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Guia #4 de Calculo Integral

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  • 1. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA GUIA Nº3 ANTIDERIVADA INTRODUCCIÓN  Notación para antiderivadas o primitivas Un físico que conoce la velocidad de una Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se partícula podría desear conocer su posición en dice que F(x) es una solución de la ecuación un instante dado. Un ingeniero que puede medir dy diferencial de la forma = f (x) . Cuando se la razón variable a la cual se fuga el agua de un dx tanque quiere conocer la cantidad que se ha resuelve una ecuación de este tipo, es fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conveniente escribir en la forma diferencial conoce la razón a la que crece una población correspondiente dy= f(x) dx. de bacterias puede interesarse en deducir el La operación de encontrar todas las soluciones tamaño de la población en algún momento de esta ecuación se denomina integración, y se futuro. En cada caso, el problema es hallar una denota por el símbolo ∫. La solución a la función cuya derivada sea una función ecuación dy= f(x) dx se denota por y = ∫f(x)dx = conocida. Si existe tal función F, se le denomina F(x) + C de donde f(x) es el integrando, dx una antiderivada de f. indica la variable de integración y C es una constante. Llamamos a la ∫f(x)dx la integral COMPETENCIAS indefinida de f respecto de x. (2) Realice un  Encuentra mediante el proceso de esquema donde señale los elementos que derivación, antiderivadas generales para una conforman la integración. función específica.  Resuelve problemas de valor inicial. Definición. La notación ∫f(x)dx = F(x) + C donde  Aplica la noción de antiderivada en la C es una constante arbitraria, significa que es solución de situaciones problemas. una primitiva de f. Esto es, F′(x) = f(x) para todo x en el dominio de f. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: La pregunta aquí es: ¿cómo encontrar F(x) a F(x) + C representa una familia de funciones partir de f(x)? Por ejemplo; suponga que se le (para cada uno de los valores de C se tiene una pide hallar una función F que tiene la siguiente función de esta familia); dicha familia de derivada: F ´(x ) = 4 x 3 . A partir del conocimiento antiderivadas es llamada la integral indefinida de las derivadas, probablemente se diría que de la función f (x) y se denota con el símbolo ∫ f d 4 (x)dx, o sea ∫ f (x)dx = F(x) + C donde F '(x) = f(x) F ( x) = x 4 , ya que ( x ) = 4 x 3 . Llamamos a la  Reglas básicas de integración dx función F una antiderivada de F´. Otras La naturaleza inversa de la integración y la 3 4 derivación se refleja en el hecho de que antiderivadas de F ´(x ) = 4 x son: G ( x) = x + 5 y mediante la sustitución de F′(x) por f(x) en esta H ( x) = x 4 − 36 . Como se puede observar que si definición obtenemos: F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier otra ∫F´(x)dx = F(x) + C La integración es la antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta “inversa” de la derivación función se llama antiderivada general (cada valor de C nos da una antiderivada). (1)¿En Además si, ∫f(x)dx = F(x) + C entonces: que consiste el proceso de antiderivación? d [ f ( x)dx] = f ( x) La derivación es la dx Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de “inversa” de la integración f en un intervalo I, entonces G es una Estas dos ecuaciones permiten obtener antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de directamente fórmulas de integración a partir la forma: G(x)= F(x) +C, para todo x en I donde de fórmulas de derivación, como se muestra en C es una constante arbitraria. el siguiente resumen: SONIA MARITZA MENDOZA CALCULO INTEGRAL
  • 2. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA puede verificar derivando s(t) deducir que s(t) ´= 40)¿Cómo se sabe el valor de c? La información adicional s(1) = 10 significa que en el tiempo 1 segundo la posición era 10 m, es decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30. Por lo tanto s(t) = 40t – 30 Siempre que se tiene una condición inicial como el ejemplo anterior, es posible determinar una antiderivada particular. dy La ecuación = f (x) con y0 = f(x0), se llama dx problema de valor inicial y consiste en encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones dadas. Ejemplo 3. La aceleración de dv / dt de cierto automóvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del dv automóvil. Solución. = k .(250 − v) dt ACTIVIDAD 1. Llevar a clase las formulas básicas de integración. Ejemplos 1. La velocidad se expresa como 2. Completar la siguiente tabla dy Integral Reescribir Integrar Simplificar = v para calcular a y se aplica la dt original antiderivada: dy = v.dt entonces ∫ dy = ∫ v.dt luego : y = ∫ v.dt La aceleración en pies/seg2 se expresa como: a = 32 y la velocidad es la antiderivada de la dv aceleración, luego = a si despejamos a dv dt podemos obtener la velocidad: ∫ dv = ∫ a.dt esto es: v = ∫ a.dt Ejemplo 2.. Un auto se mueve con velocidad constante de 40 m/s. ¿Cuál es la posición s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se hallaba en s= 10m? Solución. Se debe encontrar una ecuación para s(t) a partir del hecho d que v(t) =40; como 1 x+ a 3. Compruebo que f ( x) = ln es una ds ds 2a x − a v(t ) = , tenemos: = 40 dt dt 1 Si se sabe que la derivada de s(t) es 40, ¿cuál antiderivada de f ( x) = a − x2 2 será entonces s(t)? A partir de la derivada se 4. La pendiente de la recta tangente a la aplica la fórmula (2) para obtener que la gráfica de la función f(x) está dada por antiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se 2x – 1. Si f(0)=1 halle la función f(x). SONIA MARITZA MENDOZA CALCULO INTEGRAL
