Bolle di sapone e matematica

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La scuola secondaria Galilei ha aderito al progetto “Math en Jeans 2011-12” con un gruppo di circa 30 alunni delle classi seconda A, B, C e terza B, C, D, E, coordinati dalle Prof. Sora Maria Ausilia e Zanzottera Alessandra.
Ecco il lavoro prodotto e presentato durante il Convegno "Eccellenza e recupero:esperienze e prospettive" che si è svolto sabato 31 marzo 2012 presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Milano.

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Bolle di sapone e matematica

  1. 1. Via Quadrelli, 2 – Busto Arsizio e-mail galilei@galileibusto.it WEB www.galileibusto.itMATh.en.JEANS
  2. 2. Indice•Bolle di sapone•Che cosè la tensione superficiale?•Che cosa sono i tensioattivi?•Lamine di sapone•Reti - Percorsi minimi•Conclusioni
  3. 3. Chi non ha mai provato a fare una bolla di sapone e osservare tutti i colori che su di essa appaiono? Fare bolle di sapone è da sempre un divertimento. Tutti noiabbiamo giocato con le bolle di sapone. Quello che meravigliaè la forma sferica e perfetta delle bolle, i loro colori, la loro trasparenza, la loro leggerezza... Con lamine sottili di acqua saponata si possono fare esperimenti interessanti e giochi divertenti.
  4. 4. Abbiamo scoperto che le bolle di sapone sono uno degli argomenti più interessanti in molti settori della ricerca scientifica: dalla matematica alla chimica, dalla fisica alla biologia, ma anche nell’architettura e nell’arte...Scuola olandese, XVI secolo F. Otto, Tenda sospesa stadio olimpico di Monaco, 1969-1971
  5. 5. Una bolla può esistere perché lo strato superficiale di un liquido (moltospesso acqua) ha una certa tensione superficiale.Che cosè la tensione superficiale?Una molecola di un liquido attira le molecole che la circondano ed a sua voltaè attratta da esse. Le molecole che si trovano allinterno del liquido sitrovano in equilibrio rispetto alle altre. Le molecole che si trovano insuperficie vengono attratte dalle molecole sottostanti e da quelle laterali,ma non verso lesterno, quindi la risultante è una forza diretta versolinterno del liquido. A sua volta, la forza di coesione fra le molecolefornisce una forza tangenziale alla superficie.La superficie di un liquido si comporta dunque come una membrana elasticache avvolge e comprime il liquido sottostante.La tensione superficiale esprime la forza con cui le molecole superficiali siattirano lun laltra. Per effetto della tensione superficiale un oggetto più pesante dellacqua galleggia.
  6. 6. Che cosa sono i tensioattivi?Una bolla fatta da un liquido puro da solo non è stabile ed è necessario,quindi, sciogliervi un tensioattivo, ad esempio il sapone, per stabilizzarla.I tensioattivi sono sostanze che hanno la proprietà di abbassare la tensionesuperficiale di un liquido.Le molecole di sapone (o di un altro tensioattivo) sono costituite da unacoda idrofoba e da una testa idrofila.
  7. 7. LAMINE DI SAPONEAbbiamo realizzato un telaio circolare in fildi ferro. Immergendo il telaio nella soluzionee poi estraendolo con molta delicatezza,mantenendolo parallelo alla superficie delliquido, si può vedere che la lamina si formadapprima vicino al cerchio e mano a mano chesi tira fuori il telaio si forma una superficieconcava sempre più grande, che alla fine sistacca completamente dal liquido performare un’unica lamina piana. Questo succede perché le code “idrofobe” del sapone non riescono a creare legami con le molecole di acqua e quindi tendono a disporsi al di fuori del liquido, mentre le teste “idrofile” rimangono a contatto con il liquido. Quindi se si estrae un telaio metallico da una bacinella di acqua e sapone, le molecole di sapone si attaccano al filo trascinando con loro molecole d’acqua. Si forma così una lamina, costituita da due strati di molecole di sapone fra i quali l’acqua resta intrappolata.
