1. BÖLÜM 4:
OLASILIK
Hazırlayan
Gülşah Başol
TOKAT - 2013
T.C.
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
EĞİTİM FAKÜLTESİ

2. Konu Başlıkları
• BÖLÜM 4: OLASILIK
• 4.1. Olasılığın Tanımı
• 4.2. Olasılığın Temel kavramları(Rastsal Değişken,
Olasılık Evreni(örnek uzay), Olay, Basit Olay, Bileşik Olay,
Eşit Olasılıklı Olaylar, Bağdaşır ve Bağdaşmaz Olay,
Bağımlı Olay, Bağımsız Olay)
• 4.3. Bir Olayın Olasılığı
• 4.4. Olasılığın Tarihçesi
• 4.5. Klasik Olasılık
• 4.6. Frekans Olasılığı
• 4.7. Aksiyom Olasılığı
BÖLÜM 4: OLASILIK

3. • 4.7.1. Olasılık Aksiyomları
• 4.7.1.1. Çarpma Kuralı
• 4.7.1.2. Toplama Kuralı
• 4.7.1.2.1. Ayrık Olaylar için Toplama Kuralı
• 4.7.1.2.2. Ayrık Olmayan Olaylar için Toplama Kuralı
• 4.8. Olasılık Ağaç Diyagramı
• 4.9. Permütasyon
• 4.10. Kombinasyon
• 4.11. Ne zaman Kombinasyon ne zaman Permütasyon?
• 4.12. Koşullu (Bağımlı) Olasılık
BÖLÜM 4: OLASILIK

4. Kazanımlar
• KONUM ÖLÇÜLERİ
• Olasılığı tanımlar.
• Rastsal değişkeni tanımlar.
• Olasılık uzayını tanımlar.
• Olasılıkta olay terimini tanımlar.
• Basit olay ile bileşik olay arasındaki farkı açıklar.
• Bir olayın olasılığını hesaplar.
• Farklı olasılık türlerini bilir.
• Olasılık aksiyomlarını açıklar.
• Çarpım kuralını uygular.
• Toplama kuralını uygular.
• Ayrık olayları açıklar.
BÖLÜM 4: OLASILIK

5. …..
• Permutasyonu hesaplar.
• Kombinasyonu hesaplar.
• Koşullu olasılığı açıklar.
BÖLÜM 4: OLASILIK

6. 4.1. Olasılığın Tanımı
• Evrenden örneklem alınarak yapılan araştırmalarda elde edilen her
değer bir tahmindir. Bu nedenle hata payı taşır. Her bir örneklemde
değerler birbirinden bir miktar farklılaşacaktır.
• Olasılık, rastsal bir deney sonucunda ortaya çıkan olayların
belirsizliğini ifade eder. Bu belirsizlik incelenerek olayın olma ihtimali
miktar olarak bulunmaya çalışılır.
• O halde olasılık, bir olayın rastsal bir deney sonucunda ortaya çıkma
ihtimalinin sayıyla ifadesidir.
• Günümüzde olasılık uygulamalı matematiğin bir dalı olarak kabul
edilir.
BÖLÜM 4: OLASILIK

7. 4.1. Olasılığın Tanımı
• Olasılık her olaya 0 ile 1 arasında bir değer tahsis eden bir
fonksiyondur. Bu fonksiyonun belirtildiği örnek uzaya olasılık uzayı
denir. Örnek uzaydaki her basit rasgele olay ve her bileşik rasgele
olay olasılık uzayında bir değerle ifade edilir.
• Örnek: Hatasız bir para atıldığında yazı gelme olasılığı nedir?
• Örnek Uzay: Yazı, Tura
• A= Yazı gelme olasılığı P(A)= ½= ,5

8. 4.2. Olasılığın Temel Kavramları
• Rastsal Değişken,
• Olasılık Evreni(örnek uzay),
• Olay,
• Basit Olay,
• Bileşik Olay
• Eşit Olasılıklı Olaylar
• Bağdaşır ve Bağdaşmaz Olay
• Bağımlı Olay
• Bağımsız Olay

