Libro de Metodos Numericos

1. CAPITULO 4
Teo¡
Serie de Toylo r y errores r¿d¡
el r-¡
de truncomiento
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usaruna aproximación en lugar
de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en el capítulo 1 aproximamos la
derivada de la velocidad de caída de un paracaidista mediante la ecuación de diferencia
finita dividida de la forma [ecuación (1.11)] donc
du Au _ u(/¡+t)-u(/r) (4.1)
I
dt A/ t¡+t - t¡
doni
Se introdujo un error de truncamiento en la solución, ya que la ecuación de diferencias
ma*
sólo aproxima el valor verdadero de la derivada (véase la figura 1.4). Además, para oftr
obtener conocimiento de las características de estos errores se regresará a la formulación cio::
matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en e*¿¡
forma polinomial; las series de Taylor. poj:r
g{--
4.1 tAS SERIES DE TAYTOR
SilFt
El teorema de Taylor (véase cuadro 4.1) y su fórmula asociada, las series de Taylor,
tienen un gran valor para el estudio de los métodos numéricos. En esencia, la serie de ^hir
cLuü
Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos
ogs E
del valor de la función y sus derivadas en otro punto. En particular, el teorema establece
que cualquier función suave puede ser aproximada con un polinomio.
Un buen camino para obtener más conocimiento de la serie de Taylor se obtendrá .¡
mediante su construcción término por término. Por ejemplo, el primer término de la
serie es:
f(x¡+t) 7 f(x¡) (4 )
Esta relación, conocida como aproximación de orden cero, indica que el valor de/en el
nuevo punto es el mismo que el valor en el punto anterior. Este resullado se logra
intuitivamente, ya que si x, y;r,*, están muy próximas una de la otra, entonces es igual-
mente posible que el nuevo valor sea quizá similar al anterior.
La ecuación anterior (a.l da una estimación perfecta de si la función que se va a
aproximar es una constante. Sin embargo, si la función se cambia en todo el intervalo,
entonces se requieren los términos adicionales de las series de Taylor para obtener una
mejor aproximación. Por ejemplo, Ia aproxintación de priruer orden se obtiene sumando
otro término al anterior para obtener:
f(x¡-t J fxi I f'(x¡)x¡*t - x¡l (4.3)

2. 4.1 LAS SERIES DE TAYLOR 85
Cuodro 4.I Teoremos de Tovlor
1...=...
Teorema de Taylor: Si la función/y sus primeras ¡¿ + I deri- En otras palabras, el teorema establece que la integral puede ser
vada son continuas en un intervalo que contiene a y t, entonces representada como un valor promedio para la función g (€) ve-
el valor de la función de ¡ está dado por ces la longitud del intervalo x ¿. Como el promedio puede
-
ocurrir entre valores máximo y mínimo del intervalo, hay un punto
Jt. :fta) + f'talt¡ - o, * f"!-l' rx - at2
.x - ( en el cual la función
toma el valor promedio.
El primer teorema es, de hecho, un caso especial del segun-
do teorema del valor medio.
+ f(3)(o), - a)3 +...
-l:
(")
f (al
* -(r (84.1. r) Segundo teorema de medio para infegrales: Si las funciones
itx - at', + Rn
g y i son continuas e integrables en un intervalo que contiene a,
x,y h no cambia de signo en ese intervalo, entonces existe un
donde el residuo R, se define como punto(enhecyxtalque
'r'1 /--
R,: I t-¡'
-n
(84.1.2) (84.1.4)
'' J,' nt ft''+tgsdr
f, s(t)nrttdr: sG)
l"' ^t,to,
donde ¡ : a es una variable muda. La ecuación (B4.l.l) es lla- Entonces la ecuación (84.1.3) es equivalente a la ecuación
mada la serie de Taylor o formula de Taylor. Si el residuo es (B4.1.4) con ¿(r) = l.
omitido, el lado derecho de la ecuación (B4.1 . 1) es la aproxima- El segundo teorema puede aplicarse a la ecuación (B'4.1.2)
ción del polinomio de Taylor paraf(x). En esencia, el teorema con
establece que cualquier función puede aproximarse como un (x
g(r) : /('+r)(/) h(t) : :-- - t"
polinomio. ---'-
n].
La ecuación (8.4.1.2) es un camino, llamadaforma inte-
gral,por el cual el residuo puede expresarse. Una formulación Así r varia de a a x, h(t) es continua y no existe cambio de signo.
alternativa puede derivarse en base al teorema del valor medio. Por lo tanto, si¡{'+l)11¡ es continua, entonces el teorema del va-
1or medio para integrales es
Primer teorema de medio para integrales: Si la función g es
fn+lJtf
continua e integrable en un intervalo que contenga d y r, enton- R,:4(.r-a¡"tl
" (n+lt
ces existe un punto ( enhe a y x tal que
Esta ecuación es conocida comoladerivadaoforma de Lagrange
g(t) dr : s(f )(;r - a) (B4.1.3) del residuo.
l"'
El término adicional de primer orden consiste de una pendientef '(x,) multiplicada por la
distancia entre r, y x,*,. Por lo tanto, la expresión ahora representa una línea recta y es
capaz de predecir un incremento o un decremento de la función entre.x¡ y .x¡+I.
Aunque la ecuación (4.3) puede predecir un cambio, sólo es exacta para una línea
recta o es de tendenc ia lineal. Por lo tanto, se le agrega a la serie un térmiho de segundo
orden para obtener algo de curvahira, así la función pudiera exhibir la forma:
f(x¡+) = f(x¡) * f'(x)(x¡*1- ¡¡) * ff@,*, - ,,)' (4.4)
De manera similar, se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión
completa de la serie de Taylor.

