Upcoming SlideShare
×

# Praktikum excel

14,525 views

Published on

Published in: Education
3 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

Views
Total views
14,525
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
9
Actions
Shares
0
355
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Praktikum excel

1. 1. Sadržaj1. Uvod u Excel ..............................................................................................................................1 1.1. Startovanje Excela...............................................................................................................2 1.2. Radno okruženje.................................................................................................................2 1.3. Radni papir i ćelija..............................................................................................................2 1.4. Upisivanje i kretanje po ćelijama .....................................................................................4 1.5. Formatiranje ćelija ..............................................................................................................5 1.6. Formatiranje decimalnih brojeva .....................................................................................5 1.7 Menjanje boje pozadine i teksta ćelije..............................................................................6 1.8 Podešavanje širine i visine ćelija. Ubacivanje i izbacivanje redova i kolona ..............6 1.9 Spajanje ćelija .......................................................................................................................7 1.10 Uokvirivanje ćelija.............................................................................................................7 1.11 Premeštanje i kopiranje ćelija ..........................................................................................8 1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta...................................................................................9 1.13 Otvaranje novog i postojećeg dokumenta .....................................................................9 1.14 Rad sa formulama .............................................................................................................9 1.15 Grafikoni...........................................................................................................................252. Funkcije raspodele u Excelu ..................................................................................................28 2.1. Binomna raspodela...........................................................................................................29 2.2. Poasonova raspodela .......................................................................................................343. Empirijska raspodela u Excelu ..............................................................................................47 3.1. Osnovni pojmovi .........................................................................................................48 3.2 Empirijska raspodela ..................................................................................................504. Intervalne ocene parametara .................................................................................................60 4.1 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele sa poznatom disperzijom ..............61 4.2 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele nepoznate disperzije ........................665. Analiza korelacije ....................................................................................................................72 5.1 Uzorački koeficijent korelacije.........................................................................................75 5.2 Regresione prave ...............................................................................................................78 5.3 Provera značajnosti korelacije .........................................................................................81 5.4 Interpretacija koeficijenata korelacije .............................................................................836. Regresiona analiza...................................................................................................................85 6.1 Metod najmanjih kvadrata...............................................................................................88 6.2 Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule ......................................................90 6.3 Koeficijent determinacije ..................................................................................................90 6.4 Određivanje pravolinijske zavisnosti .............................................................................91 6.5 Intervali poverenja odsečka i nagiba ..............................................................................99 6.6 Testiranje hipoteza u vezi sa odsečkom i nagibom ...................................................102 6.7 Linearizovane dvoparametarske empirijske formule...............................................103Literatura ....................................................................................................................................113
2. 2. 1. Uvod u Excel 1
4. 4. Slika 1.1.Sam radni papir sastavljen je od ćelija. Svaka ćelija može sadržati tekst ili brojeve, i zasvaku od njih može se definisati tip (tekst, broj, valuta, procenti, datum). Ćelije se uExcel-u mogu povezivati tako da jedna zavise od druge i na taj način formirati formulepo kojima se računaju vrednosti.Ubacivanje novog radnog papira- vrši se preko padajućeg menijaInsert, opcije Worksheet. Ili, ako se pritisne desni taster miša na bilokoju od kartica postojećih radnih papira, koje se nalaze iznad statusnelinije. Otvara se novi meni u kome se odabira opcija Insert, unovootvorenom prozoru dovoljno je kliknuti OK.Uklanjanje radnog papira – vrši se pritiskom desnog tastera miša na karticu radnogpapira koji treba obrisati, i u novootvorenommeniju bira se opcija Delete. Otvara se noviprozor u kome se sa OK potvrđuje brisanje, dokse sa Cancel prekida. 3
6. 6. 1.5. Formatiranje ćelijaFormatiranje ćelija podrazumeva podešavanje tipa ćelije (broj, tekst, datum ili valuta),nameštanje poravnanja, vrste slova i veličine, kao i nekoliko drugih opcija.Podešavanje tipa ćelije- većina gore navedenih podešavanja vrši preko padajućegmenija Format opcije Cells. Nakon pokretanja ove opcije otvara se prozor kao sa slike. Upolju Category pojavljuje se lista mogućih tipova podataka u ćeliji. U polju Sample vidise kako će izgledati podatak nakon promene tipa. Nekoliko bitnih tipova su : Number-predstavlja broj, i u ovoj opciji moguće je birati zapis broj kao i broj decimalnih mesta;Date – predstavlja datum, bira se zapis datuma, kod nas je na primer dd-mm-yyyy (dan-mesec-godina); Time predstavlja vreme i bira se načina zapisa vremena, kod nashh:mm::ss (sati, minute, sekunde), koristi se i Custom koji predstavlja korisnički tip.Poravnjanje teksta u ćeliji – poravnanje teksta se vrši kako horizontalno tako ivertikalno. Horizontalno poravnanje moguće je izvršiti iz Palete Format koristeći koji redom centriraju tekst levo, u sredinu i desno, poslednje dugmesluži za spajanje ćelija u jednu i centriranje teksta koji se nalazi u njima u sredinu.Vertikalno poravnanje kao i horizontalno vrši se preko opcije Format Cells iz padajućegmanija Format. Odabirom kartice Alignment pojavljuje se prozor kao na slici. Poljehorizontal predstavlja horizontalno poravnanje, preko polja indent moguće je postavitikoliko će tekst biti omeren od leve ivice ćelije. Polje Orientation nudi mogućnost da setekst okreće u ćeliji pod određenim uglom.Veoma bitne su stavke pod poljem Text Control. Ako je otkačeno Wrap Text tadaće tekstukoliko ne može da stane u ćeliju biti prelomljen u dva ili više redova. Ukoliko jeotkačeno polje Shrink to fit tada će veličina slova biti smanjena tako da tekst staje ućeliju. Merge Cells služi za spajanje ćelija.Podešavanje slova u ćeliji – veličina i tip slova može se desiti preko Palete Formatkoristeći za promenu tipa slova i za promenu veličine slova.Tekst je moguće iskoristiti i za podebljanje, zakrivljenje ili podvlačenje teksta. Za to sekoriste ikone .1.6. Formatiranje decimalnih brojevaKod unosa brojeva može se unapred odreditiželjeni broj decimala. To se radi na sledeći način: 1. Označi se ćelija ili ćelije kojima se određuje broj decimala. 2. U padajućem meniju Format odabere se opcija Format Cells. 5