9. 4.2.1.Rastsal Değişken
• Rastsal bir deney sonucunda farklı değerler alan
değişkenlere rastsal değişken denir.
• Süreksiz (Discrete) Değişken: Sınıflama ölçeğinde
ölçülen her türlü adlandırmaya dönük belirlenen
değişken bu amaçla kullanılabilir.
• Çocuk sayısı, cinsiyet, etnik köken
• Sürekli (Continuous) Değişken: En az eşit aralık
düzeyindeki ölçeklerden elde edilen ara değer alabilen
değişkenler rastsal bir deneyin sürekli değişkeni olabilir.
• Yıllık kazanç, kişi başına düşen gelir, derslerden
alınan puanlar.
BÖLÜM 4: OLASILIK

10. 4.2.2. Olasılık Evreni (Örnek Uzay)
• Örnek Uzay: Rastsal bir deneyin tüm olabilir sonuçlar
kümesine verilen addır ve S harfi ile gösterilir.
• Hatasız bir zarın tek sayı gelmesi olasılığını bulunuz?
• Örnek uzay:
• S={1,2,3,4,5,6}
• A= Tek gelme olayı A= {1,3,5}
• P(A)= 3/6= 1/2
BÖLÜM 4: OLASILIK

11. 4.2.3. Olay ve Olay Türleri
• Olay: Olasılık evreninin (örnek uzayın) her alt kümesi bir
olaydır.
• Basit Olay: A S’nin sadece bir elemanını içeriyorsa basit
olaydır. Örnek uzaydaki her bir olay bir basit olaydır.
• Bir deste kağıttan çekilen bir kağıdın sinek gelmesi. Yazı
tura atıldığında yazı gelmesi.
• Bileşik Olay: A S’nin birden çok elemanını içeriyorsa
bileşik olaydır. 52’lik desteden çekilen bir kağıdın hem
sinek hem kız olması. İki zar atıldığında toplamlarının 6
olması. Örnek uzaydaki birden çok olay söz konusu
olduğunda ise bileşik olay söz konusudur.
BÖLÜM 4: OLASILIK

12. 4.2.4. Eşit Olasılıklı Olaylar:
• Eşit Olasılıklı Olaylar: Örnek uzaydaki tüm basit
olayların ortaya çıkma olasılığının eşit olduğu olaylara eşit
olasılıklı olaylar denir. Bir zar atıldığında gelen rakamlar,
bir desteden çekilen bir kağıdın as olması olasılığı, yazı ya
da tura gelmesi olasılığı, tesadüfi cevaplanan bir sorunun
doğru olması olasılığı.
BÖLÜM 4: OLASILIK

13. 4.2.5. Bağdaşır ve Bağdaşmaz Olaylar:
• Bağdaşmaz (Ayrık) Olay: İki olayın birlikte ortaya
çıkması mümkün değilse bağdaşmaz olay denir. Birinin
olması diğerinin olmasına engel olduğu durumlarda söz
konusudur. Kadın ya da erkek olma buna örnek olabilir.
• Bağdaşır (Ayrık Olmayan) Olay: Bir olayın ortaya
çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından
bağımsızsa, yani birbirini engellemiyorsa, iki veya daha
çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır.
Kartın karo kızı olması yani karo ve kız olması.
BÖLÜM 4: OLASILIK

14. 14
Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın
ortaya çıkmasını etkiliyorsa
52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart
sayısı önce 52 sonra 51.
4.2.6. Bağımlı Olaylar:
BÖLÜM 4: OLASILIK

15. 4.2.7.Bağımsız (Ayrık) Olaylar
• Bağımsız (Ayrık) Olaylar: S kümesinde yer alan iki olay
birlikte meydana gelemiyorsa ayrık olay olarak
adlandırılır. Başka bir deyişle kesişimleri boş küme olan
olaylara bağımsız(ayrık) olaylar denir.
• Eğer bir A olayının ortaya çıkması B olayının çıkmasına
bağlı değilse A ve B olayları ayrık(bağımsız) olaylardır.
Bu durumda A’nın olasılığı P(A)
B’nin olasılığı ise P(B)’dir.
BÖLÜM 4: OLASILIK