3. s SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
(4.s)
Obsérvese que debido a que la ecuación (4.5) es una serie infinita, el signo igual reem-
plaza al de aproximación usado en las ecuaciones (4.2) a @'. Se incluye un término
residual para considerar todos los términos'desde ¿ * I hasta el infinito:
o,:ffi(x¡¡1 -x¡)'+l (4.6)
donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a enésimo orden y ( es
un valor cualquiera dex que se oncuentra entrex, y x,*r.La inclusión de ( dentro de la
serie es de mucha importancia, al grado que se dedica una sección completa (sección
4.1.1) para su estudio. Por ahora es suficiente darse cuenta que existe este valor que da
una estimación exacta del error.
Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso .&
:
x¡¡1 x¡y expresando la ecuación (4.5) como:
-
(4.7)
donde el término residual es ahora
(4.8)
EJEMPLO 4.1 Aproximociones de un polinomio medionle lo serie de Toylor
Enunciodo del problemo. Úsese términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden
para aproximar la función:
fl*).: -0.lxa - 0.15x3 - 0.5x2 - 0.25x * r.2
desdex, : 0 con h = l.Esto es, predecir el valor de la función €rr¡a1
: l'
Solucón. Ya que se trata de una función conocida, se puede caliular valores def@)
entre 0 y l. Los iesultados (véase figura 4.1) indican que la función empieza en/(O)
:
1.2 y continúa hacia abajo hasta/( l) :0'2' Por lo tanto, el valor verdadero que se trata
de predecir es 0.2:
La aproximación en series de Taylor corr n : 0 es [véase ecuación (4.2)]
f(x¡+t) - 1.2

4. 4.1 LAS SERIES DE TAYLOR
Orden c-ero
",rgu.f oro*
FIGURA 4.I
Looproximociordef(') =-O ^' Ol5x - 0.5¡2-A?5y+ l2en- 'medionte
series de exponsión de Toylor de cero, primero y segundo órdenes.
como se puede ver en la figura 4.1, la aproximación de orden cero es una constante.
Usando esta formulación resulta el error de truncamiento [recordar la ecuación (3.2)] de
'Et:0.2-1.2--1.0
oftx: 1.
Para n : l, la primer derivada se debe determinar y evaluar en.;r : 0, como
J'(0): -0.4(0.0)3 -0.45(0.0)2 - 1.0(0.0) --0.25: -0.25
La aproximación a primer orden es [véase ecuación (a.3)]
f (xi+t) - 1.2 - 0.25h
que se puede usar para calcular/(l) : 0.95. Por consiguiente, la aproximación empieza
a coincidir con la trayectoria de la función como la pendiente de una iínea recta (véase
figura 4.1). De esta manera el error de truncamiento se reduce a:
E, :0.2 - 0.95 : -0.15
Para n : 2, se evalúa la segunda derivada en x : 0:
f'(:0) : -1.2(0.q2 - 0.9(0.0) - 1.0 : -1.0
Y de acuerdo con la ecuación (4.4:
f(x¡+t) = 1.2-0.25h -0.5h2

5. SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
y sustituyendo h : 1,f(1) : 0.45. Al incluirse la segunda derivada se añade una curva-
tura descendente que proporciona una mejor estimación, como se muestra en la figura
4.1. El error de truncamiento se reduce a 0.2 - 0.45 : -0.25.
Los términos adicionales mejoran aún más la aproximación. En efecto, la inclusión
de la tercera y la cuarta derivada da como resultado exactamente la misma ecuación del
principio con:
f'(x) : 1.2 - 0.25h - 0.5h2 - 0.15h3 - 0th4
donde el término residual es:
f (5)tF )
R4 : '----)- hr : 0
)l
ya que la quinta derivada de un polinomio de cuarto orden es cero. Por consiguiente, la
expansión en series de Taylor hasta la cuarta derivada produce una aproximación exacta
en x,*, : l:
,f(l) : t.2-0.25(t) - 0.s(1)2 - 0.15(l)3 - 0.1(l¡4 :9.2
En general, la expansión en series de Taylor de z-ésimo orden debe ser exacta para
un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las
exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número
finito de términos. Cada uno de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de
la aproximación, aunque sea con poco. Esto se muestra en el ejemplo 4.2. Se obtend¡ía
un resultado exacto únicamente si se le agrega un número infinito de términos.
Aunque 1o anterior se cumple, el valor práctico de las series de Taylor estriba, en la
mayor parte de los casos, en el uso de un número finito de términos que darán una
aproximación lo suficientemente cercana a 1a solución verdadera para propósitos prácti-
cos. La decisión sobre cuántos términos se requieren para obtener una "aproximación
razonable" se basa en el término residual de la expansión. Recuérdese que el término
residual es de la forma genera! de la ecuación (4.8). Esta fórmula tiene dos grandes
desventajas. Primero, ( no se conoce con exactitud, sino que sólo se sabe que está entre
x¡y x¡+t. Segundo, parala evaluación de la ecuación (a.8) se requiere evaluar la(n + L)
ésima derivada def(x). Para hacerlo, se necesita conocer/(r). Pero si ya se conoce/(.r),
entonces no hay razónpararealtzar la expansión en series de Taylor aquí.
A pesar de este dilema, la ecuación (4.8) aún resulta úti1 para la evaluación de erro-
res de truncarniento. Esto se debe a que tiene control sobre e1 término h dela ecuación.
En otras palabras, se puede decidir qué tan lejos de x se desea evaluar/(r), y se puede
controlar la cantidad de términos incluidos en la expansión. Por 1o tanto, la ecuación
(4.8) se expresa usualmente como:
Rn : O(hn+t)
donde la nomenclatura O(h'* signilica que el.error de truncamiento es de ordenhn'1.
Esto es, el error es proporcional al paso ft elevado ala (n -l l) z-ésima potencia. Aunque
esta aproximación no implica nada relacionado con las derivadas que multiplic an l't'*t ,

6. 4.1 IAS SERIES DE TAYLOR 89
es extremadamente de los métodos numéricos basados en las
útil evaluar el error relativo
expansiones en series de Taylor. Por ejemplo, si el error es O(h) y se reduce a la mitad del
paso, entonces el error se reducirá a la mitad. Por otro lado, si el error es O(h') entonces
el error se reducirá a una cuarta parte.
En general, se puede suponer que el error de truncamiento disminuye agregando
términos a la serie de Taylor. En muchos casos, si /u es lo suficientemente pequeño,
entonces los términos de primero y segundo orden influyen desproporcionadamente en
el procentaje de error. Esta propiedad se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4.2 Uso de lo exponsión en serie de Toylor poro oproximqr uno función
con un número infinito de derivodos
Enunciodo del problemo. Úsense los términos de la serie de Taylor con t? : 0 hasta 6
paraaproximarf(x):cosf €llI¡11 :nl3conbaseenelvalordef(x)ysusderivadasen
x¡: nl4. Obsérvese que esto significa que h : nl3 ' nl4 = ttll2.
Solución. Como en el ejemplo 4.1 el conocimiento de la función original implica que
se puede conocer el valor exacto def(nl3) -- 0.5.
La aproximación a orden cero es fvéase ecuación (4.3)]
r/1
" 3/ =.o,l1)
4/ : o.7o7lo678l
que representa un error relativo porcentual de
0.5 - 0.707106781
1007o : -41 .4Vo
0.5
Para la aproximación de primer orden, agregamos el primer término derivado donde
"f '(x) : -sen.r:
)in
r (t) =."' (;) _r.nl1 /) la :
4 12/
o.52le8ó65e
que tiene un error relativo porcentual de g 4.40. : -
En la aproximación de segundo orden se incluye el término que contiene a la segun-
da derivada donde/'(x) : - cos r:
/1T /JT /Í/Í( -""'="' 'f ;:
r COS(n/4ltrx2
4/ ----4/12/ 2 l2t)
f ( ^)=cos(i)-sen{;)(;)-
"3/ :0.4e71s44e1
con un error relativo porcentual de g : 0.449. Por lo tanto, al agregar más términos a la
serie se obtiene una mejor aproximación.
Este proceso se puede continuar y los resultados pueden ser mostrados, como en la
tabla 4.1. Obsérvese que las derivadas nunca Se acercan a cero, como eS el caso del
polinomio del ejemplo 4.1. Asimismo, cada término que se le agrega a la serie produce
una mejor aproximación. Sin embargo, obsérvese también que la mayor aproximación
se consigue con los primeros términos. En este caso, por habérsele agregado el tercer
término, el error se redujo a 2.62 v l0-2/a,1o que significa que se ha alcanzado el