  8. 8. Abbiamo realizzato un telaio circolare in fil di ferro e abbiamo legato unfilo di cotone ai due estremi del telaio. Immerso in acqua e saponeabbiamo ottenuto una sottile lamina, una volta bucata una delle dueparti di lamina abbiamo ottenuto solo una parte di lamina a forma disemiluna. La forza che tende il filo è la tensione superficiale. Nel momento in cui si rompe una parte della pellicola la forza esercitata sul filo non è più equilibrata da quella dovuta alla presenza della lamina nella parte opposta quindi il filo si tende e la lamina occupa l’estensione minore possibile.
  9. 9. Per studiare ulteriormente gli effetti della tensione superficialeabbiamo costruito un telaio rettangolare usando delle cannucce e delfilo di cotone.Abbiamo tagliato le cannucce alle due estremità per avere le dimensionidesiderate, abbiamo fatto passare all’interno delle cannucce un filo dicotone.A questo punto immergiamo il telaio in acqua e sapone, lo estraiamodelicatamente e notiamo che i due fili di cotone tendono ad avvicinarsiformando due archi.Ripetiamo l esperimento mettendo al posto del filo di cotone dellospago che, essendo più rigido dovrebbe opporre più resistenza allalamina di sapone. Ripetiamo molte volte questi esperimenti e giungiamoad una conclusione: i fili vengono attratti luno dallaltro la distanza trale due cannucce si riduce e l’area della lamina di sapone diminuisce.Cambiando modellino, da quello con il filo di cotone a quello con lo spago,notiamo che la variazione di distanza cambia.
  10. 10. 14 cm 9.5 cm 14 Cm 9.5 Cm Abbiamo fatto queste misure: con filo di cotone 14-9,5=4,5cm 14:100=4,5:X (100 x 4,5) :14= 32,1 % riduzione distanza con spago 22,5-19=3,5cm 22,5:100=3,5:X (100 x 3,5) :22,5= 15,5 % riduzione distanza Questo fenomeno è sempre conseguenza della tensione superficiale, che incurva i fili e tira il bastoncino verso l’alto.
  11. 11. Su un telaio circolare in fil di ferro con un filo di cotone abbiamo inserito un cappio. Immergiamo il telaio in una soluzione di acqua saponata; una volta estratto, otteniamo una sottile lamina di sapone. Successivamente, foriamo la parte interna al cappio aiutandoci con uno stuzzicadenti.Quando la lamina interna al laccio viene bucata, il filo si tendefino a diventare una circonferenza: questo accade perché leforze esercitate sul filo dalla lamina internamente edesternamente perdono il proprio equilibrio.Da tutto ciò segue che la lamina che rimane all’esterno del buco ha laminima superficie che è possibile ottenere usando quel contorno.
  12. 12. Ma perché risulta proprio una circonferenza?Abbiamo confrontato alcune figure geometriche, abbiamo calcolato l’area dipoligoni con lo stesso perimetro, cioè ISOPERIMETRICI (abbiamo deciso diconsiderare un perimetro di 24 cm). C D C QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO A B A B P= 24 cm AB= 8 cm P= 24 cm AB= 6 cm A= (8 x 6,92) : 2= 27,68 cm² A= 6²= 36 cm² C C TRIANGOLO TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE SCALENO A B A B P= 24 cm AB= 6 cm P= 24 cm CA=BC= 9 cm AC= 9,6 cm BC= 10,4 cm AB= 4 cm A= 25.45 cm² A= (4 x 9,6) : 2= 19.2 cm²
  13. 13. D C E D RETTANGOLO C ESAGONO F A BA BP= 24 cm P= 24 cm AB= 4 cmAB= 5 cm BC= 7 cm A= 4²x 2,598= 41,568 cm²A= 5 x 7= 35 cm² D C TRAPEZIO ISOSCELE A B P= 24 cm AB= 8 cm BC=DA= 6 cm CD= 4 cm A= [(4+8) x 5,65] :2= 33,94 cm²
  14. 14. D C PARALLELOGRAMMA D A BP=24 cmAB=DC=7 cm BC=DA=5 cm A CA=(7 x 4,5)=32,06 cm² ROMBO B CERCHIO P=24 cm AB=6 cm DB=11 cm AC=5 cm A=27,5 cm²C= 24 cm Abbiamo quindi verificato che aOA= 3,8 cm A= 45,34 cm² parità di perimetro l’area maggiore è quella del cerchio.
