Figuras Geometricas Planas Y Del Espacio A

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Figuras Geometricas Planas Y Del Espacio A

  1. 1. LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS Y DEL ESPACIO Presentación: Indiscutiblemente, la Geometría, es la ciencia más antigua con que el hombre haya llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas antes de utilizar propiamente la escritura. Las ideas intuitivas poco a poco fueron transformándose en abstractas. Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos, un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo; una lata de conservas y una tiza sugieren un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho de helado a un cono. Toda Ciencia, aún la más abstracta como la Matemática, tiene en el individuo, un origen experimental. Las experiencias primeras son simples observaciones de hechos que la vida misma presenta a nuestra consideración. Del análisis de estos hechos suscita el deseo de crear artificialmente otros nuevos, para someterlos también a estudio y comparación. A partir de estas consideraciones, intentaremos en este fascículo alcanzarte algunas ideas que faciliten el estudio de la geometría. En primer lugar, una breve descripción histórica del camino recorrido por la Geometría, nos permitirá tener una visión panorámica de esta ciencia, así como también, fundamentar el por qué empezar con un estudio intuitivo antes que un estudio hipotético – deductivo o racional. En segundo lugar, se tratará de analizar el carácter abstracto de las figuras geométricas. A través de ejemplos, se mostrará cómo deducir propiedades de figuras y las relaciones se dan entre ellas. Otro aspecto importante de la geometría es la clasificación de figuras a partir de ciertos criterios establecidos, pero también lo es el proceso inverso: dada una clasificación enunciar el criterio de clasificación. Por último, veremos el estudio de la Geometría como una cadena de deducciones. CAPACIDADES: • Reconoce la geometría como medio de describir el mundo físico. • Identifica, describe, compara y clasifica figuras geométricas. • Representa situaciones de problema con modelos geométricos y utiliza las propiedades de las figuras. • Clasifica figuras en términos de congruencia y semejanza, y aplica estas relaciones. • Deduce propiedades de figuras, y las relaciones que se dan entre ellas, a partir de postulados previos. • Adquiere las estructuras conceptuales de un sistema axiomático. 1
  2. 2. CONTENIDOS: • Interpretar figuras geométricas. • Deducir propiedades de figuras, y las relaciones que se dan entre ellas, a partir de postulados previos. • Clasificar figuras usando la congruencia y la semejanza, y aplicar estas relaciones. • Adquirir las estructuras conceptuales de un sistema axiomático. Angulos. Polígonos. Sólidos geométricos. Las primeras consideraciones geométricas del hombre son incuestionablemente muy antiguas, y parecería que tienen su origen en las observaciones simples que provienen de la habilidad humana para reconocer la forma física y para comparar formas y tamaños. Hubo muchas circunstancias en la vida, aun del hombre más primitivo, que le conduciría a cierta cantidad de descubrimientos geométricos subconscientes. La noción de distancia fue sin duda alguna uno de los primeros conceptos geométricos que se descubrieron. La estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo originalmente a la observación de que la recta constituye la trayectoria más corta de un punto a otro; en efecto, la mayoría de animales instintivamente se dan cuenta de esto. La necesidad de limitar terrenos condujo a la noción de figuras geométricas simples, tales como rectángulos, cuadrados y triángulos. De hecho parece natural, cuando se pone una barda a un terreno, fijar primero las esquinas y luego unirlas por rectas. Otros conceptos geométricos simples, tales como la noción de una vertical, de una paralela y de una perpendicular, hubieran sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas. Muchas observaciones de la vida diaria de los primeros hombres debieron haber conducido al concepto de curvas, superficies y sólidos. Los casos de circunferencias fueron numerosos, por ejemplo, la periferia del Sol o de la Luna, el arco iris y las cabezas de semillas de muchas flores. Las sombras arrojadas por el Sol o una lámpara presentarían circunferencias y secciones cónicas. Una piedra que se tira describe una parábola; una cuerda no estirada cuelga formando una catenaria; una 2
