos:Objetos discretos:Ej.Ej.Objetos continuos:Ej.Objetos continuos:Ej.2 m4 m3 m(11,9)(10,-3)(-8,2)3 g5 g4 g
  • 107. 2 Movimiento del CMvelocidad del sistema∑∑∑∑=⇒=iiiiiiiiiimvmvmrmrCMCMMFMFFMama iiiii ∑∑∑=+==extextintCM• El CM se mueve como una partícula de masa M sujetaa la fuerza externa resultanteS’Sm2m1F21F2F1F12
  • 108. Movimiento del CMEj. La fuerza F es constante y actúa en todo momento.El móvil de masa m arranca con velocidad inicial nula.Hallar la posición del móvil en función del tiempo.Hallar la ecuación de la trayectoria hasta que el cuerpo toca el suelo.Nota: ignorar el rozamiento.lhF
  • 109. Movimiento del CMEj. Una fuerza horizontal F=12 N actúa sobre un bloque A, de 4 kg,que empuja a otro bloque B, de 2 kg.Calcular la aceleración del sistema.Calcular la fuerza que cada bloque ejerce sobre el otro.Nota: ignorar el rozamiento. Es interesante repertirlo con rozamiento.FAB
  • 110. 3 Masa reducidaEl movimiento del sistema se puede separar en dos:Sistema de dos partículas sin fuerzas externas:2112F21F21111mm+=µ1212 aFµ=Masa reducida µMovimiento relativo: partícula de masa µsujeta a la interacción mutua• Movimiento del CM: uniforme• Movimiento relativo con masa µ
  • 111. 4 Fuerzas de contactoFuerzas estadísticas de gran importancia práctica (f. electromagnéticas)Estudio fenomenológicoImpide que un objeto penetre en otroSe ajusta de forma automáticaa) Fuerza normalNN
  • 112. 4 Fuerzas de contactob) Fuerza de rozamientoLeyes clásicas(fenomenológicas)• Independiente del área de contacto• Independiente de la velocidad• Proporcional a la normal- El rozamiento es esencial en muchas aplicaciones- Se opone al movimiento RELATIVO entre cuerpos- Cumple la tercera ley de Newton
  • 113. 4 Fuerzas de contactoc) Fuerzas de fricción en fluidosηkFv =LIMvkFres η−=Un cuerpo en movimiento en el seno de un fluido experimenta unafricción que aumenta con la velocidadv bajas, caso lineal:k coef arrastre: forma y tamañodel cuerpoη viscosidad del fluidoVelocidad límite:
  • 114. Fuerzas de contactoEj.Ej. Aceleración decrecienteUn camión que transporta una lavadora arranca en un semáforo.Tomando un sistema de referencia ligado al semáforo dibujar las fuerzassobre la lavadora mientras el camión acelera, y especificar qué objetoejerce cada fuerza.Repetir el ejercicio cuando el camión avanza a velocidad constante.
  • 115. Fuerzas de contactoEj. Medida del coeficiente de rozamiento estático entre un objeto y unaplataforma.La plataforma se eleva lentamente desde la horizontal hasta que el objetocomienza a deslizar. Hallar µ con su error a partir de:masa del objeto m = 200 ± 5 gángulo en que comienza a deslizar: αL = 30º ± 1ºEn el dispositivo anterior, hallar para α = 15º:a) la fuerza normal que la plataforma ejerce sobre el objeto.b) la fuerza de rozamiento que la plataforma ejerce sobre el objeto.c) la fuerza total que el objeto ejerce sobre la plataforma.Ej.αAB
  • 116. Fuerzas de contactoEj. Un cuerpo de masa m está en reposo sobre un plano inclinado.El coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo es μ = 2 tg α.Hallar la mínima fuerza horizontal (perpendicular a la pendiente delplano) necesaria para que se mueva el cuerpo.¿En qué dirección se movería en este caso?F α
  • 117. Fuerzas de contactoEj. Introducción a la navegaciónExamen de la Olimpiada Nacional de Física 2010Fuerzas aerodinámicas:sustentación y resistenciaFuerzas hidrodinámicas:sustentación y resistenciaabatimiento
  • 118. 5 Sistemas con masa variableSegunda ley de newton:vtmtvmtpFdddddd+==Ej.: un sistema a velocidad constante que gana masa requiereuna fuerza para mantener la velocidadPara resolver se necesita dm/dt
  • 119. 6 Momento angular de un sistema de partículasEc. fundamentaldinámica de rotaciónextFMtL =ddPrincipio de conservación del momento angular: en ausencia demomento de fuerzas exteriores, el momento angular es constanteSe han de hallar respecto al mismo punto, que debe estar en reposo enalgún sistema inercial
