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  • 1. Republica bolibariana de venezuelaMinisterio del poder popular para educasion Instituto Universitarion de tecnologia Antoni jose de sucre Extencion_barquisimeto Algebra
  • 2. Temas Relaciones Binarias Dominio y RangoRepresentacion grafica de Relaciones Matriz Binaria Relacion Inversa Composicion de Relaciones Relaciones Binarias
  • 3. Sean X e Y dos conjuntos. Una relación de X en Y es un subconjunto R delproducto cartesiano X x Y. El conjunto X es llamado conjunto de partida de la relaciónR; e Y es el conjunto de llegada.En el caso de que Y = X, en lugar de decir que R es una relación de X en X, diremosque R es una relación en X.Los elementos de R son pares ordenados. Si (x, y) es un elemento de R, en lugar deescribir (x, y) Î R, escribiremos X R Y y leeremos: "X está relacionado con Y", según larelación R".Usaremos las letras R, S, T, etc., para representar relaciones.Ejemplos1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R = {(a, 2), (b, 1),(b, 4), (c, 5)}2. La siguiente relación S de R en R S = { (X, Y) Î R x R / X £ Y } es la relación"menor o igual" en R. En este caso X S Y Û X £ Y3. Sea U el conjunto referencial. La relación de inclusión en P(U) es la relaciónR = { (A, B) Î P(U) x P(U) / A Ì B }Dominio y RangoU1t1img4.4.jpgDefinición: Sea R una relación de X en Y El Dominio de R es elconjunto Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y} El Rango o imagen de R es elconjunto Rang(R) = { y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por losprimeros y segundos componentes respectivamente de los pares ordenados queconstituyen la relación.Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio elconjunto Dom (R) = { a, b, c} y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están enel primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5 están en el segund componentede cada par.Representacion grafica de RelacionesU1t1img4.5.jpgExisten varias formas de representar gráficamente una relación. Las másusuales son las siguientes: Representación Cartesiana, Matricial y Sagitaria.Representación Cartesiana
  • 4. Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como abscisas loselementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de llegada. En elplano se marcan los pares ordenados que conforma la relación. Esta representaciónalcanza su mayor importancia cuando el conjunto de partida y el de llegada sonsubconjuntos de R.Ejemplo 1 si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relación de X en Y R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }La representación cartesiana es el diagrama adjunto.Representación SagitalLa representación sagital es la más popular de las representaciones. Ésta, igual que lamatricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La representaciónsagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn el conjunto de partida y elde llegada; uniendo luego, con flechas, los elementos relacionados. Así, larepresentación sagital de la relación del ejemplo 1 es el siguiente diagrama:Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de Venn ylas flechas se representan interiormente. Así, el diagrama siguiente representa a lasiguiente relación en X={ a, b, c, d }S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d) }Matriz BinariaU1t1img4.6.jpgLa representación matricial se usa cuando los conjuntos de partida y dellegada de la relación son conjuntos finitos con pocos elementos. Para obtener talrepresentación, se asigna a cada elemento del conjunto de llegada una columna; y a cadaelemento del conjunto de partida, una fila.Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde a x con lacolumna que corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en caso contrario. Laconfiguración rectangular de ceros y unos que se obtiene se llama matriz binaria de larelación.Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}Relacion InversaSea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación R-1 de Y enX dada por:R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R} O sea, Y R-1 X Û X R YEs evidente que se verifica que: dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)Ejemplo
  • 5. Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) } R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R) Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la mismarelación.Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = RDemostraciónX(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa ÛXRY Luego, (R-1)-1 = RComposicion de RelacionesU1t1img4.9.jpgSea R una relación de X a Y y S una relación de Y en Z. Se llamacomposición de R con S a la siguiente relación de X en Z:X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S ZEn la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual alconjunto de partida de S. Este requisito puede ser aligerado exigiendo solamente que elconjunto de llegada de R esté contenido en el conjunto de partida de S.Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o R esinverso al orden en que se dan R y S.Ejemplo Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 } Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } , S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) } Entonces: SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es unarelación de Z en W, entonces:To(SoR)=(ToS)oRDemostración
  • 6. X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) ÙzTwÛ $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) wÛ x ( ( T o S ) o R )wLuego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o RTeorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, entonces (S oR)-1 = R-1 o S-1Demostración z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )zÛ$yÎY,xRyÙySzÛ $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 yÛ $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 xÛ z( R-1 o S-1)xLuego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1Problemas Propuestos Sea X={2, 3, 4} e Y= {4, 5, 6, 7} y R la relación de X en Y dada por: X R Y Û Xdivide a Y Hallar los elementos de R. Representar a R matricialmente y sagitalmente. Hallar la relación inversa R-1 . Sean X= {1, 2, 3, 4, 5} , Y= {1, 4, 6, 9, 16, 25} y Z= {2, 3, 8, 25/2} Si R es larelación de X en Y dada por Hallar S o R b. R-1 o S-1

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