  15. 15. Questo risultato è noto da millenni,Virgilio nel libro I dell’Eneide riportatala leggenda della regina Didone.Quindi Dido commossa, ordine occultodi fuggir tenne, e dadunar compagni;che molti nadunò, parte per odio,parte per tema di sì rio tiranno.Le navi che trovar nel lido preste,caricar doro,e far vela in un subito.Giunsero in questi luoghi, ovor vedraisorger la gran cittade e lalta roccade la nuova Cartago, che dal fattoBirsa no mossi,per lastuta merceche, per fondarla, fèr di tanto sitoquanto cerchiar di bue potesse in tergo.(Eneide: libro I, 580-594)
  16. 16. La leggenda a cui allude Virgilio è quella secondo cui Didone, arrivata inAfrica, chiese al potente Larba, re dei Gentili, un tratto di terra perpotervi costruire una città. Il re non volendogliela concedere, le assegnò insegno di scherno tanta terra quanta ne potesse circondare con la pelle di unbue.Lastuta Didone tagliò la pelle in strisce sottilissime e si vide assegnatatutta la terra, affacciata sul mare, che poté circondare con le strisciolineattaccate una allaltra.Così costruì Cartagine.Linterpretazione dellepisodio da parte dei matematici si basa sullipotesiche i fondatori della città fossero a conoscenza di una certa proprietàgeometrica. Questa proprietà è nota con il nome di isoperimetrica: a paritàdi lunghezza del perimetro esterno, se si vuole racchiudere la maggior areapossibile allinterno allora bisogna scegliere come contorno lacirconferenza. I matematici sono propensi a credere che Didoneconoscesse la proprietà della circonferenza, per sfruttarla a suo vantaggio;si tratterebbe di una conoscenza empirica, basata cioè sullesperienza.
  17. 17. La proprietà del cerchio di avere perimetro minimo a parità di area, èstata forse utilizzata nel Medioevo, sempre nella costruzione dellecittà. Non sono poche infatti le città, di quel periodo, che presentanoforma circolare. La ragione era probabilmente, quella di risparmiaresulla lunghezza delle mura di cinta e, nello stesso tempo, di potersorvegliare meglio gli attacchi dall’esterno. 
  18. 18. RETIAbbiamo lavorato con un oggetto formato da due lastre di plexiglasstenute insieme da viti (pioli) posizionate in modo da formare i verticidi alcuni poligoni regolari: triangolo equilatero, quadrato, esagono.
  19. 19. RETI NEL TRIANGOLOInizialmente abbiamo immerso nell’acqua saponata la lastrina con le vitiposizionate come i tre vertici di un triangolo equilatero verticalmentein modo che una vite rimanesse fuori dall’acqua.Estraendola abbiamo notato che si forma una lamina di sapone che haforma rettangolare: 4 angoli retti e i lati paralleli congruenti a due adue. Le altezze equivalgono all’altezza del piolo mentre le basiequivalgono alla distanza fra i due pioli. Lamina di sapone
  20. 20. Successivamente abbiamo preso sempre la stessa lastrina e l’abbiamoimmersa nella soluzione, questa volta però orizzontalmente, ottenendouna configurazione a forma di “y”.Questa configurazione ha tutte le lamine congruenti fra loro.Il punto in cui si incontrano le lamine equivale al centro, ortocentro ebaricentro del triangolo. Infatti, se immaginiamo di circoscrivere altriangolo una circonferenza, il centro del triangolo coincide con ilcentro della circonferenza e ciascuna lamina rappresenta il raggio delcerchio. Dividendo il cerchio in tre parti equivalenti tra loro ciascunangolo è ampio 120°.Siamo arrivati a questa conclusione con l’aiuto di un cerchio diviso intre parti uguali colorate diversamente che abbiamo sovrapposto allaconfigurazione ottenuta.
  21. 21. Se, invece, i 3 pioli fossero posti nei vertici di un triangolo isoscelerettangolo, secondo noi, la configurazione che dovrebbe assumere lalamina è questa: Come abbiamo verificato.Abbiamo immaginato questa configurazione supponendo che il criterioper cui le lamine di sapone si dispongono sia legato al formarsi di angolidi 120°.
