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Matematica slides capitalizacao

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  • 1. Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo Se um amigo lhe pedisse R$ 1.000,00 emprestados Por melhor que seja seu amigo, com certeza esse para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um pedido não lhe agradaria. Algumas questões surgiriam ano, você acharia a proposta atraente? em sua mente... Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo “Será que ele me pagará na data prevista?” Risco: existe sempre a possibilidade de não ocorrerem os planos conforme o previsto; em outras palavras, sempre haverá o risco de não receber os valores programados em decorrência de tatos p imprevistos. 1
  • 2. Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo “Será que o poder de compra dos R$ 1.000,00 Inflação: conceituada como um aumento contínuo e permanecerá inalterado durante o ano inteiro?” generalizado no nível geral de preços, resulta em perda ininterrupta do poder aquisitivo da moeda. Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo “Se eu permanecesse com o dinheiro, poderia Oportunidade: se os recursos monetários são consumi-lo, satisfazendo minhas necessidades, ou limitados, a posse deles, no presente, permite aproveitar poderia aplicá-lo na caderneta de as oportunidades mais rentáveis que surgirem. poupança, ganhando os juros e os rendimentos do período! período!” Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo O Capital (Dinheiro) jamais deve ficar parado, ou seja, deve ser emprestado a alguém ou aplicado em algum negócio. 2
  • 3. Dinheiro e Tempo Dinheiro e Tempo O valor do dinheiro no tempo relaciona-se à idéia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se a oportunidade de aplicá-lo, obtendo- se, assim, uma remuneração (juros) sobre a quantia envolvida, quer em O dinheiro emprestado sofre o efeito no tempo, podendo aumentar através dos juros e também perder valor em função de sua desvalorização por relação a outros bens devido a inflação. causa da inflação. Princípios Básicos Princípios Básicos Só se pode comparar valores ($) se estes estiverem referenciados na mesma data. Só se pode efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma data. A Matemática Financeira A Matemática Financeira A matemática financeira tem como objetivo básico A matemática financeira compreende um conjunto de estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. técnicas e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às finanças (prof. Carlos Shinoda). de modo geral, e que, basicamente consistem no estudo g , q , do valor do dinheiro no tempo. 3
  • 4. A Matemática Financeira Regimes de Capitalização Existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo: Regimes de p ç Capitalização A matemática financeira busca, essencialmente, Simples analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas a seu emprego, ou seja, o valor dos juros correspondentes. Composta Elementos básicos para Capitalização Definição de Capital É a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outro, Capital temporariamente, mediante determinada remuneração. Juros Montante Tempo Definição de Juros Definição de Juros Exemplo: ao emprestarmos determinada quantia de Juro é a remuneração pelo capital emprestado ou dinheiro a outrem, por certo prazo de tempo, cobramos aplicado. uma importância a título de juros, que se refere à remuneração pelo capital emprestado. 4
  • 5. Definição de Juros Definição de Montante Por exemplo, o Sr. João tomou emprestado de um É o resultado da aplicação do capital inicial, banco uma quantia de R$ 1.000,00 por 30 representando a soma do capital inicial mais os dias, devolvendo ao final do prazo a quantia total de juros capitalizados durante o período. R$ 1.100,00. Qual o valor dos juros? Definição de Tempo Diagrama de Fluxo de Caixa Corresponde à duração (em Para facilitar a representação das operações dias, semanas, meses, semestres, anos etc.) da financeiras, costuma-se empregar o diagrama de fluxo operação financeira. de caixa que consiste na representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas ( t d e saídas d caixa) íd de i ) Diagrama de Fluxo de Caixa Operação de Empréstimo Valor Presente Período de Capitalização Dinheiro Pago g Dinheiro Valor Presente Recebido Montante + Juros 5