7. 7. 3. U kartici Number u polju Category, odabere se Number, tada se pojavljuju opcije kao na slici. 4. U polju Decimal places bira se broj decimala, ako se otkaći polje Use 1000 separator koristiće se razdvajanje preko 1000 sa zarezom a u polju Negative number bira se izgled negativnog broja.Decimale se mogu nameštati i preko ikonica iz palete Format. Brojevima uoznačenim ćelijama pritiskom na prvu ikonicu povećava se broj decimala, a na drugusmanjuje.1.7 Menjanje boje pozadine i teksta ćelijeBoja pozadine ćelija menja se na sledeći način: 1. Označi se ćelija čija se boja pozadine menja. 2. Levim tasterom miša pritisne se crna sterlica pored ikone kantice u Paleti Format, pojavljuje se prozor kao na slici. 3. Odabira se boja za popunjavanje pozadine selektovanih ćelija, i time je bojenje pozadine završeno.Boja teksta u ćelijama menja se na sledeći način: 1. Označi se ćlija čija se boja teksta menja. 2. Levim tasterom miša pritisne se na crnu strelicu pored ikone . 3. U prozoru kao na slici odabere se nova boja teksta u ćelijama1.8 Podešavanje širine i visine ćelija. Ubacivanje i izbacivanjeredova i kolonaŠirina kolone se podešava tako što : 1. Kursor miša postavlja se na ivicu polja sa imenom kolone označene slovom iznad ćelija. Kursor miša postaje crna uspravna linija sa strelicama u levo i desno. 2. Držeći pritisnut levi taster miša pomera se širina kolone B koliko je potrebno. 3. Na kraju se pusti levi taster miša. Visina reda menja se na sličan način: 1. Kursor miša postavlja se na ivicu polja sa brojem reda levo od ćelija. Kursor miša postaje vertikalna crna crtica sa strelicama na gore i dole. 6
9. 9. čega se otvara prozor kao na slici. U polju Line birase vrsta linije kojom se iscrtavaju okviri, i boja linije.U polju Presets bira se None da bi ćelije bile bezokvira a Outline da bi se uokvirile spoljne ivice.Polje Border koristi se i kada nisu potrebne samospoljne ivice uokvirene, već možda i iscrtaneunutrašnje ili dijagonalne linije. Klikom na dugmekoje prikazuje pravac linije uključuje ili isključujeiscrtavanje linija tog pravca.1.11 Premeštanje i kopiranje ćelijaPremeštanje ćelija se vrši tako što se: 1. Selektuju ćelije koje treba premestiti. 2. Kursor miša se pomeri na ivicu selekcije, negde oko crne tamne linije, i tada bi kursor trebalo da se pretvori u belu strelicu. 3. Držeći pristisnut levi taster miša pomeraju se selektovane ćelije na mesto na koje se trebaju premestiti. 4. Pusti se levi taster mišaNa ovaj način podaci se više ne nalaze u ćelijama u kojima su bili već samo u onima ukoje su premešteni. Ako podaci treba da ostanu i da se pojave u novim ćelijama tada sekoristi kopiranje ćelija.Ćelije se kopiraju na sledeći načn: 1. Selektuju se ćelije koje treba kopirati. 2. Pritisne se dugme Copy iz Palete Standard, čime su selektovane ćelije zapamćene u memoriji računara, a oko zapamćenih ćelija se pojavljuje trepćući okvir, nakon toga 3. Levim tasterom miša klikne se na ćeliju gde treba da se nađu kopirane ćelije. 4. Pritisne se dugme Paste iz Palete Standard, i ćelije se pojavljuju na papiru.Koristeći opciju Cut iz Palete Standard umesto Copy ćelije bi bile premeštene, ali bimogle više puta sa opcijom Paste da se „ispuštaju“ u dokument.Ćelije je moguće iskopirati i koristeći mali crni kvadrat u donjem desnom uglu selekcije.Ako se kursor miša postavina taj mali crni kvadrat on se pretvara crnu strelicu.Pritiskom levog tastera miša, ne puštajući ga može se razvući selektovani deo. Nakonpuštanja levog tastera ceo označeni deo biće popunjen prethodno selektovanim delom. 8
10. 10. 1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta Ako dokument treba sačuvati da bi se kasnije koristio trebalo bi ga snimiti na hard disk. Snimanje dokumenta se vrši tako što se iz padajućeg menija File izabere Save. Ako je to prvi put da se snima taj dokument u kojem se traži da se unese ime tog dokumenta, odnosno pod kojim imenom da se snimi na hard disk (ili diksketu). U polju Save in može se izabrati folder u koji treba smestitidokument, a može se napraviti i novi folder za ovaj dokument klikom na ikonuCreate New Folder. U polju File name treba upisati ime dokumenta i potom kliknuti nadugme Save. Ovim je operacija snimanja dokumenta završena. Ako je dokument koji sesnima već ranije snimljen pod tim imenom onda se snimanje obavlja automatski, samoodabirom opcije Save iz File menija.Zatvaranje dokumentaDokument u Excelu se može zatvoriti na više načina, a najčešće se to vrši klikom nau gornjem desnom uglu prozora. Drugi način za zatvaranje aktivnog dokumenta je dase izabere operacija Close iz padajućeg menija File.1.13 Otvaranje novog i postojećeg dokumentaPrilikom svakog startovanja Excel-a otvara se i nova prazna sveska u kojoj se možezapočeti rad. Ako je potrebno otvoriti novi prazan dokument, koristi se ikona NewBlank Document iz Palete Standard, ili opciju New iz padajućeg menija File.Ako treba otvoriti već postojeći dokument, koji se nalazi na disku računara koristi seikona Open iz palete Standard, ili opcija Open iz padajućeg menija File.1.14 Rad sa formulamaExcel - rad sa formulamaUnos formulaFormula se u neku ćeliju unosi tako što prvo unesemo karakter = što će Excel-unagovestiti da sada sledi unos formule. Šta je formula?. Formula je kombinacijakonstanti promenljivih, operatora i funkcija koja koja daje rezultat. Šta znači ovo što jerečeno? Evo nekih primera unešenih formula 9
11. 11. = 2.8+C2+C3^3= C2/C3-1.45E-5*(A1+LN(A2))U prethodnim numeričkim formulama (daju numeričku vrednost kao rezultat)konstante (brojevi) su 2.8,3,1.45E-5,5. Realni brojevi se unose sa fiksnom decimalnomtačkom ili u eksponencijalnom obliku (1.45E-5 znači 1.45·10-5). Promenljive su referencena ćelije (C2,C3,A1,A2) u kojim se nalazi (u ovom slučaju) numerička vrednost.Operatori se dele na unarne ili binarne. Unarni imaju jedan operand a binarni dva (saleve i desne strane). Excel podražava standardne aritmetičke operatore: sabiranje +,oduzimanje -, deljenje /, množenje *, stepenovanje. Pri tome je prioritet operatora istikao i u matematici. Promena prioriteta se vrši samo malim zagradama ( ). Funkcijeimaju svoje ime i u zagradama argumente razdvojene zarezima. Kada unesemopotrebne argumente funkcija vraća rezultat. U prethodnim primerima smo koristilifunkciju LN(A2). Ona zahteva jedan argument (numerički) i vraća kao prirodnilogaritam datog argumenta. Operatori i funkcije slično "rade" tj. daju rezultat. Prethodna dva primera ćemo uneti u Excel radni list i uneti date funkcije baš kaošto su navedene. Funkcije ćemo uneti u ćelije A4 i B4. Rezultat je sledećiObratite pažnju da je po unosu formule i pritiskom na ENTER u ćeliji prikazan rezultat au liniji za editovanje ono što smo uneli tj. pravi sadržaj ćelije - formula. Jednostavno jeunositi proste formule, ali ako je formula komplikovana vrlo lako se možemo izgubiti ipogrešiti. Excel vam nudi pomoć tako što pri unosu formule možete umesto da kucatenpr. C2 da se referencirate na tu ćeliju i ona će se pojaviti u formuli. Evo kako smo,korak po korak uneli sledeću formuluPrvo smo uneli znak = , znači sledi formulaOnda smo levim tasterom miša (ili kursorskim strelicama) označili ćeliju C2 (primetite"talasiće" oko ćelije) 10
12. 12. Sada nam treba operator, unećemo gaSada se pozicioniramo na drugu ćelijuNastavljamo sa unosomA1 je već unešeno na prethodno opisan način. Veoma je bitno da u toku unosa nepritisnete ENTER. Sada nam treba funkcija. Možemo je uneti ali ako ne znamo imefunkcije ili smo zaboravili, možemo je izabrati iz menija Insert, Function ili izabratiiz palete alata. Dobićemo dijalog prozor za izbor funkcije 11
13. 13. Nakon OK ova funkcija očekuje jedan argument (broj) pa se pozicioniramo na A2Sada nam preostaje da kliknemo na OK. Dobićemo sledeću poruku 12
15. 15. Posle =SUM( ne pritisnuti ENTER. Sada možemo nastaviti sa formulom i uneti datiblok ali ćemo se poslužiti već spomenutim označavanjem i obeležićiti ceo blok.Nedostaje desna zagrada. Unećemo je i tek tada aktivirati ENTER. Dobija se rezultatRelativno kopiranje formulaPočećemo objašnjavanje rada sa formulama u Excel-u na trivijalnom primeru zbira dvabroja. Unećemo dva proizvoljna broja i potom ih sabratiU ćelije B3 i C3 su unete dve numeričke vrednosti a u ćeliju D3 je uneta formula. Prvikarakter formule je znak =. U opštem slučaju u formuli figurišu konstante, reference naćelije (blokove), operatori i funkcije. U ćeliju D3 je prikazan rezultat izračunavanja date 14
