Metodos Para Resolver Integrales

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE INTEGRALES 1. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR INTEGRACIÓN INMEDIATA: Como su nombre lo indica, el mencionado método consiste en la aplicación inmediata de una o varias reglas de integración ya establecidas y que son de fácil aplicación, aunque – en algunos casos- será necesario el desarrollo de operaciones algebraicas básicas. ∫x 5 dx  1 3 u Ejemplo1. Resolver la siguiente integral: ∫  3u + 2u 2 + e2 +  du 2   • Método a emplear: Integración inmediata de funciones potenciales. Método a emplear: Integral de la sumatoria de • Regla de integración: funciones e Integración inmediata de funciones 1 potenciales. ∫x n dx = x n + 1 + c; con n ≠ 1 y n ∈ R.  Al aplicar la Ecuación correspondiente y las n+ 1 propiedades de los radicales, se obtiene: 1 1 3 1 1 3∫ u du + ∫ 2 du + ∫e 2∫ • Determinar el valor de n. Para ello se debe 2 du + u du 2 u comparar la integral dada, con la regla de = integración. Al realizar dicha comparación,  Ahora se tienen cuatro integrales por se obtiene que: n=5. resolver. La primera se puede resolver • Siguiendo la regla de integración, se debe aplicando la Ecuación. Tanto la segunda realizar la siguiente operación: n+1 como la cuarta integral ya han sido resueltas en los ejemplos anteriores. Para • Como n=5, se tendrá el siguiente resultado: resolver la tercera integral, se debe sacar e2 n+1=5+1=6 de la integral por tratarse de una constante, ya que no depende de la variable u, y aplicar el factor. Así, se concluye que: • La regla de integración que se está aplicando, para resolver este ejercicio,  1 3 u indica que éste resultado debe colocarse ∫  3u + + e2 +  du = 1 Ln u − 3 + e 2u + 2 u 3 + c 2u 2 2   3 2u 6 tanto en el exponente de la antiderivada como en el denominador de la misma. Así Ejemplo 3. Resolver la siguiente integral: 1 6 x  3 5 x + 10e x  dx ∫  7x −  se obtiene: 6   • Ahora, si a ésta expresión se le agrega la Método a emplear: Integral de la sumatoria de constante de integración c, se tendrá que: funciones e Integración inmediata de funciones 1 6 exponenciales y potenciales. Desarrollo: x + c 6  Al aplicar la regla correspondiente y propiedades de los radicales, se obtiene: 1 6 ∫x x + c 5 dx  3 ∫  7x − 5 x + 10e x  dx • Concluyéndose que: =6    = 1 6 x + c • Verificación: Si se deriva el resultado , 6 3 + 10 ∫ e x dx ∫ x dx − 5∫ x dx 7 se obtiene x5 , que constituye la función  Ahora se tienen tres integrales por resolver y primitiva u original; poniéndose de este tipo de ecuaciones ya fue resuelto manifiesto que la diferenciación y la anteriormente (Trabajar con exponentes integración son procesos inversos. fraccionarios y aplicar las Ecuaciones). Así, Ejemplo 2. Resolver la siguiente integral: se obtiene que: 7 x 4 − 2 5x3 + 10e x + c 4 3 PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA 2. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE (INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN) Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable (sustitución). Luego de hacer efectivo la sustitución, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva. Ejemplo 4. Resolver la siguiente integral: Ejercicios En muchas ocasiones, cuando la integración ∫ ( 2 x + 6) 5 dx directa no es tan obvia, es posible resolver la Desarrollo: integral simplemente con hacer un cambio de  En atención a la teoría expuesta, construir la variable adecuado; este procedimiento se siguiente igualdad: conoce como integración por sustitución. u= 2x+6 (1) En los siguientes ejercicios realice la integral que  Debido a (1), la integral original se se indica: transforma, momentáneamente en: 5 ∫ ( 2 x + 6) 5 dx ∫ u dx = (2)  Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a dx, en función de du y para ello se: • Deriva ambos miembros de (1) para obtener: du=2dx • Divide la expresión anterior entre 2, du = dx 2 obteniéndose: (3)  Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica las propiedades y se obtiene: 1 5 2∫ 5 u du ∫ ( 2 x + 6) 5 dx ∫ u dx = =  Efectuado la sustitución se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar las Ecuaciones. Así: 1 5 1 6 2∫ u du u +c 12 =  Devolviendo la sustitución, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por tanto: 1 ∫ ( 2 x + 6) ( 2 x + 6) 6 + c 5 dx = 12 PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA 3. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR PARTES De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones, se obtiene el método de integración por partes. Si f y g son funciones diferenciables, entonces: Dx[ f ( x ) g ( x )] = f ( x ) g´(x ) + g ( x) f ´(x ) ⇔ f ( x ) g´(x ) = Dx[ f ( x ) g ( x)] − g ( x ) f ´(x) Ahora, si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuación, se tiene que: ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ Dx[ f ( x ) g ( x ) ] dx − ∫ g ( x ) f ( x ) dx ' ' Integrando, lo que es posible integrar, se obtiene: ∫ f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) − ∫ g ( x ) f ( x ) dx ( *) ' ' La Ecuación (*) se llama fórmula para integración por partes. Frecuentemente, se utiliza una expresión equivalente a (*), la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable: u = f ( x) v = g( x) y du = f ' ( x )dx dv = g ' ( x )dx Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se obtiene: y Así que la ecuación (*) se transforma en: ∫ udv = uv − ∫ vdu (Ecuación 1) La Ecuación 1 expresa la integral ∫ udv en términos de otra integral, ∫ vdu , la cual por lo general, se resuelve más fácilmente que la integral original. Para aplicar la integración por partes, es necesario elegir adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar como u. Es importante resaltar que una vez hecha la elección de u, todo lo que queda dentro la integral es dv. Para efectos de hacer la mencionada elección, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes: 1. la parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable. ∫ vdu ∫ udv 2. no debe ser más complicada que En la práctica, el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es siempre sencillo y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo, en el desarrollo de la presente obra se hará uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda pero de carácter NO GENERAL, denominada I.L.A.T.E., para hacer la mencionada elección. La única deficiencia de I.L.A.T.E., es que - en algunos casos - al hacer la elección de u, indicada por la mencionada regla, el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar en un ciclo infinito, que no permite obtener la solución correspondiente. Si esto ocurre, se debe detener el proceso y hacer una elección contraria a la hecha originalmente. PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente: I = Funciones Inversas. L = Funciones Logarítmicas. A = Funciones Algebraicas. T = Funciones Trigonométricas. E = Funciones Exponenciales. La regla I.L.A.T.E., se utiliza única y exclusivamente para realizar la mencionada elección, teniendo que recurrir a la ecuación 1 y los métodos ya expuestos, para resolver cualquier ejercicio relativo al presente tópico. Para ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la siguiente situación: ∫ xe −x dx Supóngase que piden resolver la siguiente integral: Obsérvese que el integrando está compuesto por dos funciones, una Algebraica (x) y otra Exponencial (e-x). Se buscan las iniciales A y E en la palabra I.L.A.T.E. Como en ella, leyendo de izquierda a derecha, aparece primero la letra A, se elige como u la función Algebraica, es dv = e − x dx decir, u = x. Por lo tanto, lo que queda dentro de la integral es dv. Así: Ejemplo 5. Resolver la siguiente integral:  Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado ∫ (3 − 2 x ) e −x dx usando factorización. Así: ∫ ( 3 − 2x ) e −x Solución dx  Conviene hacer las siguientes elecciones: = u = 3 − 2x dv = e − x dx − ( 3 − 2 x ) e − x + 2e − x + c = ( − 3 + 2 x + 2 ) e − x = ( − 1 + 2 x ) e − x + c (1) y (2) • Derivar ambos miembros de (1) para  Por tanto, se concluye que: obtener: du=-2dx ∫ ( 3 − 2x) e dx = ( 2 x − 1) e − x + c −x • Aplicar integrales a ambos miembros de ∫ dv = ∫ e −x dx EJERCICIOS: (2), para obtener: (3) En los ejercicios siguientes efectúe la integral • Usando el método de sustitución, integrar indefinida: ambos miembros de (3), para obtener: v = − e− x (4)  Reemplazar en la