16. 16
Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından
ilişkisiz ise aşağıdaki şekilde gösterilir.
Örnek: Ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek
olacağı anlamına gelmez.
6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor. Toplar torbaya iade
edilirse bağımsız olaydır.
NOT: BAĞIMSIZ OLAYLAR İÇİN ÇARPMA YÖNTEMİ
KULLANILIR!
( ) ( ). ( )P A B P A P B∩ =
4.2.7. Bağımsız (Ayrık) Olaylar:
BÖLÜM 4: OLASILIK

17. • Örnek 1: Bir torbada 20 top vardır. Bu toplardan 12’si mavi 8’i
kırmızıdır. Torbadan bir top çekiliyor. Bu top mavi olduğuna göre
torbadan çekilen ikinci topun;
• a) Mavi olma olasılığı nedir?
• 11/19
• b) Kırmızı olma olasılığı nedir?
• 8/19
Not: Toplar torbaya geri atılırsa bağımsız, geri atılmazsa
bağımlı olaydır.
BÖLÜM 4: OLASILIK
Bağımsız (Ayrık) Olaylara Örnek

18. Bileşik Olay Ayrık Olay
BÖLÜM 4: OLASILIK

19. Tümleyen Olay
BÖLÜM 4: OLASILIK

20. 4.3. Bir Olayın Olasılığı
• Olasılığı hesaplamak istememizin nedeni rastsal bir
durumun söz konusu olmasıdır. Buna göre gözlenmesi
mümkün olmayan ancak ölçülebilen değişkenlerin
etkilerini ortaya koymak mümkün olur. Mevcut ilişkilerden
yola çıkarak geleceğe dönük tahmin yapılabilir. Olası
sonuçlardan olması ihtimali en yüksek olan belirlenebilir
(Maximum likelihood estimation).
• .
BÖLÜM 4: OLASILIK

21. 21
Örnekler:
Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı,
Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıttan en az birinin
karo olması olasılığı,
Dersi geçme olasılığı?
Hastanın iyileşme olasılığı?
Yeni bir aracın kazaya karışma olasılığı.
4.3. Bir Olayın Olasılığı
BÖLÜM 4: OLASILIK

22. 22
17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanmıştır.
1650 li yıllarda kumar Fransız toplumunda yaygındır. Zar
atma, kart oyunları, yazı tura, ve rulet oynanmaktadır.
Kumarbazların Pascal, Fermat, De Moive, D’Alembert gibi
matematikçilerden bu konuda yardım istemesiyle olasılılık
serüveni başlar. Öncesinde Aristo tarafından bir gerçeğin
rasgelirliğinin nicelleştirilmesi şeklinde tanımlanmış olmakla
birlikte, olasılığın ilk istatistiksel tanımı 1654’te Pascal ve
Fermat’ın yazışmalarında kendini bulur.
4.4. Olasılığın Kısa Bir Tarihçesi
BÖLÜM 4: OLASILIK

23. 23
Öncelikle bir olayın aynı şartlar altında meydana gelebilecek bütün
olanaklı sonuçları “elverişli” ve “elverişsiz” şeklinde iki gruba ayrılır.
Ardından elverişli grubundakilerin sayısını “a” ve elverişsiz
grubundakilerin sayısını “b” ile gösterilir.
Burada a’nın olması olasılığı yani “elverişli sonucun ortaya çıkması
olasılığı” a/a+b dir.
b’nin yani “elverişsiz sonucun ortaya çıkması olasılığı” ise b/a+b’ dir.
Klasik olasılık gözlem sayısı ile sınırlı olduğundan ve tekrarlı ölçümleri
hesaba katmadığından yetersizdir. Klasik olasılık TÜMDENGELİM’e
dayanır. Örnek: Bir kapta 5 kırmızı, 5 beyaz ve 5 mavi bilye bulunmaktadır.
Çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı nedir?
A: Çekilen bir bilyenin mavi olması
n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15
n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5 Çözüm: P(A)=n(A)/n(S)
=5/15
4.5. Klasik Olasılık
BÖLÜM 4: OLASILIK