  22. 22. Per capire il motivo di questa configurazione a forma di “y” abbiamoprovato a disegnare quattro diversi percorsi per unire le viti, disposte aformare un triangolo equilatero, e li abbiamo misurati in centimetri con ilrighello ordinandoli dal più lungo al più corto: Questo è il primo Questo è il terzo percorso ed è il più percorso e misura 5 cm. lungo e misura 9 cm perché ogni lato misura 3 cm. Questo è il secondo Questo è il quarto percorso e misura 6 percorso e misura 4,5 cm. cm.
  23. 23. Abbiamo voluto però fare uno sforzo in più e abbiamo calcolato la misura dei vari percorsi utilizzando come unità il lato del triangolo.a) Per il primo percorso è stato facile infatti abbiamo visto che era composto da tre lati cioè tre unità: 1+1+1=3;b) Per il secondo percorso è stato comunque facile perché abbiamo visto che era composto da due lati ovvero due unità: 1+1=2c) Nel terzo percorso però i calcoli si sono fatti un po’ più complicati e, grazie al teorema di Pitagora, abbiamo capito che era lungo all’incirca 1,866 unità: 1+√3/2=2+√3/2= 1,866(circa)
  24. 24. d) Nel quarto percorso le cose erano comunque complicate, ma siamo arrivati al risultato ragionandoci un po’. Per prima cosa abbiamo disegnato intorno al percorso un triangolo e abbiamo visto che si ottenevano tre triangoli congruenti che divisi in due davano sei triangoli rettangoli. Da qui abbiamo notato che AO=OB e siccome OB è il doppio di OH, quest’ultimo corrisponde a 1/3 di CH, e quindi AO=2/3CH. Poi per determinare la lunghezza dell’altezza abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora: √3/3x 3/1=√3=1,732 (circa). C O A B H
  25. 25. Abbiamo quindi capito e verificato che la rete ottenuta effettivamente,cioè quella rappresentata da una “y”, è la più breve, quindi è ilPERCORSO MINIMO. Il punto in cui si incontrano le tre laminerappresenta tutti i punti notevoli del triangolo (centro) che sonoequidistanti dai vertici e si formano tre angoli ottusi di 120°.
  26. 26. RETI NEL TRIANGOLO ISOSCELE(STRUTTURA A T)Ci è stata poi data una nuova lastrina con ipioli posizionati in modo da formare una T che,in realtà, rappresenta un triangolo isoscele.Abbiamo ipotizzato che, immergendointeramente nell’acqua saponata la piastrina, sisarebbe formata una rete di lamine simile aquella del triangolo equilatero, con un incrocioal centro come rappresentato nella figura alato.Immergendola siamo stati spiazzati dalrisultato perché si forma una figura strana diquesto tipo.
  27. 27. RETI NEL QUADRATOSiamo poi passati alla lastrina con le viti posizionate a formare unquadrato, quindi con quattro vertici perfettamente equidistanti traloro.Avendo a disposizione 8 figure, ciascuna delle quali rappresentava unpossibile percorso (rete) che congiunge 4 punti posti nei vertici di unquadrato, abbiamo calcolato le lunghezze dei diversi percorsi: Ci siamo allora chiesti quali caratteristiche geometriche presenta il percorso più breve tra questi otto. Notiamo che i 2 lati obliqui sono le diagonali del quadrato, quindi congruenti e perpendicolari fra di loro e di conseguenza formano angoli di 90°.
