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  • 1. A CONTINUACIÓN ADJUNTO EJERCICIOS TRABAJADOS EN CLASE. NO SON TODOS. LAS SECCIONES DE ALGUNOS EJERCICIOS NO APARECEN RAYADAS PORQUE EL PROGRAMA NO ME PERMITÍA HACERLO. OTRAS SI PORQUE ESTÁN HECHAS CON UN PROGRAMAANTERIOR. OCURRE ALGO SIMILAR CON LAS LÍNEAS CURVAS TRAZADAS PARA HACER ABATIMIENTOS, POR EJEMPLO, QUE EN ELGÚN EJERCI- CIO APARECEN BIEN Y EN OTROS ESTÁN HECHAS MEDIANTE CIRCUNFERENCIAS DE LAS CUALES SIMPLEMENTE INTERESAAQUE- LLA PARTE DE ELLA QUE ES ÚTIL EN EL EJERCICIO. AL SER EJERCICIOS REALIZADOS PARA USO PERSONAL NO HE NOMBRADO MUCHAS RECTAS. TEN PRESENTE NOMBRAR SIEMPRE LAS COSAS PARA PODER ORDENAR EL EJERCICIOS Y QUE EL CORRECTOR VEA QUE SABES INTERPRETAR EL DIBUJO. POR FALTA DE CARACTERES GRIEGOS LOS PLANOS ESTÁN NOMBRADOS COMO Valfa Y Halfa. LO QUE DEBES USAR ES LA LETRA GRIEGA CORRESPONDIENTE AL PLANO QUE ESTÁN NOMBRANDO. PUEDES ENCONTRAR ALGÚN ERROR DE ORTOGRAFÍA EN LASEXPLICACIONES. NO LO TENGAS PRESENTE, FALLOS DEL DIRECTO. SI ALGO VES QUE ESTÁ CONFUSO NO DUDES EN DECÍRMELO. LAS EXPLICACIONES QUE ACOMPAÑAN A CADA EJERCICIO NO ES- TABAN PENSADAS PARA HACER UN DOCUMENTO ASÍ, POR ESO ES NORMAL QUE PUEDAS ENCONTRAR ERRORES Y DATOS CONFU- SOS. RECUERDA QUE ESTOS EJERCICOS PUEDEN PROPONERSE CAMBIANDO EL ENUNCIADO. LEE BIEN Y TRATA DE RAZONAR CON CAL- MAAQUELLO QUE TE PREGUNTAN. DIBUJA EN 3 DIMENSIONES PARA QUE COMPRENDAS MEJOR LO QUE ESTÁS HACIENDO. MUCHO ÁNIMO, QUE SABES HACERLO BIEN.
  • 2. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Desabatimos el plano alfa y obtenemos A2 y (A). 3º) Con un radio de 60mm (lado del tetraedro) y centro en (A) cortamos (Halfa) y eso nos permite hallar (B), ya que el punto B está en el PH. Por defecto aparece (C) y B1. 4º) Desabatimos la base ABC y el centro O. 5º) Hallamos la altura del tetraedro. Hacemos una recta t perpendicular a las trazas de alfa desde O, puesto que el tetraedro es recto y está apoyado en alfa. Mediante la distancia de cota (dc) podemos resolver la altura. Para saber la altura que tiene este tetraedro observr el dibujo hecho. 6º) Terminmos la figura (Valfa) A1 Halfa=(Halfa) Valfa A2 (A) (B)=B1 (C) B2 2/3 1/3 (O) C1 C2r2 r1 (r) s2 s1 (s) O1 O2 t2 t1 X2 X2 O h h V1 V2
  • 3. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Hallamos el plano alfa a partir de las trazas de la recta r. r es de máxima inclinación, por eso r2 es perpendicular a Valfa. 3º) Hacemos una recta s perpendicular a las trazas de alfa y que pase por P, 4º) Hacemos un plano beta que contenga a s. Para ello hacemos un plano proyectante horizontal aprovechando s1. 5º) Alfa y beta se cortan en la recta de intersección. 6º) De cualquier punto de la proyección s2 (en este caso desde P2) bajamos a la paralela a LTque hacemos desde X2 y formamos el triángulo. Tenemos así las dc (distancia de cota) que llevaremos al PH y que pondremos perpendicular a s1 desde P1. 7º) La unión del extremo de dc con X1 es la distancia mínima entre P y alfa. 8º) De cualquier punto de la proyección s1 (en este caso desde P1) bajamos a la paralela a LTque hacemos desde X1 y formamos el triángulo. Tenemos así las da (distancia de alejamiento) que llevaremos al PV y que pondremos perpendicular a s2 desde P2. PAU SEPTIEMBRE 2008 II La recta r dada por los puntos Ay B es una recta de máxima inclinación del plano alfa. Se pide: - representar dicho plano alfa. - Hallar la mínima distancia entre el punto P y el plano alfa. P2 P1 A1 A2 B1 B2 r2 r1 Vr Hr Valfa Halfa s1s1 s2 vbeta =vbeta X2 X1 19mm da da dc dc