  • 6. Operação de Aplicação Fluxo de Caixa (Tipo 1) Pagamento Único: Valor Presente PV Montante + 4 meses 0 Juros Período de FV Capitalização O valor inicial aplicado ou emprestado (PV) será Valor recebido ou pago numa data futura por meio de um Presente único pagamento (FV), com juros. Fluxo de Caixa (Tipo 2) Fluxo de Caixa (Tipo 3) Séries Uniformes Postecipadas (Crediário s/ entrada): Séries Uniformes Antecipadas (Crediário c/ entrada): PV PV 1 2 3 4 1 2 3 4 meses 0 meses 0 PMT PMT O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio de O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio de prestações iguais e com periodicidade constante prestações iguais e com periodicidade constante (PMT), sendo a primeira no final do primeiro período. (PMT), sendo a primeira no ato da contratação. Fluxo de Caixa (Tipo 4) Exercícios de Diagramas de Fluxos (1) Séries Variáveis: Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de R$ 500,00 que será resgatado em PV três parcelas iguais, mensais, no valor de R$ 200,00 1 2 3 4 0 meses FC2 FC4 FC1 FC3 O valor inicial (PV) será pago ou recebido por meio de prestações diferenciadas (Ex: Financiamento de imóveis com prestações intermediárias). 6
  • 7. Exercícios de Diagramas de Fluxos (2) Exercícios de Diagramas de Fluxos (3) Uma compra a prazo de um CD player que custa a vista Construa o diagrama de fluxo de caixa para os R$ 100,00 pode ser paga em duas parcelas mensais seguintes pagamentos ou recebimentos: (entrada no ato) no valor de R$ 60,00 Fluxo de Ano Caixa 0 (500,00) 1 250,00 2 200,00 3 150,00 4 100,00 Exercícios de Diagramas de Fluxos (4) Exercícios de Diagramas de Fluxos (5) Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a Um cliente do Banco Bom Negócio gostaria de seguir: descontar uma nota promissória, no valor de R$ 3.000,00, com vencimento para 30 dias. O gerente, além de cobrar-lhe juros antecipadamente de Fluxo de Ano R$ 600 00 obriga-o a manter um CDB (Certificado de 600,00, obriga o Caixa 0 (700,00) Depósito Bancário) no valor de R$ 400,00 e 1 500,00 remunerado à 10% durante do prazo da operação. Qual 2 400,00 o diagrama de fluxo de caixa correspondente? 3 300,00 4 200,00 5 (300,00) Exercícios de Diagramas de Fluxos (6) A empresa Leve Como Chumbo pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a R$ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em R$ 80,00, e as receitas em R$ 200 00 Represente o diagrama de receitas, 200,00. fluxo de caixa dessa operação. 7
  • 8. Regime de Capitalização Regime de Capitalização Simples Refere-se ao processo de formação dos juros, que Os juros incidem somente sobre o valor inicialmente poderá ser SIMPLES ou COMPOSTO aplicado ou tomado emprestado: n Capital Juros de cada período Valor Acumulado 1 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.000 + R$ 100 = R$ 1.100 2 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.100 + R$ 100 = R$ 1.200 3 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.200 + R$ 100 = R$ 1.300 Regime de Capitalização Composta Juros Simples e Compostos É popularmente conhecido como juros sobre juros. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte: n Capital Juros de cada período Valor Acumulado 1 R$ 1.000 R$ 1.000 × 10% = 100 R$ 1.000 + R$ 100 = R$ 1.100 2 R$ 1.100 R$ 1.100 × 10% = 110 R$ 1.100 + R$ 110 = R$ 1.210 3 R$ 1.210 R$ 1.210 × 10% = 121 R$ 1.210 + R$ 121 = R$ 1.331 Juros Simples Juros Composto Conclusão Conclusão Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no O valor dos juros simples e dos juros compostos é regime de capitalização simples, sendo seu valor igual no primeiro período de capitalização constante durante os períodos Após o primeiro período de capitalização o valor dos Os juros crescem exponencialmente ao longo do juros compostos é superior ao valor dos juros simples tempo no regime de capitalização composta, sendo que o montante calculado até o período anterior serve Antes do primeiro período de capitalização, o valor como base de cálculo para os juros do próximo período dos juros simples é superior ao dos juros compostos 8