  28. 28. Abbiamo provato ad ipotizzare la forma della lamina di sapone che siottiene immergendo interamente la lastrina con i 4 pioli nell’acquasaponata.Noi abbiamo ipotizzato che la rete potesse essere la seguente: ma la figura ottenuta sperimentalmente è stata:
  29. 29. Facendo attenzione si notano analogie con la configurazione della rete del triangolo. Infatti, gli angoli all’incrocio dei tre segmenti misurano 120°, come visto nella rete del triangolo. Inoltre, se si immagina di tagliare orizzontalmente in due la figura, ciascuna delle due parti coincide perfettamente con la rete del triangolo. Figura A La differenza tra questa e la precedente rete è che la lunghezza di questa figura è poco meno del doppio. Questa rete è il tragitto più corto per collegare i quattro vertici, perché se i 4 lati più corti venissero uniti a formare un unico lato, come nella figura B, si ridurrebbero i lati più corti, ma si allungherebbe il lato verticale, andando a superareFigura B la lunghezza totale della figura A. Se invece si andasse a ridurre, come in figura C, il lato verticale, per rendere due uniche diagonali i 4 lati più corti, le diagonali diventerebbero troppo lunghe, superando così la lunghezza della prima figura.Figura C
  30. 30. Abbiamo calcolato la lunghezza della configurazione ottenuta (figura A)immaginando che il segmento più corto fosse metà dell’ipotenusa di untriangolo con la base corrispondente alla metà di un lato di misura 1 conla base appoggiata allo stesso latoipotenusa/segmento piccolo: 1 x 2 = 1 = V3 = 0,58 2 V3 V3 3altezza del triangolino immaginario: V3 = 0,29 6segmento verticale: 1 - (0,29 x 2) = 0,42misura totale della rete: 0,42 x (0,29 x 4) = 2,74Effettivamente la rete ottenuta rappresenta il percorso minimo!
  31. 31. Possiamo quindi concludere che:le lamine di sapone cercano di trovare il percorso più corto per collegarei vertici e la figura che più ricorrente è quella con tre lati ches’incrociano.Abbiamo rilevato una regolarità numerica:la relazione tra il numero di incroci (nodi) e il numero dei lati del poligonoregolare è:n NODI = n LATI - 2infatti si ha:nel triangolo: 3 lati e 1 nodonel quadrato: 4 lati e 2 nodi
  32. 32. RETI NELL’ESAGONOOltre alle reti del quadrato e del triangolo abbiamo anche provato afare delle ipotesi e a sperimentare le reti dellesagono e abbiamoscoperto che si può formare più di una rete: ne abbiamo viste diverse.
  33. 33. RIEPILOGO RETI OTTENUTE RETE TRA DUE PIOLI SI FORMA UNA SOLA LAMINA PERCHE’ IL PERCORSO MINIMO TRA DUE PIOLI E’ DI UN SEGMENTO, OVVERO UNA LAMINA. RETE NEL TRIANGOLO EQUILATERO SI FORMA UNA Y FORMATA DA 3 SEGMENTI CONGRUENTI IL PUNTO IN CUI SI INCONTRANO LE LAMINE EQUIVALE AL CENTRO, ORTOCENTRO E BARICENTRO DEL TRIANGOLO. NEL NODO SI FORMANO 3 ANGOLI DI 120° CIASCUNO (QUINDI LA LORO SOMMA E PARI AD 1 ANGOLO GIRO). QUESTI SI FORMANO PERCHE’ LE VITI ESERCITANO LA STESSA FORZA E MANTENGONO UN EQUILIBRIO COSTANTE POICHE’ NESSUNA VITE PREDOMINA SULLE ALTRE.
  34. 34. RETE NEL QUADRATO SI FORMANO 2 Y CONGIUNTE FORMATE DA 6 SEGMENTI CONGRUENTI IN QUESTA FIGURA SI FORMANO 6 ANGOLI DI 120° CIASCUNO, QUINDI LA LORO SOMMA E PARI AD 2 ANGOLI GIRO (720°) RETE NELL’ ESAGONO IN UNA DELLE CONFIGURAZIONI OTTENUTE SI FORMANO 3 Y CONGIUNTE FORMATE DA 9 SEGMENTI CONGRUENTI IN QUESTA FIGURA SI FORMANO 9 ANGOLI DI 120° CIASCUNO, QUINDI LA LORO SOMMA E PARI 3 ANGOLI GIRO (1080°) RETE NEL TRIANGOLO ISOSCELE (A FORMA DI T) SI FORMA UNA Y COSTITUITA DA SEGMENTI NON TUTTI CONGRUENTI SI FORMANO 3 ANGOLI DI 120° CIASCUNO, QUINDI LA LORO SOMMA E PARI A UN ANGOLO GIRO (360°) AVENDO FORMA DI T SI TROVANO ALLA BASE 3 PIOLI, 2 DEI QUALI VENGONO CONGIUNTI DA UN SEGMENTO E SOLO UNO DI QUESTI PIOLI CON IL TERZO VA A FORMARE LA “Y”