  • 120. Mom. angular interno: respecto al CM7 Momento angular interno y orbital(respecto O)LEc. fundamental de rotación:El momento angular total (respecto a O) es:Mom. angular orbital: CMCM vMr×orbint LLL+=extextddddorbintFFMtLMtL== respecto CMaplicadas en CMrespecto O
  • 121. Momento angular interno y orbitalEj. 8.5Ej. Inf 8.4
  • 122. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 123. Tema 8. Dinámica delsólido rígido´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 124. 1 Movimiento del sólido rígido2 Momento angular del sólido rígido3 Momento de inercia4 Rotación de sólidos5 Objetos rodantes6 Equilibrio del sólido rígido7 Centro de gravedadContenidos
  • 125. 1 Movimiento del sólido rígidoSólido rígido: sistema de partículas en el que la distanciaentre ellas permanece fija bajo la aplicación de cualquierfuerza.extCM ∑= FaMTraslación:Rotación: formalismo especialMovimiento +
  • 126. 2 Momento angular de un sólido rígidoEl momento angular (respecto a un punto en el eje) puedeno ser paralelo a la velocidad angular:ωω IrmL iiz == ∑ 2Todo cuerpo posee tres ejes para los que se cumple la ecuaciónvectorial: ejes principales de inercia.para ciertos ejessiempreωIL =
  • 127. 3 Momento de inerciaRepresenta la resistencia de un objeto a los cambios en sumovimiento de rotación.2iirmI ∑=Teoremas para facilitar el cálculo:Objetos continuosObjetos discretos∫= 2d rmICálculo- Tmade los ejes paralelos (Steiner)- TmaPoinsot- Tmade los cuerpos planos zyx IIIIIIIMdII=+++=+=γβα 2322212CMcoscoscos
  • 128. Momento de inerciaObjetos continuosObjetos discretosEj.Ej.2b2ammmm2ammmmL R
  • 129. Momento de inerciaEj.Ej.Teorema de SteinerL L RTeorema de los cuerpos planosab
  • 130. 4 Rotación del sólido rígidoAplicación de la ec. fundamental en dinámica de rotación:dextFMtL =ddSi además gira respecto a un eje principal:CM o pto. en reposo en unsist. inercialαω ItIM ==ddωL
  • 131. Rotación del sólido rígidoEj.FEj.m
  • 132. 5 Objetos rodantesObjetos que ruedan: el eje de rotación se traslada.a) Rotación sin deslizamientoEl punto de contacto no se mueve respecto al suelo(Rozamiento estático)Ra α=b) Rotación con deslizamientoEl punto de contacto con el suelo se mueve (Rozamientocinético)El movimiento es una traslación + una rotaciónNF µ=rozRa α≠2vv
  • 133. Objetos rodantes¿Cuál bajará más rápido?Sin rozamientoEj.
  • 134. Objetos rodantesUna esfera maciza homogénea parte del reposo desde el plano.Hallar el mínimo coeficiente de rozamiento entre plano y esferapara que ruede sin deslizar.Un cilindro macizo con el coeficiente de rozamiento anterior,¿rodará sin deslizar?30ºEj.
  • 135. Objetos rodantesUna esfera maciza homogénea se lanza (sin rodar) con velocidad v0sobre un plano con coeficiente de rozamiento µ.¿En qué punto comienza a rodar sin deslizar?¿Cuál es su velocidad en ese instante?Ej.v0
  • 136. 6 Equilibrio del sólido rígidoObjeto N partículas: 3N ecuacionesCondición sólido rígido: 3N – 6 ligadurasSi todas las fuerzas están en un mismo plano:∑∑ == 00 MF6 ecuacionesCualquier movimiento = traslación + rotación∑∑∑ === 000 zyx MFF3 + 3 ecuaciones3 ecuaciones
  • 137. Equilibrio del sólido rígidoResolución de problemas1 - Dibujar un esquema de CADA cuerpo con las fuerzas sobre élgravitatoriaselectromagnéticasde contacto2 - Elegir un SR3 - Elegir un origen de momentos4 - Escribir las ecuaciones del equilibrio estático5 - Resolver las ecuaciones
  • 138. Equilibrio del sólido rígidoLa viga de 1.000 kg y 8 m hace de carril aéreo.Sobre ella desliza un colgador en el que colocamos 2000 kg de carga.Calcular la tensión del cable del soporte y la reacción de la pared sobre laviga cuando la carga se encuentra a 6 m de la pared.Ej.60º6 m
  • 139. Equilibrio del sólido rígidoDibujar las fuerzas sobre el camión cuando eleva el cubo.Hallar la fuerza que el suelo ejerce sobre las ruedas delanteras y traserassi el cubo con 1000 l de hormigón (ρ = 1900 kg/m3) se eleva con a = 2.2 m/s2Hallar la máxima carga de hormigón que se puede elevar sin que selevanten las ruedas.¿Cuál es la posición crítica del cubo para que se levanten las ruedas?Ej.M = 3673.5 kg1.5 m3 m1 mcdg2m 3mm = 100 kg
