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  • 1. Curso de FormaçãoCapacidades Transversais no Ensino da Matemática Sessão III Formador: Vasco Coelho (EB 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior) 1
  • 2. Mestrado em Didáctica e Inovação no Ensino das Ciências Área de Especialização de MatemáticaComunicação Matemática A Matemática constitui um património cultural da humanidade e um modo de pensar A sua apropriação é um direito de todos. (Abrantes, Serrazina e Oliveira, 1999)
  • 3. Fundamentação TeóricaComunicação (sentido lato) Comunicar é um processo interactivo, que se desenvolve em contexto social, requerendo um emissor (finte de informação que codifica e emite uma mensagem e um receptor que a descodifica . (Nunes, 2001) Forma de um emissor fazer chegar aos receptores um conjunto de conhecimentos, que simples, quer complexo, usando um determinado código linguístico. (Antão, 1997)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 4. Fundamentação TeóricaComunicação (sentido Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Comunicação lato)Comunicação: comum + comunidade (Menezes, Santos, Silva e Trindade, 2003) Comunicação: communicatio : co + munis + tio (Freixo, 2006) co: reunião Comunicação, refere-se a uma acção em munis: estar encarregado de comum, desde que a acção em comum se tio: actividade refira a um mesmo objectoCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 5. Fundamentação TeóricaComunicação (sentido lato)A comunicação é um processo social onde os intervenientes interagem e seinfluenciam reciprocamente na construção de significados. (Belchior, 2003) PARTILHA NEGOCIAÇÃO SIGNIFICADOSCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 6. Comunicação (sentido lato) Fundamentação Teórica Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano PARTILHA COMUNICAÇÃO SIGNIFICADOS INTERPESSOAL NEGOCIAÇÃO (Vieira, 2000) Não é só através de palavras que comunicamos. As posições corporais, os gestos, a expressão facial, o olhar, o riso, a respiração, os silêncios são alguns dos sinais emitidos que enriquecem a comunicação interpessoal. Tanto o feedback verbal como o não verbal são elementos fundamentais em comunicação, que reforçam a ligação entre os diferentes interlocutores. (Vieira, 2000)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 7. Fundamentação TeóricaComunicação (sentido Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Comunicação lato) COMUNICAÇÃO INTERPESSOAL (Freixo, 2006) Princípios fundamentais Axiomas•Existência de duas ou mais pessoas •Não se pode não comunicar•O comportamento comunicativo de •A natureza de uma relação está naum individuo é consequência directa contingência das sequenciasda postura e personalidade da outra comunicativas entre os intervenientesou outras pessoas •Os seres humanos comunicam digital•Envolvimento e troca de mensagens e analogicamente•Mensagens codificadas de forma •Todas as permutas comunicacionaisverbal e não verbal são simetrias ou complementares•Ausência deTRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICACAPACIDADES estrutura (informalidadee flexibilidade)
  • 8. Fundamentação TeóricaComunicação Matemática - Diferentes perspectivas Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano PARTILHA A comunicação matemática constitui um processo social onde os participantes NEGOCIAÇÃO interagem trocando informações e COMUNICAÇÂO influenciando-se mutuamente. (Martinho e MATEMÁTICA JUSTIFICAÇÃO DE Ponte, 2005) SIGNIFICADOS A comunicação matemática funciona EXTERIORIZAÇÃO DO como um catalisador de reflexão. (Santos, PENSAMENTO 2005) A comunicação matemática permite aos APROPRIAÇÃO DE alunos explicar o porquê de determinadas OUTRAS DIMENSÕES opções em detrimento de outras. DA MATEMÁTICA (Llinares, 2008)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 9. Fundamentação TeóricaComunicação Matemática - Diferentes perspectivas Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA Segundo Llinares (2008) a comunicação matemática é necessária para que os alunos desenvolvam competência matemática. Perspectivas e opções metodológicas do professor Exploração e Repetição de resolução de problemas procedimentos Partilha, discussão, apresentação, reformulação, experimentaçãoCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 10. Fundamentação TeóricaComunicação Matemática - Diferentes perspectivas Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoAo olhar para a forma como os professores e alunos interagem, permitedesenvolver perspectivas teóricas úteis para interpretar e analisar acomplexidade das aulas de Matemática . Metáfora da aquisição Metáfora da participação Lampert e Cobb (2003) A Metáfora da Aquisição, remete A Metáfora da Participação, remete para um conjunto de abordagens que para o processo de participação caracterizam a aprendizagem do progressiva, onde o foco é o estudo conhecimento, como a aquisição do do discurso e a emergência de conhecimento, que esta significados partilhados aprendizagem activa ou passiva.CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICALampert e Cobb (2003) consideram ambas as metáforas como diferentes masnão mutuamente exclusivas
  • 11. Comunicação Matemática - Diferentes perspectivas Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoSierpinska (1998), apresenta três perspectivas teóricas sobre a aprendizageme suas influencias de conceptualizar a comunicação na sala de aula, ondeapresenta uma metáfora para cada uma delas. PERSPECTIVA Construtivista Sociocultural interaccionista Os Os alunos professores Professores falam, os falam, os e alunos em professores alunos diálogo ouvem ouvemCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 12. Fundamentação TeóricaComunicação Matemática - Diferentes perspectivas Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoOlhar para o ambiente comunicativo da aula de matemática leva Brendefur eFrykholm (2000) a organizarem as diversas perspectivas sobre comunicaçãomatemática em quatro categorias. Unidireccional COMUNICAÇÃO Contributiva Reflexiva InstrutivaCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 13. Unidireccional pode ser encarada como um monólogo, onde o professor tem a autoridade do conhecimento matemáticoContributiva prevê a participação dos alunos nos diálogos que se estabelecem na sala de aula, embora a conversação seja limitada e na maioria das vezes ausente se pensamentos mais profundos.
  • 14. Reflexiva prevê a discussão entre professores e alunos em torno do que é realizado na aula. É frequente a análise dos porquês Instrutiva é aquela que acontece quando se altera a finalidade da aula em consequência dos discursos mantidos. O professor encoraja a reflexão
  • 15. Comunicação Matemática na sala de aula Fundamentação Teórica Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano A discussão em pequeno grupo ou de toda a classe e as demonstrações servem para habituar os alunos a construir argumentos conviventes e válidos para aguçar o seu espírito critico em relação às argumentações alheias, e nunca para lhes criar uma ideia da matemática como a ciência do certo e do errado absolutos, perspectiva contraditória com o próprio desenvolvimento da matemática contemporânea. (APM, 1988) Discurso matemático Padrões de InteracçãoCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 16. Comunicação Matemática na sala de aula -Fundamentação Teórica Discurso Matemático Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoDe um modo geral, o O conhecimento Refere-se às formas determo discurso refere- partilhado está representar, pensar, falar,se ao modo como os intimamente associado à concordar ou discordar quesignificados são comunicação e quando professores e alunos usamatribuídos e trocados se fala em comunicação para se envolverem empelos vários matemática, surge de actividades. (NCTM, 1994)interlocutores em forma indissociável, ocontextos reais. conceito de discurso.(Menezes, 1997) (Moreira, 2001) CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA Linguístico Não Linguístico
  • 17. Comunicação Matemática na sala de aula -Fundamentação Teórica Discurso Matemático Sentido Linguístico do discurso Sentido Não Linguístico do discurso Surge associado a um conjunto coerente de frases e engloba Surge associado às emoções e acções como: escrever, ler, expressões adjacentes ao discurso explicar, resumir, discutir, contar, linguístico. interrogar, responder, ouvir…. (Stubbs, 1987) (Stubbs, 1987) Tal significa que em qualquer sala de aula há diversos movimentos discursivos sendo os papeis dos professores e dos alunos continuamente construídos no decurso da interacção social (Yackel et al., 1991) FENÓMENO SOCIALCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 18. Comunicação Matemática na sala de aula -Fundamentação Teórica Discurso