  3. 3. cuerda arrollada tiene la forma de una espiral; las telarañas ilustran polígonos regulares. Los anillos de crecimiento de un árbol, las ondas circulares que se forman al lanzar un guijarro a una laguna y las figuras sobre ciertas conchas sugieren la idea de familias de curvas. Muchas frutas y guijarros son esféricos, y las burbujas sobre el agua son hemisféricas; algunos huevos de pájaros son aproximadamente elipsoides de revolución; un anillo es un toro; los troncos de los árboles son cilindros circulares. En la naturaleza se ven frecuentemente las formas cónicas. Los alfareros primitivos hicieron muchas superficies y sólidos de revolución. Los cuerpos de los hombres y animales, la mayoría de las hojas y flores, y algunas conchas y cristales ilustran la noción de simetría. La idea de volumen viene de inmediato al considerar receptáculos para contener líquidos y otros artículos de consumo simples. Ejemplos como los anteriores pueden multiplicarse casi indefinidamente. Las formas físicas que tienen un carácter ordenado, contrastando como lo hacen con las formas desorganizadas y al azar de la mayoría de los cuerpos, atraen necesariamente la atención de una mente reflectiva, y algunos conceptos geométricos elementales se aclaran, o se iluminan. Dicha geometría puede, para llamarse de una forma mejor, denominarse geometría subconsciente. Esta geometría subconsciente se empleó por el hombre primitivo al hacer ornamentos decorativos y modelos, y es probablemente bastante correcto decir que el arte primitivo ayudó mucho a preparar la forma para el desarrollo posterior geométrico. La evolución de la geometría subconsciente en los niños es bastante conocida y se observa fácilmente. Ahora, al principio, el hombre consideró sólo los problemas geométricos concretos, que se presentaron en forma individual y sin interconexiones observadas. Cuando la inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una relación abstracta general que contiene a la primera como un caso particular, la geometría se volvió una ciencia. En esta capacidad, la geometría tiene la ventaja de ordenar problemas prácticos en grupos tales que los problemas de uno puedan resolverse por el mismo procedimiento general. Se llega pues a la noción de una ley o regla geométrica. Por ejemplo, cuando se comparan las longitudes de los recorridos circulares con sus diámetros, se llega después de algún tiempo, a la ley geométrica de que la razón de la circunferencia a su diámetro es una constante. No hay evidencia que nos permita estimar el número de siglos que pasaron antes de que el hombre fuera capaz de llevar la geometría al estado de una ciencia, pero todos los escritores de la antigüedad que trataron con este tema, coinciden unánimemente en que el valle del Nilo del Egipto antiguo fue el lugar en el que la geometría subconsciente se convirtió por primera vez en geometría científica. Así pues, la manera de contar tradicional ve los principios de la geometría como una ciencia en las prácticas primitivas de la agrimensura egipcia; en efecto, la palabra “geometría” significa “medición de la tierra”. Aunque no podemos tener seguridad de este origen, parece seguro suponer que la geometría científica surgió de la necesidad práctica, apareciendo varios miles de años antes de nuestra era en ciertas áreas del oriente antiguo, como una ciencia para ayudar a quienes se ocupaban de ingeniería y agricultura. Hay evidencia histórica de que esto tuvo lugar no sólo en el río Nilo de Egipto, sino también en otras cuencas de grandes ríos, tales como el Tigris y el Eufrates de Mesopotamia, el Indus y el Ganges de Asia sur- central, y el Hwang Ho y el Yangtze del este de Asia. En estas cuencas de ríos 3
  4. 4. tuvieron origen las formas avanzadas de la sociedad conocidas por sus hazañas de ingeniería en el drenaje de terrenos fangosos, irrigación, control de inundaciones y la construcción de grandes edificios y estructuras. Tales proyectos exigieron el desarrollo de la geometría práctica o científica. Los cambios económicos y políticos de los últimos siglos del segundo milenio a. de C. provocaron que el poder de Egipto y de Babilonia decayera, nuevas personas se pusieron al frente y sucedió que el desarrollo posterior de la geometría pasó a los griegos, quienes transformaron la materia en algo bastante diferente del conjunto de conclusiones empíricas desarrolladas por sus predecesores. Los griegos insistieron en que los hechos geométricos deben establecerse, no por procedimientos empíricos, sino por razonamiento deductivo; debe llegarse a conclusiones geométricas por demostraciones lógicas más bien que por experimentación de tanteos. En breve, los griegos transformaron la geometría empírica o científica de los antiguos egipcios y babilonios en lo que ahora podría llamarse geometría sistemática o matemática. La geometría griega parece haber principiado en una forma esencial con el trabajo de Tales de Mileto en la primera mitad del siglo VI a. de C. Este genio de amplios conocimientos, fue un fundador valioso de la geometría sistemática, y el primer individuo conocido a quien se le asocia la utilización de los métodos deductivos en la geometría. Tales fue quien empezó a aplicar a esta materia los procedimientos deductivos de la filosofía griega, esto es, razonamiento lógico en lugar de intuición y experimento. El siguiente matemático sobresaliente es Pitágoras, a quien se le atribuye haber continuado