24. 24
•Örnek uzaydaki eleman sayısı sınırsızken, eşit olasılıklı olay
varsayımı sağlanamadığında ve tümdengelimle çıkarıma
gidilemediğinde klasik olasılık yetersiz kalır.
•Frekans olasılığı bir olayın oluş sayısının toplam olay
sayısına bölünmesi ile bulunur.
P(A) = n(A) / n
Büyük Sayılar Kanunu: Deney sayısı arttırıldıkça frekans olasılığı gerçek
olasılığa yaklaşır.
4.6. Frekans Olasılığı
BÖLÜM 4: OLASILIK

25. 25
•Aynı deneyi sonsuz sayıda tekrarlamak mümkün
değildir. Frekans olasılığı yetersiz kaldığında
aksiyom olasılığı kullanılır.
4.7. Aksiyom Olasılığı
BÖLÜM 4: OLASILIK

26. 4.7.1. Olasılık Aksiyomları
)AP(1)AP( −=
1) Herhangi bir A olayı için olasılık değeri 0 ile 1 arasında
değer alır. 0 ≤ P(A) ≤ 1. İmkansız bir olayın olasılığı 0,
kesin bir olay içinse 1’dir.
2) Örnek uzayın elemanları için toplam olasılık değeri 1’e
eşittir. P(S)=1
3) A ile B ayrık olmayan (bileşik) iki olaysa P(AUB)= P(A)
+ P(B)-P(A∩B)
4) A ile B ile ayrık iki olaysa P(AUB)= P(A) + P(B)
(ayrık iki olay ise (A∩B)= Ø’dir ve P(A∩B)=0’dır.)
5) A olayı S örnek uzayının bir alt kümesi olduğunda A
olayının tümleyeninin olasılığı:
BÖLÜM 4: OLASILIK

27. 4.7.1. Olasılık Aksiyomları
• P(A) A’nın olma olasılığı,
• P(AUB)= P(A) + P(B) (A veya B’nin olma olasılığı)
• P(A∩B)= P(A) x P(B) (A ve B’nin olma olasılığı)
BÖLÜM 4: OLASILIK

28. 4.7.1. Olasılık Aksiyomları
BÖLÜM 4: OLASILIK

29. 4.7.1.1. Çarpma Kuralı
• k farklı sonuç veren bir deney n kere tekrar edilse ortaya çıkan
durum sayısı; kn’
dir. Eşit olasılıklara sahip durumlardan birinin olması
olasılığı ise1/kn’
dir. Örneğin iki soruyu tesadüf eseri doğru yapma
olasılığı 1/52
=1/25. Örnek uzayın eleman sayısı 25’tir.
Örnek1: Çarpma kuralına göre A olayının olma olasılığı P(A), b’nin olma
olasılığı P(B) ise bu iki olayın aynı anda oluşmaları olasılığı A ve B’nin ayrı
ayrı oluşma olasılıklarının çarpımı kadardır.
•P(A∩B)= A ile B’nin kesişimi (A ve B), A ve B’nin ayrı ayrı olma
olasılıklarının çarpımı kadardır.
•P(A∩B)= P(A) x P(B)
Örnek2: Bir desteden çekilen iki kağıttan birinin karo diğerinin sinek
olması olasılığı nedir? 1/13 * 1/13 =.077*.077= .005
ÇARPMA YÖNTEMİ BAĞIMSIZ OLAYLAR İÇİN KULLANILIR!
BÖLÜM 4: OLASILIK