  • 9. Juros Simples Genericamente, os juros capitalizados por período no regime de capitalização simples poderiam ser representados como: INT = PV × i INT = Juros (INTerest) PV = Valor Presente (Present Value) i = Taxa de Juros (Interest Rate) Taxa Exemplo 1 A taxa costuma ser apresentada ao dia, ao mês, ao Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% bimestre, ao trimestre, ao quadrimestre, ao semestre ou a.m. no Regime de Capitalização Simples. Qual o valor ao ano. Para simplificar a notação, os períodos dos juros mensais? costumam ser abreviados: Abreviatura Significado a.d. ao dia a.m. ao mês a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano Juros Simples Exemplo 2 Em n períodos, os juros totais serão iguais aos juros Um capital de R$ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% por período multiplicados pelo número de períodos, ou: a.m. no regime de capitalização simples por 7 meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? INT = PV × i × n INT = Juros (INTerest) PV = Valor Presente (Present Value) i = Taxa de Juros (Interest Rate) n = Período de Tempo (Number of periods) 9
  • 10. Derivações da Fórmula Exemplo 3 Que valor, aplicado durante 6 meses, à taxa de 5% a.m., rendeu de juros o valor de R$ 240,00? . INT   PV  i  n . Exemplo 4 Exemplo 5 O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros simples O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros simples, à durante 6 meses, rendendo de juros R$ 240,00. Calcule taxa de 5% a.m., rendendo de juros R$ 240,00. Quanto a taxa de juros. tempo ficou aplicado? Importante! Sugestão! 10
  • 11. Taxas Proporcionais Taxas Proporcionais ic × n q Qual é a taxa anual, proporcional à taxa de 2% ao ip = mês? nt ic × n q 0,02 × 360 ip = ip = ip = Taxa Proporcional nt 30 ic = Taxa Fornecida nq = Tempo que eu quero (em dias) da taxa proporcional i p = 0,24 ou 24% ao ano nt = Tempo que eu tenho (em dias) da taxa fornecida Taxas Proporcionais Exercícios de Juros Simples (1) Qual o valor dos juros do capital de R$ 1.200,00, Qual é a taxa mensal, proporcional à taxa de 24% ao aplicado a juros simples à taxa de 3% a.m., durante 8 ano? meses e 15 dias? ic × n q 0,24 × 30 ip = ip = nt 360 i p = 0,02 ou 2% ao mês Exercícios de Juros Simples (2) Exemplo 6 Qual o valor dos juros de uma aplicação de R$ Qual deve ser o valor resgatado (montante) de uma 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m. no regime de aplicação de R$ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m. juros simples durante 2 anos? no regime de juros simples durante 2 anos? O que é Montante? 11
  • 12. Montante ou Valor Futuro Juro ou Montante O Montante ou Valor Futuro é a soma do valor aplicado com o valor dos juros, dos rendimentos: J = PV × i × n FV = PV × (1 + i × n) FV = PV×(1 + i × n) Sempre são necessárias 3 informações para se FV = Valor Futuro (Future Value) obter a quarta. PV = Valor Presente (Present Value) i = Taxa de Juros (Interest Rate) Não há como obter conclusões com apenas 1 ou 2 n = Período de Tempo (Number of periods) informações. Exemplo 6 Derivações da Fórmula Qual deve ser o valor resgatado (montante) de uma aplicação de R$ 1.600,00 feita a uma taxa de 3% a.m. no regime de juros simples durante 2 anos? . . Exercícios de Juros Simples (3) Exercícios de Juros Simples (4) Rita aplicou durante dois anos e meio a quantia de R$ João tomou emprestado uma certa quantia durante 4 5.000,00 à taxa de juros de 0,50% a.m. Determine o anos à taxa de 1,00% a.b. Ao final deste prazo retornou Montante ao final do prazo, o juro e monte o fluxo de R$ 99,20. Quanto João captou? Monte o fluxo de caixa caixa sob o ponto de vista da Rita. do João. 12
  • 13. Exercícios de Juros Simples (5) Exercícios de Juros Simples (6) Uma velhinha tomou emprestado de seu neto a quantia Durante quanto tempo R$ 1.000,00 devem ficar de R$ 500,00 para saldar dívidas de aluguel. Após aplicados a uma taxa de 10,00% a.m. para que 1 semestre, seu netinho lhe cobrou R$ 740,00 referente duplique? ao empréstimo. Qual a taxa mensal cobrada? Exercícios de Juros Simples (7) Juros Simples na HP-12C Um principal de R$ 3.798,67 foi aplicado à 3,00% a.m. 1) Limpar os registradores financeiros: f FIN durante 53 dias. Calcule o valor resgatado. 2) Introduzir o período em dias e pressionar n 3) Introduzir a taxa de juros anual e pressionar i 4) Introduzir o valor do Principal e pressionar PV 5) Pressionar f INT para obter o valor do juro 6) Pressionar + para obter o Montante 13

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