  • 3. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA 5. Determinar si el enunciado es falso o verdadero. Si es falso, explicar por qué o 8. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: proporcionar un ejemplo que lo demuestre. A. Se arroja hacia arriba una pelota, con a. Cada antiderivada o primitiva de una velocidad de 48 pies/s desde el borde de un función polinómica de n grado es una acantilado a 432 pies sobre el fondo. función polinómica de grado (n+1) Calcule su altura sobre el fondo a los t b. La antiderivada o primitiva de f(x) es única. segundos después. ¿Cuándo alcanza su c. Si f´(x) = g(x) entonces ∫g(x) dx = f(x) + c. altura máxima? ¿Cuándo llega al fondo? B. Una moneda se deja caer desde un edificio 6. Encuentre la antiderivada más general de la y toca el suelo en 6 segundos. ¿Cuál es la función dada: altura del edificio? C. Un objeto, en caída libre, se mueve con aceleración -9.8 m/s2. a. Encuentre una ecuación para la velocidad suponiendo que v(0)=0. b. A partir de la ecuación para v(t) encuentre la ecuación de s(t), suponiendo que el objeto cae desde una altura de 10 m (s(0)=10). D. Una partícula, o punto material, se mueve en línea recta y su aceleración está expresada por a(t) = 6.t + 4. Su velocidad inicial es v(0) = -6cm/s y su desplazamiento inicial s(0) = 9cm. Determine su función de posición, s(t). E. Un balón se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 64 pies por segundo, desde una cima ubicada a 96 pies de altura. a) ¿A qué altura se encuentra el balón a los 7. Evaluar las siguientes integrales indefinidas y t segundos? comprobar el resultado por derivación b) ¿En qué instante alcanza su altura máxima? c) ¿A qué altura del suelo sube el balón? d) ¿En qué instante toca el balón el suelo? F. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo largo de una línea recta con una aceleración al tiempo t dada por a(t) = 12t – 4 pies/seg2. En el tiempo t = 0 la lancha tenía una velocidad de 8 pies/s y se encontraba a 15 pies del muelle. Calcular la distancia S(t) al embarcadero al cabo de t segundos. EL ÉXITO NUNCA ESTÁ ANTES QUE EL ESFUERZO, NI SIQUIERA EN EL DICCIONARIO. SONIA MARITZA MENDOZA CALCULO INTEGRAL
  • 4. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA ECUACIONES DIFERENCIALES. Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales Las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente. Diferenciales. Si es la derivada de la función , a partir de esta podemos construir una nueva función: (A) donde representa cualquier número arbitrario diferente de cero. A esta nueva función le llamaremos función diferencial de Ejemplos: 1. La función diferencial de es: 2. La función diferencial de es : 3. La función diferencial de es: 4. La función diferencial de es: Pero si en esta última función diferencial sustituimos por su valor, tendremos: de manera que (A) podría expresarse también así: (B) o también así: , si por lo tanto los diferenciales de los ejemplos anotados líneas arriba quedarían finalmente así: 1. La función diferencial de es: 2. La función diferencial de es : 3. La función diferencial de es: 4. La función diferencial de es: En general, (C) donde, si , entonces o también y por lo tanto (C) puede también escribirse de la siguiente manera: SONIA MARITZA MENDOZA CALCULO INTEGRAL
  • 5. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA Ejemplos: 1. Si , entonces (haciendo , con ; y aplicando ( C ) ) 2. Si , entonces (haciendo , con , y aplicando (C) ) 3. Si , entonces (haciendo , con ; y aplicando ( C ) ) Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, entre los métodos se encuentra: dy = M ( x).N ( y ) dx Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma: Las cuales se puede resolver así:  Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto: dy = M ( x)dx N ( y)  Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración. ACTIVIDAD: (1). Escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación descrita. a. La tasa de cambio de una población P con respecto al tiempo t es proporcional a la raíz cuadrada de P. b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v. c. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han oído un cierto rumor es proporcional al número de las que todavía no lo han oído. d. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han contraído cierta enfermedad es proporcional al producto del número de personas enfermas y el número de las que no lo están. SONIA MARITZA MENDOZA CALCULO INTEGRAL
  • 6. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado: ORDEN 1: Y´=2x ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0 ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial Y´ = 6x 2 – 5 Tiene solución F (x) = 2x3 - 5x + C Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x 3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo Para la ecuación diferencial f´(x) = 2x -1, se le determina la solución general la cual es f(x) = x2 –x +C, la cual C puede ser cualquier constante, lo que significa que tiene infinitas soluciones, pero si se estipula que la función f(x) debe cumplir la condición f(1) = 3, o en forma equivalente que la grafica de f debe pasar por el punto (1,3). Entonces, usando la condición sobre la solución general f(x)=x 2–x +C, vemos que: f(1) =(1)2 –(1) +C = 3 Por lo anterior C = 3. Así la solución particular es: 2 f(x) = x –x +3 La condición f(1) = 3 es un ejemplo de condición inicial. En general, una condición inicial es una condición impuesta sobre el valor de f en un punto x=a. ACTIVIDAD: a. Determinar la función f si se sabe que f´(x) = 3x2 – 4x +8 y f(1) = 9 b. La circulación actual de la revista Señales es de 3000 ejemplares por semana. Se espera que la circulación aumente a razón de 4+5t(2/3) ejemplares por semana, t semanas a partir de hoy, durante los próximos tres años. Con base en esta proyección, ¿cuál será la circulación de la revista dentro de 125 semanas? c. Un fabricante sabe que el costo marginal correspondiente a la producción de x unidades de cierto componente de una fotocopiadora está dado por 30 – 0.02x. Si el costo de producir una unidad es de US $35 dólares. ¿Cuál será el costo de producir 100 unidades? SONIA MARITZA MENDOZA CALCULO INTEGRAL

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