30. 4.7.1.2. Toplama Kuralı
• İki olayın birlikte olma olasılığıdır.
• A ile B ayrık olmayan (bileşik) olaysa
• P(AUB)= P(A) + P(B) –P(A∩B).
• A ile B ayrık iki olaysa
• P(AUB)= P(A) + P(B).
BÖLÜM 4: OLASILIK

31. • İki ayrık olayın bileşik fonksiyonları 0 olduğuna göre
bunların birlikte olma olasılığını sadece toplayarak elde
etmemiz mümkündür.
• P(AUB)= P(A)+ P(B)
4.7.1.2.1.Ayrık Olaylar için Toplama
Kuralı
BÖLÜM 4: OLASILIK

32. 4.7.1.2.2.Ayrık Olmayan Olaylar için
Toplama Kuralı
• Ayrık olmayan iki olayın birlikte olma olasılığını sadece
toplayarak elde etmemiz mümkün değildir. Bu nedenle
toplamdan iki olayın aynı anda olma olasılığının çıkarılması
gereklidir.
• P(AUB)= P(A)+ P(B) – P(A∩B)
• Örnek2: 52 lik bir desteden bir as veya bir karo çekme olasılığı
nedir?
• P(AUB)= P(A)+ P(B) – P(A∩B)
• P(A)=4/52 P(B)= 13/52 P(A∩B)=1/52
• 4/52+13/52-1/52
BÖLÜM 4: OLASILIK

33. 4.7.1.2.2.Ayrık Olmayan Olaylar için
Toplama Kuralı
Örnek3: Fenerbahçe’nin önümüzdeki beş yılda şampiyonlar liginde
şampiyon olması ihtimali P(A)= .05, aynı beş yılda Galatasaray’ın
Avrupa Şampiyonu olması olasılığı ise P(B)= .20 olarak
hesaplanmaktadır. Buna göre önümüzdeki beş yılda bu iki durumdan A
veya B olaylarının gerçekleşme ihtimali nedir?
P(AUB)=?
P(A)=0.05
P(B)=0.20
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B) P(A∩B) = (0.05).(0.20)=0.01
= 0.05+0.20-0.01=0.24
BÖLÜM 4: OLASILIK

34. • Örnek4: P(A)=1/4, P(B)=p, P(AUB)=1/3 tür. Buna göre
• a) A ve B ayrık iki olaysa p’yi bulunuz. (Toplama kuralı-
ayrık)
• b) A ve B ayrık olmayan iki olaysa p’yi bulunuz. (Toplama
kuralı-ayrık olmayan)
• a) A ve B ayrıksa A∩B=Ø ve P(A∩B)=0
• P(AUB)= P(A)+P(B) dir.
• 1/3= (¼)+p
• P= 1/12
• b) A ve B iki ayrık olmayan olaysa
• P(AUB)= P(A) + P(B)-P(A∩B)
• P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A)xP(B)
• 1/3= ¼+p-(1/4)xp=>1/3=1/4+(3/4)xp= (¾)p=1/12=> p=1/9
BÖLÜM 4: OLASILIK

35. • Örnek 5. Bir üniversitenin rektörü öğrenci ve öğretim
üyelerinin bağıl değerlendirmeye geçilmesi konusunda
görüşlerini toplamak üzere bir anket yaptırmıştır. Ankette
Bağıl değerlendirmeye geçilmesini istiyorum maddesine
verilen cevaplar aşağıdaki şekildedir.
• Katılıyor Karşı Çekimser Toplam
• Öğretim Elemanı 15 160 25 200
• Öğrenci 245 15 40 300
• 260 175 65 500
• Bu gruptan rasgele seçilen birinin öğretim elemanı olma
veya katılıyor olma olasılığını bulunuz.
• P(AUB)= 200/500+260/500 - 15/500=.89
BÖLÜM 4: OLASILIK

36. • Örnek 6: Yapılan bir çalışmada peynir yemeyen 100 kişiden
70’inin kadın olduğu görülmüştür. Araştırma sonuçları
aşağıdaki gibidir.
• P.Yiyor P.Yemiyor Toplam
• Erkek 270 30 300
• Kadın 130 70 200
• Toplam 400 100 500
• Bu gruptan rasgele seçilen bir bireyin erkek veya peynir
yiyor olma olasılığını bulunuz (Ayrık olmayan olaylar için
toplama kuralı).
BÖLÜM 4: OLASILIK

37. •Ayrıca E / (AUB) kümesi peynir yemeyen kadınları temsil etmektedir.
•Eleman sayısı 70’tir.

