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Lógica Matemática

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Texto sobre Lógica Matematica

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Transcript

  • 1. Lógica Matemática Genilson Gomes da Silva 1 Proposição Denição 1.1 Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que expri- mem um pensamento de sentido completo, sendo ele verdadeiro ou falso. Por exemplo, são proposições as três armações seguintes: (a): O número 17 é primo. (b): Fortaleza é a capital do Maranhão. (c): Todo número primo maior do que 2 é ímpar. Observação 1.1 Uma Proposição P é verdadeira se já é um axioma (uma armação de sentido verdadeiro sem a necessidade de uma demonstração) da teoria ou então pode ser reduzida (ou provada) a partir dos axiomas da teoria. 1.1 Princípios da Lógica A Lógica Matemática repousa sobre dois princípios fundamentais que permite todo seu de- senvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos do pensamento e do raciocínio. São eles: 1. Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 2. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. 1.2 Proposições Simples e Proposições Compostas O primeiro passo na construção de um linguagem simbólica, mais adequada à formulação dos conseitos da Lógica, é a apresentação do que chmamos proposição simples. Denição 1.2 Chama-se proposição simples aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples são em geral designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s, . . ., chamadas letras proposicionais. São exemplos de proposição simples: p : A lua é um satélite da terra. q : Pedro é estudante. r : Todos os homens são mortais. s : O número 25 é quadrado perfeito. Denição 1.3 Chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.
  • 2. Em geral designamos proposições compostas por letra latinas maiúsculas P, Q, R, S, . . ., que também chamamos de letras proposicionais. São exemplos de proposição composta: P : Se pedro é estudante, então é feliz. Q : Carlos é professor e Pedro é estudante. R : Mário foi ao cinema ou Marcelo cou em casa. 1.3 Conectivos Podemos perceber nos exemplos anteriores, que as proposições compostas P , Q e R, são combinações de proposições simples separadas por conectivos. Denição 1.4 Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposi- ções a partir de outras. A Lógica dispões de cinco conectivos: “e, “ou, “não, “se . . . então . . . e “ . . . se e somente se . . . ” Vejamos alguns exemplos: P : Carlos é professor e Pedro é estudante. Q : Mário foi ao cinema ou Marcelo cou em casa. R : Não está chovendo. S : Se pedro é estudante, então é feliz. T : Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente se AC 2 = AB 2 + BC 2 . 1.4 Tabela-Verdade Além de proposições a Lógica dispõe de uma função chamada Valor Lógico que nos permite associar a cada proposição simples um de dois valores lógicos. Segundo o Princípio do terceiro excluido, toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem valor lógico V (vedadeiro) ou valor lógico F (falsidade). p V F Porém, se a proposição for composta seu valor lógico depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, desta forma para que se possa determinar o valor lógico de uma proposição composta dada, recorre-se quase sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade. Para representar o valor lógico de uma dada proposição p, usa-se a seguinte notação: V(p). Vejamos os seguintes exemplo: p: Fortaleza é a capital do Maranhão. q : O número 17 é primo. Temos: V(p) = F, V(q ) = V
  • 3. 2 Operações Lógicas sobre Proposições 2.1 Negação (∼) Denição 2.1 Se p é uma proposição, assim a proposição representada por ∼ p é a ne- gação de p, cujo valor lógico é vedade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira. Vejamos a tabela-verdade da negação: p ∼p V F F V 2.2 Conjunção (∧) Denição 2.2 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p∧q (que lê-se: “p e q ) é a conjunção de p e q , cujo valor lógico é vedade (V) quando p e q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. Vejamos a tabela-verdade da conjunção: p q p∧q V V V V F F F V F F F F 2.3 Disjunção (∨) Denição 2.3 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p∨q (que lê-se: “p ou q ) é a disjunção de p e q , cujo valor lógico é vedade (V) quando pelo menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) as proposições p e q são ambas falsas. Vejamos a tabela-verdade da disjunção: p q p∨q V V V V F V F V V F F F 2.4 Disjunção Exclusiva ( ∨ ) A palavra “ou pode ter dois signicados, por exemplo: Vejamos as seguintes proposições compostas: P : Sou homem ou estudo matemática. Q : João é cearense ou pernambucano. Na proposição P temos que pelo menos um das proposições simples é verdadeira, po- dendo ser ambas verdadeiras. Neste caso diz-se que este “ou é inclusivo (∨). Mas na proposição Q, temos que as proposições simples não podem se ambas verdadeiras, pois não é possível ocorrer “João é cearense e pernambucano. Neste caso o “ou é exclusivo, e representado por ∨