con la sistematización de la geometría que empezó unos cincuenta años antes por Tales. Pitágoras nació en 572 a. de C. aproximadamente, en la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales, y es bastante posible que haya sido su alumno. En el puerto griego de Crotona, fundó la escuela pitagórica, una fraternidad unida a ritos secretos y cabalísticos y costumbres, y se dedicó al estudio de la filosofía, matemática y ciencia natural. A pesar de la naturaleza mística de la escuela, sus miembros contribuyeron, durante los doscientos años que siguieron a la creación de su organización, con gran cantidad de matemáticas. En geometría dieron las propiedades de las paralelas y las utilizaron para demostrar que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. Contribuyeron en forma notoria al álgebra geométrica. Tenían conocimiento de la existencia, al menos, de tres de los sólidos poliédricos regulares1. Aunque mucha de esta información ya era conocida por los babilonios de épocas más antiguas, el aspecto deductivo de la matemática se piensa que ha sido considerablemente aprovechado y avanzado en este trabajo de los pitagóricos. Empezaron a emerger cadenas de proposiciones en las que proposiciones sucesivas se dedujeron de las anteriores de la cadena. A medida que las cadenas aumentaron, y algunas se unieron a otras, se sugirió la idea global del desarrollo de toda la geometría en una sola cadena larga. Se sostiene que un pitagórico, Hipócrates de Chíos, fue el primero en intentar, al menos con éxito parcial, una presentación lógica de la geometría en la forma de una sola cadena de proposiciones basadas en unas cuantas definiciones y suposiciones iniciales. Hicieron mejores intentos Leon, Teudio y otros. Y luego, aproximadamente 300 a. de C. Euclides produjo el esfuerzo de su época, los Elementos, una sola cadena 1 Son cinco los poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octoedro, dodecaedro, icosaedro. 4
  5. 5. deductiva de 465 proposiciones claras y elegantes que comprende la geometría plana y del espacio, teoría de los números y álgebra geométrica griega. El efecto de este trabajo sobre el desarrollo posterior de la geometría ha sido inmenso. A continuación comentaremos el contenido de este magnífico trabajo: En algún tiempo entre Tales en 600 a. de C. y Euclides en 300 a. de C. se desarrolló la noción de un discurso lógico como una sucesión de principios obtenidos por razonamiento deductivo de un conjunto de principios iniciales supuestos al principio del discurso. Efectivamente, si se va a presentar un argumento por procedimientos deductivos, cualquier principio del argumento tendrá que deducirse de principios previos o de principios del argumento, y dicho principio previo debe él mismo deducirse aún de principios o postulados más anteriores. Evidentemente, esto no puede continuarse hacia atrás indefinidamente, ni deberá recurrir a una circularidad ilógica deduciendo un principio B de uno A, y luego deducir el principio A del B. La única forma para salir de esta dificultad es fijar, al principio de un argumento, una colección de principios primarios cuyas verdades sean aceptables al lector, y luego proseguir, puramente por razonamiento deductivo, a deducir todos los otros principios del discurso. Ahora bien, tanto los primarios como los principios deducidos del discurso son principios que se refieren a la materia técnica de dicho discurso, y por tanto contienen términos especiales o técnicos. Estos términos necesitan definirse. Como los términos técnicos deben definirse por medio de otros términos técnicos, y estos otros términos por medio aún de otros, uno se enfrenta con una dificultad semejante a la hallada con los principios del discurso. Para empezar, y para evitar la circularidad de la definición, en que se define el término y por medio del término x, y posteriormente el x por medio del y, uno está obligado nuevamente a fijar al principio del discurso una colección de términos técnicos básicos cuyos significados deban aclararse al lector. Todos los términos técnicos subsiguientes del discurso deben definirse, finalmente, por medio de estos términos técnicos iniciales. Un argumento que se lleva a cabo según el plan anterior se dice actualmente que se desarrolla por axiomática material. En efecto, la contribución más sobresaliente de los antiguos griegos a las matemáticas fue la formulación de un patrón de axiomática material y la insistencia de que las matemáticas deberían sistematizarse según este patrón. Los Elementos de Euclides es el ejemplo del desarrollo primitivo extenso del uso del patrón que se nos ha dado. En épocas más recientes, el patrón de la axiomática material ha sido generalizado muy significativamente para proporcionar una forma más abstracta del argumento conocido como axiomática formal. Ahora, resumiremos el patrón de axiomática material como sigue: • Se dan explicaciones iniciales de ciertos términos técnicos básicos del discurso, siendo la intención sugerir al lector lo que quieren decir estos términos básicos. • Algunos principios primarios relacionados con los términos básicos, y que se suponen aceptables como verdades en la base de las propiedades sugeridas por las explicaciones iniciales, se enumeran. Estos principios primarios se llaman axiomas o postulados del discurso. • Todos los otros términos técnicos del discurso se definen por medio de los básicos. 5
