Relacoes matematicas
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Relacoes matematicas Relacoes matematicas Document Transcript

  • RELAÇÕES 1. Produto cartesiano Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todo os pares ordenados ( x, y ) com x ∈ A e y ∈ B . Notação: A × B = {( x, y ) | x ∈ A e y ∈ B} 2. Relação binária Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto ℜ de A × B . Se ( x, y ) ∈ℜ indicamos por xℜy e ( x, y ) ∉ℜ indicamos por x ℜy . 3. Domínio e imagem Seja ℜ uma relação binária de A em B. Denomina-se domínio de ℜ o subconjunto de A, dos elementos de x ∈ A para os quais existe algum y em B com xℜy . Denomina-se imagem de ℜ o subconjunto de B, dos elementos de y ∈ B para os quais existe algum x em A com xℜy . Im ℜ = { y ∈ B | ∃x ∈ A : xℜy} 4. Propriedades das relações Seja ℜ ⊂ A × B. i) Reflexiva Dizemos que ℜ é reflexiva se ( ∀x ) ( x ∈ A → xℜx) ou ( ∀x ) ( x ∈ A → ( x, x) ∈ℜ) Exemplo 1: Mostremos que as relações dadas são reflexivas. a) Seja ℜ = {( a, a ),(b, b),(c, c ),(a, c),(b, a )} sobre A = {a, b, c} . ℜ é reflexiva, pois aℜa, bℜb e cℜc . { b) Seja ℜ = ( x, y ) ∈ 2 | x = y} ℜ é reflexiva, pois para ∀x ∈ , x = x c) Seja ℜ = {( r , s ) ∈ S | rℜs ↔ r s} sendo S plano euclidiano. 2 ℜ é reflexiva, pois para ∀r ∈ S , r r 1
  • ii) Simétrica Dizemos que ℜ é simétrica se, e somente se ( ∀x, y ∈ A) ( xℜy → yℜx) . Exemplo 2: Mostremos que as relações dadas são simétricas. a) Seja ℜ = {( a, a ),(b, b),( a, b),(b, a )} sobre A = {a, b} . ℜ é simétrica, pois aℜb → bℜa . b) Seja ℜ a relação de perpendicularidade definida por: { } ℜ = (r , s ) ∈ S 2 | rℜs ↔ r ⊥ s sendo S plano euclidiano. ℜ é simétrica, pois rℜs → sℜr . iii) Transitiva Dizemos que ℜ é transitiva se, e somente se (∀x, y, z )(( xℜy e yℜz ) → xℜz ) . Exemplo 3: Mostremos que a relação ℜ = {( a, a ),( a, b),(b, c),( a, c )} sobre A = {a, b, c} é transitiva. ℜ é transitiva pois, (aℜb e bℜc) → aℜc . iv) Anti-simétrica Dizemos que ℜ é anti-simétrica se, e somente se ( ∀x, y ∈ A) (( xℜy e yℜx) → x = y ) ou equivalente ( ∀x, y ∈ A) ( x ≠ y → ( x ℜy ou y ℜx)) . Exemplo 4: Mostremos que a relação ℜ = {( a, a ),(b, b),( a, b),( a, c)} sobre A = {a, b, c} é anti- simétrica. A sentença ( aℜb e bℜa ) → a = b é verdadeira, pois F → F é verdadeira. Exemplo 5: A relação ℜ = {( a, a ),(b, b),( a, b),(b, a ),(c, c)} sobre A = {a, b, c} não é anti-simétrica. Não é anti-simétrica pois, a ≠ b → (aℜb e bℜa ) . Observação: Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio dos diagramas. 2
  • Reflexiva: Em cada ponto do diagrama Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas. deve ter um laço. a b b a c c d Transitiva: Todo par de flechas consecutivas Anti-simétrica: Não há flechas com deve existir uma flecha cuja origem é a duas pontas. primeira e extremidade é a segunda. b b a a c d c d 5. Relação de equivalência Uma relação ℜ sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e somente se, ℜ for reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 6: A relação ℜ = {( a, a ),(b, b),(c, c ),(c, a ),( a, c)} sobre A = {a, b, c} é de equivalência pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 7: Seja A = . A relação ℜ definida por xℜy ↔ x = y, ∀x, y ∈ é de equivalência. i )Reflexiva A relação ℜ é reflexiva pois, (∀x)( x ∈ → x = x) ii)Simétrica A relação ℜ é simétrica pois, (∀x, y ∈ )( x = y → y = x) 3