17. 17. Kao da nas je Excel shvatio šta hoćemo, tj. sam je pri kopiranju promenio formule. Prikopiranju formule, reference na ćelije se u kopiranim ćelijama menjaju relativno uodnosu na poziciju (referencu) formule. Formula u D3 kaže da u njoj figurišu dve ćelije iu odnosu na D3 su ćelije pozicionirane relativno tj, druga levo (B3) i prva levo (C3).Takođe će u kopiranim ćelijama formule da se promene (pogledajte sliku). U svimformulama figurišu takođe ćelije druga levo i prva levo. Na primer u D6 figurišu drugalevo (B6) i prva levo (C6). Pogledajmo šta bi se desilo kada bi smo kopirali formulu izD3 u ćeliju E3Opet relativno kopiranje. U E3 figurišu druga levo (C3) i prva levo (D3). Gde godkopirali formulu iz D3 u kopiji će figurisati ista formula (zbir dve ćelije) ali će dve ćelijeu kopiranim formulama uvek biti druga levo i prva levo. Kopiranje se zove relativno jerse reference na ćelije pri kopiranju formula uzimaju relativno u odnosu na pozicijuformule. Da bi smo to još jednom utvrdili i razjasnili, pogledajmo sledeći trivijalanprimerU formuli koja je unešena u D6 figurišu ćeljie B5 (pozicija - dve ćelije u levo, jedna ćelijagore) B4 (pozicija - dve ćelije u levo, dve ćelije gore) i C5 (pozicija - jedna ćelija u levo,jedna ćelija gore). Ako ovu formulu iskopiramo u drugu ćeliju reference će se relativnopromeniti tj. 16
18. 18. Uporedite sa prethodnom slikom. Nadam se da smo uspeli da razjasnimo šta značirelativno kopiranje formule.Apsolutno kopiranje formulaAko nam je zadat jednostavan problem da pomoću jednačine idealnog gasnog stanja R ⋅T p= vizračunamo pritisak p za zadate vrednosti R, T, v to bi u radni list Excel-a mogli uneti nasledeći načinpri tome su u svakoj ćeliji bloka ćelija B3:E3 uneti tekstualni podaci, u bloku B4:C4 suuneti numerički podaci a u ćeliji E4 je uneta formula. Pogledajte u liniju za unos kako jeformula unešena. U formuli figurišu reference na ćelije sa numeričkim vrednostima ioperatori množenje (*) i deljenje (/). U samoj ćeliji E4 se prikazuje rezultat. Ovo jeuobičajen način rada sa formulama u Excel-u. Ovaj problem i nije tako komplikovan pa bi se čak mogao uraditi i pomoćukalkulatora. Međutim, ako bi bilo potrebno izračunati pritisak za opseg temperatura od273.15 do 293.15, sa korakom 1, to bi za kalkulator bilo previše. Kako bi smo to uradili uExcel-u?. Kao prvo, treba uneti temperature. Unos pojedinačnih temperatura bi bilobesmisleno i dugotrajno. Koristićemo Excel-ovu "pamet". Unećemo u ćeliju C5 drugutemperaturu po redu, a to je 274.15 i obeležiti obe ćelije u kojoj je prva i druga vrednosttemperature. Zatim ćemo postaviti pokazivač miša u donji desni ugao ove dve ćelije tj, 17
19. 19. povlačenjem levim tasterom na dole Excel će "shvatiti" da želimo unos sledećih ćelija saodređenim korakom (druga - prva). Tako ćemo povlačiti dok ne dobijemo krajnjuvrednost a to je 293.15, odnosnoAko bi smo, bez razmišljanja, takođe formulu iz E3 iskopirali u susedne ćelije u istojkoloni dobili bi smo sledeće, tj Excel bi prijavio grešku #DIV/0 što znači deljenje sanulom. Kako to?. 18
20. 20. Prikažimo formule koje figurišu u kopiranim ćelijamaNadam se da vidite problem. Formula je kopirana relativno (figurišu tri ćelije levo).Ćelija D11 je prazna (nulta vrednost) i otud deljenje s nulom. Kako ćemo "naterati" Excelda pri kopiranju ne menja relativno reference. To se u formuli naznači tako što se ćelijeapsolutno referenciraju. To znači da možemo da "fiksiramo" red i/ili kolonu u nekojformuli. Pri kopiranju se fiksiran red ili kolona neće menjati. Apsolutno referenciranje seostvaruje znakom \$ ispred kolone (fiksirana kolona, npr. \$B4) ili ispred reda (fiksiranred, npr. B\$4) ili fikirani i kolona i red (\$B\$4). Ako se formula u kojoj ima apsolutnihreferenci (\$ ispred kolona, redova) kopira u druge ćelije onda se ovo kopiranje nazivaapsolutno kopiranje. Ako pogledamo prethodan primer, potrebno je da promenimoformulu u E4 koja će da bude =B\$4*C4/D\$4. Zašto? Zato što ne želimo da se ovevrednosti redova ispred kojih je \$ promene. Ako to uradimo i iskopiramo datu formuludobićemo sledeće 19
21. 21. Radi!. Vidite da se vrednost redova u formulama od E5:E24 ispred kog je \$ nijepromenio, ostao je 4 kao i u formuli u E4. Ovo je apsolutno adresiranje gde je apsolutan(fiksiran red) u formuli koja se kopira (E4) u druge ćelije (E5:E24). Naravno, možemo dapromenimo prikaz i prikažemo vrednosti u ćelijama u kojima su formule. 20
22. 22. Može se postaviti pitanje, da li je ispravno uneti u E4 formulu =\$B\$4*C4/\$D\$4. Može,fiksirali smo još i kolone B i D, mada je suvišno. Ako pogledate sliku sa formulamavidite da se kolone B i D ionako nisu promenile. Zašto? Jednostavno, pri kopiranju jednećelije u blok ostali smo u istoj koloni E pa se nijedna referenca na kolone nije promenila. Prikazaćemo ovaj isti problem ali ćemo drugačije da unesemo podatke. Pri tomeje uneta samo jedna formula u B4 =\$B1*B3/\$B1 i iskopirana udesnoDa li možete da objasnite zašto sada stoje \$ ispred kolone B i šta bi bilo u ćeliji D4 dakolone nisu fiksirane (Odgovor D4 = D1*D3/D2). Takođe ista priča važi, pri kopiranjunismo promenili red pa \$ ispre bilo kog reda nema smisla jer smo ionako kopiraliformulu u susedne ćelije ali ostali u istom redu. Da bi smo još više zapetljali stvar, ovaj isti problem ćemo rešiti unosom jedneformule i kopiranjem u druge ćelije koje se nalaze u različitim redovima i kolonamaOvu ćemo ćeliju iskopirati udesno do kolone Fa onda ovaj blok zatim još 4 reda nadole (jer još toliko ima redova sa temperaturama) 21
23. 23. Uporedite rezultate sa prethodnim primerom. Obratite pažnju da je samo jednomunešena formula u B8 = \$B\$1*B3/\$B\$2 i da je ova formula iskopirana u blok B8:F12.Ovde su reference \$B\$1 i \$B\$2 apsolutne (fiksiran i red i kolona) i ostaju iste u svimformulama. Sada moramo staviti \$ ispred reda i ispred kolone jer se jedna ćelija kopira urazličite redove i kolone. Jedina relativna ćelija u B8 je B3 ona ima relativnu poziciju (5ćelija gore) i npr. u D11 će se uzeti D6 jer je ona isto 5 ćelija gore.Kao poslednje razmatranje ovog primera uzećemo da se traži izračunavanja za različitetemperature T i različite molske zapremine v. Pri tome ćemo napraviti tabelu tako da sutemperature zadate u koloni a zapremine u vrsti. 22
24. 24. Postavlja se pitanje, kako da unesemo jednu formulu u B5 koja izračunava pritisak naosnovu odgovarajuće zapremine u vrsti 4 i odgovarajuće temperature u koloni A savrednosti R u B1 i da rezultujući pritisak bude u odgovarajućoj ćeliji u bloku B5:F10. Pau samom pitanju se krije i odgovor. Ćelija B1 mora biti apsolutno fiksirana. Takođe trebafiksirati samo vrstu 4 tj B\$4 (zapremina) i kolonu A tj \$A5 (temperatura) tako da jeformula u ćeliji B5 = \$B\$1*\$A5/B\$4, odnosno posle kopiranja dobijamoImenovanje ćelija i blokova ćelija Kako formule postaju komplikovanije tako je i baratanje sa njima otežano,pogotovo ako postoje apsolutne reference na ćelije. Zato je pogodna osobina Excel-a daimenuje neku ćeliju ili blok. Lakše je pratiti formulu u kojoj umesto besmislenihreferenci figurišu neka imena kao na primer: temperatura, zapremina, obim, cena itd.Pravila za imena ćelija i blokova su- sastoje se od slova i cifara- prvi karakter mora biti slovo- ne razlikuju se mala i velika slova tj. IME, ime, Ime se ne razlikuju- nisu dozvoljena prazna mesta- ne smeju imati ista imena kao imena kolona, reference na ćelije- mogu imati tačku (.) ili donju crtu (_)Najsigurnije da ime počne sa najmanje tri slova a ostalo mgu biti slova i cifre. Pri tome jenajkorisnije imenovati blokove sa apsolutnim referencama. 23
25. 25. Tako ćemo u prethodnom primeru imenovati ćeliju B1 i nazvati je gask, blokB4:F4 imenovati kao Zapremina i blok A5:A10 imenovati kao Temperatura. Prvo ćemose pozicionirati na ćeliju B1 i u tzv. Name Box uneti gaski pritisnuti ENTER. Na isti način ćemo selektovati određene blokove i definisati imenaAko kliknemo na strelicu pored Name Box-a možemo videti naša definisana imena iizborom na jedno od njih videti šta imenuje 24
26. 26. Kakva korist od toga?. To ćemo primetiti ako sada "primenimo" imena u tabelu. Šta toznači? To znači da se umesto referenci koriste odgovarajuća imena. To činimo izboromInsert, Name, Apply. Dobijamo listu imenaObeležimo sva imena i kliknimo na OKTada ćemo u našoj tabeli umesto referenci imati imena tj.Ovako se tabela može učiniti preglednijom, jasnijom i manje podložnom greškama.1.15 GrafikoniZa grafičko predstavljanje tabela urađenih u Excel-u koriste se grafikoni. Oni najednostavan i jasan način prikazuju rast ili pad vrednosti i odnose među njima.Postupak predstavljanja grafikon na radu stranu Excel-a sastoji se iz više koraka.Podrazumeva se da je potrebna tabela na osnovu koje se crta grafik. Izrada grafikamože se pokrenuti preko padajućeg menije Insert, opcije Chart ili preko dugmeta upaleti Standard.Otvara se prozor kao naslici. Ovo je prvi od četiri koraka koji se sprovode pri ubacivanjugraika u radni list. U prvom koraku bira se vrsta grafika. Klikom na bilo koji član listepolja Chart Type u polju Chart sub-type prikazuju se podtipovi ovog tipa. Klikom na 25