  • 4. a) Hallar las proyecciones de un prisma recto apoyado en el PH de altura 100mm., que tiene como base un pentágono reguler inscrito en una circunferencia de radio 40mm de cuyo centro O se conoce su proyección horizontal, sabiendo que un lado del pentágono es paralelo a LTy está situado lo más cerca posible del PV. b) Hallar las proyecciones ya la Verdadera Magnitud de la sección al prisma producida por el plano alfa. Valfa Halfa O1 A1=F1=M1 B1=G1=K1 C1=H1=L1 D1=I1=N1 E1=J1=P1 C2B2 A2 E2 G2 H2 F2 I2 J2 K2 L2 M2 N2 P2 (Valfa) (P) (N) (L) (K) (M) 1º) Poner pistas del enunciado sabiendo que la base pentagonal está inscrita en circunferencia. 2º) Abatir puntos al PV a 100mm que es la altura del prisma. Se ve en VM tanto en el PH como en el PV. Al ver la base en VM en PH, las proyecciones en PV estarán en LT, puesto que es la base con la que estamos trabajando. 3º) La proyección de los puntos en PH hacia PV a su vez pasan por los puntos de sección con el plano alfa. 4º) Abatimos los puntos de sección del prisma con el plano alfa. Sacar perpendiculares de cada punto de sección proyectado en PH, puesto que el plano alfa está abatido hacia la derecha y conincide con LTy hace 90º.
  • 5. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Abatimos Valfa 3º) Construimos la circunferencia de radio 40mm tangente a (Halfa) y (Valfa) e incluimos dentro el hexágono regular. 4º) Incluimos los 6 vértices del hexágono en rectas para desabatirlos y ver las proyecciones. 5º) Hacemos una recta perpendicular desde O1 y O2 las trazas del plano alfa para hallar la altura. Pasamos una paralelta a LT por O1 y O2 y elegimos cualquier punto (X) de la recta perpendicular w2 para obtener una distancia de cota (dc). 6º) Llevamos la distancia de cota (dc) a la proyección horizontal y la ponemos perpendicular a la recta w (w1) desde X1. La recta que une el final de dc y O1 está en VM. Marcamos ahí los 80mm de la altura y la llevamos a w1. Tenemos asi V. 7º) Marcamos el resultado final. PAU SEPTIEMBRE 2010-11 JUNIO II Conocido el plano alfa dado, representa las proyecciones horizontales y verticales de: a) Un hexágono regular contenido en alfa que está inscrito en una circunferencia de radio 40mm tangente a l PH y al PV, sabiendo que un vértice está en el PH y otro en el PV. b) Representa la pirámidede altura 80mm siendo su base el hexágono regular Valfa Halfa (Valfa) (Halfa) (A) (B) (C) (D) (E) (F) (O) A1 A2 r2 s2 t2 u2 r1 s1 t1 u1 (r) (s)(t)(u) O1 E1 F1 D1 C1 B1 D2 O2 E2 F2 B2 C2 X2 X1 V2 dc V1 dc w1 w2
  • 6. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Dibujamos el triángulo equilátero de lado 50mm que forma la base y desabatimos Valfa. Hallamos las proyecciones de ABC. 3º) Desabatimos el centro O para posteriormente hallar la altura. 4º) Dibujamos las proyecciones de la base. 5º) Hallamos la altura de la pirámide a partir de V1 y de la perpendicular al punto medio de AB. 6º) Dibujamos las proyecciones y la VM de la sección. PROPUESTAPAU 2011-2012_2 - Dibuja las proyecciones de una pirámide excéntrica de base triangular equilátera de lado 50mm. La cara ABV está apoyada en el PV. La arista BC de la base está en el PH. La base está apoyada en el plano alfa del que conocemos su traza horizontal y el abatimiento de la traza vertical. La proyección V2 es perpendicular al punto medio de B2-A2. - Hallar la sección producida por el plano beta proyectante vertical y la VM de dicha sección. B1=B2 Halfa (Valfa) Hbeta Vbeta V1 Valfa (A) (C)=C1(O) A2 A1 C2 O1 O2 V2 1 2 3 1 3 2 (1) (2) (3)
  • 7. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Contruimos en el PH la pruyección de la pirámide. 3º) Dibujamos la proyección vertical de la pirámide de altura 70mm. 4º) Hacemos el plano alfa proyectante vertical a 30º que pase por A2. Hallamos la sección tanto en PV como en PH. 5º) Abatimos la sección producida por alfa a la pirámide. 6º) Dibujamos la VM de la sección. PROPUESTAPAU 2011-2012 - Hallar las proyecciones de una pirámide de base pentagonal de radio 50mm sabiendo que el vértice V está apoyado en el PH y su base ABCDE es paralela al PH; la arista CD es perpendicular a LTy se encuentra en la posición más alegada del margen izquiero del papel. Lapirámide tiene una altura de 70mm. - Hallar la VM de la sección producida por un plano alfa proyectante vertical que formando 30º con el PH pasa por el vértice A. V1 A1 B1 C1 D1 E1 V2 C2=D2B2=E2A2 Halfa Valfa 1=2 3=4 5 1 2 4 3 5 (1) (2) (3) (5) (4)