  6. 6. • Todos los otros principios del discurso se deducen lógicamente de los axiomas o postulados. Estos principios deducidos se llaman teoremas del discurso. Algebra geométrica: Los griegos, aunque se cree que conocían los métodos de los babilonios (métodos puramente algebraicos) para la resolución de ecuaciones, desarrollaron métodos geométricos para resolverlas y comprobar diversas propiedades. En el libro II de los Elementos, de Euclides, hay 14 proposiciones que permiten resolver problemas algebraicos. Actualmente nuestra álgebra simbólica los resolverá rápidamente, pero el valor didáctico del álgebra geométrica es importante. Citaremos a continuación la forma de probar la propiedad distributiva y resolver ecuaciones. AD . AC = AD . AB + AD. BC b(a +c) = ba + bc Como podemos ver, es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. De forma análoga se demuestran las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. ¡Inténtalo! Con la misma habilidad eran capaces de resolver ecuaciones cuadráticas de los tipos ax – x2 = b2 y ax + x2 = b2. La representación geométrica de estas situaciones viene dada por la construcción sobre un segmento a, de un rectángulo cuya altura desconocida x debe ser tal que el área del rectángulo considerado exceda del área dada en el cuadrado de lado x, en el primer caso ax – x2 = b2 con los segmentos a y b verificando la relación a>2b. y en el segundo ax + x2 = b2, que se quede corto respecto del área A. 6
  7. 7. De esta forma, los griegos consiguieron resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de los procedimientos conocidos como de “aplicación de áreas”. Veamos, cómo se resuelve la ecuación de segundo grado ax – x2 – b2 = 0. En primer lugar, completemos la figura con otro cuadrado de lado a/2, CBFE. Se deduce, que el cuadrado CBFE de área (a/2)2 excede del rectángulo ADHK de área ax – x2 = b2, en el cuadrado LHGE de lado a/2 – x; es decir, 2 2 ⎛a ⎞ ⎛a⎞ ⎜ − X ⎟ = ⎜ ⎟ −b 2 ⎝2 ⎠ ⎝2⎠ que permite solucionar la ecuación dada ax – x2 = b2, con 2 a ⎛a⎞ X = − ⎜ ⎟ − b2 2 ⎝2⎠ Nota: Los segmentos a y b verifican la relación a>2b. ¿Por qué? Aritmética geométrica: Los pitagóricos antiguos tienen el crédito del origen de los llamados números figurados. Estos números, considerados como el número de puntos en ciertas configuraciones geométricas, representan un enlace entre la geometría y la aritmética. Las siguientes figuras explican la nomenclatura geométrica de los números triangulares, números cuadrados y números pentagonales. 7
  8. 8. ACTIVIDAD Muchos teoremas interesantes relacionados con los números figurados pueden establecerse en forma puramente geométrica. Por ejemplo, demuéstrese el siguiente teorema: “El número pentagonal n–ésimo es igual a n más tres veces el número triangular (n–1)”. Estos comentarios que acabamos de hacer tienen una intención doble: De un lado, dar una visión panorámica del camino recorrido por la Geometría a través de la historia y, de otro, nos sirvan para establecer algunas pautas para su estudio. Indiscutiblemente, es la Geometría, la ciencia más antigua con que el hombre haya llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas antes de utilizar propiamente la escritura. Las ideas intuitivas poco a poco fueron transformándose en abstractas. Empezaremos comentando el porqué de un desarrollo intuitivo de la geometría, antes de iniciar un estudio abstracto, formal de base hipotético–deducitvo (geometría racional). Pero, ¿por qué insistir en un enfoque intuitivo? ¿por qué no empezar la secundaria, con un estudio racional de la geometría? Toda Ciencia, aún la más abstracta como la Matemática, tiene en el individuo, un origen experimental. Las experiencias primeras son simples observaciones de hechos que la vida misma presenta a nuestra consideración. Del análisis de estos hechos suscita el deseo de crear artificialmente otros nuevos, para someterlos también a estudio y comparación. Esto inspira la tesis que sostiene que el ente geométrico2 se forma en la mente humana por abstracción, a partir de objetos reales y de experiencias sobre éstos. 2 Otros sostienen que el ente geométrico es una construcción de la mente humana, independiente y preexistente a la consideración de objetos reales. 8