  • 4. Denição 2.4 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p ∨ q (que lê-se: “p ou q ou “p ou q , mas não ambas) é a disjunção exclusiva de p e q , cujo valor lógico é vedade (V) somente quando p verdadeira ou q é verdadeiras, mas não quando ambas são verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Vejamos a tabela-verdade da disjunção exclusiva: p q p∨q V V F V F V F V V F F F 2.5 Condicional (→) Denição 2.5 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p → q (que lê-se: “se p então q é a proposição condicional, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa, e a verdade (V) nos demais casos. Temos que a proposição condicional p → q tem os seguintes signicados: (i) p é condição suciente para q . (ii) q é condição necessária para p. Observação 2.1 O símbolo “ → ” é chamado símbolo de implicação. Vejamos a tabela-verdade da condicional: p q p→q V V V V F F F V V F F V 2.6 Bicondicional (↔) Denição 2.6 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p ↔ q (que lê-se: “p se e somente se q é a proposição bicondicional, cujo valor lógico é a verdade (V) no caso em que p e q são ambas verdadeira ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. Temos que a proposição bicondicional p ↔ q tem os seguintes signicados: (i) p é condição necessária e suciente para q . (ii) q é condição necessária e suciente para p. Vejamos a tabela-verdade da bicondicional: p q p↔q V V V V F F F V F F F V
  • 5. 3 Tautologia, Contradição 3.1 Tautologia Denição 3.1 Chama-se tautologia toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade). Exemplo 3.1 A proposição “ ∼ (p ∧ ∼ p)” (principio da não contradição) é tautoló- gica, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p ∼p p∧ ∼p ∼ (p ∧ ∼ p) V F F V F V F V Portanto, dizer que uma proposição nõ pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é veradeiro. 3.2 Contradição Denição 3.2 Chama-se contradição toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). Exemplo 3.2 A proposição “p ∧ ∼ p” é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p ∼p p∧∼p V F F F V F Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é falso. 4 Implicação Lógica Denição 4.1 Diz-se que uma proposição composta P implica uma proposição Q, se Q é verdadeira (V) toda vez que P é verdadeira (V). Em outras palavras, dizer que uma proposição P implica uma proposição Q, signica que para os valores verdadeiros (V) de P não se pode ter valores falsos (F) em Q. Notação: P ⇒ Q A relações de implicação possui as seguintes propriedades: Reexiva: P ⇒ P Transitiva: Se P ⇒ Q e Q ⇒ R então P ⇒ R Teorema 4.1 Dada uma proposição P e uma proposição Q diz-se que P inplica Q, ou seja, P ⇒ Q se e somente se a condicional P → Q é tautológica. Demonstração: Se P implica Q, então os respectivos valores lógicos de P e Q não podem ser simul- taneamente V e F , e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional encerra somente a letra V , daí a condicional é tautológica. Reciprocamente, se a condicional é tautológica, isto é, se a última coluna da sua tabela- verdade encerra somente a letra V , então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições P e Q sejam respectivamente V e F e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda. Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice- versa.
  • 6. 5 Equivalência Lógica Denição 5.1 Diz-se que uma proposição P é equivalente a uma proposição Q se, suas tabelas-verdades forem idênticas. Notação: P ⇐⇒ Q A relação de equivalência possui as seguintes propriedades: Reexiva: P ⇐⇒ P Simétrica: Se P ⇐⇒ Q, então Q ⇐⇒ P Transitiva: Se P ⇐⇒ Q e Q ⇐⇒ R então P ⇐⇒ R Teorema 5.1 A proposição P é equivalente à proposição Q, isto é, P ⇐⇒ Q se e somente se a bicondicional P ↔ Q é tautológica. Demonstração: Seja P e Q proposição equivalentes, então têm tabelas verdades idênticas, desta forma o valor lógico da bicondicional é sempre verdade (V), logo é tautológica. Reciprocamente, se a bicondicional dada é tautológica, então tem-se que a última coluna da tabela-verdade encerra somente em verdade (V) desta forma temos que os respectivos valores lógicos de P e Q são ambos verdadeiros (V) ou ambos falsos (F), logo estas duas proposições são equivalentes. Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica, e vice- versa.

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