  • 8. 1º) Poner pistas del enunciado. Aestá en LT. Como B está en PV, la hallo en VM en (Valfa). 2º) Sacamos C’ puesto que veo el triángulo en VM y cada lado tiene 100mm. 3º)Como AC está en el PH, ya puedo sacar la traza horizontal de alfa 4º) Desabatimos (Valfa) con una perpendicular a Halfa hasta LTque pase por B’ puesto que es el punto que desabatimos. Halamos C2. Hallamos O1 y O2 para sacar la altura. 5º) Dibujamos y tenemos la base en sus distintas proyecciones. 6º) Hallamos la altura. 7º) Completamos. Representa una pirámide de altura 100mm cuya base ABC es un triángulo equilátero de lado 100mm. La base ABC está apoyada en el plano alfa, del que se conoce su traza abatida (Valfa), sabiendo que: - La arista AC de la base está en el PH. A1=A2 (Valfa) B’ C’ Halfa=Halfa’ B2 B1 Valfa C2 =C1 O’ O1 O2 dc J2 J1 dc V1 V2
  • 9. 1º) Poner pistas del enunciado.Ponemos una recta a 150mm del borde donde estará el centro de la base. 2º) Abrimos un Plano de Perfil para ver en VM la pirámide. 3º) Nos llevamos la tercera proyección al PV y PH y tenemos las proyecciones. Representar las proyecciones de la pirámide recta de base cuadrada ABCD contenida en el primer cuadrante y apoyada en el plano alfa dado, sabiendo que tiene un lado de la base en el PH y otro en el PV. El centro de la cara de la base está situado a 150mm del borde izquierdo de la lámina y la altura de la pirámide es de 110mm. Todas las medidas en milímetros. Valfa Halfa P.P. A3=B3 C3=D3 V3 O2 O1 V2 V1 A2 B2 A1=C2 B1=D2 C1 D1
  • 10. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Abatimos tanto en el PV como en el PH 3º) Hallamos las proyecciones del prisma 4º) Dibujamos el plano beta proyectante vertical 5º) Hallamos la sección y la abatimos para tenerla en VM Representa el prisma pentagonal apoyado en el plano alfa. La base del prisma es un pentágono inscrito en una circunferencia de radio 30mm. El vértive A de la base es el que tiene menor cota. La altura del prisma es de 80mm. - Hallar la sección producida por elplano beta sabiendo que es proyectante y que la traza vertival tiene 60º hacia la izquierda. - Hallar la Verdadera Magnitud de la sección producida por el plano beta al prisma. Valfa Hbeta O2 Halfa O1 (O) (A) (A)(O) (B) (C)( D) (E) (B) (C) (D) (E) E1 D1 C1 B1 =A1 A2 E2=B2 C2=D2 H2=I2 G2=J2 F2 F1 I1 J1 H1 G1 Vbeta K2 L2 P2 N2 M2 P1 N1 L1 M1 K1 (L) (M) (P) (N) (K)
  • 11. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Hacemos una recta horizontal o vertical que incluya a V1 y que esté contenida en alfa para poder hallar V2. 3º) Trazamos la proyección2 de s para hallar C2 y C1, ya que la arista CV pasa por P. 4º) Dibujamos la base ABC y la arista V2A2 5º) Incluimos a r en un plano proyectante vertical y hallamos sección. El punto Q ertenece también a alfa, dato necesario para poder hallar Q1. Se incluye Q en una recta horizontal que pertenezca a alfa. 6º) Dibujamos la sección y la abatimos. 7º) Marcamos el resultado final. PAU SEPTIEMBRE 2006 II El plano alfa dado contiene la cara ABV de una pirámide de base triangular. La base ABC está apoyada en el Plano Horizontal. El punto P dado pertenece a la arista CV y a la recta dada. Se pide: - Hallar las proyecciones diédricas de la pirámide y la sección con su Verdadera Magnitud producida por el plano beta proyectante vertical que contiene a la recta r dada. Valfa Halfa P2 P1 r1 V1 A1 B1 r2 V2 s1 s2 B2A2C2 C1 t1 t2 R2 Q2 R1 Q2 (P)(R) (Q) Vbeta Hbeta
  • 12. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Con la recta de 50mm a 45º y el plano alfa abatido hallamos la arista AB 3º) Nos llevamos los puntos hasta LTy desabatimos hasta la traza horizontal de alfa. Con perpendiculares por la traza vertical de alfa desabatimos. 4º) Dibujamos las proyecciones C2 PAU SEPTIEMBRE 2008 I En el plano alfa dado está situada la cara ABCD de un cubo. El vértice Aestá en el P.H. y B está en el PV. La arista AB forma un ángulo de 45º con las trazas del plano y la arista del cubo mide 50mm. Dibujar las proyecciones del cubo situado en el primer cuadrante. D1 B2=(B) (A) (C) (D) A2 A1=C1 B1 D2 F1 E1=G1 F2 G2 E2 H2 H1