  • 140. 7 Centro de gravedadPunto donde se aplica la resultante del peso de todas laspartículas:Obtención experimental:iii gmxM ∑=TotaliiiiigmgmxxMPx∑∑=⇒=cdgTotalTotalcdgPeso totalii gmP ∑=TotalMomento totalCálculo cdg:cdg = CM si g es ctePP
  • 141. Materiales adicionales: TEST EQUILIBRIO ESTÁTICOAlgunos errores conceptuales sólo pueden corregirse si sediscute y reflexiona sobre ellos. Papel de Fuerza, Momento y masa en el equilibrio- dificultad para distinguir F y M- creen que un objeto inclinado requiere una F neta- creen que cada objeto tiene su posición natural de equilibrio Concepto de CM (cdg)- creen que divide el objeto en dos partes de igual masa- no comprenden que el peso puede aplicarse en un punto Producto vectorial para el cálculo de momentosAm J Phys 73 545 (2005)
  • 142. Materiales adicionales: TEST EQUILIBRIO ESTÁTICOAm J Phys 73 545 (2005)¿ mA= mB ?Masa para equilibrarCambio deposición¿Qué ocurre al cambiar lamasa de posición?Si se mueve P 10 cm,¿cuánto hay que mover Q?cdgEjemplos
  • 143. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 144. Tema 9. Trabajo y Energía´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 145. 1 Trabajo de una fuerza2 Potencia3 Energía4 Energía cinética5 Energía potencial6 Relación entre la fuerza y la energía potencial7 Principio de conservación de la energía8 Curvas de energía potencial9 Fuerzas no conservativasContenidos
  • 146. 1 Trabajo de una fuerzaTrabajo: θcosrFrFW ==F(t) y r(t)Caso general: ∫= rFWdFrθF(r) y la trayectoriaPara hallar W senecesitaoUnidad (S.I.): Joule= kg m2s-2
  • 147. 2 PotenciaPotencia:tWPdd=También:Supongamos un objeto que se mueve en una dimensión:Unidad (S.I.): Vatio= kg m2s-3vFtWP==ddxxxxxxvmPavamvFP =⇒==
  • 148. PotenciaLa grúa de un barco eleva una carga de 80 kg a 10 m en 20 s. ¿Cuál esla potencia de su motor?Ej.
  • 149. 3 EnergíaSuele definirse como la capacidad de realizar un trabajo: esuna definición imprecisa.Sabemos que la energía es unamagnitud que se conserva.Unidad (S.I.): Joule= kg m2s-2
  • 150. Material adicional: DEBATE SOBRE FUENTES DE ENERGÍA ¿Por qué necesitamos fuentes de energía?Acabamos de decir que la energía se conserva… ¿Existe un límite para tomar la energía del Sol?El Sol tiene mucha energía… ¿Qué problemas derivan del uso de combustibles fósiles?¿De dónde proviene su energía? ¿Cómo funcionan las centrales? ¿Qué problemas presentan las centrales nucleares?¿En qué se basan estas centrales? ¿Cuál será la energía renovable del futuro?Definir renovables y determinar sus ventajas e inconvenientes ¿Se puede mejorar el rendimiento del sistema energético?
  • 151. 4 Energía cinética20C21ddddd fvTvmvvmstvmsFEf==== ∫∫∫Es igual al trabajo necesario para acelerar el cuerpo desdeel reposo hasta la velocidad v:Si un cuerpo pasa de velocidad v1 a v2 :Energía asociada al movimiento de los objetos.2122C2121vmvmEW −=∆=
  • 152. 5 Energía potencialPPP )B()A(d EEErFW ∆−=−== ∫Fuerzas conservativas: el trabajo realizado por la fuerza para llevarun cuerpo de un punto A a otro B no depende del camino seguido, sólode los puntos inicial y final.Energía potencial:Energía asociada a la posición de los objetos.
  • 153. 6 Relación Fuerza - Energía potencial∫∫ =−=00P dd)(AArFrFAEEnergía potencial a partir de F:Fuerza a partir de Energía potencial:sEFEsFrFdW ssddddd PP −=⇒−=== La fuerza en una dirección es laderivada de Ep en esa direcciónPEF ∇−=Si Ep (r) [no depende de la dirección] la fuerza es central:rrEFd)(d P−=
  • 154. 7 Conservación de la EnergíaPEW ∆−=Energía totalSi las fuerzas son conservativas:Si las fuerzas son conservativas, la energía total de lapartícula permanece constante.Siempre: CEW ∆=( ) 0PCPC =+∆⇒∆−=∆ EEEEEj 15.3
  • 155. Conservación de la EnergíaHallar la altura mínima para superar el lazo sin velocidad inicial.hEj.Ej. G.Donald
  • 156. Conservación de la EnergíaHallar la velocidad del coche en el punto A para que alcance elpunto B.Ej.30º20 mBA 4 mUna piedra de 0.2 kg se lanza con v = 15 m/s formando un ángulode 60º con la horizontal.Hallar las energías cinética, potencial y total de la piedra tras 1 sy en el punto más alto de su trayectoria.Ej.