27. 27. jedan od podtipova bira se izgled grafika. Za prelazaka na sledećei korak treba kliknutina Next.U novom prozoru pojavaljuju se dve kartice. Data range označava mesto na kome sepodaci nalaze. Druga stavka je Series, pomoću koje se određuju serije na grafiku, tj.koliko će serija biti, kao i šta se nalazi na x, a šta na y osi. Klikom na Next prelazi se nasledeći prozor.U novom prozoru prva kartica Title služi za podešavanje ili ubacivanje naziva grafika –polje Chart Title, naziva osa – polja Value(X) axes i Value(Y) axes. Kartica Axesomogućava da se uključi/isključi prikazivanje osa.Kartica Gridlines omogućava da se uključi/isključi mrežu ose, i ako je uključenoomogućava da se bira gustina, odnostno da li da se prikazuju i male (Minor gridlines) iveće (Major gridlines).Kartica Legend podešava legendu. Ukoliko je onačeno polje Show Legend tada se upoljima ispod bira pozicija legende (Bottom, Corner, Top, Left, Right). 26
28. 28. Kartica Data Labels omogućava da uključi prikazivanje vrednosti na samom grafiku.Kartica Data Table omogućava prikazivanje dodatne tabele sa poacima koji se nalaze nagrafiku, ako je označeno polje Show Table.Nakon podešavanja svi ovih opcija da bi se prešlo na poslednji prozor za unos grafikatreba kliknuti na Next.Poslednji prozor nudi samo dve mogućnosti. Jedna je da se ovako napravljeni grafikubaci kao objekat u određeni radni list ili da se grafikon ubaci u novi radni list.Na svaki od prethodnih prozora može se vraćati na klikom na dugme Back. Ako je svepodešeno treba kliknuti na Finish i grafikon je na radnom listu.Grafik se može pomerati tako što se kursor dovede na deo ekrana koji on zauzima ipritisne se levi taster miša, ne puštajući ga vuče se miš i grafik do mesta na kome trebada stoji. Crni kvadrati na krajevima grafika služe za menjanje veličine grafika. Ako je unekom od koraka za izradu grafika došlo do greške ili jednostavno treba promeniti nekustavku, tada se koristi padajući meni Chart. Opcija Chart Type vraća na izbor tipagrafika, Chart Options na prozor sa opcijama grafika itd. 284 283 282 281 280 279 Series1 278 277 276 275 274 273 0 2 4 6 8 10 12 27
29. 29. 2. Funkcije raspodele u Excelu 28
30. 30. 2.1. Binomna raspodela Ova diskretna raspodela ima veliku primenu u kontroli kvaliteta proizvoda Posmatrajmoniz nezavisnih eksperimenata (u literaturi poznat kao Bernulijeva šema) tj. za svaki od njih važida je njegov ishod nezavisan od ishoda ostalih opita. Neka je za svaki od eksperimenata vezandogađaj A i neka je verovatnoća njegovog nastupanja jednaka p, P(A) = p. Binomni zakon dajeverovatnoću da će se u n eksperimenata ili proba posmatrani događaj A dogoditi x puta.Dakle, broj nastupanja događaja A u n proba je slučajna veličina X, koja ima binomnu raspodeluverovatnoće. Možemo sada da izvedemo binomni zakon. Tražimo verovatnoću, b(x,n,p) da u n opitaposmatrani događaj A nastupi x puta. Verovatnoća svakog od događaja u kome je A u n probanastupio x puta je: p x qn - xa ukupan broj takvih, međusobno isključivih događaja jednak je broju kombinacija klase x od nelemenata. Tako je,  n b( x, n, p) =   p x q n − x , x = 0,1,2,..., n (2.37)  x  U Excel-u se za ovu vrstu raspodele koristi funkcija BINOMDIST. Rezultat funkcije jeverovatnoća binomne raspodele da će slučajna promenljiva X imati zadatu vrednost.SintaksaBINOMDIST(number_s, trials, probability_s, cumulative)Number_s – broj nastupanja nekog događaja u n proba (slučajna promenljiva X)Trial_s – broj nezavisnih proba, nProbability_s – verovatnoća nastupanja događaja u svakoj probi 29
31. 31. Cumulative – logička vrednost koja određuje oblik funkcije, ako je Cumulative=TRUE,BINOMDIST daje kumulativnu raspodelu funkcije, ukoliko je Cumulative= FALSE, rezultat jeverovatnoća da će događaj nastupiti X puta.Primer 2.1.Neka mašina proizvodi 1000 komponenata/h i svakih 30 minuta je uzimano po 10 uzoraka radikontrole, tokom dužeg perioda. Tako je konstatovano da je procenat škarta 20%. Kolika jeverovatnoća da u slučajnom uzorku od 6 komponenataa) bude 4 defektnab) ne bude više od 3 defektnac) ne bude nijedan defektanRešenje Prepoznaje se binomni model. Događaj A je dobijanje defektne komponente, a njegova verovatnoća, dobijena empirijski, je 20 4 p= = 1 / 5, q = 1 − p = 100 5 Broj opita, n = 6. Dati su tabela i poligon raspodele.Tabela se dobija tako što se u red 1 unose podaci za xi, dok se pi izračunava pomoću funkcijeBINOMDIST.Dakle, ukoliko je tabela napisana na isti način kao na slici, klikne se na ćeliju J2, a zatim se izpadajućeg menija Insert, odabere opcija Function, kada se otvori novi prozor funkcijaBINOMDIST se traži u statističkim funkcijama (Statistical), odabere se BINOMDIST i otvara senovi prozor (kao na slici) 30
32. 32. Unose se odgovarajući argumenti:Number_s - unosi se vrednost iz ćelije J1, odnosno samo se klikne na ćeliju J1.Trials - upisuje se 6, jer je to broj proizvoda u slučajnom uzorku.Probability_s - upisuje se 0.2, verovatnoća od 20%.Cumulative - upisuje se logička vrednost FALSE, jer je potrebna vrednost za samo jedandogađaj, a ne zbir događaja.Potvrđuje se sa OK, i kao rezultat dobija se vrednost za binomnu raspodelu, da bi se popunioostatak tabele, funkcija se kopira na prethodno objašnjen način. Zatim se na osnovu tabele nacrtagrafik. a) Ovde treba izračunati verovatnoću da su u slučajnom uzorku od 6 proizvoda 4 bududefektna. Problem se rešava korišćenjem funkcije BINOMDIST, kao kod popunjavanja tabele. b) U pitanju je zbir događaja, jer se traži da ne budu više od 3 defektna proizvoda,problem se takođe rešava korišćenjem funkcije BINOMDIST, ali sa nešto drugačijimargumentima. 31
33. 33. Number_s - upisuje se 3Trials - upise se 6Probabilitiy_s – upisuje se 0.2Cumulative – upisuje se TRUE jer se radi o zbiru događaja, a ne o pojedinačnom događaju. c) Ovde se traži da nijedan od proizvoda ne bude defektan, znači da je x = 0 pa imamoPrimer 2.2.Detaljnom proverom kvaliteta ampula punjenih tečnošću utvrđeno je da je na 100 ampula 75ispravnih.a) Odrediti zakon raspodele verovatnoće slučajne promenljive: broj ispravnih ampula uslučajnom uzorku od 6 ampulab) Odrediti očekivanu vrednost i disperziju slučajne promenljive.c) Koji broj ispravnih ampula u uzorku od 6 komada je nejverovatniji? 32
34. 34. Rešenje 3 a) U pitanju je binomni zakon: b( x,6, ) , 4 3  6  3  x 1 p ( x) = b( x,6, ) =    ⋅ 6 − x , x = 0,1,2,...,6 4  x  4  4   Slede tabelarni i grafički prikaz zakona raspodele:Tabela se formira na isti način kao i u 1. zadatku, a nakon toga se na poznati način crta grafik. b) µx = np = 4.5, D(X) = npq = 1.125 se izračunavaju upisivanjem formula. c) Najverovatniji broj ampula u uzorku je 5. 33
35. 35. 2.2. Poasonova raspodela Poasonov (Poisson) zakon raspodele se može dobiti kao granični slučaj binomnog modela,kada obim uzorka n teži beskonačnosti uz uslov da pri tom proizvod obima uzorka iverovatnoće posmatranog događaja, µ = npostane ograničen. Tako se Poasonov model koristi za opisivanje verovatnoće retkih (p je malo),međusobno nezavisnih (uslov za binomni zakon) događaja kao što su: • radioaktivni raspad nekih izotopa, tj. emitovanje radioaktivnih čestica • incidenti u dobro regulisanom saobraćaju • smetnje u telefonskom saobraćaju i prenosu podataka • greške u računarskim sistemimaSlučajna promenljiva je broj realizacija retkog događaja u vremenskom intervalu datedužine.Dakle, slučajna promenljiva X ima Poasonovu raspodelu ako je µ x −µ p ( x) = e , x = 0,1,2,... x!gde je µ neki pozitivan broj.Srednja vrednost i disperzija Očekivana vrednost i disperzija za Poasonovu raspodelu mogu se dobiti kao graničnevrednosti tih parametara za binomnu raspodelu, kada n → ∞, p → 0, (µ = const): µ x = np = µ , σ 2 = lim np (1 − p ) = np = µ x n →∞ p →0 np = constDakle, srednja vrednost i disperzija slučajne promenljive X raspodeljene po Poasonovomzakonu su: µ x = σ2 = µ xAproksimacija binomne raspodele Poasonovom Računanje verovatnoća je znatno obimnije kod binomne nego kod Poasonove raspodele. Zadovoljno veliko n i malo p binomna raspodela se može aproksimirati Poasonovom. Praktičnikriterijum za primenljivost takve aproksimacije je [Chatfield C., 1983.]: n > 20, µ = np < 5Poasonova raspodel u Excelu može se dobiti korišćenjem funkcija POISSON. 34