7. 90 SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
TABT.rA 4.¡ Aproximociones medionte lo serie de,Toylor de f(x) cos x
= en x¡,1 = n/3
usondo como punto bose n/4. Los volores ,on ,.nortrodos poro
uorio,
órdenes (n) de oproximoción.
Orden n ¡{n)ft1 f(¡t/3) €¡
0 COS X i 7a710ó781 -41 4
I -sen x -. 52198óó59
2 _COS X
-4.4
4 497754491 a 449
3 sen x ) 1998ó9147 2.ó2 x la-2
4
5
COS X 1 50000255 I -l.5 lx to 3
-sen x 4 500000304 -ó08x l0-5
ó -cos x a 499999988 2.40 x l0-ó
99.9738Vo del valor exacto. Por consiguiente. aunque se le agreguen más términos
a la
serie, el error decrece, pero la mejoría será mínima.
4.I.1 EI residuo poro ¡o expons¡ón en ser¡e de Toylor
Antes de demostrar cómo se usa la serie de Taylor en la estimación de errores numéricos,
se debe explicar por qué se incluye el argumento ( en la ecuación (4.g). un desarrollo
matemático es presentado en el cuadro 4.1. Ahora desarrollaremos una exposición alter-
nativa basada en algo más que una interpretación visual. En seguida se puede extender
este caso específico a una formulación más general.
supóngase que se truncó la expansión en serie de Táylor
fvéase ecuacíón (4.7¡]
después del término de orden cero para obtener:
f(x¡-t) j f(x¡)
En la figura (4.2) se muestra un bosquejo de esta predicción de orden cero. El residuo o
error de esta predicción, que se muestra también en la figura, consiste de la serie infinita
de términos que fueron truncados:
f,,(xi t^2 , f,3,rr,r,-,
Rs: f'(^¡)h +
-t ,, -r --r /i -r- ...
,
Es obvio qu" t.utu. Jl r"rl¿uo ¿" serie infinita con este formato es inconveniente.
Se puede obtener una simplificación "rru
truncando el residuo mismo de la siguiente manera:
R¡ = f '(x¡)h (4.e)
Aunque como se mencionó en la sección previa, los términos de las derivadas de orden
inferior cuentan mucho más en el residuo que los términos de las herivadas de orden su-
perior; este resultado todavía es inexacto, ya que se han despreciado los términos de
segundo orden y de órdenes superiores. Esta "inexactifud" se denota mediante el símbo-
lo de aproximación a la igualdad (:) empleado en la ecuación (4.9).
Una simplificación alterna querealizalaaproximación a una equivalencia está basa-
da en el esquema gráfico. Así, en la figura 4.3 el teorema del valor nteclío dice que
si una

8. "t
4.1 LAS SERIES DE TAYLOR 9l
Predicción de orden cero -
-->?-
L¡+t
FIGURA 4.2
Representoción gróf;co de uno predicción de lo serie de Toyfor de orden cero y res duo
función/(r) y su primera deri'/ada son continuas sobre el intervalox¡ax¡*1, entonces exis-
te al menos un punto sobre la función que tiene unapendiente dada porf '(.8), que es para-
lela a la línea que une/(x) con/(x,*,). El parámetro { marca el valor ¡ donde ocurre la
pendiente (véase figura 4.3). Se puede hacer una ilustración tangible de este teorema en el
hecho de que si usted viaja entre dos puntos con una velocidad promedi o,habrá al menos
un momento durante el curso del viaje en el que usted se mueve a esa velocidad promedio.
Al hacer uso de este teorema resulta fácil darse cuenta, como se ilustró en la figura
(4.3), que la pendiente/(() es igual a cociente Rn entre ft, o
R¡
f '(€) h
que se puede reordenar para obtener
Ro : f '(€)h (4.10)
Por 1o tanto, se ha obtenido el término de orden cero de la ecuación (4.8). Los términos
de órdenes son una extensión lógica del razonamiento usado para derivar la ecuación
(4.10). La versión a primer orden es
pr-f"(t)r'
'21
(4 11
En este caso, el valor de ( conforma el valor de;r que corresponde a la derivada de
segundo orden que hace exacta a la ecuación (4.1 1). Los términos de orden rnás alto se
pueden desarrollar de la ecuación (a.8).

9. SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
xi* 1
'. : ..,.,.. h
FIGURA 4.3
Pcn'csentneió^ nráfien dol 'eo'emo del vo]or med:o
4.1.2 Uso de lq serie de Toylor porq est¡mor
los errores de lruncqmienfo
Aunque la serie de Taylor es en extremo útil en la estimación de errores de truncamiento
a lo Iargo de este libro, puede que aún no esté muy claro cómo la expansión puede
aplicarse realmente a los métodos numéricos. En realidad esto ya se hizo en el ejemplo
de la caída del paracaidista. Recuérdese que el objetivo de los ejemplos 1.1 y 1.2 fue el
de predecir la velocidad en función del tiempo. Esto es, se deseaba determinar u(r).
Como se especificó en la ecuación (4.5), u (l) se puede expandir en la serie de Taylor del
siguiente modo:
u(r¡+r) : u(t)* u'(r¡)(t¡*1 - 1¡) * f ,r,*, - t)2 r"'* R, (4.r2)
Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene:
u(/¡+r) : u(ti) * u'(t¡)Q¡¡1 - 1¡) * Rr (4.13)
La ecuación (4. I 3) se puede resolver para
u(r,-¡)-u(t¡)
r t.. :
R¡
r/,,
t¡+t - ti I¡+t - Ii
-/-
Aproximación Error de
-v-
orden truncamiento
a primer (4.r4)
La primera parte de la ecuación (4.14) es exactamente la misma relación que se usó pafa
aproximar la derivada del ejemplo 1.2 [véase ecuación (1.11)]. Sin embargo, con el es-