  • 157. 8 Curvas de Energía potencialOscilacionesPuntos de retrocesoBarrera de potencialPozo de potencialxEFxdd P−= F = 0 en máx y mín: puntos de equilibrioF si Ep disminuyeF si Ep aumentaOxEP
  • 158. 9 Fuerzas no conservativasLas fuerzas fundamentales para una partícula son conservativasen sistemas con muchas partículas aparecena nivel macroscópico fuerzas no conservativasperoConsNoP FWEW ′+∆−=F conservativas y no conservativas:Siempre: CEW ∆=( ) ConsNoPC FWEE ′=+∆⇒
  • 159. Fuerzas no conservativasHallar la potencia que desarrolla el motor de un automóvil de 1.000 kg,que avanza a 36 km/h con un coeficiente de rozamiento de 0.07- por una carretera horizontal- subiendo una cuesta que asciende 5 m por cada 100 m- bajando la misma cuesta.Ej.Un cuerpo desciende desde el reposo por un plano inclinado 30ºy luego continúa sobre el plano horizontal hasta detenerse.Recorre la misma distancia en los dos planos.Hallar el coeficiente de rozamiento (igual en ambos planos).Ej.
  • 160. Fuerzas no conservativasEl sistema de la figura parte del reposo en la situación indicada.Hallar cuando el bloque 2 llega a A:Ej.A1 mm1 = 10 kgm2 = 4 kgµ = 0.2- la tensión de la cuerda- la velocidad de cada bloque- la energía disipada por las fuerzas de rozamientoEj 15.3
  • 161. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 162. Tema 10. Energía de un sistemade partículas´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 163. 1 Conservación de la energía2 Energía interna3 Energía del sólido rígido4 Energía de enlace5 ColisionesContenidos
  • 164. 1 Conservación de la energíaSiempre:depende de SR(n)Energía cinética:Si las Fint son conservativas:U: energía propia∑=iii vmE 2C21extintC WWWE +==∆intPint EW ∆−=( ) ExtintPC WEE =+∆⇒∑=iii vmE 2C21∑=jijipEE,,intPNo depende deSR n (n-1)
  • 165. 2 Energía internaEnergía propia:Energía cinética:Uint: energía internaEc interna∑∑ ′+==iiiiii vmvMvmE 22CM2C212121( ) ExtintPintCorbC WEEE =++∆No depende de SREc orbitalintPintC2CM21EEvMU ++=Conservación de la energía:
  • 166. 3 Energía del sólido rígidoMovimientosSólido rígido:221ωIExt22CM2121WIvM =+∆ ωTraslación2CM21vMComo:0intP =∆ERotación2intCintPintC2CM2121ωIEEEvMU =⇒++=Conservación de E:
  • 167. EP ext es igual en ambos sistemas,se debe a su interacción mutuaEnergía potencial de fuerzas externasSi las Fext son conservativas:SISTEMA 1 SISTEMA 2F12F21( ) 0extPintPintCorbC =+++∆ EEEE
  • 168. Energía del sólido rígidoHallar el tiempo en rodar de A a B si parte del reposoEj.A1mB30ºm3 = 1 kgm2 = 1 kgm1 = 1 kg0.12 m 0.01 m
  • 169. Energía del sólido rígidoCilindro Doble cono¿En qué condiciones asciende el cono por los raíles?Su cdg debe descender.
