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# Algunos+ejercicios+curso+11 12

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• 1. A CONTINUACI&#xD3;N ADJUNTO EJERCICIOS TRABAJADOS EN CLASE. NO SON TODOS. LAS SECCIONES DE ALGUNOS EJERCICIOS NO APARECEN RAYADAS PORQUE EL PROGRAMA NO ME PERMIT&#xCD;A HACERLO. OTRAS SI PORQUE EST&#xC1;N HECHAS CON UN PROGRAMAANTERIOR. OCURRE ALGO SIMILAR CON LAS L&#xCD;NEAS CURVAS TRAZADAS PARA HACER ABATIMIENTOS, POR EJEMPLO, QUE EN ELG&#xDA;N EJERCI- CIO APARECEN BIEN Y EN OTROS EST&#xC1;N HECHAS MEDIANTE CIRCUNFERENCIAS DE LAS CUALES SIMPLEMENTE INTERESAAQUE- LLA PARTE DE ELLA QUE ES &#xDA;TIL EN EL EJERCICIO. AL SER EJERCICIOS REALIZADOS PARA USO PERSONAL NO HE NOMBRADO MUCHAS RECTAS. TEN PRESENTE NOMBRAR SIEMPRE LAS COSAS PARA PODER ORDENAR EL EJERCICIOS Y QUE EL CORRECTOR VEA QUE SABES INTERPRETAR EL DIBUJO. POR FALTA DE CARACTERES GRIEGOS LOS PLANOS EST&#xC1;N NOMBRADOS COMO Valfa Y Halfa. LO QUE DEBES USAR ES LA LETRA GRIEGA CORRESPONDIENTE AL PLANO QUE EST&#xC1;N NOMBRANDO. PUEDES ENCONTRAR ALG&#xDA;N ERROR DE ORTOGRAF&#xCD;A EN LASEXPLICACIONES. NO LO TENGAS PRESENTE, FALLOS DEL DIRECTO. SI ALGO VES QUE EST&#xC1; CONFUSO NO DUDES EN DEC&#xCD;RMELO. LAS EXPLICACIONES QUE ACOMPA&#xD1;AN A CADA EJERCICIO NO ES- TABAN PENSADAS PARA HACER UN DOCUMENTO AS&#xCD;, POR ESO ES NORMAL QUE PUEDAS ENCONTRAR ERRORES Y DATOS CONFU- SOS. RECUERDA QUE ESTOS EJERCICOS PUEDEN PROPONERSE CAMBIANDO EL ENUNCIADO. LEE BIEN Y TRATA DE RAZONAR CON CAL- MAAQUELLO QUE TE PREGUNTAN. DIBUJA EN 3 DIMENSIONES PARA QUE COMPRENDAS MEJOR LO QUE EST&#xC1;S HACIENDO. MUCHO &#xC1;NIMO, QUE SABES HACERLO BIEN.
• 2. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Desabatimos el plano alfa y obtenemos A2 y (A). 3&#xBA;) Con un radio de 60mm (lado del tetraedro) y centro en (A) cortamos (Halfa) y eso nos permite hallar (B), ya que el punto B est&#xE1; en el PH. Por defecto aparece (C) y B1. 4&#xBA;) Desabatimos la base ABC y el centro O. 5&#xBA;) Hallamos la altura del tetraedro. Hacemos una recta t perpendicular a las trazas de alfa desde O, puesto que el tetraedro es recto y est&#xE1; apoyado en alfa. Mediante la distancia de cota (dc) podemos resolver la altura. Para saber la altura que tiene este tetraedro observr el dibujo hecho. 6&#xBA;) Terminmos la figura (Valfa) A1 Halfa=(Halfa) Valfa A2 (A) (B)=B1 (C) B2 2/3 1/3 (O) C1 C2r2 r1 (r) s2 s1 (s) O1 O2 t2 t1 X2 X2 O h h V1 V2
• 3. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Hallamos el plano alfa a partir de las trazas de la recta r. r es de m&#xE1;xima inclinaci&#xF3;n, por eso r2 es perpendicular a Valfa. 3&#xBA;) Hacemos una recta s perpendicular a las trazas de alfa y que pase por P, 4&#xBA;) Hacemos un plano beta que contenga a s. Para ello hacemos un plano proyectante horizontal aprovechando s1. 5&#xBA;) Alfa y beta se cortan en la recta de intersecci&#xF3;n. 6&#xBA;) De cualquier punto de la proyecci&#xF3;n s2 (en este caso desde P2) bajamos a la paralela a LTque hacemos desde X2 y formamos el tri&#xE1;ngulo. Tenemos as&#xED; las dc (distancia de cota) que llevaremos al PH y que pondremos perpendicular a s1 desde P1. 7&#xBA;) La uni&#xF3;n del extremo de dc con X1 es la distancia m&#xED;nima entre P y alfa. 8&#xBA;) De cualquier punto de la proyecci&#xF3;n s1 (en este caso desde P1) bajamos a la paralela a LTque hacemos desde X1 y formamos el tri&#xE1;ngulo. Tenemos as&#xED; las da (distancia de alejamiento) que llevaremos al PV y que pondremos perpendicular a s2 desde P2. PAU SEPTIEMBRE 2008 II La recta r dada por los puntos Ay B es una recta de m&#xE1;xima inclinaci&#xF3;n del plano alfa. Se pide: - representar dicho plano alfa. - Hallar la m&#xED;nima distancia entre el punto P y el plano alfa. P2 P1 A1 A2 B1 B2 r2 r1 Vr Hr Valfa Halfa s1s1 s2 vbeta =vbeta X2 X1 19mm da da dc dc