  9. 9. Este aspecto puede ser aprovechado por la didáctica, haciendo preceder, a las nociones formales cuestiones intuitivas (experimentales) donde los axiomas encuentren sus raíces naturales. Desde esta perspectiva, veamos algunas cuestiones sobre: ángulos, polígonos y sólidos. Imaginemos entrar en una clase, el tema de hoy: ángulos. Es muy fácil escoger una definición de ángulo y exponerla con cuidado a los alumnos, acompañándola con muchos ejemplos, con variados ejercicios y experiencias prácticas, pero también es muy raro que junto con la explicación verbal, con el dibujo y con la definición, el concepto de ángulo sea comprendido y asimilado perfecta y rápidamente. Sin embargo, habiendo dado como definición de ángulo, por ejemplo, aquella que dice: "ángulo es la parte de un plano comprendida entre dos semirrectas que tiene origen común (Arnaud – 1667)", cuando se le pide a un alumno que dibuje un ángulo más grande que otro, previamente dado, simplemente prolongue los lados que habían sido dados como segmentos. Quizá sea útil, antes de imponer una definición, aprovechar la idea que los alumnos tienen ya del ángulo; es decir, de la idea que se han formado a través de una experiencia personal o a través del sentido que el lenguaje común da al vocablo "ángulo", o más todavía a través de las pocas explicaciones sobre ángulos que a veces se dan en primaria. A la pregunta: ¿encuentras ángulos en los objetos que te rodean?, probablemente se tengan respuestas como, los ángulos del plano rectangular de la mesa; los ángulos formados por los lados de un marco en un cuadro; los ángulos de un techo de dos aguas de una casa; el ángulo formado por una escalera de tijera por los lados donde se apoya; el ángulo que la cubierta de un libro forma con la primera página, cuando se levanta la cubierta; etc. Como puedes ver, los alumnos se inspiran en los objetos que tienen delante de ellos y ponen ejemplos de ángulos planos y ángulos diedros. Podemos seguir preguntando: ¿Pueden describir un ángulo con un movimiento de sus extremidades?. Las respuestas serán más interesantes, porque aquí el ángulo es descubierto y construido por los mismos alumnos. He aquí algunas respuestas: "el antebrazo describe un ángulo en torno al codo; dos dedos contiguos de una mano forman un ángulo que puede agrandarse o empequeñecerse abriendo más o menos los dedos; también con una pierna, teniendo firme la rodilla, puede describirse un ángulo". Es notorio que a ninguno escapa el ejemplo del codo. 9
  10. 10. Ahora, esta otra: ¿Es posible medir un ángulo con el metro?. Probablemente, la mayor parte responda que no se puede medir con el metro pero si "con el grado", confundiendo evidentemente la unidad de medida con el instrumento. Pero, habrá siempre más de uno que dirá que el "metro sirve para medir un ángulo porque basta con medir los lados"; y algunos dirán que basta medir "la distancia entre los dos segmentos que forman el ángulo", y que estas mediciones se pueden hacer con el metro. Entonces, ¿Qué cosa es un ángulo?. Algunos dirán que "un ángulo es el punto donde se encuentran dos rectas"; otros, que "un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos segmentos que parten del mismo punto" y no faltara alguien que de una definición exacta, como "parte de un plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un mismo origen", o a menudo, como "la inclinación de una recta sobre la otra" (definición dada por Euclides). La respuesta dada como "ángulo es un punto", corresponde a una sensación táctil y al significado que en lenguaje común se da a la palabra; un objeto anguloso es un objeto que tiene punta, con esquinas, como se dice generalmente. Etimológicamente, el vocablo ángulo proviene del griego, que significa codo y que sugiere la idea de punta, esto es, de la construcción del ángulo con una rotación. De ahí, que ningún alumno escapa responder a la segunda pregunta, con el ejemplo del movimiento del antebrazo en torno al codo. No se puede hablar del concepto, si primero no se conocen las ideas que el alumno tiene sobre él, y que tales ideas no pueden ser erradicadas de un momento a otro, ni aún por la más clara exposición del maestro. Si ahora, mostramos un conjunto de triángulos equiláteros, insertados uno en el otro, de modo que sea bien visible que uno es la forma reducida del otro; entonces la noción de ángulo se tomará "por abstracción": es el elemento común de estos triángulos, es la invariante de este conjunto. El carácter estático del dibujo constituye una desventaja didáctica. Es cierto que un objeto movible atrae más la atención de un alumno. Un simple dispositivo como el mostrado en la figura nos servirá de material didáctico para ir introduciendo más observaciones y experiencias sobre los ángulos. Se trata de una liga que pasa por dos clavos, fijados en una tablilla de madera, y con el otro extremo en el punto medio de ellos y en dirección perpendicular. 10