10. 4.1 LAS SERIES DE TAYLOR 93
quema de la serie de Taylor, se ha obtenido una estimación del error de trtlncamiento
asociado con esta aproximación de la derivada. Usando las ecuaciones (4.6) y (4.4) se
obtiene
R¡ : u"(E),. t¡) 14 1 5'l
I¡+l - t¡ 1l
Li
-
-lt¡+t
o
Rr
+-Ott¡,r-l¡) (4.16)
t¡+t tí -
por tanto, la estimación de la derivada [véase la ecuación (1.1 1)] o la primera parte de
1o
la ecuación (4.14)] tiene un error de truncamiento de orden t¡*t - tr En otras palabras, el
error en la aproximación usando derivadas debería ser proporcional al tamaño del paso.
Por lo tanto, si éste se divide a la mitad entonces se espera que el error de la derivada se
reduzca a la mitad.
EJEMpLO 4.3 El efecto de no lineolidod y tomoño de poso en lo oproximoción
de lo serie de ToYlor
Enunciodo del problemo. En la frgura 4.4 está dibujada la función
f(x) : x^ (E4.3.1)
paru m : 1,2,3 y 4 sobre el rango de:r : 1 la función es
1 a 2. Obsérvese que para m :
lineal, como mse incrementa, mayor curvatura o no linealidad es introducida dentro de
y
la función. rJlllizar la serie de Taylor a primer orden para aproximar la función para
varios valores del exponente n y tamaño de paso /r.
Solución. La ecuación (E4.3.1) puede aproximarse por una expansión de la serie de
Taylor a primer orden como en:
,{|¡
f(x¡+) : f(x) * mx!-t h (F4.3.2)
Bt
la cual tiene un residuo de
;*
- ["rx¡) ' ¿i]!¿: * "/''a'(t¡) ht +.
Rt:--h-+: .
3: 4i
Primero, puede examinarse cómo se realiza la aproximación conforme m aumenta; es
decir, como la función se luelve más no lineal. Para ffi : l, el valor actual de la función
en r : 2 es 2.La serie de Taylor es . i:
f(2) :1 + r(r) :2
Rl :0

11. % SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
-31
FIGURA 4.4
{
Grófico de lo función flxl = poro m = 1 ,2,3 y 4. Obsérvese que lo función tiende o ser
j
,-¡
mós no l¡neol conforme rn oumento. ..:_-
El residuo es cero porque la segunda y deriyl{g,q superiores de la función lineal son cero.
Entonces, como es de esperarse, la expansión'de la serie de Taylor a primer orden es G
perfecta cuancio la función atrazar es lineal.
Para m : 2, elvalor real esf(2) : 22 :4. La aproximación de la serie de Taylor a
prirner ordén.es . :
f(2):l*2(r)=3
^
Rr :i(l)-+0*0*..':l
l-..r ^ ^
Entonces, debido a que la función es una parábola, el resultado de la línea punteada es
una discrepancia. Obsérvese que el residuo está determinado exactamente.

12. 'l
¡
I
4.1 LAS SERIES DE TAYLOR 95 I
I
Prm m: 3, el valor real esf(2) : 23 : 8. La aproximación de la serie de Taylor es
f(2):l+3(l)2(1):4
v
I
nt : l{D2+ :(l)3 +o+o t... : 4
I
l
Otra vez hay una discrepancia que puede ser determinada exactamente con la serie de
Taylor.
Para m : 4, el valor r eal es f(2) : 24 : I 6. La aproximación de la serie de Taylor es i
f(2) :1 + 4(r)3(1) : 5
r
n, : N{D2 + +03 +
2á{ü)4
+ o + o*'.' : 11
Con base en estos cuatro casos, se observa que R, se incrementa conforme la función
l
empieza a ser cada vezmás no lineal. Además, R, toma en cuenta exactamente la discre-
pancia. Esto es porque la ecuación (E4.3.1) es un simple monomio con un número finito
de derivadas. Esto permite la completa determinación del residuo de la serie de Taylor.
Ahora examinemos la ecuación (84.3.2)parael caso de m :4 y obsérvese cómo Rt
cambia cuando el tamaño del paso h vana.Para m : 4, ecuación (E4.3.2) es
fu-n¡:f(rt-atlh
Si r: 1,/(1) : I y esta ecuación se puede expresar como
f(l+h):r*4h
con un residuo de
Rt:6h2+4h3+h4
Esto nos lleva a la conclusión de que la discrepancia disminuirá tanto como ft sea reduci-
da. También, para valores lo suficientemente pequeños de fr, el error debería ser propor-
cional a h2.Esto es, conforme fr es dividido a la mita{ el error disminuirá por un factor
de 4. Este comportamiento se confirma al observar la tabla 4.2 y la figura 4.5.
TABIA 4.2 comporoción del volor exocto de lo función fl^l = / con lo oproximoción
de lo serie de Toylor o primer orden. Ambos, lo función y lo
oproximoción son evoluodos en x + ñ, donde x = I .
Aproximoción
Verdadero de primer orden Rr
l tó 5 il
0.5 5 0625 3 2.Oó25
4.25 2 441406 2 o.44l'40ó
0 r25 .ó0 r 802 5 0. I 0r 807
0 0ó25 274429 25 0.024429
I 003r25
0.0 r 5ó25
. r 30982
.0ó3980
125
oó25
0.005982
0.00 r480