  • 13. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Hallamos la arista AD y hacemos la paralela r que pase por P. Podemos completar la proyección del prisma en el PV y en el PH. 3º) Hallamos el plano alfa proyectante vertical desde r y el plano beta perpendicular a él. Pra ello hacemos perpendicular a la traza vertical de alfa y que pase por P. 4º) Tenemos los puntos de intersección de beta con el prisma.y la intersección. 5º) Abatimos beta y tenemos la sección en VM. PAU JUNIO 2005 ABC es la base de un prisma oblicuo apoyado en el PH. La recta AD es una arista del prisma. por un punto P dado pasa una recta r paralela a las aristas laterales del prisma. Dicha recta está contenida en el plano alfa proyecyante vertical. Se pide: - trazar un plano beta paralelo a alfa por el punto P. - hallar la sección producida por el plano beta en el prisma y dibujar la VM de dicha sección. P2 P1 A2 A1 B2C2 C1 B1 D1 D2 r2 r1 E2 F2 E1 F1 Valfa Halfa Vbeta Hbeta G2 H2 I2 G1 H1 I1 (I) (H) (G)
  • 14. 1º) Poner pistas del enunciado. Al ser un plano proyectante trazamos Valfa perpendicular a LT. 2º) Al tener la altura localizada, hallamos la perpendicular que contiene a V, tanto en Valfa como en Halfa. Obtenemos así O1 y O2. 3º) Abatimos Ay O para contriur el hexágono en VM. 4º) Desabatimos los vértieces del hexágono para ver sus proyecciones. 5º) Unimos y terminamos. Valfa Halfa V2 1- Representar las proyecciones de la pirámide recta cuya base es un hexágono regular ABCDEF de lado 40mm., apoyado en el plano proyectante del que se conoce su traza horizontal, el punto Ade la base y sabiendo que el vértice V está en el PV. Todas las medidas están expresadas en milímetros. PAU 2009-2012 OP B A2 V1 A1 O1 O2 (A) (O) (B) (C) (D)(E) (F) B1 B2 F1 F2 E1 E2 C1 C2 D1 D2
  • 15. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Abatir Valfa para hallar las rectas r y s en VM y formar los 45º entre ellas, pasando por A. 3º) En VM 45º con Halfa y que pase por (A) y hallamos B1 y B2, lo mismo para C1 y C2. Tenemos así las rectas r y s. 5º) Unimos y terminamos. Valfa Halfa 1- Dado el plano alfa proyectante horizontal representado pro Halfa, se pide representar lo siguiente: - Un punto A del plano alfa de cota 45mm y alejamiento 60mm. - Las rectas r y s del plano alfa que pasando por el punto A formen un ángulo de 45º con el PH. - Hallar el ángulo que forman entre sí ambas rectas. - Halar la inteersección B y C de las rectas con el PH. - Hallar la VM del segmento Ab y AC Todas las medidas están expresadas en milímetros. PAU 2009-2012 SEP OP B A1 A2 (Valfa) (A) 90º B1 B2 C1 C2 45º 90º (r) (s) r1 s1 r2 s2 64mm 64mm
  • 16. 1º) Poner pistas del enunciado. Hallar el plano alfa y el beta, paralelo a alfa por D, por eso D2 está contenido en la rect s para hallar Vs y hacer Vbeta paralelo a Valfa. La recta s es paralela a r que a su vez está contenida en el plano alfa. 2º) Hacemos la recta p perpendicular a Halfa y Valfa y que pase por D y la contenemos en otro plano, llamado gamma. De este modo p también es perpendicular a beta. 3º) Hallar la recta de intersección entre gamma y alfa hallando Q2 en la perpendicular p2. Por defecto sacamos Q1 en p1. Este punto Q es la intersección de la recta p con elplano alfa. La distancia D-Q es la distancia entre los dos planos paralelos. 4º) Paralela (w2) a LTpor Q2. 5º)dc = al corte de la recta que va perpendicular de w2 a D2. Llevo dc al PH desde Q1 sobre la perpendicular a Halfa y Hbeta. El vértice que queda libre se une a D1 en J1 una recta en VM 6º) La distancia entre J1 y D1 es la distancia real (VM) entre Alfa y Beta. D2 Representar las trazas del plano alfa definida por los puntos A, B y C. Se pide: -Representar las trazas del plano beta, paralelo al plano alfa por el punto D. -Hallar la distancia en verdadera magnitud entre los planos alfa y beta D1 A1 A2 B1 B2 C2 C1 Valfa Halfa Vss2 s1 r2 r1 Vbeta Hbeta Hp VpVp Vgamma p1=Hgamma p2 i2 =i1 Q2 Q1 w2 dc dc J1 Distancia entre alfa y beta 33mm
