Progressão aritmética e geométrica

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Progressão aritmética e geométrica

  1. 1. Progressão Aritmética
  2. 2. <ul><li>Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante .  </li></ul><ul><li>Essa constante é chamada de razão e representada por r . Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.   </li></ul>
  3. 3. <ul><li>P.A crescente: r > 0 , então os elementos estarão em ordem crescente.  </li></ul><ul><li>PA (2,5,8,11,...) </li></ul><ul><li>P.A constate: r = 0 , então os elementos serão todos iguais.  </li></ul><ul><li>PA (2,2,2,2,...) </li></ul><ul><li>P.A decrescente: r < 0 , então os elementos estarão em ordem decrescente.   </li></ul><ul><li>PA (18, 16, 14, 12, ...) </li></ul>
  4. 4. <ul><li>a 1  : 1 o  termo a n  : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo) r : razão n : número de termos S n  : soma dos termos TM : termo médio </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Considere uma P.A finita qualquer (a 1 , a 2 , a 3 , </li></ul><ul><li>a 4 , ... , a n ) de razão igual a r : </li></ul><ul><li>a 2  – a 1  = r -> a 2  = a 1  + r  </li></ul><ul><li>a 3  – a 2  = r -> a 3  – a 1  – r = r -> a 3  = a 1  + 2r  </li></ul><ul><li>a 4  – a 3  = r -> a 4  – a 1  – 2r = r -> a 4  = a 1  + 3r  </li></ul><ul><li>…  </li></ul><ul><li>a n = a 1  + (n – 1) . r  </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula Sn =  (a1 + an) . n               2  </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Termo Médio de uma P.A. </li></ul><ul><li>Representação de 3 termos na P.A. </li></ul>{(x-r) ; x ; (x+r)}
  8. 8. <ul><li>Considerando a função f:  ->  e x 1, x 2, ... , x 3 ...x n. ... </li></ul><ul><li>elementos de uma PA, f será uma função afim, definida por f(x) = ax+b, se, e somente se, f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),..., f(x n ),... for uma PA de razão a.r , sendo a o coeficiente angular da f e r razão da PA inicial. </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Exemplo: Sejam a função afim f(x)=4x-2 e a PA (-6, -1, 4, 9, 14, 19, ...) de razão 5. A sequência (f(-6), f(-1), f(4), f(9), f(14), f(19), ... ), dada por (-26, -6, 14, 34, 54, 74, ...) é uma PA de razão 20 (4 . 5). </li></ul>
  10. 10. <ul><li>A função f:  ->  será uma função quadrática, definida por f(x) = ax 2 +bx+c, se, e somente se, para toda PA (x 1, x 2, x 3 ...x n. ...) as diferenças f(x 2 )- f(x 1 ), f(x 3 )- f(x 2 ), f(x 4 )- f(x 3 ),...,f(x n )- f(x n-1 ) formarem uma nova PA. A razão dessa nova PA será 2ar 2 , sendo a o coeficiente de f e r razão da PA inicial. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Sejam a função quadrática f(x)=-x 2 +2x-2 e a PA(3,5,7,9,11,...) de razão 2. A sequência (f(5)- f(3), f(7)- f(5), f(9)- f(7),f(11)- f(9),...), dada por (-12, -20, -28, -36, ...), é uma PA de razão -8 (2.(-1).2 2 ) </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Progressão Geométrica </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa  q , chamada  razão . </li></ul><ul><li>Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. </li></ul>
  14. 14. <ul><li>1.  Crescente:  </li></ul><ul><li>2.  Decrescente : </li></ul><ul><li>3.  Alternante ou Oscilante : quando q < 0. </li></ul><ul><li>4.  Constante: quando q = 1 </li></ul><ul><li>5.  Estacionária ou Singular: quando q = 0    </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Numa progressão geométrica de razão  q , os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   </li></ul><ul><li>a 1 = a 1 </li></ul><ul><li>a 2 = a 1 xq </li></ul><ul><li>a 3 = a 1 xq 2 </li></ul><ul><li>... </li></ul><ul><li>a n  = a 1  x q n-1 </li></ul>
  16. 16. <ul><li>SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA </li></ul>
  17. 17. <ul><li>a 1  : 1 o  termo a n  : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo) q : razão n : número de termos S n  : soma dos termos P : produto dos termos </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Em toda P.G. qualquer termo em módulo, excetuando-se os extremos, é média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente. </li></ul><ul><li>Ex.: (3,6,12,...) -> 6 2 = 3.12 </li></ul><ul><li>Em toda P.G. limitada o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos </li></ul><ul><li>Ex.: (1,2,4,8,16,32) -> 2.16 = 1.32 </li></ul>
  19. 19. <ul><li>Dados a função do tipo exponencial f:  ->  definida por f(x) = b.a x e x 1, x 2, ... , x 3 ...x n. ... </li></ul><ul><li>elementos de uma PA, a sequência (f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),..., f(x n ),...) é uma progressão geométrica de razão a r . </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Sejam a função do tipo exponencial f(x)=3.(½) x e a PA (-3, -1, 1, 3, 5, 7, ...), de razão 2, a sequência (f(-3), f(-1), f(1), f(3), f(5), f(7), ...), dada por (24, 6, 3 / 2 , 3 / 8 , 3 / 32 , 3 / 128 , ...), é uma PG de razão ¼ = (½) 2 . </li></ul>
  21. 21. <ul><li>{( x / q , x, x.q )} </li></ul><ul><li>FIM </li></ul>

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