  • 170. Energía del sólido rígidoHallar la altura mínima para superar el lazo sin velocidad inicial.Ej.hRueda sin deslizar
  • 171. Energía del sólido rígidoSean una esfera, un clindro y un aro en lo alto de un planoinclinado. ¿Cuál llegará antes abajo?Ej.Dos objetos con m2 = 2 m1 se mueven sobre un carril sin rozamientobajo la acción de sendas fuerzas iguales, F. Ambos parten sin velocidadinicial y recorren una distancia d.¿Cuál llegará con mayor energía cinética?¿Cuál tarda menos tiempo?Ej.Ej 15.3
  • 172. 4 Energía de enlaceMovimientosSólido rígido:221ωIExt22CM2121WIvM =+∆ ωTraslación2CM21vMComo:0intP =∆ERotación2intCintPintC2CM2121ωIEEEvMU =⇒++=Conservación de E:
  • 173. 5 ColisionesConservaciónInteracción entre dos sistemas (intervalo breve): intercambio de E y pintorbCintorbC UEUE ′+′=+Energía2121 pppp ′+′=+Se define: intC UEQ ∆−=∆=MomentoComo no existen fuerzas externas:Q > 0 colisión inelástica exoenergéticaQ < 0 colisión inelástica endoenergéticaQ = 0 colisión elástica
  • 174. ColisionesUna bola cargada positivamente, de 100 g se acerca con v = m/s aotra bola cargada positivamente de 200 g en reposo.Tras su interacción la primera bola se mueve con v = m/sHallar la velocidad de la segunda bola.Ej.Un cañón de 5000 kg dispara un proyectil de 100 kg.La energía cinética del proyectil al salir del cañón es 7.5 106J.Hallar la energía cinética del cañón a causa del retroceso.Ej.Se dispara una bala de masa m con v0 sobre un bloque de masa M.La bala atraviesa el bloque y emerge con v = v0/2.Calcular la altura que alcanza el bloque.Ej.i2j2v0 0.5 v0
  • 175. 20 mColisionesDos coches colisionan en el cruce de la figura (quedan enganchados, conlas ruedas bloqueadas, hasta detenerse).Estimar las velocidades de los coches antes del choque.Ej.Posición final delos vehículos
  • 176. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 177. Tema 11. Fluidos, Estática´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 178. 1 Densidad2 Presión en un fluido estático3 Medida de la presión4 Fuerza sobre un dique5 Principio de ArquímedesContenidos
  • 179. Gases: fuerte dependencia con1 DensidadSólidos y líquidos: apenas varía conVolumenmasaVm=ρ Unidad (S.I.): kg m-3temperatura y presión
  • 180. 2 Presión en un fluido estáticoLíquidos:Gases: la densidad depende de la presiónSuperficiefuerzaSFP =Unidad (S.I.): PascalPa = kg m-1s-2Presión en función de la profundidad:hgPP ρ+= 0
  • 181. Presión en un fluido estáticoParadoja hidrostática:Principio de Pascal: la presión se transmite a todo el fluido
  • 182. Presión en un fluido estático¿En qué recipiente es mayor la presión sobre el fondo?
  • 183. Presión en un fluido estáticoEl barril de Pascal(imagen tomada de “El mundo físico” de A. Guillemin)
  • 184. Presión en un fluido estático¿Qué ocurre al verter el líquido en el recipiente de la derecha?Tubo con aguaAl principio se descompensa, pero pasa agua por el tubo hastarecuperar el equilibrio.
  • 185. Presión en un fluido estático¿Cuánto desciende el hombre?Calcular el volumen y la masa de agua desalojada.Ej.S = 1 m2M = 70 kg
  • 186. Presión en un fluido estáticoEl tímpano separa herméticamente el oído externo del oído medio.Si en el oído medio el aire está encerrado a la Patm a nivel del mar,¿cuál es la fuerza sobre el tímpano si subimos a 1500 m de altura?¿Qué sistema utiliza el cuerpo humano para evitar este problema?Ej.ρaire = 1.3 kg/m3Tímpano 1 cm≈
  • 187. 3 Medida de la presiónPresiónmanométricahgPP ρ+= atmhgP ρ=hPPatmhPatm
  • 188. Medida de la presión¿Cómo queda el nivel de la gasolinarespecto al del agua?Separaciónentre líquidosAguaGasolina
  • 189. 4 Fuerza sobre un diqueFuerza sobre el dique:3HdMdF pp =⇒=Momento de la fuerza:hAhgρSPF ddd ==Centro de presión:20 21d HAgρhAhgρFH== ∫30 61d)( HAgρhAhHhgρMH=−= ∫hAHdh
  • 190. 5 Principio de ArquímedesUn cuerpo sumergido sufre una fuerza ascensional igual al pesodel fluido que desaloja.Empuje:gVE cuerpofluidoρ=Se aplica en el cdg del fluido desalojadoE