• 4. a) Hallar las proyecciones de un prisma recto apoyado en el PH de altura 100mm., que tiene como base un pent&#xE1;gono reguler inscrito en una circunferencia de radio 40mm de cuyo centro O se conoce su proyecci&#xF3;n horizontal, sabiendo que un lado del pent&#xE1;gono es paralelo a LTy est&#xE1; situado lo m&#xE1;s cerca posible del PV. b) Hallar las proyecciones ya la Verdadera Magnitud de la secci&#xF3;n al prisma producida por el plano alfa. Valfa Halfa O1 A1=F1=M1 B1=G1=K1 C1=H1=L1 D1=I1=N1 E1=J1=P1 C2B2 A2 E2 G2 H2 F2 I2 J2 K2 L2 M2 N2 P2 (Valfa) (P) (N) (L) (K) (M) 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado sabiendo que la base pentagonal est&#xE1; inscrita en circunferencia. 2&#xBA;) Abatir puntos al PV a 100mm que es la altura del prisma. Se ve en VM tanto en el PH como en el PV. Al ver la base en VM en PH, las proyecciones en PV estar&#xE1;n en LT, puesto que es la base con la que estamos trabajando. 3&#xBA;) La proyecci&#xF3;n de los puntos en PH hacia PV a su vez pasan por los puntos de secci&#xF3;n con el plano alfa. 4&#xBA;) Abatimos los puntos de secci&#xF3;n del prisma con el plano alfa. Sacar perpendiculares de cada punto de secci&#xF3;n proyectado en PH, puesto que el plano alfa est&#xE1; abatido hacia la derecha y conincide con LTy hace 90&#xBA;.
• 5. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Abatimos Valfa 3&#xBA;) Construimos la circunferencia de radio 40mm tangente a (Halfa) y (Valfa) e incluimos dentro el hex&#xE1;gono regular. 4&#xBA;) Incluimos los 6 v&#xE9;rtices del hex&#xE1;gono en rectas para desabatirlos y ver las proyecciones. 5&#xBA;) Hacemos una recta perpendicular desde O1 y O2 las trazas del plano alfa para hallar la altura. Pasamos una paralelta a LT por O1 y O2 y elegimos cualquier punto (X) de la recta perpendicular w2 para obtener una distancia de cota (dc). 6&#xBA;) Llevamos la distancia de cota (dc) a la proyecci&#xF3;n horizontal y la ponemos perpendicular a la recta w (w1) desde X1. La recta que une el final de dc y O1 est&#xE1; en VM. Marcamos ah&#xED; los 80mm de la altura y la llevamos a w1. Tenemos asi V. 7&#xBA;) Marcamos el resultado final. PAU SEPTIEMBRE 2010-11 JUNIO II Conocido el plano alfa dado, representa las proyecciones horizontales y verticales de: a) Un hex&#xE1;gono regular contenido en alfa que est&#xE1; inscrito en una circunferencia de radio 40mm tangente a l PH y al PV, sabiendo que un v&#xE9;rtice est&#xE1; en el PH y otro en el PV. b) Representa la pir&#xE1;midede altura 80mm siendo su base el hex&#xE1;gono regular Valfa Halfa (Valfa) (Halfa) (A) (B) (C) (D) (E) (F) (O) A1 A2 r2 s2 t2 u2 r1 s1 t1 u1 (r) (s)(t)(u) O1 E1 F1 D1 C1 B1 D2 O2 E2 F2 B2 C2 X2 X1 V2 dc V1 dc w1 w2
• 6. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Dibujamos el tri&#xE1;ngulo equil&#xE1;tero de lado 50mm que forma la base y desabatimos Valfa. Hallamos las proyecciones de ABC. 3&#xBA;) Desabatimos el centro O para posteriormente hallar la altura. 4&#xBA;) Dibujamos las proyecciones de la base. 5&#xBA;) Hallamos la altura de la pir&#xE1;mide a partir de V1 y de la perpendicular al punto medio de AB. 6&#xBA;) Dibujamos las proyecciones y la VM de la secci&#xF3;n. PROPUESTAPAU 2011-2012_2 - Dibuja las proyecciones de una pir&#xE1;mide exc&#xE9;ntrica de base triangular equil&#xE1;tera de lado 50mm. La cara ABV est&#xE1; apoyada en el PV. La arista BC de la base est&#xE1; en el PH. La base est&#xE1; apoyada en el plano alfa del que conocemos su traza horizontal y el abatimiento de la traza vertical. La proyecci&#xF3;n V2 es perpendicular al punto medio de B2-A2. - Hallar la secci&#xF3;n producida por el plano beta proyectante vertical y la VM de dicha secci&#xF3;n. B1=B2 Halfa (Valfa) Hbeta Vbeta V1 Valfa (A) (C)=C1(O) A2 A1 C2 O1 O2 V2 1 2 3 1 3 2 (1) (2) (3)
• 7. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Contruimos en el PH la pruyecci&#xF3;n de la pir&#xE1;mide. 3&#xBA;) Dibujamos la proyecci&#xF3;n vertical de la pir&#xE1;mide de altura 70mm. 4&#xBA;) Hacemos el plano alfa proyectante vertical a 30&#xBA; que pase por A2. Hallamos la secci&#xF3;n tanto en PV como en PH. 5&#xBA;) Abatimos la secci&#xF3;n producida por alfa a la pir&#xE1;mide. 6&#xBA;) Dibujamos la VM de la secci&#xF3;n. PROPUESTAPAU 2011-2012 - Hallar las proyecciones de una pir&#xE1;mide de base pentagonal de radio 50mm sabiendo que el v&#xE9;rtice V est&#xE1; apoyado en el PH y su base ABCDE es paralela al PH; la arista CD es perpendicular a LTy se encuentra en la posici&#xF3;n m&#xE1;s alegada del margen izquiero del papel. Lapir&#xE1;mide tiene una altura de 70mm. - Hallar la VM de la secci&#xF3;n producida por un plano alfa proyectante vertical que formando 30&#xBA; con el PH pasa por el v&#xE9;rtice A. V1 A1 B1 C1 D1 E1 V2 C2=D2B2=E2A2 Halfa Valfa 1=2 3=4 5 1 2 4 3 5 (1) (2) (3) (5) (4)