Matemático Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Características do discurso Produção do discurso na sala de aula O papel do professor O papel das perguntas do professor Apropriação de linguagem especificaCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 19. Comunicação Matemática na sala de aula -Fundamentação Teórica Discurso Matemático Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Produção do discurso na sala de aula O papel do professorA produção de discurso na sala de aula O professor deve colocar questões edepende do que os interlocutores propor tarefas que facilitem promovamlevam para a aula (conhecimentos, desafiem o pensamento dos alunos.competências, valores, normas, hábitos (NCTM, 1994)e expectativas. (Martinho, 2007)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 20. Comunicação Matemática na sala de aula -Fundamentação Teórica Discurso Matemático Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano de focalização O papel das perguntas do professor Perguntas de confirmação de inquiriçãoAs perguntas, formuladas pelos (Matos e Serrazina, 1996)professores, estimulam a participação, concretaspermitindo ter os alunos mais Perguntas reguladorasconcentrados e orientar o decurso da pseudo perguntasaula. (Pimm, 1987) (Stubbs, 1987) de partida Perguntas para incentivar Categorização dos modos de para avaliação questionar para a discussão final (Boavida et al., 2008)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 21. Comunicação Matemática na sala de aula - Discurso Matemático Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Apropriação de linguagem especifica Discurso individual Discurso reflexivo Tem a ver com a Corresponde a uma atitude interpretação pessoal critica do aluno face á sua que cada aluno faz aprendizagem, que passa daquilo que ouve. pela capacidade de reflexão (Martinho, 2007) face às actividades desenvolvidas (Martinho, 2007)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 22. Comunicação Matemática na sala de aula -Fundamentação Teórica Padrões de interacçãoOs padrões deComunicação Matemática numconsideradas de problemas: Uma experiência com alunos doentre interacção são contexto de resolução regularidades de acção 9.º anoprofessores e alunos.Vários são os autores (Voigt, 1985; Bauersfeld, 1988; Wood, 1994; Godinno eLlinares, 2000; Menezes, 2005; Martinho, 2007) que referem os padrões deinteracção. Padrão Extractivo IRA ou IRF Padrão da Discussão Padrão de Funil Padrão de FocalizaçãoCAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA AULAS TRADICIONAIS E AULAS NÃO TRADICIONAIS
  • 23. Comunicação Matemática na sala de aula - Padrões de interacção Fundamentação Teórica Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Frequentemente presente nas aulas ditas de tradicionais, por oposição às aulas não tradicionais. É possível identificar aIRA ou IRF sequência: I (Iniciação pelo professor), R (Reposta do aluno) A/F (avaliação ou feedback pelo professor) Extractivo: Os alunos são estimulados a fazer análises e descobertas de acordo com a sua competência. Discussão: O professor parte da resposta da solução apresentada por um aluno e coloca questões de modo a clarificar determinados aspectos.Padrões Funil: O professor ajuda o aluno a chegar à resposta colocada, através de questões mais simples. Focalização: O professor toma como ponto de partida um determinado conceito e orienta a discussão num caminho que considera adequado para poder atingir o objectivo desejado.CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 24. Fundamentação TeóricaRepresentações do conhecimento matemático SIGNIFICADO Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoTodas as ferramentas – signos e gráficos – que tornam presentes os conceitos eprocedimentos matemáticos, e com os quais os sujeitos particulares abordam einteractuam com o conhecimento matemático, ou seja, registam e comunicam oseu conhecimento matemático. (Rico, 2009)Notações simbólicas ou gráficas, especificas para cada conceito ou procedimentomatemático. (Castro e Castro, 1997)Constructo físico ou mental que descreve aspectos da estrutura inerente a umconceito e as inter-relações entre o conceito e outras ideias. (Tripathi, 2008)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICAFerramenta para aprender e comunicar matemática (Zaskis e Liljedahl, 2004)
