LóGica MatemáTica

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LóGica MatemáTica

  1. 1. LÓGICA MATEMÁTICA <ul><li>Estudia las frases, afirmaciones y el comportamiento de ambas. </li></ul><ul><li>En el estudio de conjuntos intervienen frases y expresiones. </li></ul>
  2. 2. Proposición <ul><li>Expresión verdadera o falsa pero no ambas </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>3 + 8 es menor que 10 </li></ul><ul><li>Amado Nervo fue un gran arquitecto </li></ul><ul><li>El petróleo es un recurso renovable </li></ul>
  3. 3. No son proposiciones: <ul><li>Es más interesante Oceanía que América </li></ul><ul><li>Es más fácil el estudio de la música que de las matemáticas. </li></ul><ul><li>La cosecha del año entrante se helará </li></ul>
  4. 4. Denotación <ul><li>Proposiciones: Letras minúsculas </li></ul><ul><li>Proposiciones falsas: F (valor de verdad falso) </li></ul><ul><li>Proposiciones verdaderas: V (valor de verdad verdadero) </li></ul>
  5. 5. Clasifica las proposiciones <ul><li>3 + 8 es menor que 10 (_F__) </li></ul><ul><li>Amado Nervo fue un gran arquitecto(__F_) </li></ul><ul><li>El petróleo es un recurso renovable(__F_) </li></ul><ul><li>Es más interesante Oceanía que América(_X_) </li></ul><ul><li>Es más fácil el estudio de la música que de las matemáticas. (__X_) </li></ul><ul><li>La cosecha del año entrante se helará(__X_) </li></ul>
  6. 6. Clasificación Proposición simple Proposición compuesta Proposición Disyuntiva Proposición Conjuntiva
  7. 7. Proposiciones compuestas <ul><li>Formadas por varias proposiciones y usa operadores o conectores: </li></ul><ul><li>Y ( ^) conjunción </li></ul><ul><li>O (v) disyunción </li></ul><ul><li>No (¬, ´) </li></ul><ul><li>Entonces ( ) Condicionales </li></ul><ul><li>Si sólo si ( ) Bicondicionales </li></ul>
  8. 8. Conjunción Y ( ^) <ul><li>Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce como la multiplicación lógica. </li></ul><ul><li>Ejemplo: “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería” </li></ul><ul><li>Sean: </li></ul><ul><li>P = El coche enciende </li></ul><ul><li>q = Tiene gasolina el tanque </li></ul><ul><li>r = Tiene corriente la batería </li></ul>
  9. 9. Tabla de verdad (1=VERDADERO, 0=FALSO) <ul><li>De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es: </li></ul><ul><li>P = q ^ r </li></ul>q r P = q ^ r 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
  10. 10. Disyunción “O” , “u” (v) <ul><li>Se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se conoce como la suma lógica. </li></ul><ul><li>Ejemplo: “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase” </li></ul><ul><li>P = Entra al cine </li></ul><ul><li>q = Compra su boleto </li></ul><ul><li>r = Obtiene un pase </li></ul>
  11. 11. Tabla de verdad (1=VERDADERO, 0=FALSO) <ul><li>De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es: </li></ul><ul><li>P = q v r </li></ul><ul><li>La única manera en que no puede ingresar al cine (p=0), es que no compre su boleto (q=0) y que no obtenga un pase (r=0). </li></ul>q r P = q v r 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
  12. 12. Negación No (¬, ´) <ul><li>Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador no se obtendrá su complemento o negación (falso). </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>La negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo en este momento (p’=0) </li></ul>
  13. 13. Tabla de verdad (1=VERDADERO, 0=FALSO) p P´ 1 0 0 1
  14. 14. Ejemplo <ul><li>Sean las proposiciones: </li></ul><ul><li>p: Hoy es domingo. </li></ul><ul><li>q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje. </li></ul><ul><li>r: Aprobaré el curso. </li></ul><ul><li>El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso”. </li></ul><ul><li>Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>p ^ q v´ r </li></ul>
  15. 15. Entonces ( ) Condicionales <ul><li>Es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>P q Se lee “Si p entonces q” </li></ul>
  16. 16. Ejemplo. <ul><li>El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. </li></ul><ul><li>Una declaración como esta se conoce como condicional. </li></ul><ul><li>Sean: </li></ul><ul><li>p: Salió electo Presidente de la República. </li></ul><ul><li>q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. </li></ul><ul><li>El enunciado se puede expresar de las siguiente manera. </li></ul><ul><li>p q </li></ul>