13. r
F.
I
I
96 SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
I
I
Rl
10
:
I
0.01
0.001
FIGURA 4.5
Grófico en escolo log-log poro el residuo R1 de Io oproximoción de lo serie de Toylor o prrmer
ordendelofunción fl^l=rocontrotomoñodel posoh.Lolíneoconlopendientede2tombié^n
se muesfro poro indicor que conforme h disminuye, el error empiezo o ser proporcionol o h'.
De esta forma, podemos concluir que el error usando la aproximación por serie de
Taylor a primer orden disminuye conforme m se acerca I y ft conforme disminuye.
Intuitivamente, esto significa que la serie de Taylor adquiere más exactifud cuando la
función se está aproximando más a una línea recta sobre el intervalo de interés. Esto
puede llevarse a cabo al reducir el tamaño del intervalo o con el fin de "enderezar" la
función por reducción de ¡n. Es obvio que otra opción usualmente no está disponible en
el mundt real porque las funciones pata analizar son, e*n forma típica, dictadas en el
contexto clel problema fisico. Como consecuencia, no se tiene control de la falta de
linealidad y el único recurso es reducir tamaño del paso o incluir términos adicionales de
la expansión de la serie de TaYlor.
4.1.3 Diferencioción numérico
La ecuación (4.14) se conoce con un nombre especial en el análisis numérico: se le llama
diferenciafinita dividida y se puede representar generalmente como:
,f(x¡+r) - fQ¡) * O(x¡+t x¡)
- (4.17)
.x¡+l jft
-
l
A

14. 97
4.1 IAS SERIES DE TAYLOR
o
Lf, (4.18)
+ o(h)
h
se le conoce como la primera diferencia hacia adelante
Al y a h se le llama
donde
el cual se hace la aproximación'
tamaño del paso; esto es, la longitud del intervalo sobre
(véase
Se le llama "hacia adelante", ya=que usa los datos i e i + I para estimar la derivada
como la primera diferencia Jinita
figura 4.6a).Al término .o-ptio Lf/h se le conoce
dividida.
de tantas que se puede desa-
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una
numéricas' Por '
rrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas
las diferencias hacia atrás
ejemplo, las aproximaciones a prl*"tut cerivadas utilizando
a la de la ecuación
i dyir"nrro, centrales s" puede., desarrollar de una manera similar
que las segun-
g.iq).Las primeras usan valores enx,-t yr,(véase figura 4'6b)'miettras
das usan valores igualmente espa"iadós alrededor del punto donde está estimada la deri-
vada(véasefigura4.6c).Lasaproximacionesmásexactasdelaprimeraderivadase
p,r"a"n desarrollar incluyendo la serie de Taylor términos de orden más alto' Final-
á
para derivadas de segundo
mente, todas las rre.riones anteriores se pueden desarrollar
orden. tercer orden y órdenes superiores. Las siguientes secciones analizanbrevemente
de ellos'
estos casos, ilustrando cómo se desarrollan cada uno
Aproximoción o lo primero derivodo con diferencio hocio
otrós. La serie de Taylor
atrás para calcular un valor anterior sobre el valor acfual' como en
,J f.r"d" "*pundir halia
f "@¡) (4 1g
f(x¡-t): .f(x¡) - f'(x,)h * -
'z
y ordenando los términos se ob-
Truncando la.ecuación después de la primera derivada
tiene
¡t .-ftx¡) -fxi-r) : Yf, (4.20)
irr¡¡J-h h
dividida hacia atrás 'Y éase la
donde el error es de o(h)y vl indica la priméra diferencia
figura 4.6b para una representación gráfica'
centrqles. Una tercera for-
Aproximociones o lq primero derivodo con diferencios
de la expansión en
la primera derivada es restando la ecuación (a'19)
nia de aproximar
serie de TaYlor hacia adelante:
(411
/(x¡-r) - f(r,) + f'(x¡tn + ffn2 "' +
para obtener
f'l)(¡,).. + "'
,f(¡¡+r) : f(.xi-) +2f '(x¡h +
Th'
que se puede resolver Para

15. SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
':.':a'a:.
,:,a:'a
-....::...,
',ltt,:
,:..t:.t
t.
',.:.,...:,,
,.:.',t,.,
l
i
ttt;t,..,,
..:... ...::.: ... tr,r:t:r:.t1.:rirti,,,a,:::tt::,:tl::rr.r... ..,..,)....),.a:.
FIGURA 4.ó
Grófico de o,proximociones con diferencios divid¡dos finitos de lo
primero derivodo: oJ hocio
odelonfe, b) hocio ofós, c) centroles.

