Operaciones con Números Complejos

1. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
Universidad Centroamericana
“José Simeón Cañas”
Departamento de Matemática.
Álgebra Vectorial y Matrices.
Catedrático: Ing. Eduardo Escapini.
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
A continuación se presentan una serie de ejercicios para el estudio de los números complejos.
1. Dibujar la representación gráfica de cada uno de los siguientes números
complejos.
a) 3 2z j 
b) 3 2z j 
c) 5 4z j  
d) 1 6z j  
e) 5z j
f) 4z 
g) 3.99 4.76z j 
2. Realizar la operación indicada (suma o diferencia) en cada uno de los
ejercicios.
a) (8 2 ) ( 7 5 )j j   
b) 15 (13 2 )j 
c) ( 1 0 ) (7 6 )j j   
d) (15 7 ) (9 11 )j j  
e) (13 5 ) ( 3 5 )j j   
f) ( 2 2 3 ) ( 2 27 )j j    
g)
3 2 1 1
2 7 8 3
j j
   
      
   

2. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
3. Calcular el producto de los números complejos dados. Representar
geométricamente cada pareja de complejos y su producto para cada uno de
los literales.
a) (9 )(3 5 )j j
b) ( 2 )(7 )j j  
c) (3 2 )(3 2 )j j 
d) (12 )(10 )j j
e) (5 3 )(5 3 )j j 
f)
7
( 3 )(2 )
2
j j 
g)
14 3
( 7 )( 11 )
63 2
j j   
4. Calcular el cociente de los números complejos dados y representar
geométricamente el número complejo encontrado.
a)
2 3
5 2
j
j


b)
3
3 2
j
j
 
 
c)
2
2 5
j
j
 
 
d)
5 3
7 2
j
j
 

e)
5 2
5
j
j

5. Resolver las siguientes ecuaciones igualando las partes reales y las
imaginarias para hallar los valores de “x” y “y”.
a) ( )(3 2 ) 4x yj j j   
b)
7
( )
3 5
j
x yj
j

 

c)
6
( )
7 4
j
x yj
j

 

d) ( )(7 ) 3 9x yj j j   
e) ( )(9 6 ) 6 9x yj j j    

3. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
6. Comprobar que el número complejo dado satisface la ecuación propuesta.
a) 1 1 2z j  ; 2
1 12 5 0z z  
b) 2 4z j  ; 2
2 2(7 3 ) (10 11 ) 0z j z j    
c) 3 6 5z j  ; 2
3 3( 11 8 ) (15 43 ) 0z j z j     
d) 4 2 2z j   ; 2
4 4( 1 4 ) (5 3 ) 0z j z j     
7. Encontrar 3
 donde:
1 3
2 2
j   
8. Determinar dos números complejos tales que su suma sea el número real “a”
y cuya diferencia sea el número imaginario “bj”(b real).
9. Calcular los módulos en cada una de las expresiones siguientes:
a) ( 8 )(4 3 )(1 24 )j j j  
b)
(1 )(4 6 )
( 3 7 )
j j
j
 

c)
(6 8 )(4 3 ) 1
(6 8 ) 4 3
j j
j j
  
 
10. Demostrar que el número complejo:
1 3
7
j
z
j



satisface la ecuación:
3 1
1
1z z
 

.
11. Usar la forma polar para calcular:
a) (4 3 4 )(6 6 3 )j j 
b)
16 16 3
3 3 3
j
j


c) 4(cos(15) (15))(2 2 )jsen j 
d) 3
2
2 3 2 3 1 2
( 1 3 ) cos
3 3 3 3 cos( ) ( )
( 5 3 ) 11cos 11
4 4
j
j jsen
jsen
j jsen
 
 
 
     
       
      
    
     
    
Sugerencia:
3 1
4 3 4 8( ) 8(cos(30) (30))
2 2
j j jsen    

4. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
12. Usar la fórmula de D´Moivre para calcular:
a) 8
(7 7 3 )j
b)
5
3
1
j
j

 
   
13. Demostrar que:
6
1 3
1
2
j 
  
 
14. Probar que si:
2
2
z z , entonces z es real.
15. Escribir el número complejo en su forma polar en cada caso:
a) 1 j
b) 1 3 j
c) 2 j
d) 7 2 j 
e) 3 3 j 
16. Probar que:
a) ( 1 3 )( 3 ) 2 3 2j j j     
b) ( 2 )(2 ) 5j j    
17. Graficar cada uno de los siguientes números complejos:
a) 6(cos(240) (240))jsen
b) 2 2 3 j
c) 3(cos(40) (40))jsen
d) 3 2 j
e)
2 2
cos
3 3
jsen
    
   
   
18. Encontrar los valores de z para los cuales: 5
32z  
19. Calcular todas las raíces cúbicas de: 1 j

5. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
20. Calcular:
a)  
1
3
3 j
b)
1
5
36
18 2
2
j
 
 
 
21. Si 1 2,z z y 3z son números complejos, entonces a través de una sustitución
directa pruebe que:
2
2 2 1 3
1
4
2
z z z z
z
z
  
 satisface que: 2
1 2 3 0z z z z z  
22. Resolver 2 2
(1 ) 16z z 
23. Resuelva:
a) 2
3 6 3 0z jz  
b) 2
4 12 40 0z z j  
24. Probar la fórmula de D´Moivre para exponentes racionales.
25. Sea “a” una constante real y positiva, entonces la ecuación:
1
1
z
a
z



representa:
a) Un círculo si 1a  b) Una recta si 1a 
26. Sean 0 2   y z un número complejo. Demostrar que el triángulo con
vértices 1 (cos( ) ( ))z z jsen   , 2 ( )(cos( ) ( ))z j z jsen    ,
3 (1 )(cos( ) ( ))z z jsen    es un triángulo rectángulo isósceles.
27. ¿Qué puede decir del triángulo con vértices: 1 (3 )cos( ) (1 3 ) ( )z j j sen    
, 2 (4 2 )cos( ) (2 4 ) ( )z j j sen     ,  3 (5 ) cos( ) ( )z j jsen    ?

6. Álgebra Vectorial y Matrices. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Discusión #1 Jonathan λGreen.
28. Sean cos( ) ( )j
e jsen
   y cos( ) ( )j
e jsen
 
  . Demuestre que:
cos( )
2
j j
e e 



 y ( )
2
j j
e e
sen
j
 



 . Estas expresiones se les conoce
como fórmulas de Euler.
29. Haciendo uso de las fórmulas de Euler, demuestre que:
3 1 3
cos ( ) cos(3 ) cos( )
4 4
    .
30. Desarrolle 3
( )sen  linealmente en términos de ( )sen  y (3 )sen  .
31. Demuestre que:
a) 1 2 1 2 1 2cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )sen sen       
b) 1 2 1 2 2 1( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen sen sen       
32. Demuestre que si: (cos( ) ( ))z r jsen   , entonces j
z re
 .
33. Para los ejercicios siguientes, represente los números complejos dados en
forma exponencial.
a) 1 j
b) 7 2 j 
c) 2 j
d) 3 j
e) 1 3 j
f) 3 3 j 
34. Calcular:
a) 3 j
e 
b) 4
j
e

c) 2 j
e 
35. Demuestre que si 0a  , entonces:
 ln( ) ( 2 )
, 0, 1, 2,...
a r k ja
z e k
  
   
36. Calcular: a)  
5
1 3 j y b)
3
(2 2 )j