  • 25. Representações do conhecimento matemático Fundamentação Teórica IMPORTÂNCIA Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoSão elementos essenciais no apoio aos estudantes na medida em que ajudam àcompreensão de conceitos matemáticos e ao estabelecimento de conexões.(Clement, 2004)Núcleo central da aprendizagem matemática (Font, Godino e D`Amore, 2007)Permitem apoiar a compreensão, pelos alunos, de conceitos e relaçõesmatemáticas. (NCTM, 2007)Permitem apoiar a compreensão, pelos alunos, de conceitos e relaçõesmatemáticas. (NCTM, 2007)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 26. Representações do conhecimento matemático Tipos de representaçõesRepresentações (Externas) ACTIVAS Manipuláveis ICÓNICAS (Analógicas) Contextualizadas Numéricas/ Pictóricas Semi-concretas / Situações Gráficas Esquemáticas Relevantes Tabelares SIMBÓLICAS (Digitais)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA Símbolos de Símbolos Símbolos Lologramas Algébricas Pontuação Alfabéticos Escritos
  • 27. Representações do conhecimento matemático Conexões entre Fundamentação Teórica representaçõesUma representação matemática frequentemente ilumina apenas um aspecto deum conceito matemático (…) Um quadro holístico do conceito começa aemergir apenas quando (…) observamos a ideia a partir de diferentesperspectivas. (Tripathi, 2008)Dar possibilidade aos alunos de contactarem e usarem diversas formas derepresentar, incentiva-os a ciciarem as suas próprias representações pararesolver problemas. (Loureiro, 2009)É importante proporcionar aos alunos experiencias que permitam a utilizaçãode uma vasta gama de representações. (NCTM, 2007)CAPACIDADES TRANSVERSAIS AO ENSINO DA MATEMÁTICA
  • 28. Conexões entre Fundamentação TeóricaRepresentações do conhecimento matemático representações Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoOs autores Lesh, Post e Behr. (1987), Arcavi (2003) e Clement (2004)sublinham a importância de se estabelecerem conexões entre os vários tiposde representações, pelo que apresentam o modelo: As conexões entre as várias formas de representar são úteis para incentivar a comunicação na sala de aula e o aprofundamento da compreensão de ideias matemáticas e das suas relações pelos alunos.Conexões entre representações (Clement, 2004)
  • 29. Da Terra à LuaA distância da Terra à Lua é de aproximadamente 380 000 km.Quanta vez será necessário dobrar ao meio uma folha de papel(Tamanho A4, e 0,05mm de espessura) para obtermos a distancia daTerra à Lua? Distancia da terra à Lua = 380000Km=380000000000mm Folha de papel = 0,05mm=0,00000005Km
  • 30. Dobra espessura Dobra espessura 1 0,0000001 23 0,41943 2 0,0000002 24 0,838861 3 0,0000004 25 1,677722 4 0,0000008 26 3,355443 5 0,0000016 27 6,710886 6 0,0000032 28 13,42177 7 0,0000064 29 26,84355 8 0,0000128 30 53,68709 9 0,0000256 31 107,3742 10 0,0000512 32 214,7484 11 0,0001024 33 429,4967 12 0,0002048 34 858,9935 13 0,0004096 35 1717,987 14 0,0008192 36 3435,974 15 0,0016384 37 6871,948 16 0,0032768 38 13743,9 17 0,0065536 39 27487,79 18 0,0131072 40 54975,58 19 0,0262144 41 109951,2 20 0,0524288 42 219902,3 21 0,1048576 43 439804,7 22 0,2097152 44 879609,3
  • 31. Estudo Implícito da Função Exponencial
  • 32. Carlos Jeremias Poup.Dia Poup. Diária Poup. Acumul. Poup. Diária Acumul. 1 1 1 0,1 0,1 2 1 2 0,2 0,3 3 1 3 0,4 0,7 4 1 4 0,8 1,5 5 1 5 1,6 3,1 6 1 6 3,2 6,3 7 1 7 6,4 12,7 8 1 8 12,8 25,5 9 1 9 25,6 51,110 1 10 51,2 102,311 1 11 102,4 204,712 1 12 204,8 409,513 1 13 409,6 819,114 1 14 819,2 1638,315 1 15 1638,4 3276,7
  • 33. Poupança acumulada do Carlos
  • 34. Número Quadrado Cubo 4ª Potência 5ª Potência 6ª Potência 7ª Potência 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 6 2 4 8 3 9 7 1 3 9 7 4 6 4 6 4 6 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 9 3 1 7 9 3 8 4 2 6 8 4 2 9 1 9 1 9 1 9
  • 35. Aprender a comunicar, resolvendo problemasPintando SólidosO Marco foi encarregado de pintar contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Comunicação Matemática num sólidos para uma exposição.As instruções que lhe deram foram de que ele deveria utilizar o menor númerode cores possível, mas de modo a que duas faces adjacentes não tivessem amesma cor. Entregaram ao Marco os seguintes sólidos: Cubo; PrismaTriangular; Prisma Hexagonal; Prisma Pentagonal; Pirâmide Quadrangular ePirâmide Pentagonal.Será verdade que, quanto maior for o número de faces do sólido, mais coresserão necessárias?