• 8. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. Aest&#xE1; en LT. Como B est&#xE1; en PV, la hallo en VM en (Valfa). 2&#xBA;) Sacamos C&#x2019; puesto que veo el tri&#xE1;ngulo en VM y cada lado tiene 100mm. 3&#xBA;)Como AC est&#xE1; en el PH, ya puedo sacar la traza horizontal de alfa 4&#xBA;) Desabatimos (Valfa) con una perpendicular a Halfa hasta LTque pase por B&#x2019; puesto que es el punto que desabatimos. Halamos C2. Hallamos O1 y O2 para sacar la altura. 5&#xBA;) Dibujamos y tenemos la base en sus distintas proyecciones. 6&#xBA;) Hallamos la altura. 7&#xBA;) Completamos. Representa una pir&#xE1;mide de altura 100mm cuya base ABC es un tri&#xE1;ngulo equil&#xE1;tero de lado 100mm. La base ABC est&#xE1; apoyada en el plano alfa, del que se conoce su traza abatida (Valfa), sabiendo que: - La arista AC de la base est&#xE1; en el PH. A1=A2 (Valfa) B&#x2019; C&#x2019; Halfa=Halfa&#x2019; B2 B1 Valfa C2 =C1 O&#x2019; O1 O2 dc J2 J1 dc V1 V2
• 9. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado.Ponemos una recta a 150mm del borde donde estar&#xE1; el centro de la base. 2&#xBA;) Abrimos un Plano de Perfil para ver en VM la pir&#xE1;mide. 3&#xBA;) Nos llevamos la tercera proyecci&#xF3;n al PV y PH y tenemos las proyecciones. Representar las proyecciones de la pir&#xE1;mide recta de base cuadrada ABCD contenida en el primer cuadrante y apoyada en el plano alfa dado, sabiendo que tiene un lado de la base en el PH y otro en el PV. El centro de la cara de la base est&#xE1; situado a 150mm del borde izquierdo de la l&#xE1;mina y la altura de la pir&#xE1;mide es de 110mm. Todas las medidas en mil&#xED;metros. Valfa Halfa P.P. A3=B3 C3=D3 V3 O2 O1 V2 V1 A2 B2 A1=C2 B1=D2 C1 D1
• 10. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Abatimos tanto en el PV como en el PH 3&#xBA;) Hallamos las proyecciones del prisma 4&#xBA;) Dibujamos el plano beta proyectante vertical 5&#xBA;) Hallamos la secci&#xF3;n y la abatimos para tenerla en VM Representa el prisma pentagonal apoyado en el plano alfa. La base del prisma es un pent&#xE1;gono inscrito en una circunferencia de radio 30mm. El v&#xE9;rtive A de la base es el que tiene menor cota. La altura del prisma es de 80mm. - Hallar la secci&#xF3;n producida por elplano beta sabiendo que es proyectante y que la traza vertival tiene 60&#xBA; hacia la izquierda. - Hallar la Verdadera Magnitud de la secci&#xF3;n producida por el plano beta al prisma. Valfa Hbeta O2 Halfa O1 (O) (A) (A)(O) (B) (C)( D) (E) (B) (C) (D) (E) E1 D1 C1 B1 =A1 A2 E2=B2 C2=D2 H2=I2 G2=J2 F2 F1 I1 J1 H1 G1 Vbeta K2 L2 P2 N2 M2 P1 N1 L1 M1 K1 (L) (M) (P) (N) (K)
• 11. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Hacemos una recta horizontal o vertical que incluya a V1 y que est&#xE9; contenida en alfa para poder hallar V2. 3&#xBA;) Trazamos la proyecci&#xF3;n2 de s para hallar C2 y C1, ya que la arista CV pasa por P. 4&#xBA;) Dibujamos la base ABC y la arista V2A2 5&#xBA;) Incluimos a r en un plano proyectante vertical y hallamos secci&#xF3;n. El punto Q ertenece tambi&#xE9;n a alfa, dato necesario para poder hallar Q1. Se incluye Q en una recta horizontal que pertenezca a alfa. 6&#xBA;) Dibujamos la secci&#xF3;n y la abatimos. 7&#xBA;) Marcamos el resultado final. PAU SEPTIEMBRE 2006 II El plano alfa dado contiene la cara ABV de una pir&#xE1;mide de base triangular. La base ABC est&#xE1; apoyada en el Plano Horizontal. El punto P dado pertenece a la arista CV y a la recta dada. Se pide: - Hallar las proyecciones di&#xE9;dricas de la pir&#xE1;mide y la secci&#xF3;n con su Verdadera Magnitud producida por el plano beta proyectante vertical que contiene a la recta r dada. Valfa Halfa P2 P1 r1 V1 A1 B1 r2 V2 s1 s2 B2A2C2 C1 t1 t2 R2 Q2 R1 Q2 (P)(R) (Q) Vbeta Hbeta