  • iii) Transitiva A relação ℜ é transitiva pois, (∀x, y, z ∈ )( x = y e y = z ) → x = z ) Exemplo 8: A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim (∀r , s ∈ S )(rℜs ↔ r s ) i )Reflexiva A relação ℜ é reflexiva pois, (∀r )(r ∈ S → r r ) ii)Simétrica A relação ℜ é simétrica pois, (∀r , s ∈ S )( r s → s r ) iii) Transitiva A relação ℜ é transitiva pois, (∀r , s, t ∈ S )(r s e s t ) → r t ) . Exercícios de Aplicação 1: Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir. 1) ℜ = {( a, a ),(b, b),(c, c),(c, a )} sobre iii) Transitiva A = {a, b, c} i )Reflexiva iv) Anti-simétrica ii)Simétrica 2) ℜ = {( a, a ),( a, b)} sobre A = {a, b} iii) Transitiva i )Reflexiva ii)Simétrica iv) Anti-simétrica 4
  • 3) ℜ = {(a, a ),(b, b),(b, a )} sobre A = {a, b} iii) Transitiva i )Reflexiva iv) Anti-simétrica ii)Simétrica 4) ℜ = {( a, a ),(b, b),(c, c ),(a, b),(b, a )} iii) Transitiva sobre A = {a, b, c} i )Reflexiva iv) Anti-simétrica ii)Simétrica { 5) Seja ℜ = ( x, y ) ∈ 2 | x 2 + y 2 = 1} , iii) Transitiva quais propriedades são válidas para as relação. i )Reflexiva iv) Anti-simétrica ii)Simétrica 6. Classe de equivalência Seja ℜ uma relação de equivalência sobre A. Dado a ∈ A, denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A formado dos elementos x tal que xℜa. Simbolicamente a = { x ∈ A | xℜa} 5
  • 7. Conjunto quociente O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por A / ℜ Exemplo 9: A relação ℜ = {( a, a ),(b, b),(c, c ),(c, a ),( a, c)} sobre A = {a, b, c} é de equivalência.Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim: a = {a, c} ,pois, aℜa e aℜc e cℜa b = {b} , pois, bℜb c = {c, a} , pois, cℜc e aℜc e cℜa , logo podemos ver que a classe a = c , assim temos duas classes, e indicamos por: A / ℜ = {a , b } = {{a, c} , b} Exemplo 10: Seja a relação de equivalência ℜ sobre A = {a, b, c, d , e, f } ℜ = {(a, a),(b, b),(a, b),(b, a),(c, c),(d , d ),(d , e),(e, d ),(e, e),(e, f ),( f , e),( f , f ),( f , d ),(d , f )} Determinemos suas classes de equivalência. a = {a, b} , pois, aℜa e aℜb e bℜa c = {c} pois, cℜc d = {d , e, f } pois, d ℜd e d ℜf e d ℜe,... e escrevemos o conjunto quociente: A / ℜ = {{a, b} ,{c}{d , e, f }} 8. Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se 1) (∀r )( Br ≠ φ ) 2) Se r ≠ s → Br ∩ Bs = φ ou Br = Bs n 3) UB r =A r =1 Exemplo 11: Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que A = {a, b, c, d , e, f } e A/ℜ = {{a, b} ,{c}{d , e, f }} , assim A / ℜ forma uma partição de A pois. Denominando 6