  • 17. 1º) Poner pistas del enunciadoTanto Acomo B están en recta frontal. La hallamos. 2º) Abatimos Halfa (al revés de lo que hemos hecho normalmente. 3º) Como la base tiene lado 60mm la contruimos sobre la recta abatida que contiene Ay B, utilizando A’ como un vértice y hallando B’ y C’ 4º) Desabatimos B’ y C’ para poder contruir las proyecciones en PV y PH. 5º) Para la altura usamos paralela a LTpor O2 y perpendiculas a Valfa por O2 también. DE esta perpendicular elegimos un punto cualquiera J2 y lo lllevamos a su recta correpondiente en PH (perpendicular a Halfa por O1). Teniendo en Pv la dc nos la llevamos al PH y al ponemos perpendicular desde J1. Unimos ese vértice que queda suelto con O1 y la recta resultante está en VM. Ponemos los 80mm de la altura y con otra perpendicular hallamos V1. Subimos a PV y tenemos V2. 6º) Unimos para temrinar, teniendo en cuenta las discontinuas. 7º) Para abatir la recta frontal hay que tener en cuenta que traza vertical es paralela a Valfa también en el abatimiento. Así de este modo coicidirán las proyevciones del PV y PH tanto abatiendo la frontal hacia arriba como hacia abajo. Tenemos que abatir la frontal, puesto auq Ay B pertenecen a ese tipo de recta, por eso abatiendo A2 con una horizontal el triángulo queda distinto. Representar las proyeccioes de una pirámide recta de base triangular ABC de lado 60mm y altura 80mm apoyada en un plano alfa dado y conocido el vértice Adel triángulo de la base, sabiendo que la pirámide está en el primer cuadrante y que el lado AB está en una recta frontal, teniendo el vértice B mayor cota que el vértice A. Todas las medidas en milímetros. Valfa=Valfa’ Halfa A2 Recta frontal A1 Halfa’ A’ B’ C’ O’=V’ B2 C2 B1 C1 O2 O1 J2 dc J1 V1 V2 dc A’ B’ C’
  • 18. 1º) Poner pistas del enunciado. Aestá en LT. Como B está en PV, la hallo en VM en (Valfa). 2º) Sacamos C’ puesto que veo el triángulo en VM y cada lado tiene 100mm. 3º)Como AC está en el PH, ya puedo sacar la traza horizontal de alfa 4º) Desabatimos (Valfa) con una perpendicular a Halfa hasta LTque pase por B’ puesto que es el punto que desabatimos. Halamos C2. Hallamos O1 y O2 para sacar la altura. 5º) Dibujamos y tenemos la base en sus distintas proyecciones. 6º) Hallamos la altura. 7º) Completamos. Representa una pirámide de altura 100mm cuya base ABC es un triángulo equilátero de lado 100mm. La base ABC está apoyada en el plano alfa, del que se conoce su traza abatida (Valfa), sabiendo que: - La arista AC de la base está en el PH. - La arista AB de la base está en el PV. A1=A2 (Valfa) B’ C’ Halfa=Halfa’ B2 B1 Valfa C2 =C1 O’ O1 O2 dc J2 J1 dc V1 V2
  • 19. Halla el plano alfa definido por la recta r y el punto A. Representa la pirámide ABCV cuya base es un triángulo equiláteri (ABC), situada en el primer cuadrante, sabienod que el vértice B está en el PH y la arista AB está contenida en la recta de máxima pendiente de alfa. La altura de la pirámide es 60mm. 1º) Poner pistas del enunciado. Hallar el plano alfa, que cotiene a r y pasa por A2. 2º) Buscamos recta máx pendiente para la arista AB. Perpendicular a Halfa que pase por A1 y así hallamos el punto B y sacamos la arista AB cuyo vértice B está en PH. 3º) Abatimos Valfa y AB para hallar C al ser equilátero. También hallamos el centro O para poder sacar la altura. 4º) Unimos los puntos y hallamos las proyecciones de la base. Desabatimos el centro O. 5º) Perpendicular a Valfa que pase por O2 y perpendicular a Halfa que pase por O1 para hallar la recta w que nos permitirá hallar la altura de 60mm. La recta paralela a LTque pasa por C2 y O2 forma un triángulo con la recta w2 y un lado de ese triángulo es la distancia de cota (dc). 6º) La dc la llevamos al PH desde J1 y perpendicular a w1. Unimos O1 con el vértice libre y tenemos una recta en VM. Hallamos los 60mm y con otra perpendicular a w1 la llevamos a la propia w1 donde hallamos V1. DE ahí a V2 y tenemos la altura. 7º) Unimos los puntos proyectados tanto en PV vomo en PH para obtener el resultado. A1 A2 Valfa r2 r1 Halfa Vr altura 60mm B1 B2 mp1 mp2 A’ =B’ C’ C1 C2 O’=V’ O1 O2 dc w1 w2 J2 J1 dc 60mm V1 V2