• 12. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Con la recta de 50mm a 45&#xBA; y el plano alfa abatido hallamos la arista AB 3&#xBA;) Nos llevamos los puntos hasta LTy desabatimos hasta la traza horizontal de alfa. Con perpendiculares por la traza vertical de alfa desabatimos. 4&#xBA;) Dibujamos las proyecciones C2 PAU SEPTIEMBRE 2008 I En el plano alfa dado est&#xE1; situada la cara ABCD de un cubo. El v&#xE9;rtice Aest&#xE1; en el P.H. y B est&#xE1; en el PV. La arista AB forma un &#xE1;ngulo de 45&#xBA; con las trazas del plano y la arista del cubo mide 50mm. Dibujar las proyecciones del cubo situado en el primer cuadrante. D1 B2=(B) (A) (C) (D) A2 A1=C1 B1 D2 F1 E1=G1 F2 G2 E2 H2 H1
• 13. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Hallamos la arista AD y hacemos la paralela r que pase por P. Podemos completar la proyecci&#xF3;n del prisma en el PV y en el PH. 3&#xBA;) Hallamos el plano alfa proyectante vertical desde r y el plano beta perpendicular a &#xE9;l. Pra ello hacemos perpendicular a la traza vertical de alfa y que pase por P. 4&#xBA;) Tenemos los puntos de intersecci&#xF3;n de beta con el prisma.y la intersecci&#xF3;n. 5&#xBA;) Abatimos beta y tenemos la secci&#xF3;n en VM. PAU JUNIO 2005 ABC es la base de un prisma oblicuo apoyado en el PH. La recta AD es una arista del prisma. por un punto P dado pasa una recta r paralela a las aristas laterales del prisma. Dicha recta est&#xE1; contenida en el plano alfa proyecyante vertical. Se pide: - trazar un plano beta paralelo a alfa por el punto P. - hallar la secci&#xF3;n producida por el plano beta en el prisma y dibujar la VM de dicha secci&#xF3;n. P2 P1 A2 A1 B2C2 C1 B1 D1 D2 r2 r1 E2 F2 E1 F1 Valfa Halfa Vbeta Hbeta G2 H2 I2 G1 H1 I1 (I) (H) (G)
• 14. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. Al ser un plano proyectante trazamos Valfa perpendicular a LT. 2&#xBA;) Al tener la altura localizada, hallamos la perpendicular que contiene a V, tanto en Valfa como en Halfa. Obtenemos as&#xED; O1 y O2. 3&#xBA;) Abatimos Ay O para contriur el hex&#xE1;gono en VM. 4&#xBA;) Desabatimos los v&#xE9;rtieces del hex&#xE1;gono para ver sus proyecciones. 5&#xBA;) Unimos y terminamos. Valfa Halfa V2 1- Representar las proyecciones de la pir&#xE1;mide recta cuya base es un hex&#xE1;gono regular ABCDEF de lado 40mm., apoyado en el plano proyectante del que se conoce su traza horizontal, el punto Ade la base y sabiendo que el v&#xE9;rtice V est&#xE1; en el PV. Todas las medidas est&#xE1;n expresadas en mil&#xED;metros. PAU 2009-2012 OP B A2 V1 A1 O1 O2 (A) (O) (B) (C) (D)(E) (F) B1 B2 F1 F2 E1 E2 C1 C2 D1 D2
• 15. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Abatir Valfa para hallar las rectas r y s en VM y formar los 45&#xBA; entre ellas, pasando por A. 3&#xBA;) En VM 45&#xBA; con Halfa y que pase por (A) y hallamos B1 y B2, lo mismo para C1 y C2. Tenemos as&#xED; las rectas r y s. 5&#xBA;) Unimos y terminamos. Valfa Halfa 1- Dado el plano alfa proyectante horizontal representado pro Halfa, se pide representar lo siguiente: - Un punto A del plano alfa de cota 45mm y alejamiento 60mm. - Las rectas r y s del plano alfa que pasando por el punto A formen un &#xE1;ngulo de 45&#xBA; con el PH. - Hallar el &#xE1;ngulo que forman entre s&#xED; ambas rectas. - Halar la inteersecci&#xF3;n B y C de las rectas con el PH. - Hallar la VM del segmento Ab y AC Todas las medidas est&#xE1;n expresadas en mil&#xED;metros. PAU 2009-2012 SEP OP B A1 A2 (Valfa) (A) 90&#xBA; B1 B2 C1 C2 45&#xBA; 90&#xBA; (r) (s) r1 s1 r2 s2 64mm 64mm