36. 36. Sintaksa :POISSON (X, Mean, Cumulative)X – broj događajaMean – očekivana vrednostCumulative - logička vrednost koja definiše funkciju raspodele verovatnoće. Ako je tajargument TRUE, rezultat funkcije je kumulativna Poasonova funkcija raspodele verovatnoća daće broj slučajnih događaja biti između 0 i X (uključujući i te vrednosti); ako je FALSE, rezultat jePoasonova funkcija verovatnoće da će broj događaja biti tačno X.Zadatak 2.3. Procenat škarta pri proizvodnji komponenata u nekoj fabrici je 2%. Odrediti verovatnoću da jeu uzorku od 60 komponenata defektno:a) 3 komadab) ne više od 3c) bar dvaRešenjeU pitanju je binomni zakon. Pošto je n = 60 > 20 i µ = np = 60⋅0.02 = 1.2 < 5 ispunjen je uslovn > 20, µ = np < 5 i rešavanje problema se može znatno uprostiti zamenjujući binomni zakonPoasonovim ( iako to u Excelu ne predstavlja problem). a) Dakle, pošto je ustanovljeno da ja aproskimacija Poasonovom raspodelom moguća,verovatnoća da je u uzorku od 60 komponenata defektno 3 komada, izračunava se na sledećinačin. 35
37. 37. ( 2.42 ) (µ)3 − µ (1.2)3 −1.2 P( X = 3) = e = e ≈ 0.0867 3! 3!Ukoliko su podaci unešeni na isti način kao na slici, klikne se na ćeliju B11, zatim se iz padajućegmenija Insert odabere opcija Function, i nakon toga iz statističkih funkcija odabere POISSON,kada se potvrdi sa OK otvara se sledeći prozor 36
38. 38. Ovde se unose odgovarajući argumenti, za X se upisuje 3, za Mean se klikne na ćeliju B8 jer je utoj ćeliji izračunata očekivana vrednost, i u polje Cumulative se upisuje FALSE jer se traživrednost verovatnoće Poasonove raspodele za X=3. b) Kako je ovde potrebno odrediti verovatnoću da su ne više od 3 komada defektna,problem se rešava slično kao pod a), osim što se u polje Cumulative upisuje TRUE, pa se kaorezultat dobija kumulativna Poasonova funkcija. µ 2 µ3 − µ P( X ≤ 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p (3) = (1 + µ + + )e ≈ 0.9662 2 6 c) Kada je potrebno odrediti verovatnoću da su bar 2 komada defektna, što ustvari znači2 i više, izračunava se Poasonova kumulativna funkcija za vrednost 1 (uključuje vrednostiverovatnoće za 0 i 1) i onda oduzme od 1. [ ] P( X ≥ 2 ) = 1 − P( X < 2) = 1 − [ p(0) + p (1)] = 1 − e − µ + µe − µ ≈ 0.3374 37
39. 39. Zadatak 2.4.Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 10 komada. U komprocentu kutija će se naći najviše jedan defektan proizvod.?RešenjeTraženu relativnu frekvencu ω se, u skladu sa statističkom definicijom verovatnoće (ω ≈ p),nalazi kao verovatnoća da se u slučajnom uzorku od 10 komada nađe najviše jedan defektanproizvod. U pitanju je slučajna promenljiva sa binomnom raspodelom b(x, 10, 0.04), pa je: ω = P(X ≤1) = p(0) + p(1) = b(0, n, p) + b(1, n, p) ω = q10 + 10 ⋅ p ⋅ q 9 = 0.9610 + 10 ⋅ 0.04 ⋅ 0.969 = 0.9418 = 94.2%Odnosno, u Excelu se ovaj problem rešava funkcijom BINOMDIST.Problem se može približno rešiti aproksimacijom binomnog zakona Poasonovim, mada prvi oduslova n > 20, µ = np < 5 nije ispunjen: ω = p(0) + p(1) = [1 + µ]e − µ = [1 + 0.4]e −0.4 = 0.9384 = 93.8%Sada se koristi funkcija POISSONDobija se pak dobra procena, koja se od tačne vrednosti razlikuje manje od 1%. 38
40. 40. 2.3. Normalna raspodelaOvo je najvažnija raspodela za primene u statističkoj obradi eksperimentalnih podataka udruštvenim, prirodnim i tehničkim naukama. Za neprekidnu slučajnu promenljivu X kažemo daima normalnu ili Gausovu raspodelu sa parametrima µ i σ, što se kratko označava sa X : N(µ,σ)ako je njena gustina: 2 1  x −µ  1 −  σ   f ( x) = e 2 , µ, σ > 0 σ 2πU Excel-u se za normalnu raspodelu koristi funkcija NORMDIST.Sintaksa:NORMDIST (x, mean, standard_dev, cumulative)x – vrednost za koju se izračunava funkcijaMean – aritmetička sredina raspodeleStandard_dev – standardna devijacija raspodeleCumulative – logička vrednost koja definiše vrstu funkcije, TRUE – kumulativna vrednostraspodele, FALSE – funkcija gustine verovatnoće.Pored funkcije NORMDIST, postoji i inverzna funkcija NORMINV. Rezultat ove funkcije jevrednost promenljiveza koju normalna kumulativna funkcija raspodele ima datu verovatnoću. 39
41. 41. Sintaksa :NORMINV (probability, mean, standard_dev)Probability – verovatnoća za koju se izračunava vrednost promenljive.Mean – aritmetička sredina raspodeleStandard_dev – standardna devijacija raspodeleStandardizovana normalna raspodela Ako je X slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom N(µ,σ2), slučajna promenljiva,dobijena linearnom transformacijom, Y = aX + b, a ≠ 0ima takođe normalnu raspodelu. Dakle, standardizovana normalno raspodeljena slučajnapromenljiva, X −µ X0 = σkoja ima nultu srednju vrednost i jediničnu disperziju, µ x0 = 0, σ x0 = 1 , ima takođe normalnuraspodelu, koja se zove standardizovana normalna raspodela, N(0,1) sa gustinom: x2 1 −2 f 0 ( x) = e 2πi funkcijom raspodele, x t2 1 − F0 ( x) = P( X 0 < x) = 2π ∫e −∞ 2 dt 40
42. 42. Za određivanje standardne normalne kumulativne funkcije raspodele koristi se funkcijaNORMSDIST.Sintaksa:NORMSDIST(z)Z – vrednost za koju se izračunava funkcija.Takođe postoji i inverzna funkcija NORMSINV.Sintaksa:NORMSINV(probability)Probability – verovatnoća za koju se izračunava vrednost promenljiveZadatak 2.5.Odstupanje, ∆ debljine proizvedene glazirane keramičke pločice, δ od nominalne vrednosti µ, ∆= δ - µ se može aproksimirati slučajnom veličinom sa normalnom raspodelom, ∆ : N(0, 0.3).Odrediti: 41
43. 43. a) Očekivani škart u 1000 proizvedenih komada, ako se kao ispravne prihvataju pločice čijadebljina odstupa od nominalne najviše 0.5 mm.b) Očekivani broj pločica u 1000 komada čije su debljine: δ ≤ µ - 0.2 ili δ ≥ µ + 0.5c) Očekivani broj pločica u 1000 komada čije su debljine u intervalu: µ - 0.3 ≤ δ ≤ µ + 0.4Rešenjea) Verovatnoća da odstupanje ∆ bude veće od 0.5 dobiće se preko verovatnoće suprotnogdogađaja. Tj. verovatnoće da odstupanje bude manje od 0.5, međutim, treba uzeti u obzir da je0.5 apsolutna vrednost, i da se mora izračunati verovatnoća za x ≤0.5 i x ≤ - 0.5, a zatim oduzetimanju od veće verovatnoće.Koristi se funkcija NORMDIST.Do funkcije se dolazi na isti način kao i u prethodnim primerima . U polje x upisuje se -0.5, iliukoliko su podaci uneseni na ista mesta kao na slici klikne se na ćeliju A12, u polje Mean upisuje 42
44. 44. se 0, u polje Standard_dev 0.3, a u polje Cumulative upisuje se logička vrednost TRUE.Potvrđuje se sa OK. Dalje se klikne na ćeliju u koju se izračunava druga funkcija ( u konkretnomprimeru to je ćelija B13) i postupak se ponavlja, samo što se umesto vrednosti -0.5 u polje xupisuje vrednost 0.5 (ili se klikne na ćeliju A13). Pošto su izračunate ove dve vrednosti, njihovurazliku izračunatu na već poznat način treba oduzeti od 1.Ako postoji verovatnoća događaja - pojava defektne pločice, p = 0.096, onda je u skladu sabinomnim zakonom (ili u skladu sa statističkom definicijom verovatnoće) očekivani brojdefektnih pločica m, u slučajnom uzorku od 1000 komada jednak: m = pn = 1000⋅0.096 = 96 b) P (δ ≤ µ − 0.2 ∨ δ ≥ µ + 0.5) = P(δ ≤ µ − 0.2) + P (δ ≥ µ + 0.5)Ovde se prvo izračunava kumultaivna funkcija normalne raspodele za vrednost -0.2, a zatim za0.5,pa se dobijena vrednost za 0.5 oduzima od 1. 43
45. 45. Sabiranjem vrednosti u ćelijama B22 i C 23 dobija se tražena verovatnoća, koja se dalje množi sa1000 i dobija se broj pločica čije su debljine δ ≤ µ - 0.2 ili δ ≥ µ + 0.5 c) P ( µ − 0.3 ≤ δ ≤ µ + 0.4)Slično se rešava i ovaj problem, računaju se kumulativne funkcije normalne raspodele zavrednosti -0.3 i 0.4Verovatnoća za vrednost -0.3 se oduzima od one za 0.4, i dobijeni rezultat se množi sa 1000.Zadatak 2.6.Vek trajanja elektronske lampe, h u časovima ima normalnu raspodelu N(100,5)a) Naći verovatnoću da nova elektronska lampa istog tipa traje najmanje 105 časova.b) Ako je jedna elektronska lampa već izdržala 90 časova, kolika je verovatnoća da će izdržati još15?Rešenje a) Tražena verovatnoća se izračunava iz verovatnoće suprotnog događaja, koristi se funkcija NORMDIST, na već opisan način. 44