  11. 11. Se construye así, un triángulo isósceles, variable por continuidad, y que al agrandarse o reducirse en sus ángulos, llama la atención de cualquiera. En estas variaciones, el alumno estará particularmente atraído por dos casos “límite”, cuando el ángulo en el vértice tiende a tornarse plano y cuando al contrario tiende a ser más pequeño. Supongo que habrás notado cómo la noción de ángulo, de generalidad concreta, llegará a “refinarse”, siempre más, hasta asumir un carácter matemático. Pero debo aclarar que esta serie de experiencias y observaciones no se desarrollan en una o dos lecciones, sino que deben prolongarse por un buen tiempo; interrumpirse; volver a repetirse uniéndose a otros temas. No se trata de exigir una definición inmediatamente3, aunque parezca que el concepto esté claro. Vayamos de manera gradual, en forma cíclica, dejemos que las nociones se consoliden, ganemos precisión poco a poco, ¡construyamos el conocimiento!. En Matemáticas, una definición es una convención que aclara el significado preciso que debe atribuirse a una palabra, expresión o símbolo, durante el tiempo en que esta definición permanezca vigente. Lograr establecer una definición correcta de un concepto a partir de unas aproximaciones vagas e intuitivas; lograr aplicar unas definiciones sabiendo distinguir cuando se aplica correctamente o no; trabajar definiciones implícitas o explícitas; llegar a definiciones inductivamente …, son situaciones que merecen una atención especial en clase de matemáticas. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Una demostración intuitiva que se da en general a este teorema, está basada en la experiencia hecha valiéndose de un triángulo de cartón que esté convenientemente plegado de modo que podamos reunir en un mismo punto los tres vértices. Una experiencia inicial, para demostrar este teorema, lo constituye la siguiente actividad: “Con la ayuda de un transportador, mide los ángulos del triángulo de la figura y comprueba que suman 180° “. Puede ocurrir que por errores de precisión no te salga 180°; entonces te recomendamos que recortes las puntas del triángulo y las adjuntes en posición de suma de ángulos. Puedes notar que, en ambas actividades se sugiere al alumno lo que tiene que hacer. Busquemos una forma de llamar la atención sobre los ángulos del triángulo. Usemos nuestro dispositivo de liga, clavos y tablilla de madera. Como recordarás, al jalar la liga con un hilo en el punto medio y en dirección perpendicular a la unión de los clavos, se obtiene un número infinito de triángulos isósceles que tiene por base el segmento que une los dos clavos. 3 En su conocida tesis doctoral, I. Lakatos realizó un maravilloso estudio sobre cómo a partir de una discusión dirigida pero abierta, abundante en ejemplos, contraejemplos, deducciones y refutaciones, era posible ir perfilando conceptos clave hasta culminar con una definición clarificadora. Nótese que la tendencia en muchas clases de matemáticas acostumbra a ser la contraria: anticipando a priori definiciones, se centra el trabajo en actividades posteriores a la definición. 11
  12. 12. Ahora, pide a los alumnos que observen estos triángulos y que escriban sus observaciones. Te encontrarás con respuestas sorprendentes, como esta: “Al jalar la liga lo más posible obtengo el triángulo más grande posible sobre la tabla; después disminuyo la tensión poco a poco y tengo triángulos isósceles siempre más pequeños hasta que este triángulo isósceles se aplasta sobre la base. En este punto ya no tenemos un triángulo, pero un instante antes sí. Durante el movimiento he observado que varía los lados del triángulo, pero la base es siempre la misma; he visto que varía la altura y el área, y cambia también la forma de los triángulos; por un instante aparece el triángulo equilátero y luego también el rectángulo”. “Lo que más me interesa de todo es que cambian los ángulos; cuando el vértice se desplaza hacia la base, el ángulo en él aumenta y los de la base disminuyen. Y disminuyen siempre más, hasta reducirse a cero, y en aquel momento, el ángulo en el vértice se torna en ángulo plano. Después vuelvo a levantar un poco el vértice; el ángulo en el vértice se torna un poco más pequeño que un ángulo plano y los de la base existen, pero son pequeñísimos. Entonces pienso que lo que ganaron se ha perdido en el ángulo del vértice y me parece que es así porque si el vértice va muy lejos, el ángulo se torna siempre más pequeño y los de la base se tornan casi rectos, y dos ángulos rectos hacen un ángulo plano. La suma de los ángulos de un triángulo deben ser siempre de un ángulo llano”. He aquí lo que describe otro alumno: “Si imaginamos partir del triángulo más grande que es posible hacer sobre la tabla y aflojamos poco a poco el cordel, el ángulo en el vértice se torna siempre más grande y los ángulos en la base más pequeños. En un instante dado, tenemos un triángulo equilátero y, después, cuando el ángulo en el vértice es recto, tenemos un triángulo rectángulo; para este triángulo es válido el teorema de Pitágoras; para los otros no”. Conviene hacer algunas precisiones al respecto. No es posible creer que al escribir esta frase el alumno se haya dado cuenta del valor de su descubrimiento; toca a nosotros llamar su atención sobre esta propiedad para que ocupe así su verdadero lugar en su aprendizaje. Dos aspectos interesantes de la geometría euclidiana plana –la suma de los ángulos internos de un triángulo y el teorema de Pitágoras–, vienen así a encontrarse unidos por este simple dispositivo. Bisectriz de un ángulo. La recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz. El trazado de la bisectriz de un ángulo, mediante regla y compás, se muestra en la figura adjunta, donde el punto C se obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A y en B. Al unir O con C obtenemos la bisectriz del ∠AOB . Tu mismo puedes comprobar, haciendo uso del transportador, que la recta OC es la bisectriz de dicho ángulo. 12