• 16. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. Hallar el plano alfa y el beta, paralelo a alfa por D, por eso D2 est&#xE1; contenido en la rect s para hallar Vs y hacer Vbeta paralelo a Valfa. La recta s es paralela a r que a su vez est&#xE1; contenida en el plano alfa. 2&#xBA;) Hacemos la recta p perpendicular a Halfa y Valfa y que pase por D y la contenemos en otro plano, llamado gamma. De este modo p tambi&#xE9;n es perpendicular a beta. 3&#xBA;) Hallar la recta de intersecci&#xF3;n entre gamma y alfa hallando Q2 en la perpendicular p2. Por defecto sacamos Q1 en p1. Este punto Q es la intersecci&#xF3;n de la recta p con elplano alfa. La distancia D-Q es la distancia entre los dos planos paralelos. 4&#xBA;) Paralela (w2) a LTpor Q2. 5&#xBA;)dc = al corte de la recta que va perpendicular de w2 a D2. Llevo dc al PH desde Q1 sobre la perpendicular a Halfa y Hbeta. El v&#xE9;rtice que queda libre se une a D1 en J1 una recta en VM 6&#xBA;) La distancia entre J1 y D1 es la distancia real (VM) entre Alfa y Beta. D2 Representar las trazas del plano alfa definida por los puntos A, B y C. Se pide: -Representar las trazas del plano beta, paralelo al plano alfa por el punto D. -Hallar la distancia en verdadera magnitud entre los planos alfa y beta D1 A1 A2 B1 B2 C2 C1 Valfa Halfa Vss2 s1 r2 r1 Vbeta Hbeta Hp VpVp Vgamma p1=Hgamma p2 i2 =i1 Q2 Q1 w2 dc dc J1 Distancia entre alfa y beta 33mm
• 17. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciadoTanto Acomo B est&#xE1;n en recta frontal. La hallamos. 2&#xBA;) Abatimos Halfa (al rev&#xE9;s de lo que hemos hecho normalmente. 3&#xBA;) Como la base tiene lado 60mm la contruimos sobre la recta abatida que contiene Ay B, utilizando A&#x2019; como un v&#xE9;rtice y hallando B&#x2019; y C&#x2019; 4&#xBA;) Desabatimos B&#x2019; y C&#x2019; para poder contruir las proyecciones en PV y PH. 5&#xBA;) Para la altura usamos paralela a LTpor O2 y perpendiculas a Valfa por O2 tambi&#xE9;n. DE esta perpendicular elegimos un punto cualquiera J2 y lo lllevamos a su recta correpondiente en PH (perpendicular a Halfa por O1). Teniendo en Pv la dc nos la llevamos al PH y al ponemos perpendicular desde J1. Unimos ese v&#xE9;rtice que queda suelto con O1 y la recta resultante est&#xE1; en VM. Ponemos los 80mm de la altura y con otra perpendicular hallamos V1. Subimos a PV y tenemos V2. 6&#xBA;) Unimos para temrinar, teniendo en cuenta las discontinuas. 7&#xBA;) Para abatir la recta frontal hay que tener en cuenta que traza vertical es paralela a Valfa tambi&#xE9;n en el abatimiento. As&#xED; de este modo coicidir&#xE1;n las proyevciones del PV y PH tanto abatiendo la frontal hacia arriba como hacia abajo. Tenemos que abatir la frontal, puesto auq Ay B pertenecen a ese tipo de recta, por eso abatiendo A2 con una horizontal el tri&#xE1;ngulo queda distinto. Representar las proyeccioes de una pir&#xE1;mide recta de base triangular ABC de lado 60mm y altura 80mm apoyada en un plano alfa dado y conocido el v&#xE9;rtice Adel tri&#xE1;ngulo de la base, sabiendo que la pir&#xE1;mide est&#xE1; en el primer cuadrante y que el lado AB est&#xE1; en una recta frontal, teniendo el v&#xE9;rtice B mayor cota que el v&#xE9;rtice A. Todas las medidas en mil&#xED;metros. Valfa=Valfa&#x2019; Halfa A2 Recta frontal A1 Halfa&#x2019; A&#x2019; B&#x2019; C&#x2019; O&#x2019;=V&#x2019; B2 C2 B1 C1 O2 O1 J2 dc J1 V1 V2 dc A&#x2019; B&#x2019; C&#x2019;
• 18. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. Aest&#xE1; en LT. Como B est&#xE1; en PV, la hallo en VM en (Valfa). 2&#xBA;) Sacamos C&#x2019; puesto que veo el tri&#xE1;ngulo en VM y cada lado tiene 100mm. 3&#xBA;)Como AC est&#xE1; en el PH, ya puedo sacar la traza horizontal de alfa 4&#xBA;) Desabatimos (Valfa) con una perpendicular a Halfa hasta LTque pase por B&#x2019; puesto que es el punto que desabatimos. Halamos C2. Hallamos O1 y O2 para sacar la altura. 5&#xBA;) Dibujamos y tenemos la base en sus distintas proyecciones. 6&#xBA;) Hallamos la altura. 7&#xBA;) Completamos. Representa una pir&#xE1;mide de altura 100mm cuya base ABC es un tri&#xE1;ngulo equil&#xE1;tero de lado 100mm. La base ABC est&#xE1; apoyada en el plano alfa, del que se conoce su traza abatida (Valfa), sabiendo que: - La arista AC de la base est&#xE1; en el PH. - La arista AB de la base est&#xE1; en el PV. A1=A2 (Valfa) B&#x2019; C&#x2019; Halfa=Halfa&#x2019; B2 B1 Valfa C2 =C1 O&#x2019; O1 O2 dc J2 J1 dc V1 V2