  • 191. Un pescador tiene en su bote un ancla de hierroy se encuentra en un lago muy pequeño. Silanza el ancla al fondo, ¿asciende, desciende opermanece igual el nivel del agua en el lago?Un vaso con agua se encuentra enequilibrio con una pesa, ¿se mantiene elequilibrio al introducir un dedo en el agua?La balanza está en equilibrio con el cubo de 50cm3fuera del agua. Si se sumerge el cubo, ¿hayque hacer algo para recuperar el equilibrio?Principio de Arquímedes
  • 192. Principio de Arquímedes
  • 193. Principio de Arquímedes
  • 194. Principio de ArquímedesEj. Cuestión 12 FCI¿Empuje?Ej. ¿Qué fracción del submarino emerge con el tanque lleno de aire?¿Cúanta agua debe entrar en el tanque para sumergirlo con flotación neutra?CORAZA DE PRESIÓN 2000 m3Tanque delastre 400 m3Masa total = 2.2 106kgρagua= 1030 kg/m3
  • 195. Principio de ArquímedesEj. Calcular la masa m para que la viga esté en equilibrio y la reacción en A.¿Qué ocurriría si se vaciara lentamente el depósito?Viga AB:longitud 10 mmasa 1000 kggira alrededor de AAB30º10ºρr = 3
  • 196. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 197. Tema 12. Dinámica de Fluidos´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 198. 1 Tipos de flujo2 Ecuación de continuidad3 Teorema de Bernouilli4 Aplicaciones del teorema de Bernouilli5 ViscosidadContenidos
  • 199. 1 Tipos de flujoRégimen de Bernouilli: sin rozamientoRégimen laminar: con rozamientoηρ vrN2R =Estacionario: el movimiento no cambia con el tiempoTurbulento: el movimiento cambia con el tiempoLa velocidad del fluido en cada posición es constante.Las líneas de corriente no se cruzan.Se pasa de un régimen a otro al superar cierta velocidad
  • 200. 2 Ecuación de continuidadConservación de la masa en un flujo estacionarioEn un fluido incompresible:222111 vAvA ρρ =2211 vAvA =v1v2A2A1
  • 201. 3 Teorema de BernouilliRelaciona la presión, altura y velocidad en un fluido incompresibleen régimen estacionario sin rozamiento.222212112121hgvPhgvP ρρρρ ++=++Conservación de la energía en un flujo estacionarioSi v1= v2=0 se recupera: ( )1221 hhgPP −=− ρhA1A2V1 ∆tV2 ∆tP1
  • 202. Teorema de BernouilliEl diámetro de un tramo de tubería horizontal varía de 10 a 5 cm.La velocidad del agua al principio del tramo es de 1 m/s.Hallar la diferencia de presión entre los extremos del tramo.Ej.El agua sale continuamente del depósito que se supone muy grande.Calcular la presión absoluta en 2 y el gasto.Ej.123S2 = 450 cm2 S3 = 225 cm2h1 = 12 m, h2 = h3 = 1.2 m
  • 203. 4 Aplicaciones del teorema de Bernouilli- Teorema de Torricelli:- Ley de Bunsen:ghv 2=( )ρatm2 PPv−=- Efecto Venturi:2222112121vPvP ρρ +=+velocidad de salida de un líquidovelocidad de salida de un gasSi aumenta la velocidad, disminuye la PresiónhPv1v2
  • 204. Aplicaciones del teorema de Bernouilli¿Qué ocurre al encender el ventilador?Se hace girar el cilindro en sentidocontrario a las agujas del reloj (vistodesde arriba).Incorrecto: Bernouilli Correcto: Magnus
  • 205. Aplicaciones del teorema de Bernouilli
  • 206. 5 ViscosidadFluidos viscosos: no se conserva la energía mecánica.vlAF η=Variación con TUnidad (S.I.): kg m-1s-1decapoiseSe necesita una fuerza para mantenervelocidad y presión en un tubo horizontal.Gases: aumenta con TLíquidos: disminuye con TlAv
  • 207. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 208. Tema 13. Movimiento armónicosimple´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 209. 1 Cinemática del MAS2 Fasores3 Fuerza y energía en el MAS4 Ecuación básica del MAS5 Péndulo simple y péndulo físico6 Elasticidad de sólidosContenidos
  • 210. 1 Cinemática del MASPeriodo:( )ϕω += tAx cosAceleración:Velocidad de la partícula:x desplazamiento respecto OA amplitudω frecuencia angularϕ fase inicialωπ2=Tπω21==TfFrecuencia:( )ϕωω +−== tAtxv sendd( )ϕωω +−== tAtva cosdd 2x
  • 211. Cinemática del MASEj. Una partícula realiza este MASHallar el periodo y frecuencia angular.Escribir la ecuación del movimiento.Hallar la velocidad de la partícula, v(t).Ej. Una partícula realiza un MAS entre x = 0 m y x = 10 m.En el instante inicial pasa por x = 5 m con v = +20 m/s.Calcular el periodo del movimiento.Calcular y dibujar la posición de la partícula en función del tiempo.Calcular la velocidad de la partícula en función del tiempo.