  • 20. Representa el cubo cuya base ABCD está en el PH, dado el vértice G y sabiendo que el vértice A está en LTy en la posición más cercana a la traza horizontal del plano (A y G son vértices opuestos de la diagonal del cubo). Halla la verdadera magnitud de la sección del cubo por el plano alfa dado por su traza vertical sabiendo que es proyectante. 1º) Poner pistas del enunciado. Hallar el plano. 2º) Contruimos el cuadrado a parte a tamaño real sabiendo que la ser un cubo todos sus lados miden lo mismo, y el lado mide 50mm puesto que G2 está en cota 50mm y la base está en PH, por lo tanto los 50mm son reales. Hallo la diagonal G-E para poder sacarla en LT(A=E). 3º) Una vez dibujado el cubo en el PH (cubo visto desde arriba), hallamos las proyecciones en el PV de los puntos A,B,C,D,E,F y H puesto que G ya lo tenemos. Cota 50mm. 4º) Vemos la sección en PH y la abatimos para verla en VM como pide el enunciado. 5º) Terminamos la sección en VM. G2 Valfa G1=C1 Halfa diagonal 5cm 5cm G A=E A1=E1=N1 H1=D1 F1=B1=J1 H2K2=M2A2F2 N2 J2 K1 M1 K’ J’ M’ N’
  • 21. Representar las proyecciones de un prisma recto de altura 80mm apoyado en el PV, de base pentagonal ABCDE y centro en el punto O inscrita en una circinferencia de radio 40mm, sabiendo que el vértice Ade la base está en LT y lo más alejado posible del plano alfa. - Hallar la sección al prisma por el plano dado alfa, el cual es proyectante horizontal y forma 45º con el PV. - Hallar la VM de la sección del prisma por el plano alfa. 1º) Poner pistas del enunciado. Hallar la circunferencia de radio 40mm de centro O2. Contriur el pentágono sabiendo donde está el vértice Ade la base en LT. Para su construcción dividir en 4 la circunferencia desde A2. Hallar la mediatriz del radio O2-lateral para sacar M. Con radio A-M cortamos ese mismo segmento por la otra mitad en el punto S. Radio A-S nos da los 5 lados del pentágono. Obtengo así B2, C2, D2, E2. 2º) Abatir plano alfa dejándolo caer sobre LTya que es proyectante horizontal. Pongo la altura en el PH desde LT(80mm) y hallo las proyecciones horizontales de los puntos y los puntos de sección con alfa. 3º) Abatimos la sección para verla en Verdadera Magnitud. 4º) Tenemos la sección en el PV del prisma recto de base pentagonal. 5º) Unimos los puntos abatidos y obtenemos la sección en VM. O2 Valfa A2=A1=N2 B2=G2=L2 C2=H2=K2 D2=I2=M2 E2=J2 Halfa E1 Valfa’ Q2 P2 P1=Q1 F1 N1 I1 M1 G1 H1 L1 K1 J1 K’ L’ M’ N’ P’ Q’
  • 22. Determina las proyecciones de un cuadrado ABCD situado en el primer cuadrante y contenido en el plano alfa dado por sus trazas, sabiendo que: - El punto A, dado por su proyección vertical, es uno de los vértices del cuadrado. - Qe sobre la recta r dada por los puntos proyección vertical M y N y contenida en alfa, está situado uno de los lados del cuadrado PAU 2004-2005 - Bloque II 1º) Poner pistas del enunciado. Hallar la proyección r1 y las trazas de la recta r. 2º) Abatimos el plano al PH y abatimos la recta r. 3º) Hallamos el punto A’abatiendo. 4º) construimos el cuadrado sabiendo que un lado está en r’ y teniendo a’. Desabatimos B’,C’,D’. 5ª) Unimos las proyecciones de los puntos del PV y del PH y tenemos la solucion. M2 N2 r2 A2 Vr Hr Valfa Halfa r1 Valfa’ r’ A1 A’ B’ C’ D’ B1 B2 C1 C2 D1 D2
  • 23. Dado el plano alfa definido por los puntos P(2,0,0), A(11,7,0) y R(13, 0, 7), representa el hexágono regular ABCDEF contenido en el plano, que tiene el lado AB en el PV y el vértice D en el PH. 1º) Poner pistas del enunciado 2º) Abatir plano alfa usando un punto cualquiera de Valfa (en este caso hemos utilizado A2 puesto que está en Valfa), con compás desde la unión de Valfa con Halfa en LT. Desde A1 perpendicular a Halfa y cortqará el arco hecho enteriormente para abatir Valfa. Trazamos el abatimiento Valfa’. 3º) En la verdadera magnitud construyo un hexágono pequeño que me servirá de guía para sacar D’, ya que D estará en el Halfa, por lo tanto D’=D1. Hallo la mediatriz del segmento A’-D’ y tengo el centro o’ del hexágono. Como el hexágono está formado por 6 triángulos equiláteros, con el segmento o’-A’puedo hacer el hexágono. 4º) Nos llevamos B’ a Valfa con compás para sacar B2, y perpendicular hasta LTsacamos B1. C’ lo incluímos en una recta proyectante horizontal y hallamos C1 y C2. Con paralelas a Halfa llevamos el punto E’ y F’ hasta Valfa’, que con compás lo llevaremos hasta Valfa, y con sendas rectras proyectantes horizontales sacamos donde están E1, E2, F1 y F2. 5ª) Unimos las proyecciones de los puntos del PV y del PH y tenemos la solucion. P2=P1 A1=D2 A2 R2 R1 Valfa Halfa Valfa’ A’ O’ F’ E’ C’ B’ D’=D1 B2 B1 C1 C2 E1 F1 F2 E2