  • B1 = {a, b} B2 = {c} 3 B3 = {d , e, f } , tem-se UB r = A e a intersecção de dois a dois é sempre vazia e r =1 (∀r )( Br ≠ φ ) Exemplo 12: Sejam A = × e ℜ definida por ( a, b)ℜ(c, d ) ↔ a + d = b + c . a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência. b) Caso afirmativo dar a classe de (2,3) . Deixamos a cargo do leitor a demonstração i )Reflexiva ii)Simétrica iii) Transitiva a) ( a, b)ℜ(c, d ) ↔ a + d = b + c (c, d )ℜ(e, f ) ↔ c + f = d + e , adicionando membro a membro e simplificando tem-se; (a + f = b + e) → (a, b)ℜ(e, f ) , logo ℜ é transitiva e portanto é uma relação de equivalência. b) Classe de (2,3) = {( x, y ) ∈ × | ( x, y )ℜ(2,3)} = {( x, y ) ∈ × | x + 3 = y + 2} = {(2,3),(1, 2),(3, 4),....} Exercícios de aplicação 02: 1)Sejam A = × e ℜ definida por iii) Transitiva * (a, b)ℜ(c, d ) ↔ ad = bc . a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência i )Reflexiva b) Caso afirmativo, dar a classe de (2,3) . ii)Simétrica 7
  • 2) Seja a relação de equivalência ℜ sobre iii) Transitiva definida por nℜm ↔ i = i , i = −1 n m a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência b) Caso afirmativo dar /ℜ. i )Reflexiva ii)Simétrica 3) Seja iii) Transitiva f: * → ,definida por f ( x) = 1 + x . 2 a) Mostre que ℜ = {(a, b) ∈ * × | af (b) = bf (a)} é de equivalência. i )Reflexiva b) Caso afirmativo dar a classe 3 . ii)Simétrica 4)Sejam A = e ℜ definida por iii) Transitiva (a, b) ∈ℜ ↔ 3/ a − b .(lê-se 3 divide a-b) a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência. i )Reflexiva b) Caso afirmativo, dar /ℜ ii)Simétrica 8
  • 5) Seja A = {a, b, c, d } , complete o quadro Relação ℜ Reflexiva Simétrica transitiva ℜ = {(a, a),(b, b),(c, c),(d , d )} ℜ = {(a, c),(c, a),(c, c ),(a, d )} ℜ = {(a, a),(b, b),(a, b),(b, a),(b, d ),(d , b)} 6) Seja a relação de equivalência ℜ sobre (conjunto dos números complexos)definida por ( x + yi) ℜ( z + ti) ↔ x + y = z + t , i = −1 Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por 2 + 3i 7) Seja f : → ,e a iii) Transitiva relação ℜ = {(a, b) ∈ * × | af (b) = bf (a)} a) Mostre que é de equivalência. i )Reflexiva b)Sendo f ( x ) = x , dar a classe 2 . 2 ii)Simétrica 8) Em ∗ × , definimos a relação ℜ de ∗ equivalência por ( x, y )ℜ(a, b) ↔ ∃k ∈ | x = ka e y = kb ∗ Descreva geometricamente ∗ × ∗ ℜ 9
  • 9. Relação de ordem Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação ℜ é de ordem parcial sobre A se, e somente se, ℜ for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades: i) ℜ é reflexiva se ( ∀x ) ( x ∈ A → xℜx) ii) ℜ é anti-simétrica se, e somente se ( ∀x, y ∈ A) (( xℜy e yℜx) → x = y ) iii) ℜ é transitiva se, e somente se (∀x, y , z )(( xℜy e yℜz ) → xℜy ) . Notação: Se aℜb e é uma relação de ordem parcial escrevemos a p b , lê-se “ a precede b” ou “ a antecede b” Se a relação ℜ é de ordem parcial sobre A, então dizemos que A é parcialmente ordenado. Elementos comparáveis Se a relação ℜ é de ordem parcial sobre A. Os elementos a e b de A, se dizem comparáveis se a p b ou b p a . 10. Ordem total Se a relação ℜ é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é, a p b ou b p a , então ℜ é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado. Exemplo 13: Sejam A = e a relação ℜ definida por xℜy ↔ x ≤ y (menor ou igual é uma relação de ordem total, denominada ordem habitual). Mostremos que ≤ é uma relação de ordem total. i) ℜ é reflexiva, pois ( ∀x ) ( x ∈ → x ≤ x) ii) ℜ é anti-simétrica, pois ( ∀x, y ∈ ) (( x ≤ y e y ≤ x) → x = y) iii) ℜ é transitiva, pois (∀x, y , z ∈ )(( x ≤ y e y ≤ z ) → x ≤ z ) . Portanto ℜ é de ordem parcial sobre . Verifiquemos se é de ordem total; ( ∀x, y ∈ ) (se x, y ∈ → x ≤ y ou y ≤ x) ,logo ℜ é de ordem total. 11. Limites superiores e inferiores Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação p . Seja B ≠ φ um subconjunto de A . Chamamos de limite superior de B a todo elemento L ∈ A | x p L, ∀x ∈ B Chamamos de limites inferior de B a todo elemento l ∈ A | l p x, ∀x ∈ B 10