46. 46. b) Traži se uslovna verovatnoća: verovatnoća da će nastupiti događaj, X > 105 pošto je nastupio događaj, X > 90 i računa se pomoću formule : P[( X > 105)( X > 90)] P( X > 105) P ( X > 105 / X > 90) = = P( X > 90) P ( X > 90)Dakle, pomoću funkcije NORMDIST dobija se verovatnoća za 90h, a zatim se podeli saverovatnoćom za 105h.Kao što se moglo očekivati, dobijena je nešto veća verovatnoća nego u a)Zadaci za vežbu2.1.Događaj A nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoćom p = 0.3. Neka je X brojnastupanja događaja A u nizu od 5 opita.a) Kako glasi zakon verovatnoće za X,b) Izračunati P(X ≤ 3),c) izračunati srednju vrednost i disperziju.2.2 Odrediti,a) Verovatnoću da se u 8 bacanja kocke šestica pojavi 3 putab) Očekivani broj šestica u 180 bacanja kocke?2.3 Verovatnoća pogotka cilja u jednom gađanju je p = 0.2. Koliko gađanja treba izvesti da bi saverovatnoćom ne manjom od 0.9 cilj bio pogođen bar jednom?Događaj A nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoćom p = 0.3. Neka je X broj nastupanjadogađaja A u nizu od 5 opita.a) Kako glasi zakon verovatnoće za X,b) Izračunati P(X ≤ 3),c) izračunati srednju vrednost i disperziju. 45
47. 47. 2.4 Odrediti,a) Verovatnoću da se u 8 bacanja kocke šestica pojavi 3 putab) Očekivani broj šestica u 180 bacanja kocke?2.5 Verovatnoća pogotka cilja u jednom gađanju je p = 0.2. Koliko gađanja treba izvesti da bi saverovatnoćom ne manjom od 0.9 cilj bio pogođen bar jednom?2.6 Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 50 komada. a) Ukoliko će se posto kutija nalaziti najviše jedan defektan komad?b) Postiže li se Poasonovom raspodelom zadovoljavajuća aproksimacija, ako se dozvoljavamaksimalna greška rezultata od 1.5%?2.7. Jedna velika serija sadrži 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se bez prethodne kontrole iizdvajanja loših pakuju u kutije od 50 komada.a) Koliko će defektnih proizvoda sadržavati najveći broj kutija?b) Koliki je procenat takvih kutija?2.8 Slučajne greške merenja imaju normalnu raspodelu sa µ = 0, σ = 8mm. Naći verovatnoću daod tri greške međusobno nezavisnih merenjaa) bar jedna ne bude veća od 4mm,b) bar jedna, po apsolutnoj vrednosti, ne bude veća od 4mm.2.9 Slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu N(3,4). Izračunati P( X > 9)i P ( X > 9 / X > 5)2.10 Neki proizvođač deterdženta ima mašinu za pakovanje po 500g deterdženta u jednu kutiju.Dužom kontrolom proizvoda utvrđeno je da je srednja masa deterženta u kutiji 506g, sastandardnim odstupanjem 12g. Uz pretpostavku da mase deterdženta u kutijama imajunormalnu raspodelu,a) izračunati procenat kutija koje sadrže više od propisane količine deterdženta.,b) izračunati onu srednju vrednost i standardno odstupanje raspodele masa deterdženta, koji biprepolovili procenat prepunjenih kutija i u isto vreme obezbedili da najviše 1% kutija sadržimanje od 497g.c) kolika bi se prosečna ušteda u deterdžentu (%) postigla?2.11. Otpor električnih otpornika ima normalnu raspodelu N(5Ω, 0.2Ω). Slučajnim izboromuzmemo dva takva otpornika i vežemo ih na red. Kolika je verovatnoća da taj spoj ima otporizmeđu 9.5 i 10.5Ω ? 46
48. 48. 3. Empirijska raspodela u Excelu 47
49. 49. 3.1. Osnovni pojmovi Statistika, kao naučna disciplina, izučava masovne pojave u društvu, prirodi i tehnici. Zamasovne pojave je karakteristično da pojedinačni slučajevi manje ili više odstupaju od onog štose može smatrati njenom karakteristikom. Na primer, prosečni životni vek stanovništva nekedržave predstavlja važnu karakteristiku od koje, manje ili više, odstupaju dužine životapojedinih građana. Drugi primer su rezultati merenja neke fizičke veličine, koja sama, za razlikuod životnog veka, nije slučajna veličina (na primer gustina gasa na datoj temperaturi i pritisku).Rezultati ponovljenih merenja se međutim razlikuju među sobom, kao i od tražene tačnevrednosti merene veličine, zbog slučajne greške merenja. Statističko obeležje i populacija Ono što se u teoriji verovatnoće naziva slučajna promenljiva, statističari nazivaju -statističko obeležje. Tako je životni vek građanina neke države primer statističkog obeležja.Statističko obeležje je vezano za jasno definisan elemenat (entitet) koga nazivamo statističkajedinica. U poslednjem primeru to je osoba - građanin neke države. Skup svih elemenata - statističkih jedinica naziva se populacija ili generalni skup iliosnovni skup. Osnovni skup po pravilu ima veliki broj elemenata - statističkih jedinica(masovnost) koji može biti i beskonačan. Na primer, u posmatranom primeru, populaciju činesvi stanovnici jedne države. U slučaju bacanja dve kocke za igru, statistička jedinica je definisanakao svaka od mogućih položaja dve bačene kocke, statističko obeležje je posmatrani rezultat(recimo suma dobijena dva broja), a osnovni skup je beskonačan jer se može zamislitibeskonačan broj bacanja kocke. Slično, pri kontroli neke procesne veličine (pritisak, temperatura,koncentracija, itd.) može se zamisliti beskonačan broj merenja. U slučaju kontrole kvalitetaproizvoda, svaki test je statistička jedinica. Ako kontrolišemo, recimo, debljine proizvedenihkeramičkih pločica, onda je populacija ograničena - broj elemenata jednak je broju proizvedenihpločica u nekom periodu vremena. U slučaju pak praćenja sadržaja sumpora u proizvedenojgumi, populacija se smatra beskonačnom, odnosno neophodna je izvesna apstrakcija koja kaorezultat ima hipotetičnu beskonačnu populaciju. Zamišljamo naime, beskonačno velik komadgume i beskonačan niz analiza pod istim uslovima. Statistički uzorak Osnovni zadatak statistike je definisanje raspodele frekvenci posmatranog obeležja, tj.raspodele verovatnoće. Pri tome je retko moguće izmeriti obeležja svih statističkih jedinicaosnovnog skupa. To je svakako nemoguće u slučaju beskonačnog osnovnog skupa, ali i u slučajukonačnih populacija, to retko dolazi u obzir jer je ili neekonomično ili praktično neizvodljivo.Primeri su demografska ispitivanja i testova kvaliteta proizvoda, koji su destruktivni (proizvodu toku testa biva oštećen). Zato se iz populacije izdvaja jedan konačan podskup statističkihjedinica koji se naziva (statistički) uzorak. Uzorak se ispituje radi donošenja zaključaka oraspodeli slučajne promenljive - obeležja u osnovnom skupu, koja se naziva i teorijskaraspodela. Umesto izraza: uzorak iz osnovnog skupa sa pretpostavljenom raspodelom (recimonormalnom) često se koristi kraći termin: uzorak iz pretpostavljene raspodele (npr. normalne). 48
50. 50. Jasno je da se ne može očekivati potpuno tačno opisivanje ili reprezentacija populacije naosnovu analize uzorka. Jedno od najvećih ograničenja pri tome je svakako obim uzorka podkojim se podrazumeva broj elemenata populacije izdvojenih u uzorak. Međutim, veličinauzorka nije jedini faktor koji ograničava tačnost zaključaka - čak i veliki uzorak može da dovededo pogrešnog modela. Teorija uzoraka kao deo statistike, bavi se problemom izbora takvoguzorka koji će obezbediti dovoljnu pouzdanost zaključaka o populaciji. Takav uzorak, čija sestruktura u odnosu na posmatrano obeležje ne razlikuje značajno od strukture osnovnogskupa, naziva se reprezentativan uzorak. Da bi uzorak bio reprezentativan, mora biti takoformiran da svaki element populacije ima jednaku šansu da, nezavisno od ostalih, uđe uuzorak. Za takav uzorak kažemo da je slučajan uzorak. Formiranje slučajnog uzorka izograničene populacije (recimo stanovništvo), vrši se uz pomoć tablice slučajnih brojeva koji semogu naći u priručnicima iz statistike, ili se mogu kompjuterski generisati pomoćuodgovarajuće funkcije. Tablica slučajnih brojeva formira se iz dugačkog niza cifara, 0 - 9, koji se“iseče” na brojeve sa istim odabranim brojem cifara (tablice iz literature najčešće sadržečetvorocifrene brojeve). Svaka od cifara 0 - 9 se u polaznom nizu brojeva približno pojavljujejednak broj puta (dakle, sa relativnom frekvencom 0.1). Najjednostavniji postupak za formiranjeslučajnog uzorka je sledeći. Svi elementi populacije se numerišu. Ako recimo osnovni skup imamanje od 100 elemenata, potreban je niz slučajnih dvocifrenih brojeva (ili se svaki četvorocifrenbroj iz tablice interpretira kao dva dvocifrena). Počev od nasumce odabranog broja u tablici,uzimaju se redom slučajni dvocifreni brojevi i u uzorak uključuju elementi označeni timbrojevima. Ako takav element ne postoji, taj broj iz tablice jednostavno ispuštamo i nastavljamopostupak. Statistička analiza Zadatak statističke analize je, kao što smo već naveli, da na osnovu informacija iz uzorkaizvede neke zaključke o osnovnom skupu. U postupku statističke analize mogu se izdvojitisledeće faze: • statističko posmatranje • sređivanje podataka • obrada i naučna analiza rezultata Statističko posmatranje se sastoji u planskom prikupljanju podataka o statističkimjedinicama putem anketa, posmatranja, merenja itd. Tako na primer, iz slučajnog uzorka obiman dobijamo niz od n vrednosti (xi, i = 1,...,n) Sređivanje podataka se sastoji u njihovom tabelarnom i grafičkom prikazivanju, da bi smodobili neku predstavu o raspodeli posmatrane slučajne veličine. Prvi korak pri tom jeuređivanje po veličini dobijenog niza od n brojeva, a rezultat je uređen niz koji se u statisticizove varijacioni niz: x1 , x2 , , xn Obrada i analiza rezultata obuhvata matematičku obradu sređenih podataka i njihovuinterpretaciju. 49