16. 4,1 LAS SERIES DE TAYLOR 99
(3)
: f(x¡+t) -"f(x¡-t) f {xi ,^, ,
f'(x¡) 2h 6
o
f (x¡+t) - f (x¡-t) (4.22)
2h
- o@2)
La ecuación (4.22) es una representación de las diferencias centrales de la primera deri-
vada. Obsérvese que el error de truncamiento es del orden de hz en contraste con las
diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden ft. Por lo
tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la
diferencia central es la representación más exacta de la derivada (véase figura 4.6c)' Por
ejemplo, si reducimos el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o
hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para dife-
rencias centrales el error se reducirá a la cuarta parte.
UEMPLO 4.4 Aproximoción de derivodos por diferencios finitos divididos
Enunciqdo del problemo. Use las diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás con
aproximación de O(h) y diferencias centrales con aproximación de O(h2) para estimar la
primera derivada de
f(x) : -0.1xa - 0.15x3 - 0.5x2 - 0.25x -l 1.2
en r:0.5 usando un tamaño de paso de h :0.5. Repita el cálculo usando h : 0.25.
Obsérvese que la derivada puede ser calculada directamente como
f '(x) : -0.4x3 - 0.45x2 - l.0x - 0.25
y se puede usar para calcular el valor verdadero como/(O.5) : - 0.9125'
Solución. Para h :0.5, la función piiede ser empleada para determinar
:0
xi-t fl*,-t) : l'2
x¡ : 0.5 f(x¡) :0.925
r¡+t : 1.0 f(x¡+t) :0'2
Esos valores pueden ser usados para calcular las diferencias divididas hacia adelante
[véase ecuación (4. 17)],
.f(0.s)
: 0.2 - 0.92s
: -1.45 le,l : 58.gEo
0.5
con las diferencias divididas hacia atrás [véase ecuación (a.20)]
n q?s
f'(0.5) = -fu- l'2 : -0.55 le,l :39'7Eo
y las diferencias divididas centrales [véase ecuación(4.22)],
¡4--

17. ¡r
t00 SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
/(0.5) =9#: -1.0 le ,l :9.6Eo
Para h : 0.25,
x¡-t :0'25 f(x¡-t): 1.10351563
xi :0'5 f(x¡) :0.925
x¡+t :0.75 f(x¡+t) :0.63632813
las cuales pueden ser usadas para calcular las diferencias divididas hacia adelante,
0.63632813 - 0.925
-1.155
0.25
las diferencias divididas hacia atrás,
/(0.s)
0.925 - r.10351s63
: -0.714 :2l.JTo
0.25
v las diferencias divididas centrales.
,f(0.s) =
0.63632813 - 1. 1035 1563
: -0.934
0.5
Para ambos tamaños de paso, la aproximación de diferencias centrales es más exac-
ta que las diferencias hacia adelante y hacia atrás. También, como se pronosticó con el
análisis de la serie de Taylor, dividiendo a la mitad el tamaño del paso, se tiene aproxi-
madamente la mitad del error de las diferencias hacia atrás v hacia adelante v una cuarta
parte de error de las diferencias centrales.
Aproximociones ipr diferencios finitos de derivodos de orden superior. Además de
las primeras derivadas, la expansión en serie de Taylor, puede ser usadapara desarrollar
estimaciones numéricas de las derivadas de orden superior. Para esto, se escribe la ex-
parsión en serie de Taylor hacia adelante panf(x,*t) en términos de f(x,):
f(x¡+) : f(xí) * f'(x)(2tt) * [-J!)pn)? + ... (4.23)
La ecuación (4.21) se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación (4.23)
f(x¡+) - 2f(x¡+) : - f(x) + f"(xi)h2 + - -.
la cual puede resolverse para
: f(x¡+) -2f(x¡+t) * f(x¡) + o(h) (4.24)
f"(*¡) n'
Esta relación es llamada la segunda díferenciafinita dividida hacia adelanle. Con mani-
pulaciones similares puede emplearse la versión de derivada hacia atrás

18. 4.2 ERROR DE FROPAGACIÓN l0l
.f("r ¡) - 2 f(x¡ -t) * f(x ¡ -2¡
+ o(h)
y la versión central
,,,. .f(x¡*t - 2f!:,) + f(*,-t)
.l x¡):flr"r * o@2)
Como fue el caso con la aproximación de la primera derivada, el caso central tiene mejor
aproximación. Obsérvese también que la versión central puede ser alternativamente ex-
presada como
f(x¡+t) - .f(x¡) _ f(x¡) - f(x¡-t)
hh
Así, justo como la segunda derivada es una derivada de la derivada, la aproximación de
la segunda diferencia finita dividida es una diferencia de dos primeras diferencias divi-
didas.
Se volverá a este tema con la diferenciación numérica en el capítulo 23. Aquí se
introducirá este tema porque es muy buen ejemplo de por qué la serie de Taylor es impor-
tante en métodos numéricos. Además, varias de las fórmulas vistas en esta sección se
emplearán en el capítulo 23.
4.2 ERROR DE PROPAGACION
El propósito de esta sección es estudiar cómo los errores en números pueden propagarse
en las funciones matemáticas. Por ejemplo, si se multiplican dos números que tienen
erroE podría estimarse el error de ese producto.
4,2.1 Funciones de unq solo vqriqble
función/(x) que es dependiente de una sola variable indepen-
Supóngase que se tiene la
diente x. Considere que i es una aproximación de x' Por lo tanto, se podría evaluar el
efecto de la discrepancia entre.r y í en el valor de la función. Esto es, se podría estimar
A/(;):lf(x)-f(x)l
El problema para evaluar A/(i) es que /(r) es desconocida porque .x es desconocida.
poáemos superar esta dificultad si i es cercana a x y f(i) es continua y diferenciable. Si
estas condiciones se cumplen, la serie de Taylor se puede emplear para calcular f(x)
cerca def(i), como en
f(x) : f(1) + f'(i)tx-i) + $U - x)2 + "'
tiene
Quitando el segundo término y los demás de orden superior y reordenando, se
ftxt-f@=f'(i)$-i)