  • 12. Máximo e Mínimo Sejam B ⊂ A e p uma relação de ordem parcial. Se L ∈ B, então L é máximo. Se l ∈ B, então l é mínimo. 13. Supremo e Ínfimo Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação p . Seja B ≠ φ um subconjunto de A . Chama-se supremo de B o mínimo do conjunto dos limites superiores de B (caso exista) Chama-se ínfimo de B o máximo do conjunto dos limites superiores de B (caso exista). 11. Boa ordem ℜ é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo Exemplo 12: Sejam , A =] − 1, 2] e ℜ a ordem habitual. Determinar a) Limites superiores de A, LS(A)= { L ∈ | L ≥ 2} b) Máximo de A, Max(A)= {2} c) Supremo de A, Sup(A)= {2} d) Limites inferiores de A, LI(A)= {l ∈ | l ≤ −1} e) Mínimo de A, não existe Min(A) f) Ínfimo de A, Inf(A)= {−1} Exemplo 14: Sejam A = {a, b, c, d , e} e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se que a > c ) a c e b d a) Max(A)= {a} b) Sup(A)= {a} c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe 11
  • Exemplo 15: Seja A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8} e B {3,6,7,} . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 8 7 4 1 2 3 6 5 Determinar i) a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7} d) LI(B)={3,4,5,8 } c) Min(B) ={3} d) Inf(B)= {3,4,5,8} ii) B é parcialmente ordenado (justifique) a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado. b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda. c) Anti-simétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B. (3 p 7 ∧ 7 p 3) → 3 = 7, F → F é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7. iii) B é totalmente ordenado (justifique) Como B é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de B são comparáveis. 3 p 7 ou 7 p 3 (V) 3 p 6 ou 6 p 3 (V) 6 p 7 ou 7 p 6 (V), logo , é totalmente ordenado. 12
  • Exercícios de aplicação 03: 1) Seja A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} e B {2,3,5} . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 1 2 10 6 4 3 9 8 5 7 Determinar i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)={ } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, p ) é totalmente ordenado? 2)Seja A = {1, 2,3,4,5,6,7} e B {4,5,7} . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 7 4 5 6 1 2 3 Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { } ii) ( B, p ) é totalmente ordenado? (justifique) iii) O que se deve fazer para ser ( B, p ) parcialmente ordenado iv) ( B, p ) é bem ordenado se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se B é bem ordenado 13