  • 36. Pintando Sólidos Aprender a comunicar, resolvendo problemasEpisódio: Isto não faz sentido nenhum…Mónica: Oh! Professor, isto não faz sentido nenhum, então vê-se logo, quequanto maior for o número de faces mais cores serão necessárias, acho eu.Pedro: Oh! Professor, aqui diz, as faces adjacentes têm que ter cor diferente, porisso se tiver poucas faces vamos ter que utilizar poucas cores, mas se tivermosmais faces vamos usar mais cores…Episódio: Faces seguidas, estás a ver?Ruben: Oh professor, o que são faces adjacentes?Mónica: Faces adjacentes, são faces seguidas, estás a ver? Coladas…Ruben: Coladas?Mónica: Sim, assim e assim. [explicando com as mãos, posicionando-os como sefossem faces de sólidos]Ruben: Ah! É isso?Mónica: É, não é, professor?Professor: Sim. É isso. São faces que têm uma aresta em comum.
  • 37. Aprender a comunicar, resolvendo problemasPintando Sólidos Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Existência de não Pouca convicção Silêncio dos reflexão após a leitura nas afirmações restantes colegasALUNOS Auto e hetero Discurso oral e Conexão de formas de esclarecimento comunicação gestual representar (oral e (representação activa) gestual)PROFESSOR Legitimar intervenções Levar ao auto- Levar ao confronto dos alunos questionamento de posições
  • 38. O discurso oral Aprender que a comunicar, resolvendo problemasse ia mantendo entre Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoos alunos mostrou-se importante noprosseguimento datarefa e asrepresentações queiam elaborando eramdecisivas para ashipóteses que iamsurgindo. Registo de Catarina
  • 39. Aprender a comunicar, resolvendo problemas Diferentes tipos de registo • Sequência de letras para referir cores ABC ABCD • Contraste de texturas • Registo do número de cores • Número de faces do sólidoSimbólicos (números ou letras) e pictóricos
  • 40. Os registos foram adequados na comunicar, resolvendo problemas Aprender a medida em que permitiram o surgimento de Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoregularidades. Contudo os alunos tiveram dificuldade em as relacionar com ascaracterísticas dos sólidos, o que não lhes permitia encontrar um argumentoválido para responder à questão que lhes era colocada.Embora não consigam no imediato estabelecer relações, iniciam um processoválido e poderoso para o encontrar dessas mesmas relações.Oh professor: aqui diz, as faces adjacentes têm que ter cor diferente. Por isso se tiverpoucas faces vamos ter que utilizar mais cores. Por exemplo se tivermos uma pirâmide debase triangular, teremos que utilizar uma cor aqui, outra cor aqui, outra cor aqui, outracor ali, [apontando para uma pirâmide triangular que desenhou na sua ficha], porque sãotudo faces adjacentes, se tivermos mais faces vamos usar menos cores, porque podemosrepetir as cores. Porque se for uma coisa assim, [apontando para a pirâmide de basequadrangular], posso repetir as cores nas faces que não estão juntas.
  • 41. Em função dosAprender aalunos e das suas alegações aconselhei-os a registos dos comunicar, resolvendo problemas Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º anoorganizar a informação que tinha obtido, por exemplo um tabela (representaçãoesquemática) e em seguida que a observarem. Registo de Catarina Registo da Olga
  • 42. Aprender a comunicar, resolvendo problemasComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
  • 43. Aprender a comunicar, resolvendo problemasComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
  • 44. Aprender a comunicar, resolvendo problemasComunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano
  • 45. Aprender a comunicar, resolvendoOs diferentes registos dos alunos (representações) problemas Comunicação Matemática num contexto de resolução de problemas: Uma experiência com alunos do 9.º ano Simbólicos Pictóricos Esquemáticos DiscursoPermitiram encontrar a resposta a tarefa que refutava a ideia inicial

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