  • 24. Dadas las proyecciones horizontales de dos vértices Ay B de un Tetraedro y la traza vertical Valfa de un plano proyectante vertical se pide: a) Dibuyjar las proyecciones del Tetraedro, sabiendo que los vértices A, B y C se encuentran el en PH (dibujar la proyección de C más lejana al plano alfa). b) Hallar la sección del tetraedro con el plano alfa. c) Hallas la verdadera magnitud de la sección. 1º) Poner pistas del enunciado y los datos que nos dan. 2º) Al tener ya las 3 proyecciones en PH las llevo a PV. 3º) Se construye a parte el tetraedro (sección) para hallar la altura h. Primero trazamos recta y una perpendicular. Luego usamos los 2/3h del PH y los llevamos desde O. De ese corte producido se sacan 5cm (medida de la arista del tetraedro) y cortará a la perpendicular. Con las bisectrices hallamos le centro de cara del tetraedro (ya que es equilátero). 4ª) Unimos las proyecciones de los puntos del PV y del PH y tenemos las proyecciones del tetraedro. 5º) Abatimos los puntos de sección del plano alfa con el tetraedro. para ello ha sido necesario localizar las proyecciones en PV, teniendo en cuenta que los vértices AB están superpuestos y por lo tanto las aristas que los unnen con la altura D también. Por lo tanto la sección con el plano en la proyección vertical estará suerpuesta y sus puntos coinciden (F2=R2). Valfa Halfa B1 A1=A2=B2 C1 C2 O11/3h 2/3h 2/3h 5cm=aristah O2 D2 h F2=R2 Q2 R1 F1 Q1 R’ Q’ F’
  • 25. 1º) Poner pistas del enunciado. 2º) Hallamos la recta de máxima inclinación que formará el plano alfa por estar contenida en él. Tenemos que encontrar las trazas de la recta r para poder hacer el plano alfa. 3º) Unimos las trazas y hacemos alfa. Mediante una recta horizontal s que pase por P podemos hacer el plano beta, siendo Hbeta paralela a Halfa. s1 pasará por P1 paralela a Halfa. Vbeta será paralela a Valfa pasando por la traza de esa recta s y Hbeta será paralela a Halfa. 4º) Abatimos Ay B para hacer la base del prisma en VM. 5º) Sabemos que las bases son paralelas, una pertenece a alfa y otra a beta.Aprovechamos el punto D para hacer un plano proyectante vertical y hallar la recta de intersección con beta, que nos dará el punto H (H1) en una perpendicular que sale de D1. 6º) Mediante paralelismo a las proyecciones completamos el prisma. PROPUESTA PAU 2011-2012 5 Los puntos Ay B son los vértices de un lado de la base de un prisma de base cuadrada apoyado en un plano alfa cuya recta de máxima inclinación es la formada por dichos puntos Ay B. Dibuja la sproyecciones diédricas del prisma sabiendo que la otra base está en un plano beta paralelo a alfa que pasa por el punto P dado. C2 A2 B2 P2 P1 B1 A1 r2 r1 Vr Hr Halfa Valfa Vss2 s1 Vbeta Hbeta (B) (Valfa) (A) (D) (C) D1 D2 C1 C2 G1 F1 E1 H1 H2 E2 G2 F2
  • 26. A PARTIR DE AQUÍ ADJUNTO ALGUNOS EJERCICIOS DE CÓNICA OBLICUA TRABAJADOS EN CLASE. LO INTERESANTE DE ALGUNOS EJERCICIOS ES QUE SEPAS HACER LA PERSPECTIVA BIEN CUANDO LA FIGURA ESTÁ SEPARADA DEL PLANO DEL CUADRO. SE TRATA DE HACER UN GIRO O ABATIMIENTO DE LA FIGURAA MODO ESPEJO Y PROLONGAR LOS ÁNGULOS DESDE AHÍ HASTA LÍNEA DE TIERRA. A PARTIR DE ESAS MARCAS PONES LAS MEDIDAS REALES DE LA FIGURA. CUANDO LA FIGURA ESTÁ PEGADAAL PLANO DEL CUADRO NO HAY QEU HACER LO DESCRITO EN EL PÁRRAFO ANTERIOR. IGUAL QUE LA ISOM´DTRICA, NO TE OLVIDES DE PONER LAS LÍNEAS DISCONTINUAS EN SU SITIO. SE VALORA LA LIMPIEZA DE LAS LÁMINAS Y TAMBIÉN QUE NO ESTÉ CARGADO DE LÍNEAS INNECESARIAS. PUE- DES UTILIZAR COLORES PARA DEFINIR LOS PASOS QUE VAS TRABAJANDO. PREGUNTA TODAS LAS DUDAS QUE TENGAS ALLÍ MISMO, EL DÍA DEL EXAMEN.