• 19. Halla el plano alfa definido por la recta r y el punto A. Representa la pir&#xE1;mide ABCV cuya base es un tri&#xE1;ngulo equil&#xE1;teri (ABC), situada en el primer cuadrante, sabienod que el v&#xE9;rtice B est&#xE1; en el PH y la arista AB est&#xE1; contenida en la recta de m&#xE1;xima pendiente de alfa. La altura de la pir&#xE1;mide es 60mm. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. Hallar el plano alfa, que cotiene a r y pasa por A2. 2&#xBA;) Buscamos recta m&#xE1;x pendiente para la arista AB. Perpendicular a Halfa que pase por A1 y as&#xED; hallamos el punto B y sacamos la arista AB cuyo v&#xE9;rtice B est&#xE1; en PH. 3&#xBA;) Abatimos Valfa y AB para hallar C al ser equil&#xE1;tero. Tambi&#xE9;n hallamos el centro O para poder sacar la altura. 4&#xBA;) Unimos los puntos y hallamos las proyecciones de la base. Desabatimos el centro O. 5&#xBA;) Perpendicular a Valfa que pase por O2 y perpendicular a Halfa que pase por O1 para hallar la recta w que nos permitir&#xE1; hallar la altura de 60mm. La recta paralela a LTque pasa por C2 y O2 forma un tri&#xE1;ngulo con la recta w2 y un lado de ese tri&#xE1;ngulo es la distancia de cota (dc). 6&#xBA;) La dc la llevamos al PH desde J1 y perpendicular a w1. Unimos O1 con el v&#xE9;rtice libre y tenemos una recta en VM. Hallamos los 60mm y con otra perpendicular a w1 la llevamos a la propia w1 donde hallamos V1. DE ah&#xED; a V2 y tenemos la altura. 7&#xBA;) Unimos los puntos proyectados tanto en PV vomo en PH para obtener el resultado. A1 A2 Valfa r2 r1 Halfa Vr altura 60mm B1 B2 mp1 mp2 A&#x2019; =B&#x2019; C&#x2019; C1 C2 O&#x2019;=V&#x2019; O1 O2 dc w1 w2 J2 J1 dc 60mm V1 V2
• 20. Representa el cubo cuya base ABCD est&#xE1; en el PH, dado el v&#xE9;rtice G y sabiendo que el v&#xE9;rtice A est&#xE1; en LTy en la posici&#xF3;n m&#xE1;s cercana a la traza horizontal del plano (A y G son v&#xE9;rtices opuestos de la diagonal del cubo). Halla la verdadera magnitud de la secci&#xF3;n del cubo por el plano alfa dado por su traza vertical sabiendo que es proyectante. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. Hallar el plano. 2&#xBA;) Contruimos el cuadrado a parte a tama&#xF1;o real sabiendo que la ser un cubo todos sus lados miden lo mismo, y el lado mide 50mm puesto que G2 est&#xE1; en cota 50mm y la base est&#xE1; en PH, por lo tanto los 50mm son reales. Hallo la diagonal G-E para poder sacarla en LT(A=E). 3&#xBA;) Una vez dibujado el cubo en el PH (cubo visto desde arriba), hallamos las proyecciones en el PV de los puntos A,B,C,D,E,F y H puesto que G ya lo tenemos. Cota 50mm. 4&#xBA;) Vemos la secci&#xF3;n en PH y la abatimos para verla en VM como pide el enunciado. 5&#xBA;) Terminamos la secci&#xF3;n en VM. G2 Valfa G1=C1 Halfa diagonal 5cm 5cm G A=E A1=E1=N1 H1=D1 F1=B1=J1 H2K2=M2A2F2 N2 J2 K1 M1 K&#x2019; J&#x2019; M&#x2019; N&#x2019;
• 23. Dado el plano alfa definido por los puntos P(2,0,0), A(11,7,0) y R(13, 0, 7), representa el hex&#xE1;gono regular ABCDEF contenido en el plano, que tiene el lado AB en el PV y el v&#xE9;rtice D en el PH. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado 2&#xBA;) Abatir plano alfa usando un punto cualquiera de Valfa (en este caso hemos utilizado A2 puesto que est&#xE1; en Valfa), con comp&#xE1;s desde la uni&#xF3;n de Valfa con Halfa en LT. Desde A1 perpendicular a Halfa y cortqar&#xE1; el arco hecho enteriormente para abatir Valfa. Trazamos el abatimiento Valfa&#x2019;. 3&#xBA;) En la verdadera magnitud construyo un hex&#xE1;gono peque&#xF1;o que me servir&#xE1; de gu&#xED;a para sacar D&#x2019;, ya que D estar&#xE1; en el Halfa, por lo tanto D&#x2019;=D1. Hallo la mediatriz del segmento A&#x2019;-D&#x2019; y tengo el centro o&#x2019; del hex&#xE1;gono. Como el hex&#xE1;gono est&#xE1; formado por 6 tri&#xE1;ngulos equil&#xE1;teros, con el segmento o&#x2019;-A&#x2019;puedo hacer el hex&#xE1;gono. 4&#xBA;) Nos llevamos B&#x2019; a Valfa con comp&#xE1;s para sacar B2, y perpendicular hasta LTsacamos B1. C&#x2019; lo inclu&#xED;mos en una recta proyectante horizontal y hallamos C1 y C2. Con paralelas a Halfa llevamos el punto E&#x2019; y F&#x2019; hasta Valfa&#x2019;, que con comp&#xE1;s lo llevaremos hasta Valfa, y con sendas rectras proyectantes horizontales sacamos donde est&#xE1;n E1, E2, F1 y F2. 5&#xAA;) Unimos las proyecciones de los puntos del PV y del PH y tenemos la solucion. P2=P1 A1=D2 A2 R2 R1 Valfa Halfa Valfa&#x2019; A&#x2019; O&#x2019; F&#x2019; E&#x2019; C&#x2019; B&#x2019; D&#x2019;=D1 B2 B1 C1 C2 E1 F1 F2 E2