  • 3)Seja A = {1, 2,3, 4,5} e B {1,3,5} . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 2 1 4 5 3 Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } ii) ( B, p ) é totalmente ordenado? (justifique) 4) Seja A = {1, 2,3,4,5,6,7,8} e B {0,1, 2,3} . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 8 7 4 1 3 0 2 6 5 Determine 1) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { } 2) ( B, p ) é totalmente ordenado? (justifique) 14
  • Exercícios de aplicação 04: 1) Seja ℜ = {( x, y ) ∈ | x( x − 1) = y ( y − 1)} . b) Verifique se ℜ é anti-simétrica. a) Determinar x ∈ − {1} , tal que xℜ2. 2) Seja f : → , e a relação ℜ dada por iii) Transitiva ℜ = {(a, b) ∈ × | f (a) − f (b) = a − b} a) Verifique se ℜ é uma relação de equivalência i )Reflexiva b) Sendo f ( x) = x 2 + 1 , determinar 3. ii)Simétrica 3) Em × , definimos a relação ℜ de por iii) Transitiva ( x, y )ℜ( x1 , y1 ) ↔ y − y1 = 2( x − x1 ) a) Verifique se ℜ é de equivalência i )Reflexiva b) Descreva geometricamente × ii)Simétrica ℜ 15
  • 4) Em × , definimos a relação ℜ de por b) Determine (k , 0) , k ∈ . ( x, y )ℜ( x1 , y1 ) ↔ y1 − y = ( x1 − x) a) Verifique se ℜ é de equivalência i )Reflexiva c) Descreva geometricamente × ii)Simétrica ℜ iii) Transitiva 5) Sejam A = × * e ℜ relação de equivalência definida por (a, b)ℜ(c, d ) ↔ a − b 2 = c − d 2 . Determine os valores de k , para que (2, k ) ∈ (k − 1,3) 16
  • Exercícios de aplicação 04: 1) Seja A = {1, 2,3, 4,5,6} e B {2,3, 4} . Em Determinar i) a) LS(B)= { } A consideremos a pré-ordem definida pelo b) Max(B)={ } diagrama. c) Sup(B)= { } 1 4 B d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } 3 ii) ( B, p ) é parcialmente ordenado? 5 2 6 iii) ( B, p ) é totalmente ordenado? Determinar i) 2) Seja A = {1, 2,3, 4,5,6} e B {2, 4,5} . Em a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } A consideremos a pré-ordem definida pelo c) Sup(B)= { } diagrama. d) LI(B)= { } 5 c) Min(B) ={ } B d) Inf(B)= { } 2 6 ii) ( B, p ) é parcialmente ordenado? iii) ( B, p ) é totalmente ordenado? 1 4 3 17
  • 3) Seja A = {1, 2,3,4,5,6,7,8} e Determinar i) a) LS(B)= { } B {2,3,5,8} . Em A consideremos a pré- b) Max(B)={ } ordem definida pelo diagrama. c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } 8 2 B c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } 7 5 ii) ( B, p ) é parcialmente ordenado? 3 6 4 1 iii) ( B, p ) é totalmente ordenado 4) Seja A = {1, 2,3, 4,5,6} e B {1,5,6} . Em Determinar i) a) LS(B)= { } A consideremos a pré-ordem definida pelo b) Max(B)={ } diagrama. c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } B c) Min(B) ={ } 4 6 d) Inf(B)= { } 5 ii) ( B, p ) é parcialmente ordenado? 1 2 3 18
  • 5) Em A = {a,, c, d , e, f } , considere a pré- Determinar i) a) LS(B)= { } ordem definida pelo diagrama que segue b) Max(B)={ } a c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } b d) Inf(B)= { } ii) ( B, p ) é parcialmente ordenado? c B d e iii)( B, p ) não é boa ordem, eliminando qual seta ( B, p ) passa a ser boa ordem? f Seja A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8} e B {3,6,7,} . Em A Determinar i) a) LS(B)= { } consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama b) Max(B)={ } 3 c) Sup(B)= { } 4 d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } 7 8 1 9 6 ii) ( B, p ) é parcialmente ordenado? 5 2 19
  • 20