  13. 13. Continuando con un tratamiento informal e intuitivo de la geometría, decimos que la línea ABCDE de la figura se llama línea poligonal. ¿Puedes precisar una definición de ésta? Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas, tal como muestran las figuras. Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). Con frecuencia, observarás que muchos de los términos utilizados en geometría proceden del griego, este hecho no te debe extrañar, recuerda que fue en la Antigua Grecia donde la geometría alcanzó un gran relieve. ACTIVIDAD En la figura adjunta observarás los elementos básicos de un polígono: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores y exteriores. Define con tus propias palabras cada uno de ellos. Otro elemento básico de todo polígono es su perímetro. El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, undecágono, dodecágono, …, icoságono (20 lados), … El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En éstos, y sólo en éstos, aparecen los nuevos elementos: centro y apotema. El centro de un polígono regular es el punto interior que se halla a igual distancia de sus vértices, y la apotema es el segmento perpendicular desde el centro a uno cualquiera de los lados. También podemos decir que la apotema es el segmento determinado por el centro y el punto medio de uno 13
  14. 14. cualquiera de los lados. ¡Un polígono muy particular: la circunferencia! El número de lados de un polígono puede ser tan grande como se quiera; así, por ejemplo, es posible construir polígonos regulares de 20 lados (icoságono), de 100 lados, de 1000 lados, etc. Al aumentar el número de lados, éstos se hacen cada vez más pequeños. Si pudiésemos construir polígonos regulares de una infinidad de lados, sucedería que cada uno de ellos no sería un segmento, sino un punto, con lo cuál habríamos construido un polígono muy particular, la circunferencia, caracterizada por el hecho de que todos sus puntos están a igual distancia del centro. Reconocemos en la circunferencia los mismos elementos que aparecían en los polígonos regulares, si bien, algunos reciben nombres diferentes. El radio de la circunferencia equivale a la apotema del polígono regular, y la longitud de la circunferencia al perímetro de éste. El círculo es la porción de plano interior a la circunferencia. Por tanto, no confundas circunferencia con círculo. La circunferencia es una línea y el círculo es una superficie. El anillo sugiere la idea de circunferencia y la moneda de círculo. El Tangram: Si te gustan los puzzles, te gustará el tangram. Es un juego de origen chino formado por siete piezas básicas (cinco triángulos isósceles, un cuadrado y un paralelogramo) con las cuales se pueden hacer infinidad de figuras: letras, barcos, chinos con gorro, casas, ... El objetivo es, como en todos los puzzles, rehacer la figura que se muestra. ¡Su única regla es que tienen que intervenir todas las piezas! ¿Cómo hacer un tangram? Las figuras elementales nacen de una división del cuadrado (ver la figura). Así que basta coger un cuadrado de cartón o madera y recortarlo. ACTIVIDAD: Construye: – un triángulo. – una flecha. Observa las siguientes figuras: 14
  15. 15. ¿Pueden ser consideradas línea poligonal y polígono, respectivamente? En particular, notarás que los segmentos AE y CD del polígono no se cortan en un vértice. De otro lado, las definiciones dadas, ¿son satisfactorias?. “Hacer una buena” definición requiere pericia y es difícil. Pero, aún siendo muy interesante obtener una definición, es muchísimo más rentable, de cara al aprendizaje, el proceso a seguir para establecerla. En muchas ocasiones, el principio de “autoridad” matemática de una definición tradicionalmente aceptada y transmitida durante años, hace que no sintamos la “necesidad” de analizarla e intentar “redescubrirla” por nosotros mismos, tal y como lo hicieron sus descubridores. Si una línea poligonal no se cruza con ella misma, se denomina simple; y si lo hace se dice que es no simple. Llamaremos polígono “estrellado” a la línea poligonal cerrada no simple. Definición de polígono: Figura plana formada por una línea poligonal (S1, S2, … , Sn) tal que el extremo de S1 no común a S2 se confunda con el extremo de Sn no común con Sn-1. Los segmentos S1, S2, … , Sn se denominan lados del polígono y sus extremos se llaman vértices. (Diccionario de Matemáticas, Ed. Akal, Madrid, 1984). Polígonos convexos y no convexos (cóncavos o entrantes). Da las definiciones adecuadas para caracterizar ambos tipos de polígonos, utilizando las siguientes figuras geométricas. Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos, un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo; una lata de conservas y una tiza a un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho de helado a un cono. Definición 1: Un poliedro es un sólido cuya superficie consta de caras poligonales. 15