51. 51. 3.2 Empirijska raspodela Polazeći od varijacionog niza x1 , x2 , , xn za svaku od vrednosti u nizu može se odrediti(apsolutna) frekvenca pojavljivanja, mi. Dobijeni rezultat je empirijska raspodela frekvenci, kojapredstavlja niz parova: (x , m ), (x , m ), , (x , m ), * 1 1 * 2 2 * k k k≤nza koji se takođe kaže da predstavlja grupisane podatke. Primetimo da je: k ∗ ∗ x1 = x1 , xk = xn , ∑m i =1 i =nAko se za grupisane podatke izračunaju relativne frekvence ωi = mi/n, dobija se empirijskaraspodela relativnih frekvenci u obliku niza parova: ( x1 , ω1 ),( x2 , ω2 ),…, ( xk , ωk ), k ≤ n * * *Jasno je da pri tome važi, k k ∑ mi = n , i =1 ∑ω i =1 i =1Ako su u pitanju vrednosti neke diskretne slučajne promenljive X, tada empirijska raspodelarelativnih frekvenci predstavlja aproksimaciju zakona raspodele verovatnoće slučajnepromenljive X tj. teorijske raspodele i može se prikazati tabelarno, u vidu trakastog dijagramaili poligona raspodeleŠto se tiče rešavanja problema vezanih za empirijsku raspodelu, oni će se u Excelu svesti naformiranje odgovarajućih tabela i crtanje dijagrama..Primer 3.1.U grupi od 25 studenata II godine studija su anketiranjem dobijeni podaci o starosti u godinama: 22, 21, 20, 23, 22, 24, 25, 21, 22, 23, 21, 22, 21, 23, 22, 22, 21, 25, 21, 26, 23, 21, 22, 21, 21Treba formirati empirijsku raspodelu starosti studenata u apsolutnim i relativnim iznosima.RešenjePrvo treba formirati varijacioni niz na sledeći način:U kolonu C se upisuju se podaci o starosti u godinama, oni se mogu prepisati redom izzadataka, nakon toga sortirati. Sortiranje podatak u tabeli se vrši tako što se obeleže podaci iklikne na ikonicu Sort Ascending 50
52. 52. i kao rezultat dobija se kolona C koja izgleda kao na slici (desno).Nakon toga korišćenjem funkcije COUNT prebrojavaju se podaci.Funkcija se dobija iz padajućeg menija Insert, opcije Function, i izstatističkih funkcija odabere COUNT.Argumente funkcije predstavljaju članovi varijacionog niza.U sledećem koraku formira se nova tabela, ona sadrži grupisanepodatke o broju godina.Vrednosti za m se dobijaju opet korišćenjem funkcije COUNT, i to prebrojavanjem podataka zaodređenu vrednost x*, na primer :I na kraju se izračunavaju vrednosti ω, i to kao odnos m i n, za odgovarajuću grupu podataka.Ovde se pri kopiranju formula na ostatak reda mora voditi računa o tome da je n konstanta, i danjen položaj mora biti fiksiran, tj. da se ispred oznake reda i kolone mora staviti znak \$.Pošto je tabela konačno formirana crta se grafik. Iako je crtanje grafika već prethodnoobjašnjeno, ovde će još jednom biti prikazano na konkretnom primeru. Crtanje se započinje iliodabirom Chart iz padajućeg menija Insert, ili klikom na ikonicu Chart Wizard. Tada se otvaranovi prozor, u kome se bira tip grafika (Chart type), i odabere se XY (Scatter). 51
53. 53. Klikne se na Next, i u sledećem prozoru odabere kartica Series, gde će se obeležiti podaci naosnovu kojih se crta grafik. Na x osi treba da budu vrednosti za x*, a na y osi za m i ω. Serijepodataka se dodaju klikom na „dugme“ Add, a zatim se u poljima X values i Y values upisujuodgovarajuće vrednosti.Klikne se na Next, i u sledećem prozoru urade ostala podešavanja grafika, kao što su oznake zax i y osu, naziv grafika i slično. Nakon toga se ponovo klikne na Next i u sledećem prozoru naFinish, čime se crtanje grafika završava, a dodatna podešavanja se rade na grafiku, kada sedesnim tasterom miša klikne na grafik i odabere opcija format. 52
54. 54. Pošto bi ovde trebalo prikazati zavisnost ω od x* na sekundarnoj osi, desnim tasterom se kliknena seriju ω, Format Data Series, kada se otvori novi prozor klikne se na karticu Axis i odabereopcija Plot Series on – Secondary axis, potvrđuje se sa OK.Kao rezultat dobija se grafik sa primarnom i sekundarnom osom, tj. poligon raspodele starostistudenata u apsolutnim i relativnim i znosima. 53
55. 55. Intervalno sređivanje podataka Ako je obim uzorka veliki i ako niz (4.1) sadrži veliki broj međusobno različitih vrednostiobeležja X, vrši se tzv. intervalno sređivanje podataka. Intervalno sređivanje se inače praktikujekada su u pitanju podaci o neprekidnoj slučajnoj promenljivoj. Interval [a, b) kome pripadajusve vrednosti X za uzorak, deli se na k podintervala: [a, u1), [ u 1, u 2), [ u 2, u 3), . . ., [ u k-1, b)koji se nazivaju klase. Obično se uzima da su klase jednake širine. Sredine klasa ćemo označitisa xi* : ui −1 + ui xi* = , i = 1,..., k 2 Frekvence mi, i = 1,...,k sada predstavljaju broj vrednosti obeležja X koje pripadaju prvoj,drugoj, …, k-toj klasi. Za broj klasa ne postoji striktno pravilo. Preporučuje se da ono bude od 5– 21, zavisno od obima uzorka [Vukadinovic S., 1990.], a u literaturi se sreću i empirijskeformule za izbor k, [Ahnazarova S., Kafarov V., 1985.]. Tabelarni prikaz intervalno sređenihpodataka dat je u Tab. 4.1. Poslednje tri kolone daju empirijsku raspodelu apsolutnih iempirijsku raspodelu relativnih frekvenci. Tabela 4.1 Intervalno sređeni podaci klase sredine frekvence relativne klasa frekvence 1 [a, u1) * x1 m1 ω1 2 [ u 1, u 2) * x2 m2 ω2 k [ u k-1, b) * xk mk ωk ∑ n 1 Poredpoligona raspodele, kao grafički prikaz intervalno sređenih podataka koristi se histogramempirijske raspodele. To je niz pravougaonika čije su osnove intervali [ui-1, ui), a visineodabrane tako da su im površine jednake relativnim frekvencama.Primer 3.2.Mereno je vreme izvođenja neke radne operacije u sekundama: 24 28 22 26 24 27 26 25 26 23 30 26 29 25 27 24 26 25 24 27Formirati tabelu intervalno sređenih podataka u 5 klasa i histogram. 54
56. 56. RešenjeU pitanju je neprekidna slučajna promenljiva. Naravno, podaci iz uzorka su uvekdiskretni, ali samo obeležje može biti diskretno ili kontinualno (kao što je ovde slučaj).Najmanji interval u kome leže svi podaci, a njegova širina je deljiva sa 5, je interval [22,32), pa ćemo usvojiti klase širine, d = (32 - 22)/5 = 2.Kao i u prethodnom primeru formira se varijacioni niz (kolona D na slici),na osnovu koga se formira nova tabela. Prva kolona nove tabele sadrži nazive klasa, drugasredine klasa, treća frekvence, četvrta relativne frekvence, a peta visinu pravougaonika uhistogramu, tj. odnos ω/d.U prvu kolonu se samo upišu podaci. Da bi se izračunale sredine klasa koristi se funkcijaAVERAGE. Ona se kao i ostale funkcija poziva iz menija Insert, opcije Function, a nalazi se ustatističim funkcijama. Argument predstavlja skup vrednosti čija se srednja vrednost traži. 55
57. 57. Treća kolona se popunjava kao i prethodnom primeru pomoću funkcije COUNT, četvrta kaoodnos broja m i n, a peta kao odnos ω i d, u ova dva slučaja mora se voditi računa o tome kakose zapisuju n i d, jer se radi o konstantama.Dalje se pomoću Chart Wizard-a crta histogram. U prvom koraku (Chart Type) bira se Column.Dalje se na Series – Add ubacuju podaci na osnovu koji se crta histogram, u polju Values seoznačavaju vrednosti ω/d, u polju Category (X) axis labels klase, u konkretnom slučaju obeležise ćelije od E2 do E6. U trećem koraku izvrše se podešavanja oko naslova, osa i legende, u četvrtom se završavacrtanje grafika.Kao rezultat dobija se sledeći histogram. 56
58. 58. Empirijska funkcija raspodele Pretpostavimo da smo grupisanjem podataka iz varijacionog niza xi, i =1,...,n (4.1), dobiliempirijsku raspodelu frekvenci: ( xi* , mi ), i = 1,..., k pri čemu, u slučaju intervalno sređenihpodataka, vrednosti xi* predstavljaju sredine klasa (vidi tabelu 4.2). Neka je x bilo koja vrednostna x-osi. Ukupan broj tačaka xi , koje leže levo od odabrane tačke x, zove se kumulativnafrekvenca N(x) i dobija se kao suma: N ( x) = ∑m i x i* < x Deljenjem kumulativne frekvence za tačku x ukupnim brojem podataka n, dobijamorelativnu kumulativnu frekvencu, Fn* ( x) , N ( x) Fn* ( x) = = ∑ ωi (*) n x i* < x Jednačina (*) predstavlja definiciju empirijske funkcije raspodele. Grafik empirijskefunkcije raspodele Fn* ( x) , potpuno je analogan grafiku funkcije raspodele F(x) za diskretnuslučajnu promenljivu (Sl. 2.3). Empirijska funkcija raspodele predstavlja aproksimacije funkcijeraspodele populacije (teorijska funkcija raspodele) i ukoliko je obim uzorka, n veći,aproksimacija će biti bolja (teorema Glivenka).Primer 3.3Za uzorak iz primera 3.1 nacrtati grafik empirijske funkcije raspodele.RešenjePrvo se formira varijacioni niz, kao i u primeru 3.1, odredi broj elemenata pomoću funkcijeCOUNT, i na osnovu toga formira tabela. Prve tri kolone (x*, m i ω ili w) dobijaju se na većpoznat način. Četvrta kolona dobija se pomoću funkcije SUM i to za svaku ćeliju posebno. 57