• 24. Dadas las proyecciones horizontales de dos v&#xE9;rtices Ay B de un Tetraedro y la traza vertical Valfa de un plano proyectante vertical se pide: a) Dibuyjar las proyecciones del Tetraedro, sabiendo que los v&#xE9;rtices A, B y C se encuentran el en PH (dibujar la proyecci&#xF3;n de C m&#xE1;s lejana al plano alfa). b) Hallar la secci&#xF3;n del tetraedro con el plano alfa. c) Hallas la verdadera magnitud de la secci&#xF3;n. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado y los datos que nos dan. 2&#xBA;) Al tener ya las 3 proyecciones en PH las llevo a PV. 3&#xBA;) Se construye a parte el tetraedro (secci&#xF3;n) para hallar la altura h. Primero trazamos recta y una perpendicular. Luego usamos los 2/3h del PH y los llevamos desde O. De ese corte producido se sacan 5cm (medida de la arista del tetraedro) y cortar&#xE1; a la perpendicular. Con las bisectrices hallamos le centro de cara del tetraedro (ya que es equil&#xE1;tero). 4&#xAA;) Unimos las proyecciones de los puntos del PV y del PH y tenemos las proyecciones del tetraedro. 5&#xBA;) Abatimos los puntos de secci&#xF3;n del plano alfa con el tetraedro. para ello ha sido necesario localizar las proyecciones en PV, teniendo en cuenta que los v&#xE9;rtices AB est&#xE1;n superpuestos y por lo tanto las aristas que los unnen con la altura D tambi&#xE9;n. Por lo tanto la secci&#xF3;n con el plano en la proyecci&#xF3;n vertical estar&#xE1; suerpuesta y sus puntos coinciden (F2=R2). Valfa Halfa B1 A1=A2=B2 C1 C2 O11/3h 2/3h 2/3h 5cm=aristah O2 D2 h F2=R2 Q2 R1 F1 Q1 R&#x2019; Q&#x2019; F&#x2019;
• 25. 1&#xBA;) Poner pistas del enunciado. 2&#xBA;) Hallamos la recta de m&#xE1;xima inclinaci&#xF3;n que formar&#xE1; el plano alfa por estar contenida en &#xE9;l. Tenemos que encontrar las trazas de la recta r para poder hacer el plano alfa. 3&#xBA;) Unimos las trazas y hacemos alfa. Mediante una recta horizontal s que pase por P podemos hacer el plano beta, siendo Hbeta paralela a Halfa. s1 pasar&#xE1; por P1 paralela a Halfa. Vbeta ser&#xE1; paralela a Valfa pasando por la traza de esa recta s y Hbeta ser&#xE1; paralela a Halfa. 4&#xBA;) Abatimos Ay B para hacer la base del prisma en VM. 5&#xBA;) Sabemos que las bases son paralelas, una pertenece a alfa y otra a beta.Aprovechamos el punto D para hacer un plano proyectante vertical y hallar la recta de intersecci&#xF3;n con beta, que nos dar&#xE1; el punto H (H1) en una perpendicular que sale de D1. 6&#xBA;) Mediante paralelismo a las proyecciones completamos el prisma. PROPUESTA PAU 2011-2012 5 Los puntos Ay B son los v&#xE9;rtices de un lado de la base de un prisma de base cuadrada apoyado en un plano alfa cuya recta de m&#xE1;xima inclinaci&#xF3;n es la formada por dichos puntos Ay B. Dibuja la sproyecciones di&#xE9;dricas del prisma sabiendo que la otra base est&#xE1; en un plano beta paralelo a alfa que pasa por el punto P dado. C2 A2 B2 P2 P1 B1 A1 r2 r1 Vr Hr Halfa Valfa Vss2 s1 Vbeta Hbeta (B) (Valfa) (A) (D) (C) D1 D2 C1 C2 G1 F1 E1 H1 H2 E2 G2 F2
• 26. A PARTIR DE AQU&#xCD; ADJUNTO ALGUNOS EJERCICIOS DE C&#xD3;NICA OBLICUA TRABAJADOS EN CLASE. LO INTERESANTE DE ALGUNOS EJERCICIOS ES QUE SEPAS HACER LA PERSPECTIVA BIEN CUANDO LA FIGURA EST&#xC1; SEPARADA DEL PLANO DEL CUADRO. SE TRATA DE HACER UN GIRO O ABATIMIENTO DE LA FIGURAA MODO ESPEJO Y PROLONGAR LOS &#xC1;NGULOS DESDE AH&#xCD; HASTA L&#xCD;NEA DE TIERRA. A PARTIR DE ESAS MARCAS PONES LAS MEDIDAS REALES DE LA FIGURA. CUANDO LA FIGURA EST&#xC1; PEGADAAL PLANO DEL CUADRO NO HAY QEU HACER LO DESCRITO EN EL P&#xC1;RRAFO ANTERIOR. IGUAL QUE LA ISOM&#xB4;DTRICA, NO TE OLVIDES DE PONER LAS L&#xCD;NEAS DISCONTINUAS EN SU SITIO. SE VALORA LA LIMPIEZA DE LAS L&#xC1;MINAS Y TAMBI&#xC9;N QUE NO EST&#xC9; CARGADO DE L&#xCD;NEAS INNECESARIAS. PUE- DES UTILIZAR COLORES PARA DEFINIR LOS PASOS QUE VAS TRABAJANDO. PREGUNTA TODAS LAS DUDAS QUE TENGAS ALL&#xCD; MISMO, EL D&#xCD;A DEL EXAMEN.