  • 212. 2 FasoresDesplazamiento del MAS: es igual a la componente x deun vector de módulo A que rota alrededor del punto deequilibrio con velocidad angular ω.XYαωtAx=A cos(ωt)XYαωtAAωAω2Fasores: velocidad y aceleración
  • 213. 3 Fuerza y energía del MASFuerza proporcional y opuesta al desplazamientoxmmaFxa 22ωω −==⇒−=Energía( )2222222cin21)(sen2121xAmtAmmvE −=== ωωω22222pot21)(cos21d xmtAmxFE ωωω === ∫22total21AmE ω=
  • 214. Fuerza y energía del MASEj. La posición de una partícula de 2 kg es x(t) = 5 cos (3t) mSu energía potencial es Ep(t) = 9 x2(t) J.Hallar la velocidad en función del tiempo, v(t).Hallar la energía cinética y la energía total en función del tiempo.Hallar la velocidad de la partícula en función de su posición x, v(x).Ej 15.3
  • 215. 4 Ecuación básica del MASPor la 2ª ley de Newton:xkF −=kxtxmamF −=⇒= 22ddAparece en muchas situaciones físicas (y de otras ciencias).( )ϕωω +=⇒=+ tAxxtxcos0dd 222mk=2ω
  • 216. Ecuación básica del MASEj. Al situar la pesa sobre el platillo el muelle se alarga 2 cm.Se hace oscilar el conjunto con amplitud de 4 cm.¿Cuál es la frecuencia del movimiento?¿Cuál es la fuerza neta sobre la pesa en el punto más alto?Hallar la máxima amplitud para que la pesa permanezca sobre el platillo.Masa pesa = 25 gMasa platillo = 100 g
  • 217. Ecuación básica del MASEj. En el fondo del hueco de los ascensores suele instalarse un muellecomo medida de seguridad.Además, en caso de ruptura del cable, un freno de seguridad aplicauna fuerza de rozamiento constante al ascensor.Determinar la constante elástica que debe tener el muelle.
  • 218. 5 Péndulo simple y péndulo físicoMASPéndulo ideal: partícula suspendida de una cuerda sin masa y delongitud mucho mayor que las dimensiones de la partícula.0dd0sendd2222=+≈=+ θθθθlgtlgtglT π2= no depende de A ni de mOscilaciones pequeñasPéndulo físico: cuerpo suspendido (no del cdg)0dd22=+ θθIMgDt MgDIT π2=MASθEje suspensiónDcdg
  • 219. El objeto se suspende de su cdg en estas cuatro posiciones; ¿enqué posiciones oscila y qué tipo de movimiento sigue?Péndulo simple y péndulo físicoAl estar colgado de su cdg permanece estático
  • 220. Se deja caer el péndulo desde la altura indicada y cuandoalcanza el punto rojo se corta la cuerda; ¿qué trayectoria sigue lalenteja?Péndulo simple y péndulo físicoCaída libre
  • 221. Se tienen dos barras de 100 g iguales colgadas del extremo.En una de ellas se coloca al final una masa de 1 kg.Se desvían ambas 90º y se dejan oscilar.¿Cuál oscila más rápido?Péndulo simple y péndulo físicoMás rápido oscila la que no tiene la masa (aumenta el momento de inercia o la longituddel péndulo equivalente… se puede entender de varias maneras).
  • 222. 6 Elasticidad en sólidos0-A Ley de Hooke: MASllESF ∆=Elasticidad por tracciónA-B Zona elástica no linealB-Fr Zona plástical ∆lFS
  • 223. Elasticidad en sólidosllESF ∆=Elasticidad por tracción y contracciónPQVV 1−=∆CompresibilidadFcs f=Elasticidad por flexiónl ∆lFSsF
  • 224. Elasticidad en sólidosSFlxµ1=∆Elasticidad por cizalladuraFrR1=βElasticidad por torsiónl∆xS FrBase fijaβF
  • 225. Elasticidad en sólidos40 g20 g4 cm8 cm
  • 226. Elasticidad en sólidos40 g40 g4 cm16 cmEj 15.3
  • 227. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 228. Tema 14. Superposición demovimientos armónicos simples´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 229. 1 MAS de la misma dirección y frecuencia2 MAS de la misma dirección y diferente frecuencia3 MAS en direcciones perpendicularesContenidos
  • 230. 1 MAS de la misma dirección y frecuencia( )( )δωω+==tAxtAxcoscos2211δ = 0Periódico con frecuencia ω( ) ( )δωω ++=+= tAtAxxx coscos 2121( ) ( )tAAx ωcos21 +=δ = π ( ) ( )tAAx ωcos21 −=δ cualquiera ( ) ( )βωδ +++= tAAAAx coscos2 212221XωδA1A2
  • 231. 2 MAS de la misma dirección y distinta frecuencia( )( )tAxtAx222111coscosωω==El movimiento no es un MASAmplitud modulada: frecuencia( )[ ]( )tAAAAA 21212221 cos2 ωω −++=πωω221 −Si A1 = A2 + −= ttAx2cos2cos2 21211ωωωωXω(ω2−ω1)tA1A2
