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Euclide riscritto da un illuminista

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Euclide riscritto da un illuminista
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  • 1. Euclide riscritto da un illuminista F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Liceo Scientifico Isacco Newton - RomaLe lezioni multimediali di GeoGebra Italia
  • 2. Euclide e la sua Geometria con riga e compasso Sebbene non li nomini mai, la riga ed il compasso sono gli unici strumenti ammessi da Euclide nelle sue costruzioni. Osserviamo che ` ` la riga non e graduata poich´ il concetto di unit` di misura e estraneo e a ` alla geometria euclidea. La riga e impiegata per tracciare rette per due punti ed il compasso per tracciare cerchi o archi di cerchio di cui siano noti il centro ed il raggio. Le costruzioni euclidee richiedono di: Intersecare due rette; Intersecare una circonferenza ed una retta; Intersecare due circonferenze. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 3. Ognuna di queste operazioni corrisponde ad impostare un sistema di `equazioni la cui soluzione e fornita dalle coordinate dei punti delpiano individuati attraverso le intersezioni. Per questo motivo lageometria Euclide riesce ad affrontare problemi risolvibilialgebricamente con equazioni aventi grado una potenza di due.Ad esempio, il problema della trisezione di un angolo qualsiasi nonpu` essere risolto tramite la geometria euclidea poich´ implica la o esoluzione di equazioni che non appartengono alla categoriamenzionata. Nella Seconda e Terza proposizione del I Libro dei suoiElementi, Euclide illustra come impiegare la riga ed il compasso percostruire un segmento uguale a un segmento assegnato e avente unestremo in un punto dato. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 4. Osserviamo innanzitutto che nell’affrontare il suddetto problema ilcompasso non deve rimanere aperto. Cio` , ogni volta che il compasso etraccia un arco deve essere richiuso. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 5. Per meglio comprendere questo ` aspetto e opportuno discutere un esempio. Immaginiamo di dover riportare sulla retta passante per C e D un segmento di estremi AB. I passi della costruzione sono i seguenti:F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 6. Si congiunge A con C e si costruisce su tale segmento un triangolo equilatero ACE di lato AC; Si tracci l’arco di centro A e raggio AB, fino ad incontrare in F il prolungamento di AE; Si tracci l’arco di centro E e raggio EF, fino ad incontrare in G il prolungamento di EC; Si tracci l’arco di centro C e raggio CG fino ad incontrare in H la retta passante per C e D. Appare evidente che CH CG AB.F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 7. La novit` illuminista del libro di Lorenzo Mascheroni: la aGeometria col Compasso Mascheroni si domand` se fosse possibile, tornando indietro nel o progresso matematico, sviluppare qualche campo ancora inesplorato. Si accorse che, negli Elementi, Euclide per dimostrare le sue tesi si avvaleva sempre di due strumenti fondamentali: il compasso e la riga. Egli si propose di servirsi del solo compasso per ottenere i punti necessari alla costruzione geometrica; la scelta non fu casuale, il compasso infatti era uno degli strumenti pi` precisi dell’epoca e meno u soggetto ad errori rispetto alla riga. In un primo tempo decise di accantonare l’idea di una geometria del compasso perch´ temeva di e complicare ulteriormente le dimostrazioni ed inoltre non ne vedeva alcuna utilit` . Tuttavia Mascheroni si rendeva conto che a l’impostazione delle costruzioni geometriche con il solo uso del compasso costituiva: . . . Un ramo finora inesplorato dai matematici, che soluzioni di simili genere sarebbero state per la loro costruzi- one pi` elementare di ogni altra.... u F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 8. Il progetto fu ripreso quando, leggendo alla voce Quart de Cerclemural sulla Encyclop´ die M´ thodique, apprese degli sforzi compiuti e edai celebri astronomi inglesi Graham e Bird per dividere esattamenteil quarto di cerchio dei propri grandi strumenti astronomici e inparticolare del frequente uso da essi fatto del compasso in tutte leprincipali operazioni geometriche. Riportiamo ora la frase, tratta dallibro la Geometria del Compasso, in cui Mascheroni dichiara leragioni che lo hanno spinto alla stesura dell’opera: F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 9. Le costruzioni col solo compasso per trovare i punti della geometriaelementare sarebbero state complicate a pi` doppj sopra le gi` u aconosciute nelle quali interviene la riga. Avrebbe dunque la teoriamancato di eleganza e la pratica di precisione. Sicch` io era al eprocinto di abbandonare l’impresa. Mentre io era cos` irresoluto, ım’accadde di rileggere la maniera colla quale Graham, e Birddividevano in Inghilterra i loro grandi quadranti astronomici. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 10. L’uso del solo compasso: necessit` ed opportunit` a atecnologica ` Il compasso era uno degli strumenti piu precisi dell’epoca ` Lo strumento era molto piu facile da realizzare rispetto alla riga Non occorrevano unit` di misura a Secondo Mascheroni era un campo inesplorato della matematica. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 11. L’uso del compasso in Euclide e in Mascheroni ` Un elemento comune ad entrambe le geometrie e l’assenza del concetto di misura delle grandezze. Ambedue gli Autori trattano le grandezze in se operando su di esse direttamente e considerando il rapporto come inerente ad ogni possibile coppia di grandezze. Non viene mai privilegiata una grandezza particolare come campione di riferimento o unit` . Mascheroni infatti nelle sue costruzioni fa a riferimento a circonferenze di raggio unitario, senza mai specificarne l’effettiva lunghezza. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 12. Chi era Lorenzo Mascheroni Lorenzo Mascheroni nasce a Castagneta in provincia di Bergamo il 13 maggio del 1750 da Paolo e Maria Cerimelli, una ricca famiglia di proprietari terrieri. Fin da piccolo dimostr` eccezionali doti nello o studio e il 28 maggio del 1774 fu ordinato sacerdote. Dal 1778 insegn` Fisica e Matematica nel Seminario di Bergamo e nel 1780 o occup` la cattedra di filosofia del Collegio Mariano. Nel 1786 si o trasferisce a Pavia dove gli viene assegnata la cattedra di Matematica Generale e poi quella di Matematica applicata. Sar` per ben due volte a rettore dell’universit` di Pavia e dal 1888 al 1891 principe a dell’Accademia degli Affiliati. Mascheroni oltre ad avere una carriera scientifica e letteraria, ne ebbe anche una politica. Infatti nel 1797 fu eletto deputato della repubblica Cisalpina che lo port` a partecipare a o Parigi nel 1798 alla commissione incaricata di stabilire definitivamente la lunghezza del metro. Mascheroni morir` due anni a dopo a Parigi all’et` di cinquanta anni dopo una breve malattia. a F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 13. Quale uso della Geometria col Compasso oggi: esempididattici Al giorno d’oggi l’impiego nella pratica industriale dei concetti e ` delle costruzioni descritte nella Geometria del compasso e pressoch´e nullo. Tuttavia, la Geometria del Compasso, opera scritta con chiarezza e rigore matematico, ha una forte valenza didattica ed esercita un grande fascino sul lettore. Una geometria di costruzioni va giudicata pi` per l’ingegnosit` delle u a sue procedure e meno per la sua utilit` . a F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 14. Suddividere la circonferenza in parti uguali ` Il suddividere la circonferenza in parti uguali e il primo problema che ` ` Mascheroni si e posto. Un intero capitolo dell’opera e dedicato alla divisione della circonferenza e contiene vari procedimenti, con relativa dimostrazione, che si distinguono per il numero delle parti. Non poche difficolt` si presentano quando il numero delle parti e a ` dispari. F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista
  • 15. L’uso del software di geometria dinamica nelle costruzionidi Mascheroni In GeoGebra le figure possono essere impostate in maniera parametrica imponendo vincoli quali, ad esempio, la perpendicolarit` , a il parallelismo e uguaglianza tra lunghezze di segmenti. Tale caratteristica consente allo studente di rilevare, esplorare ed intuire relazioni tra gli enti Geometrici che compongono la figura. Questa possibilit` stimola le capacit` creative dello studente a a F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr` ı Euclide riscritto da un illuminista

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