  35. 35. LAMINA CIRCOLARE L’AREA DELLE LAMINA DI SAPONE CIRCOLARE E’ LA MINIMA POSSIBILE IN OGNI CASO. NEL CASO DEL CAPPIO CON FILO DI COTONE LA LAMINA ESTERNA HA ESERCITATO FORZA SUL FILO CREANDO UNA CIRCONFERENZA PERFETTA (MASSIMA AREA DEL BUCO QUINDI MINIMA AREA DELLA BOLLA) NEL CASO DELLE CANNUCCE LA FORZA ESERCITATA SUI SEGMENTI COSTITUITI DAL FILO DI COTONE LI HA FATTI AVVICINARE. IPOTESI: RETE NEL PENTAGONO SI FORMANO 3 Y CON I SEGMENTI DISOMOGENEI SI FORMANO 9 ANGOLI DI 120° CIASCUNO, QUINDI LA LORO SOMMA E PARI A 3 ANGOLI GIRO (1080°)
  36. 36. CONCLUSIONILesperienza con le strutture ad anello ci ha permesso di verificarelazione della tensione (superficiale) delle lamine, che cerca in ognimomento di ridurre al minimo la superficie.Può capitare, come abbiamo osservato più di una volta, che lo stessotelaio dia origine a diverse configurazioni. Prima di ogni immersione deitelai nel liquido abbiamo avanzato delle ipotesi sulla forma che le lamineavrebbero assunto e spesso i risultati ottenuti ci hanno molto sorpreso.In tutti i casi viene rispettato un principio fondamentale: la laminaoccupa sempre la superficie minima.Constatato che le lamine di sapone tendono sempre alla superficieminima possibile, siamo passati a vedere come si comporta una laminafra due lastrine parallele.Questo collegamento tra punti, osservato sperimentalmente in unadoppia lastra trasparente distanziata da più pioli, è detto RETE.La RETE MINIMA è quindi il collegamento più breve tra i vari punti.
  37. 37. Con vari esperimenti abbiamo visto la formazione delle reti minime a seconda della diversa disposizione dei pioli osservando che:  si creano sempre dei segmenti  allincrocio dei tre segmenti (nodo) si formano angoli congruenti che sono ampi 120° ciascuno  in un nodo arrivano sempre solo 3 segmenti i percorsi sono sempre di lunghezza minima si formano angoli di 120° perchè le viti è come se tirassero le lamine con la stessa forza. Nessuna vite domina di forza sulle altre (equilibrio) esiste una relazione tra il numero di incroci (nodi) e il numero dei lati del poligono (o dei vertici): n NODI = n LATI – 2Abbiamo poi scoperto che quanto da noi verificato sperimentalmente èformalizzato nella PRIMA LEGGE DI PLATEAU:“Le lamine di sapone si incontrano a gruppi di tre lungo “spigoli liquidi”,formando angoli uguali di 120°”.
  38. 38. Il lavoro è stato davvero interessante: abbiamo imparato tante cosenuove giocando, calcolando, ipotizzando, verificando ma soprattuttoabbiamo scoperto il lato divertente della matematica!!!!! Un GRAZIE da tutti noi ad Elisa Ed ai papà e nonni che ci hanno realizzato i preziosi strumenti per i nostri esperimenti!
  39. 39. Gruppo di lavoro: alunni delle classi seconda A, B, C terza B, C, D, E della scuola sec. di I grado Galileo Galilei di Busto Arsizio coordinati dai Prof. Maria Ausilia Sora e Alessandra Zanzottera Pelosi GabrieleCaruso JacopoChiarelli AlessiaColombo LucaMaino AlessiaMoretto ElenaParise Elena Il nostro ricercatore en Jeans:Pozzi SaraToffano Luca Dott. Elisa MassafraGiannico MatteoNardi VeronicaRiello AlessiaRiganti CristianoRonayna Viera CristinaCinotti RiccardoCocco KalkidanPellegatta SaraMenini GiuliaPetazzi MatteoXhajaj NikoletaColaizzi EvansDalla Rosa Beatrice Scuola gemellata:Durosini MarcoRadicioni Elisa Scuola sec. di I gradoScandura Ilaria Leonardo Da VinciTronconi SilviaDalle Vedove Chiara CastellanzaErtani AriannaScala Beatrice

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