Ecuación 1, cada uno de sus factores por las expresiones obtenidas en (1), (2) y (4), para obtener: ∫ ( 3 − 2 x) e −x dx − (3 − 2 x ) e x − 2 ∫ e − x dx = (5)  Para resolver la última integral, se efectúa una sustitución y se obtiene una integral 2∫ e − x dx − 2e − x + c inmediata. Así: = (6) PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA 4. RESOLUCIÓN DE INTEGRANDOS TRIGONOMÉTRICOS Teniendo en cuenta los tipos para cuando se integran funciones trigonométricas siendo los exponentes pares enteros no negativos, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas: Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonométricas: Identidades trigonométricas Por lo regular, una vez concluimos con las transformaciones trigonométricas adecuadas, el integrando queda expedito para aplicar la integración por sustitución. En otros casos debemos recurrir a la integración por partes. Ejercicios En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida: 3. Solución: 13. Solución: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA 5. RESOLUCIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma: Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución: Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica Ejercicios: En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida: Solución: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: (Fig.1) Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA 6. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES p( x ) ∫ q( x ) dx Este método permite descomponer una integral de la forma: En integrales cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo general son de fácil solución. Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los siguientes criterios:  Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso de factorización.  Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se debe resolver primero la división de polinomios. Para aplicar el Criterio2, es necesario recordar la siguiente información: En una división, se relacionan el Dividendo (D), el divisor (d), el cociente (c) y el resto (r), mediante la D = d *c + r siguiente expresión: (I) Si se dividen ambos miembros de (I) entre “d” se obtiene: D d *c r r = + = c+ d d d d Ahora bien, esta última expresión se puede particularizar para polinomios, así: Si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto, entonces p( x ) r( x) = c( x ) + q( x ) q( x ) Aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales, se obtiene: p( x )  r( x)  r ( x) q( x ) = ∫  c( x ) + q( x )  dx = ∫ c( x )dx + ∫ q( x ) dx   Ecuación 2 Ahora, para poder aplicar el Criterio1, es necesario recordar la siguiente información: Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raíces reales, y n es un número natural. 3 5x − 2 x− 3 Así , ; ; sonfracciones simples. x + 4 x 2 + x + 3 ( 2 x + 1) 3 Cuando se deba aplicar el Criterio1, se debe proceder del siguiente modo: 1. Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0. Es importante saber, que al realizar la mencionada descomposición, es posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA Caso 1: Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación: p( x ) A B ∫ q( x ) = ∫ ax + b + ∫ cx + d + ... Caso 2: Factores en el denominador lineales repetidos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación: p( x ) A B z ∫ q( x ) = ∫ ( ax + b ) + ∫ ( ax + b ) 2 + ... + ∫ ( ax + b ) n Caso 3: Factores en el denominador cuadráticos distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación: p( x ) Ax + B Cx + D ∫ q( x ) = ∫ ax 2 + bx + c + ∫ cx 2 + dx + e + ... Caso 4: Factores en el denominador cuadráticos repetidos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación: p( x ) Ax + B Cx + D Wx + Z ∫ q( x ) = ∫ (ax 2 + bx + c + ) ∫ (ax 2 + bx + c ) 2 + ... + ∫ (ax 2 + bx + c ) n 2. Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador. Algunos de los métodos para determinar las constantes son: Sustitución, eliminación, igualación, Coeficientes indeterminados, métodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan). Nota: Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en el cálculo de las mencionadas constantes. El estudiante debe dominar, por lo menos, una técnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones, que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes. 3. Se integran los sumandos que resulten. Una vez determinadas las mencionadas constantes, se obtienen integrales que - por lo general – se resuelven aplicando los métodos ya expuestos. x+ 5 ∫ 2 dx x − 2x − 8 Ejemplo 1. De acuerdo al Criterio1, se debe factorizar, así se obtiene que: x+ 5 x+ 5 ∫ x 2 − 2x − 8 dx = ∫ ( x + 2)( x − 4) dx (1)  Por el caso 1. la expresión (1) , se puede escribir así: x+ 5 A B ∫ ( x + 2)( x − 4)dx = ∫ ( x + 2)dx + ∫ ( x − 4) dx (2)  Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2), para ello: • Se escribe la expresión (2), sin tomar en cuenta el símbolo integral. Así: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA x+ 5 A B = + ( x + 2)( x − 4) ( x + 2) ( x − 4) (3) • Se resuelve la adición planteada en el miembro de la derecha de (3). Así: x+ 5 A( x − 4 ) + B( x + 2 ) = ( x + 2)( x − 4) ( x + 2)( x − 4) (4) • En (4), se simplifican los denominadores, obteniéndose: x + 5 = A( x − 4) + B( x + 2) (5) • La expresión (5), constituye un sistema de ecuaciones. Al resolverlo da: 1 3 A= − y B= 2 2  Reemplazando A y B en (2) , se obtiene: 1 3 − x+ 5 A B 2 dx + 2 dx ∫ ( x + 2 )( x − 4 ) dx = ∫ ( x + 2) dx + ∫ ( x − 4) dx = ∫ ( x + 2) ∫ ( x − 4)  Este tipo de integral ya fue resuelta. Así se concluye que: x+ 5 1 x+ 2  ∫ ( x + 2)( x − 4) dx = −  ln +c 2  ( x − 4) 3    2 x3 − 4 x 2 − 15 x + 5 ∫ x2 − 2 x − 8 Ejemplo 2  De acuerdo al Criterio2, se debe efectuar la división de polinomios y aplicar la Ecuación 1.7se obtiene que: 2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5  x+ 5  x+ 5 ∫ x 2 − 2x − 8 = ∫  2x +   dx = x − 2x − 8  2 ∫ 2 xdx + ∫ x − 2x − 8 2 dx (1) 2 ∫ 2 xdx = x + c1  La primera integral es inmediata, al resolverla se obtiene: (2)  Para resolver la segunda integral, se aplica el Criterio1, es decir, se debe factorizar y aplicar el caso 1. Así se obtiene que: x+ 5 A B ∫ x − 2x − 8 2 dx = ∫ ( x + 2) dx + ∫ ( x − 4) dx  Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior. De allí que ahora se pueda escribir, x+ 5 1 x+ 2  ∫ ( x + 2)( x − 4) dx = −  ln 2  ( x − 4) 3  + c2    directamente, que: (3)  Reemplazando en (1), las expresiones (2) y (3), se tiene que: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA 2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5 1 x+ 2  ∫ x − 2x − 8 2 = x 2 + c1 −  ln 2  ( x − 4) 3  + c2     Haciendo c = c1+ c2, se concluye que: 2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5 1 x+ 2  ∫ x − 2x − 8 2 = x 2 −  ln  + c 2  ( x − 4) 3  2x3 − 4x − 8 ∫ (x 2 )( − x x2 + 4 dx ) Ejemplo 3  De acuerdo al Criterio1, se debe factorizar, así se obtiene que: 2x3 − 4x − 8 2x3 − 4x − 8 ∫ (x 2 )( − x x2 + 4 dx = ) ∫ x( x )( − 1 x2 + 4 dx ) (1)  Aplicando los caso 1 y 3, la expresión (1), se puede escribir así: 2x3 − 4x − 8 A B Cx + D ∫ x ( x − x )( x 2 + 4 dx = ) ∫ x dx + ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( x 2 + 4 dx ) (2)  Ahora se deben calcular las constantes A, B, C y D que aparecen en (2), para ello: • Se escribe la expresión (2), sin tomar en cuenta el símbolo integral. Así: 2x3 − 4x − 8 A B Cx + D ∫ x ( x − x )( x 2 + 4 dx = + ) x ( x − 1) + x2 + 4 ( ) (3) • Se resuelve la adición planteada en el miembro de la derecha de (3). Así: 2x3 − 4x − 8 = ( ) A( x − 1) x 2 + 4 + Bx x 2 + 4 + ( Cx + D ) x( x − 1) ( ) ( x x −1 x + 4 2 )( ) x( x − 1) x 2 + 4 ( ) (4) • En (4), se simplifican los denominadores, obteniéndose: 2 x 3 − 4 x − 8 = A( x − 1) ( x 2 + 4) + Bx( x 2 + 4) + ( Cx + D ) x( x − 1) (5) • La expresión (5), constituye un sistema de ecuaciones. Al resolverlo da: 14 14 4 A = 2, B = ,C= y D= 5 5 5  Reemplazando A, B, C y D en (2) , se obtiene: 2x3 − 4x − 8 2 14 1 14 x 4 1 ∫ x( x − 1)( x 2 + 4 dx = ) ∫ x dx + 5 ∫ ( x − 1) dx + 5 ∫ x2 + 4 dx + ∫ 2 5 x + 4 dx ( ) ( ) 2 x3 − 4 x − 8 14 7 2  x ∫ x( x − 1)( x 2 + 4) dx = 2 ln x + 5 ln x − 1 + ln x 2 + 4 + tan − 1   5 5  2  Así se concluye que: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL

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Metodos Para Resolver Integrales

by Marcos Boe

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