• 27. P V Paso 1 Explicaci&#xF3;n y pistas del enunciado. Paso 2: Hallar los focos coloccando la angulaci&#xF3;n desde V hasta que corte con LH. Con un arco desde F a V hallamos el corte con LH y tenemos el m&#xE9;trico M. Radio F-V. Lo mismo desde F&#x2019; para M&#x2019;. Paso 3: En LTmedimos, a aprtir de la l&#xED;nea que pasa por P y V, las medidas necesarias de la figura que tendremos que llevas a sus m&#xE9;tricos opuestos. Tambi&#xE9;n llevamos una l&#xED;nea al F y otra al F&#x2019; desde el corte de la perpendicular P-V con LT. Estas l&#xED;neas nos ayudar&#xE1;n a a producir otros cortes con las que van hacia los m&#xE9;tricos. Paso 4: Prolongamos hasta los Focos las l&#xED;neas verdes que cortan a las que van de focos a V. Una vez hecho esto podemos completar el dibujo de la planta. Paso 5: Para hallar alturas tenemos que prolongar las l&#xED;neas de aquellas aristas que salen de la base hasta LT (vienen del foco) y desde ese punto de LTsubirla la medida correspondiente y volver a llevarla al foco. Paso 6: Se puede empezar a dibujar la figura. M2 F2M1F1
• 28. P V F1F2 M1 M2 Paso 1 Explicaci&#xF3;n y pistas del enunciado. Paso 2: Hallar los focos coloccando la angulaci&#xF3;n desde V hasta que corte con LH. Con un arco desde F a V hallamos el corte con LH y tenemos el m&#xE9;trico M. Radio F-V. Lo mismo desde F&#x2019; para M&#x2019;. Paso 3: En LTmedimos, a aprtir de la l&#xED;nea que pasa por P y V, las medidas necesarias de la figura que tendremos que llevas a sus m&#xE9;tricos opuestos. Tambi&#xE9;n llevamos una l&#xED;nea al F y otra al F&#x2019; desde el corte de la perpendicular P-V con LT. Estas l&#xED;neas nos ayudar&#xE1;n a a producir otros cortes con las que van hacia los m&#xE9;tricos. Paso 4: Prolongamos hasta los Focos las l&#xED;neas verdes que cortan a las que van de focos a V. Una vez hecho esto podemos completar el dibujo de la planta. Paso 5: Para hallar alturas tenemos que prolongar las l&#xED;neas de aquellas aristas que salen de la base hasta LT(vienen del foco) y desde ese punto de LT subirla la medida correspondiente y volver a llevarla al foco.
• 29. P V Paso 1 Explicaci&#xF3;n y pistas del enunciado. Paso 2: Hallar los focos coloccando la angulaci&#xF3;n desde V hasta que corte con LH. Con un arco desde F a V hallamos el corte con LH y tenemos el m&#xE9;trico M. Radio F-V. Lo mismo desde F&#x2019; para M&#x2019;. Paso 3: En LTmedimos, a aprtir de la l&#xED;nea que pasa por P y V, las medidas necesarias de la figura que tendremos que llevas a sus m&#xE9;tricos opuestos. Tambi&#xE9;n llevamos una l&#xED;nea al F y otra al F&#x2019; desde el corte de la perpendicular P-V con LT. Estas l&#xED;neas nos ayudar&#xE1;n a a producir otros cortes con las que van hacia los m&#xE9;tricos. Paso 4: Prolongamos hasta los Focos las l&#xED;neas verdes que cortan a las que van de focos a V. Una vez hecho esto podemos completar el dibujo de la planta. Paso 5: Para hallar alturas tenemos que prolongar las l&#xED;neas de aquellas aristas que salen de la base hasta LT(vienen del foco) y desde ese punto de LT subirla la medida correspondiente y volver a llevarla al foco. F1F2 M2M1
• 30. UN EJEMPLO DE ISOM&#xC9;TRICA. SIMPLEMENTE HAY QUE HACER BIEN LAS PARALELAS Y PONER LAS DISCONTINUAS EN SU SITIO. EN LA OPCI&#xD3;N DE ISOM&#xC9;TRICA ES POSIBLE QUE PIDAN DIBUJAR A MANO ALZADA VISTAS DISTINTAS A LA DADA.