38. • Örnek 7: Kamuoyunun dershanelerin kaldırılması
konusunda görüşünü ortaya koymak amacıyla yapılan bir
araştırmada çocuklu ve çocuksuz olanların görüşleri
aşağıdaki şekildedir. (Ayrık olmayan olaylar için toplama)
• Katılıyor Karşı Toplam
• Çocuksuz 55 15 70
• Çocuk sahibi 120 110 230
• Toplam= 175 125 300
• Bu örneklemden rasgele seçilen birinin dershanelerin
kapanmasına karşı (A) veya çocuk sahibi olma (B)
olasılığı nedir?
• P(AUB)= P(A)+ P(B)-P(A ∩ B)
• = 125/300 + 230/300- 110/300
• = 245/300
BÖLÜM 4: OLASILIK

39. • Örnek 8: Sınıftaki 40 öğrencinin 25’i kız 15’i erkektir. Kız
öğrencilerin 10’u erkek öğrencilerin ise 5’i devlet yurdunda
diğerleri evde kalmaktadır.
• Devlet Yurdu Ev Toplam
• Kız 10 15 25
• Erkek 5 10 15
• 15 25 40
• Öğrencilerin devlet yurdunda kalma veya kız olma
olasılığı nedir?
• P(D)= 15/40 P(K)= 25/40
• P(AUB)= P(D)+ P(K) – P(D ∩ K)=15/40 + 25/40 -10/40
• =30/40
BÖLÜM 4: OLASILIK

40. • Her birinin sonucu sonlu sayıda olan birden fazla deneyin
tüm olası sonuçlarını görmemizi mümkün kılan bir
diyagramdır. Bu diyagramdaki dalları takip ederek farklı
olasılık hesaplarını kolayca yapmak mümkündür.
4.8.Olasılık Ağaç Diyagramı
BÖLÜM 4: OLASILIK

41. 4.8.Olasılık Ağaç Diyagramı
• Bir sınıftaki 100 öğrenciden 30’u Fen Lisesine 70’i düz
liseye yerleşmiştir. Deneyin ağaç diyagramını çiziniz. İki
öğrenciden en az birinin Fen Lisesine yerleşme ihtimali
nedir?
BÖLÜM 4: OLASILIK

42. 4.9. Permütasyon
• Sıraya konulacak n adet nesne varken ve her biri
sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı
sıralama yapılabileceğinin hesabıdır.
............
n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:
n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n!
BÖLÜM 4: OLASILIK

43. 4.9. Permütasyon (Sıralama)
( )!
!
xn
n
Pxn
−
=
n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı
nPx …..olarak ifade edilir.
Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya
konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde
hesaplanır:
BÖLÜM 4: OLASILIK

44. 4.9. Permütasyon
( )!
!
xn
n
Pxn
−
=
2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları
birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur?
6*5*4*3=360
Sekiz rakamdan üç basamaklı ve rakamları farklı kaç sayı
yazılabilir?
(Rakamlar bir kez tekrar edecek)
8*7*6=336
BÖLÜM 4: OLASILIK

45. 4.10. Kombinasyon (Seçme)
( ) !!
!
xxn
n
Cxn
−
=
n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı nCx
ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak
ifade edilir. Şu şekilde hesaplanır:
BÖLÜM 4: OLASILIK

46. 4.10. Kombinasyon
Beş kişilik bir gruptan üç kişi kaç farklı şekilde seçilir?
( )
10
!3!35
!5
53 =
−
=C
BÖLÜM 4: OLASILIK