  • 232. 3 MAS con direcciones perpendiculares( )( )δωω+==tBytAxcoscosElipse- misma frecuenciaByAx ≤≤- distinta frecuencia( )( )δωω+==tBytAx21coscosLa trayectoria depende de ω2/ω1 y de δFiguras de Lissajousδ = 0 δ = π rectaδ = π/2 δ = -π/2 elipse centrada
  • 233. MAS con direcciones perpendicularesFiguras de LissajousLa trayectoria depende de ω2/ω1y de δ
  • 234. BLOQUE UNIDAD TEMAIINTRODUCCIÓNA AspectosFundamentales1. Concepto de Física. Sistemas de medida2. Estructura de la materiaB Vectores 3. VectoresIIMECÁNICAC Cinemática 4. Cinemática5. Movimiento relativoD Dinámica 6. Dinámica de una partícula7. Dinámica de los sistemas de partículas8. Dinámica del sólido rígidoE Energía 9. Trabajo y Energía de una partícula10. Energía de los sistemas de partículasF Fluidos 11. Estática de fluidos12. Dinámica de fluidosG Oscilaciones 13. Movimiento armónico simple14. Superposición de MAS15. Movimiento oscilatorio
  • 235. Tema 15. Movimiento Oscilatorio´Dpto. Física AplicadaUniversidad de Cantabria
  • 236. 1 Oscilaciones amortiguadas2 Oscilaciones forzadas3 Oscilaciones no armónicasContenidos
  • 237. 1 Oscilaciones amortiguadasFuerza de amortiguamiento opuesta a la velocidad vF λ−=′Amplitud decrecienteEnergía decrecienteMovimiento oscilatorio noestrictamente periódicoMenor frecuencia( )αωλ λ+=⇒=++ −tAxvkxtxm tcose0dd22
  • 238. 2 Oscilaciones forzadasMovimiento forzado de un oscilador sometido a una fuerza periódicaFrecuencia ωfA y α no son arbitrariasA es constante⇒=++ tFvkxtxm o f22cosddωλ ( )αωλωωω−+−= tkFx f22fff0senmAmplitud v=Aω es máxima si ωf=ω0Resonancia: máxima transferencia de energía
  • 239. 3 Oscilaciones no armónicasFuerza no proporcional al desplazamientoLa frecuencia de oscilacióndepende de la energíaAnálisis de FourierPara energía pequeña se puedeaproximar por un MAS
  • 240. Un saltador de masa M se deja caer desde un puente de altura H atado a unacuerda elástica de longitud L, de forma que roza el agua justo antes desubir de nuevo.¿Cuánto vale la constante recuperadora elástica de la cuerda?Realizar la gráfica de la aceleración del saltador en función de su posición¿Cuál es la velocidad máxima durante la caída? ¿Dónde se alcanza?Realizar la gráfica aproximada de la velocidad en función de su posición¿Cuál es la aceleración máxima en la caída? ¿Dónde se alcanza?Ej.Masa de la cuerda despreciableSaltador =masa puntualNo hay disipación de energía
  • 241. Un saltador de masa M se deja caer desde un puente de altura H atado a unacuerda elástica de longitud L, de forma que roza el agua justo antes desubir de nuevo.Si H= 40 m, L = 20m y M = 50 kg, hallar k, vmax y amax.Ej.Un saltador de masa M se deja caer desde un puente de altura H atado a una cuerdaelástica de longitud L, de forma que roza el agua justo antes de subir de nuevo.En la práctica la oscilación se amortigua y el saltador acaba deteniéndose.¿En qué punto se detiene?¿Cuál es su periodo de oscilación?¿Se trata de un oscilador armónico?Ej.
  • 242. Un saltador de masa M se deja caer desde un puente de altura H atado a unacuerda elástica de longitud L, de forma que roza el agua justo antes desubir de nuevo.Otro saltador de masa 100 kg quiere saltar, para lo que dobla la cuerda por lamitad. ¿A qué distancia del agua llegará este saltador?Ej.
  • 243. Tipos de tareas Aplicación directa Aplicación a situaciones reales Eliminación de errores comunes Problemas abiertosAprendizaje significativo
  • 244. Resolución de problemas Aprendizaje significativo Esquema de la situación e interacciones Determinar la magnitud física de interés Analizar qué variables afectan a esta magnitud Hipótesis necesarias Estimación de la solución Plantear y resolver las ecuaciones Analizar la coherencia del resultado: con hipótesis previas,por orden de magnitud, análisis dimensional…
  • 245. Tareas en claseCada tarea debe tener los cuatro componentes siguientes: Formulación de una respuesta de forma individual. Compartir la respuesta con el compañero. Construcción de una nueva respuesta mutua. Discusión en grupo.