  17. 17. Tabla de verdad (1=VERDADERO, 0=FALSO) <ul><li>Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. </li></ul><ul><li>Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p -  q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. </li></ul><ul><li>Cuando p=1 y q=0 significa que p --  q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. </li></ul><ul><li>Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p--  q =1. </li></ul>p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
  18. 18. Bicondicional <ul><li>Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de </li></ul><ul><li>la siguiente manera: </li></ul><ul><li>p q Se lee “p si y solo si q” </li></ul><ul><li>Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa </li></ul><ul><li>si y solo si q también lo es. </li></ul>
  19. 19. Ejemplo <ul><li>El enunciado siguiente es una proposición bicondicional </li></ul><ul><li>“ Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez” </li></ul><ul><li>Donde: </li></ul><ul><li>p: Es buen estudiante. </li></ul><ul><li>q: Tiene promedio de diez. </li></ul>
  20. 20. Tabla de verdad (1=VERDADERO, 0=FALSO) <ul><li>La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas </li></ul>q r p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
  21. 21. Ejercicio <ul><li>Sea el siguiente enunciado: </li></ul><ul><li>“ Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado” </li></ul>
  22. 22. Donde: <ul><li>p: Pago la luz. </li></ul><ul><li>q: Me cortarán la corriente eléctrica. </li></ul><ul><li>r: Me quedaré sin dinero. </li></ul><ul><li>s: Pediré prestado. </li></ul><ul><li>t: Pagar la deuda. </li></ul><ul><li>w: soy desorganizado. </li></ul>
  23. 23. Tablas de verdad <ul><li>Representación de las hipótesis generalizadas mediante proposiciones compuestas. </li></ul><ul><li>Sirve para determinar el valor de verdad de cada componente de una proposición que contiene conectivos. </li></ul><ul><li>Establecen una correspondencia mediante la deducción lógico matemática. </li></ul><ul><li>Constituye un método de decisión para establecer si una proposición es o no un teorema. </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Construcción: </li></ul><ul><li>1 = VERDADERO </li></ul><ul><li>0 = FALSO </li></ul>Tabla de verdad
  25. 25. Tabla de verdad <ul><li>El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula: </li></ul><ul><li>No de líneas = 2n </li></ul><ul><li>Donde: </li></ul><ul><li>n = número de variables distintas. </li></ul>
  26. 26. NEGACIÓN <ul><li>Dada una proposición p , se define la negación de p como la proposición p' (~, ¬) que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. </li></ul><ul><li>Se lee &quot;no p &quot;. </li></ul>
  27. 27. Conjunción <ul><li>Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. </li></ul><ul><li>Se escribe p ̭ q, y se lee &quot;p y q&quot;. </li></ul>
  28. 28. Disyunción <ul><li>Es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, falsa en caso contrario. </li></ul><ul><li>Se escribe p ̮̮ q, y se lee &quot;p ó q&quot;. </li></ul>
  29. 29. Disyunción exclusiva <ul><li>Es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. </li></ul><ul><li>Se escribe p q, y se lee &quot;p o q pero no ambas&quot;. Se usa muy poco.   </li></ul>
  30. 30.   Condicional <ul><li>E s aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. </li></ul><ul><li>Se escribe p => q, y se lee &quot;si p entonces q&quot;.   </li></ul>
  31. 31. Bicondicional <ul><li>Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. </li></ul><ul><li>Se escribe p <=>q, y se lee &quot;si y sólo si p entonces q&quot;. </li></ul>
  32. 32. Tautología <ul><li>Se dice que una proposición es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; </li></ul><ul><li>por ejemplo: </li></ul>
  33. 33. Contradicción <ul><li>Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: </li></ul>
  34. 34. Paradoja <ul><li>Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: </li></ul><ul><li>p = &quot;la proposición p es falsa&quot;. </li></ul>
  35. 35. Equivalentes <ul><li>Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición es una tautología. </li></ul><ul><li>Por ejemplo, las proposiciones: son equivalentes. </li></ul>
  36. 36. Reducción al absurdo <ul><li>Esta ley se llama &quot;ley del contrarrecíproco&quot;, y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo . </li></ul>

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