47. 4.10. Kombinasyon
• 10 erkek ve 5 kadın arasından 2 erkek ve 1 kadın üye
içeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur?
( )
5
!1!15
!5
51 =
−
=C
( )
45
!2!210
!10
102 =
−
=C
Çarpım kuralı uygulanarak 45*5=225 farklı şekilde olduğu bulunur.
BÖLÜM 4: OLASILIK

48. 4.11.Ne zaman Permütasyon ve Kombinasyon
kullanılır?
• Örnek uzayı ve olay sayısı çok olduğunda permütasyon
ve kombinasyona başvurulur.
BÖLÜM 4: OLASILIK

49. 4.12. Koşullu (Bağımlı) Olasılık
• Bir olayın, başka bir olayın gerçekleşmesi koşulunda
ortaya çıkması olasılığıdır.
• P(A/B)= P(A∩B)/P(B) B olayı verilmişken A olayının
koşullu olasılığı
• P(B/A)= P(A∩B)/P(A) A olayının olasılığı verildiğinde B
olayının ortaya çıkma olasılığı
• Bu durumda
• P(A/B)= P(A∩B)/P(B)= (P(A) x P(B)) / P(B) = P(A)
• P(B/A)= P(B∩A)/P(A)= (P(A) x P(B)) / P(A) = P(B)
BÖLÜM 4: OLASILIK

50. • Örnek 9: A ve B iki olay olsun. Öyle ki
• P(A)= ½, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/4 olmak üzere aşağıdaki
olasılıkları hesaplayınız.
• a) P(A/B)=? (Koşullu)
• b) P(B/A)=? (Koşullu)
• c) P(AUB)=? (Toplama kuralı) veya (Ayrık olmayan)
• P(A)= ½, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/4 olmak üzere aşağıdaki
olasılıkları hesaplayınız.
• a) P(A/B)=P(A∩B)/P(B)=(1/4)/(1/3)= 3/4
• b)P(B/A)= P(A∩B)/P(A)=(1/4)/(1/2)= 2/4=1/2
• c) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/4=7/12
BÖLÜM 4: OLASILIK

51. • Örnek 10: Bir sınıftaki öğrenciler keman ve piyano çalabilmektedir.
Bu öğrencilerin %80’ı keman, %40’ ı ise piyano çaldığına göre;
• a) Rasgele seçilen bir öğrencinin hem keman hem piyano çalma
olasılığı nedir?
• Öğrenciler içinden rasgele seçilen bir öğrenci,
• b) Bir öğrenci keman çalıyorsa piyano da çalma olasılığı nedir?
(Koşullu olasılık)
• c) Bir öğrenci piyano çalıyorsa keman da çalma olasılığı nedir?
(Koşullu olasılık)
• A: Keman çalma olayı
• B: Piyano çalma olayı
• a) P(AUB) = P(A) +P(B) - P(A∩B)= %100= %80+%40 - P(A∩B)
• P(A∩B )= %120-%100= %20 →P(A∩B )= .20
• b) P(B/A)=P(A∩B)/P(A)= .20/.40= .50
• c) P(A/B)=P(A∩B)/P(B)= .20/.80=.25
BÖLÜM 4: OLASILIK

52. • Örnek11 : Bir çalışmada hastaların 0.30’u hem etolforte,
hem de voltoren, 0.50’si sadece etolforte ve 0.20’si de
sadece voltoren kullanmaktadır. Rasgele seçilen bir
hastanın etolforte kullandığı biliniyorsa, bu hastanın
voltoren de kullanması olasılığı nedir? (Koşullu olasılık)
• A: Etolforte kullanma olayı
• B: Voltoren kullanma olayı
• P(A)= .50, P(B)=.20 ve P(A∩B)=.30
• O halde
• P(B/A)=P(A∩B)/P(A)= .30/.50= .60
• =.30/.80
• P(A)=.30+.50=.80
• P(B)=.30+.20=.50
BÖLÜM 4: OLASILIK