  16. 16. Esta definición nos permite claramente diferenciar entre una forma geométrica sugerida por una caja de fósforos y una sugerida por un cucurucho de helado: poliedros y no poliedros. Considérese un par de cubos, uno de los dos está dentro del otro, sin tocarse entre sí (El monstruo de Lhuilier). Considérese el sólido limitado por ambos. ¿Es un poliedro? Esta pregunta pone de manifiesto la duda acerca de si un poliedro debe tener “huecos” o, planteada de modo más general, si el poliedro es el “sólido” o es la “superficie”. Definición 2. Un poliedro es una superficie formada por un número finito de polígonos. Esta definición es perfectamente aceptada por los topólogos. Se usó en la Academia Francesa para refutar al monstruo de Lhuilier. Tomemos dos tetraedros unidos por un vértice o por una arista (Siameses de Hessel). Ambos siameses están unidos; ambos constituyen una superficie. ¿Forman un poliedro? Parece claro que no, se trata de dos poliedros unidos. Entonces, ¡hay que modificar la definición! Definición 3. Un poliedro es una superficie formada por polígonos colocados de forma que en cada arista se encontrasen exactamente 2 polígonos y que fuese posible ir del interior de un polígono al interior de otro, siguiendo un camino que no cruce nunca una arista por un vértice. ¿Quedan excluidos los 2 siameses? ¿Qué sucederá con el monstruo de Lhuilier y con los siameses de Hessel? Esta situación “incómoda” que se presenta al dar una definición de poliedro nos debe llevar a la siguiente reflexión: el profesor nunca debe definir a priori un concepto; debe evitar la ansiedad de llegar a establecer pronto una definición. Se debe aprovechar las ideas previas que los alumnos tienen para decidir en cada caso lo que es un poliedro y lo que no lo es, procurando que construyan el conocimiento ya que tan importante como la definición en sí, lo son los procesos mentales de los que aprenden, el esfuerzo que deben hacer para comunicarse, entenderse y hacerse entender. 16
  17. 17. Consideremos la siguiente figura geométrica: el erizo de Kepler. Tiene 12 caras pentagonales estrelladas, 12 vértices y 30 aristas. Sus caras son polígonos estrellados, que se "cruzan" en "seudovértices" (puntos comunes que no son los vértices). Por lo tanto, éste no sería un poliedro según la tercera definición. Si no se aceptasen las intersecciones en los lados de los polígonos, es decir, que los polígonos estrellados no son polígonos, entonces el erizo de Kepler sería un poliedro. En este caso, ¿cuántas caras triangulares, aristas y vértices tendría este poliedro? ¡De nuevo se nos ha quedado corta la definición de poliedro! Como podrás observar, es todo un reto obtener una buena definición. Definición 4. Un poliedro es el lugar geométrico formada por los puntos del espacio que pertenecen a una superficie poligonal dispuesta de tal forma que: – En cada arista se encuentren exactamente dos caras. – Es posible ir desde el interior de un polígono al interior de otro siguiendo un camino que no cruce nunca una arista a través de un vértice. – Las caras sólo se cortan a lo largo de las aristas. ¿Y qué se puede decir de la figura siguiente? ¿Es o no un poliedro? Tómense 4 pirámides truncadas de base cuadrada colocadas de modo que formen el marco de un cuadro. Se quitan las caras comunes y queda en medio un túnel o espacio para colocar el cuadro (túnel de Lhuilier). La idea intuitiva que se tiene de poliedro hace que pensemos en que no tengan “huecos”. ¡Habría que pensar en otra definición! ¿Puedes dar una definición de poliedro de manera que los túneles no sean poliedros? Este es sólo una muestra de cómo dar una definición satisfactoria de poliedro. Interpretar figuras geométricas. Un aspecto importante de la geometría, es que ésta usa un lenguaje que es más próximo al usual. En ella se habla de puntos, de rectas, de planos, y todos más o menos conocen el significado de esas palabras; se hace referencia a situaciones concretas y se utilizan imágenes que son suficientemente familiares. En sus inicios, se ve a la geometría como una técnica de agrimensura, un arte para proceder a operaciones de medición de los terrenos; de lo que quedó huella en su mismo nombre, la palabra geometría. Herodoto, el historiador (aproximadamente 485–424 a. de C.) precisará las circunstancias que habían dado lugar a su 17

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