  • 27. P V Paso 1 Explicación y pistas del enunciado. Paso 2: Hallar los focos coloccando la angulación desde V hasta que corte con LH. Con un arco desde F a V hallamos el corte con LH y tenemos el métrico M. Radio F-V. Lo mismo desde F’ para M’. Paso 3: En LTmedimos, a aprtir de la línea que pasa por P y V, las medidas necesarias de la figura que tendremos que llevas a sus métricos opuestos. También llevamos una línea al F y otra al F’ desde el corte de la perpendicular P-V con LT. Estas líneas nos ayudarán a a producir otros cortes con las que van hacia los métricos. Paso 4: Prolongamos hasta los Focos las líneas verdes que cortan a las que van de focos a V. Una vez hecho esto podemos completar el dibujo de la planta. Paso 5: Para hallar alturas tenemos que prolongar las líneas de aquellas aristas que salen de la base hasta LT (vienen del foco) y desde ese punto de LTsubirla la medida correspondiente y volver a llevarla al foco. Paso 6: Se puede empezar a dibujar la figura. M2 F2M1F1
  • 28. P V F1F2 M1 M2 Paso 1 Explicación y pistas del enunciado. Paso 2: Hallar los focos coloccando la angulación desde V hasta que corte con LH. Con un arco desde F a V hallamos el corte con LH y tenemos el métrico M. Radio F-V. Lo mismo desde F’ para M’. Paso 3: En LTmedimos, a aprtir de la línea que pasa por P y V, las medidas necesarias de la figura que tendremos que llevas a sus métricos opuestos. También llevamos una línea al F y otra al F’ desde el corte de la perpendicular P-V con LT. Estas líneas nos ayudarán a a producir otros cortes con las que van hacia los métricos. Paso 4: Prolongamos hasta los Focos las líneas verdes que cortan a las que van de focos a V. Una vez hecho esto podemos completar el dibujo de la planta. Paso 5: Para hallar alturas tenemos que prolongar las líneas de aquellas aristas que salen de la base hasta LT(vienen del foco) y desde ese punto de LT subirla la medida correspondiente y volver a llevarla al foco.
  • 29. P V Paso 1 Explicación y pistas del enunciado. Paso 2: Hallar los focos coloccando la angulación desde V hasta que corte con LH. Con un arco desde F a V hallamos el corte con LH y tenemos el métrico M. Radio F-V. Lo mismo desde F’ para M’. Paso 3: En LTmedimos, a aprtir de la línea que pasa por P y V, las medidas necesarias de la figura que tendremos que llevas a sus métricos opuestos. También llevamos una línea al F y otra al F’ desde el corte de la perpendicular P-V con LT. Estas líneas nos ayudarán a a producir otros cortes con las que van hacia los métricos. Paso 4: Prolongamos hasta los Focos las líneas verdes que cortan a las que van de focos a V. Una vez hecho esto podemos completar el dibujo de la planta. Paso 5: Para hallar alturas tenemos que prolongar las líneas de aquellas aristas que salen de la base hasta LT(vienen del foco) y desde ese punto de LT subirla la medida correspondiente y volver a llevarla al foco. F1F2 M2M1
  • 30. UN EJEMPLO DE ISOMÉTRICA. SIMPLEMENTE HAY QUE HACER BIEN LAS PARALELAS Y PONER LAS DISCONTINUAS EN SU SITIO. EN LA OPCIÓN DE ISOMÉTRICA ES POSIBLE QUE PIDAN DIBUJAR A MANO ALZADA VISTAS DISTINTAS A LA DADA.

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