59. 59. Poslednja kolona F(x*+0) dobija se kao N(x*+0)/n, kao što se vidi na slici. Opet se mora uzeti uobzir da je n konstanta i na odgovarajući način je obeležiti u formuli. Formula za prvi red ukoloni može se kopirati na preostale redove.Pošto je formirana tabela crta se histogram za F(x*+0) pomoću Chart Wizard-a. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 F(x*+0) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 20 21 22 23 24 25 26Primer 3.4U tabeli je dat je uzorak sa grupisanim podacima. Procenitia) srednju vrednost i disperziju osnovnog skupa.b) standardnu grešku srednje vrednosti uzorka Tabela uz Primer 3.4 Sredina Klase Frekvence klasa x* m 1. 1.45 - 1.95 1.7 2 2. 1.95 - 2.45 2.2 1 3. 2.45 - 2.95 2.7 4 4. 2.95 - 3.45 3.2 15 5. 3.45 - 3.95 3.7 10 6. 3.95 - 4.45 4.2 5 7. 4.45 - 4.95 4.7 3 58
60. 60. RešenjePrvo se formira nova tabela:a) Na osnovu tabele pomoću formula prikazanih na slici izračanuavaju se srednja vrednost idisperzija.b) Na sličan način se po odgovarajućim formulama se izračunava standardna greška 59
61. 61. 4. Intervalne ocene parametara raspodele 60
62. 62. Interval poverenja Ocene parametra θ, u vidu intervala, zovu se intervalne ocene. Intervalna ocena se zove i ( )interval poverenja ili pouzdanosti. Interval θ1 , θ* je interval pouzdanosti ili interval poverenja * 2za parametar θ, sa nivoom pouzdanosti ili poverenja γ, ako sa unapred zadatom verovatnoćom,γ možemo da tvrdimo da sadrži tačnu vrednost parametra, odnosno ako važi: P (θ1 < θ < θ* ) = γ = 1 − α * 2Jasno je da je: P (θ ≤ θ1 ∨ θ ≥ θ* ) = α * 2pa se verovatnoća α = 1 - γ naziva i rizik, jer predstavlja verovatnoću da tačna vrednostparametra bude izvan procenjenog intervala. Granice intervala pouzdanosti θ1 , θ* se nazivaju * 2granice pouzdanosti ili poverenja, a širina intervala θ* − θ1 predstavlja meru preciznosti 2 *intervalne ocene parametra (što je širina intervala manja, preciznost intervalne ocene je veća). Zainterval poverenja kažemo da je simetričan, ako važi: P (θ < θ1 ) = P (θ > θ* ) = α / 2 * 24.1 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele sa poznatom disperzijom Pretpostavimo da je slučajni uzorak obima n uzet iz populacije sa normalnom raspodelom N(µ,σ), čija je disperzija σ2 poznata. Uzoračka srednja vrednost X tada ima raspodelu , σ X : N (µ, σ x ), σx = nOdredimo sada, za zadatu verovatnoću, γ granicu apsolutnog odstupanja aritmetičke sredine Xod njene srednje vrednosti µ, sa njenim standardnim odstupanjem σ x = σ n kao jedinicommere (koliko standardnih odstupanja σ x , iznosi ta granica?). Odredimo dakle faktor zα, takavda važi: ( ) P X − µ < zα σ x = γ = 1 − α (4.1) εgde je γ zadato. Uzećemo jednačinu P ( ∆X < ε) = 2Φ  i primeniti je na posmatrani problem. σZnači da treba u jednačini, 61
63. 63. • apsolutno odstupanje ∆X zameniti sa X − µ , • za granicu odstupanja ε uzeti zα σ x , • σ zameniti sa σ xRezultat je: ( ) P X − µ < zα σ x = 2Φ( zα ) = γDakle, traženi faktor zα se dobija kao rešenje jednačine: 1− α Φ ( zα ) = 2odnosno predstavlja onu vrednost standardizovane slučajne promenljive sa normalnomraspodelom za koju Laplasova funkcija dobija vrednost (1 − α ) 2 . Relaciji X − µ < zα σ x suekvivalentne sledeće relacije µ − zα σ x < X < µ + zα σ x (4.2a) X − zα σ x < µ < X + zα σ x (4.2b)pa se jedn. (4.1) može interpretirati na dva različita načina: • Relacija (4.2a) predstavlja događaj da uzoračka srednja vrednost, kao slučajna promenljiva, upadne u interval sa fiksnim granicama (zα, σ x i µ su konstante), koga možemo zvati verovatan interval za uzoračku srednju vrednost, X . Jednačina (4.1), tako definiše granice verovatnog intervala za X , pod uslovom da je poznata srednja vrednost µ • Događaj (4.2b) uz zadatu verovatniću γ, po definiciji P (θ1 < θ < θ* ) = γ = 1 − α * 2 predstavlja interval poverenja za nepoznatu srednju vrednost µ, izračunat iz datog uzorka. Zaključujemo da, pri poznatoj disperziji osnovnog skupa, interval pouzdanosti sa nivoompouzdanosti γ = 1 - α, za srednju vrednost osnovnog skupa µ, glasi: (x − z σ / α ) n , x + zα σ / n , ili µ = x ± zα σ / n (4.3) 1− αgde je zα definisano jednačinom Φ ( zα ) = i zvaćemo ga koeficijent pouzdanosti (J.O.Bird). 2Ekvivalentna definicija koeficijenta pouzdanosti je (vidi sliku 4.1): ona vrednoststandardizovane slučajne promenljive sa normalnom raspodelom za koju važi, P ( X 0 ≥ zα ) = α (4.3a)Zaista, 62
64. 64.  X −µ  ( ) (6.5 ) α = P X − µ ≥ z α σ x = P  σ ≥ zα  = P ( X 0 ≥ zα )   x  2 1 − x2 f 0 (x ) = e 2π Slika 6.1. Ilustracija jednačine 4.3aU Tab. 4.1. date su vrednosti koeficijenta pouzdanosti za tri nivoa pouzdanosti γ, koje senajčešće koriste u praksi. Tabela 4.1 - koeficijenti pozdanosti, zα γ α zα 0.90 0.10 1.64 0.95 0.05 1.96 0.99 0.01 2.58 Treba zapaziti da su granice intervala poverenja (4.3) slučajne vrednosti ( X je slučajnaveličina). Dakle interval poverenja predstavlja jedan slučajan interval, koji sa zadatomverovatnoćom γ obuhvata nepoznatu ali fiksnu vrednost µ. Tako, ako bi postupak uzimanjauzorka i određivanja intervala poverenja ponavljali, svaki put bi dobili drugačiji intervalpoverenja, ali bi mogli očekivati da će u (γ⋅100) % (recimo 95%) svih slučajeva izračunati intervalpouzdanosti obuhvatiti parametar µ. Jasno je sada zašto se za verovatnoću γ kaže da predstavljanivo pouzdanosti intervalne ocene.Aritmetička sredina četiri izmerene temperature peći optičkim pirometrom je 22500C. Ako jegreška merne metode, σ = 100C,a) Naći sa pouzdanošću od 95% interval u kome leži prava vrednost temperature.b) Koliko je ponovljenih merenja temperature neophodno, da bi preciznost procene odstupanjatačne temperature od izmerene (sa datim nivoom pouzdanosti) bila 50C?Rešenje a) Za γ = 0.95, iz tablice : z1−α 2 = z0.975 = 1.96 , pa je, interval poverenja srednje vrednosti merenih temperatura peći: 63
65. 65. odnosno, sa pouzdanošću od 95%, prava temperatura peći, t leži u intervalu 2240.2 < t <2259.8 0C b) Preciznost procene predstavlja poluširinu intervala pouzdanosti, pa je uslov: σ 10 z1−α 2 ⋅ = 1.96 ≤ 5 ⇒ n ≥ 3.92 n n n ≥ 3.92 2 = 15.35Odnosno u Excelu ovo izračunavanje izgleda ovako: Usvaja se kao minimalan broj neophodnih merenja: n = 16 Aproksimacija za velike uzorke iz raspodele sa nepoznatom disperzijom U skladu sa centralnom graničnom teoremom, za veće uzorke iz bilo koje raspodele saparametrima µ i σ, primenljiva je aproksimacija da aritmetička sredina X ima normalnuraspodelu N ( µ, σ n ). S druge strane, za velike uzorke (n ≥ 30) je primenljiva i aproksimacija: ( ) ∗ s 2 = σ2 = σ2pa se za veće uzorke (n ≥ 30) iz raspodele sa nepoznatom disperzijom, interval (4.3)aproksimira intervalom: (x − z s / α ) n , x + zα s / n , ili µ = x ± zα s / n (4.4)bez obzira na tip raspodele. 64
66. 66. Primer 4.2Obavljeno je 100 merenja mase čokolada, čija je deklarisana masa 100g (prva kolonatabele).a) Odrediti granice u kojima se nalazi srednja masa čokolada “od 100grama”, sapouzdanošću od 90%,b) Ponoviti proračun za nivo pouzdanosti 99%.c) Da li se sa pouzdanošću od 90% može tvrditi da je srednja masa čokolade “od100grama” manja od nominalne (100g), tako da ukazuje na poremećaj u procesu? Da lise ista tvrdnja može dati i sa sa pouzdanošću od 99% ?Rešenje Najpre izračunavamo uzoračku srednju vrednost i uzoračku disperziju iz formula za grupisane podatke a) Za pouzdanost 90%, zα = 1.64 , pa je poluširina intervala pouzdanosti: 65
67. 67. µ = 99.06 ± 0.46 g b) Za pouzdanost 99%, zα = 2.58 , Prema očekivanju, sa povećanjem nivoa pozdanosti smanjena je preciznost intervalne ocene (širi interval) c) Sa pouzdanošću γ = 0.9, srednja masa proizvedenih čokolada “od 100grama” leži u intervalu: (99.06 − 0.46, 99.06 + 0.46) ⇒ (98.60, 99.52 ) Pošto taj interval ne obuhvata nominalnu vrednost 100g i leži ispod te vrednosti, sa datom pouzdanošću možemo da tvrdimo da je srednja vrednost populacije, tj. srednja masa proizvedene čokolade manja od deklarisane.4.2 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele nepoznatedisperzije U slučajevima kada je disperzija σ2 nepoznata i uzorak nije veliki (n < 30) određivanjeintervala pouzdanosti srednje vrednosti populacije sa normalnom raspodelom N (µ, σ), bazirase na Studentovoj ili t - raspodeli.Primer 4.3Procenat bakra u nekoj supstanci meren je 6 puta i aritmetička sredina 6 merenja je x = 14.1 %.Odrediti interval u kome sa pouzdanošću γ = 95% leži pravi sadržaj bakra, a) Ako je poznata greška metode, σ = 2.5 b) Iz datog uzorka procenjena je greška metode, s = 2.1 66