19. Ie2 SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAIvIIENTO
FIGUR,A 4.7
Representoción g ro{ico. del
error de propogoción de
orimer orden.
o -i '' :*t; .-
L/G):ll't;l¡|.l'-i) (4.2s)
dondo AfG): lf(x)-f(i) lrepresentaelerrorestimado delafunción y M : lx-il
representa el e[ror estimado de x. La ecuac$én (425) proporciona la capacidad de aproxi-
mar el error de/(.r) dando la derivada de una función y una estimación del error en la
variable in$ependi,ente. La figura 4.T esuna gnáfica que representa la operación.
EJEMPLO.¿.5 Enorde propogoc¡on de uno fund¡indeu¡ro vErioble
Enunciqdo dgl problemo. Dado el.valor de-i : 2.5 con un -error de Ai
mar el error resultante en la función Jx) :
t'.
Solución. Usando la ecuación (4.25),
Lf(i) = 3(2.5)2(0.01)
Ya quef(2S) : 15.625, se pronostioaque
= 15.625 + 0.1875
o que el valor verdadero se encuentra entre 15.4375 y 15.8125. En efecto, si x fuera
realmente 2.49,|a función podría ser evaluada como 15.4382y síx fuera2.5l, podría ser
15,81?2. Para este easo, el análisis de e¡¡or de primer orden proporciona en forma ade-
cuada un estimado del error verdadero.

20. 4.2 ERROR DE PROPAGACÓN r03
4.2.2 Funciones de mós de uno vqrioble
El enfoque anterior puede ser generalizado para funciones que son dependientes de más
de una variable. Esto se realíza con una versión multivariable de la serie de Taylor. Por
ejemplo, si se tiene una función de dos variables independientes u y 4 la serie de Taylor
se puede escribir como
f(u¡+t, u¡+t): f(u¡, u¡) * ;-(u¡-t
af. af
l;1 (u¡+r -
du - u¡)
d1)
u¡)
, I latf azf
- r,)'^+ 21ñi(u¡-t - -
'ú La,,
(u ¡+t u¡)(u¡ tr u¡)
a2f
* *(,r*
du'
r - "t
u¡)'l + "' (4.26)
donde todas las derivadas parciales son evaluadas con base en el punto l. Si todos los
segundos términos y los demás de orden superior no se consideran, la ecuación (4.26)
puede resolverse como
lafl larl
^ftu.ut:l*l^r+irlo,
dondeAí y Li : es el error estimado en u y v, respectivamente.
Paranvanablesindependientesil, i2,...,inleniendoerroresdeAí1, ñ2,...,Axnse
tiene la siguiente relación general como:
Lf(xt. i¿,....;,,)
= lSl I oo, * lgl oo, *... + l5l o,.,,
ld.rl loxzl ldx,l
(4.27)
EJEMPLO 4.ó Error de propogoción en uno función multivorioble
Enunciodo del problemo. La deflexióny de un mástil en un bote es de
FL4
'- BEI
donde F : c?r9d uniforme (lb/pie), L : alttva (pies), E : módulo de elasticidad (1b/
piez), e1 : momento de inercia (piea). Estimar el error eny dados los siguientes datos:
F: 50lb/pie LF :2lblpie
;^^
¿: Juple AL:U. lPl€
É : 1.5 x 108 lb/pie2 aE : 0.01 x l08lb/pie2
i : 0.06 piea Ai : 0.0006 piea
Solución. Empleando la ecuación (4.27) se tiene
A¡,rF. L e.tt: ]gl aF+ l3l^¿* lglnÉ+ l9l^¡
laFl laLl laEl lall

21. t04 SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Ly(F, L, t,. =
L!-
=ñ
9EI
+ 4 ú + 8E2I * EI¿ o¡
2EI
F-!,^=tÉ
!!.
F
Al sustituir los valores apropiados se tiene
Ly :0.0225 + 0.0075 + 0.00375 + 0.005625 :0.039375
Por lo tanto, y :
0.5625 + 0.039375. En otras palabrasy está enfie 0.523125 y 0.601875
pies. La validez de estas estimaciones puede verificarse si se sustituyen los valores extre-
mos para las variables dentro de la ecuación que genera un mínimo exacto de
48(2e.r4 :0.52407
8(r.sl x l0)0.0606
s2(30.D4 :0.52407
!mex
8(1.49 x 108)0.0594
Así, la estimación de primer orden es razonablemente cercana a los valores exactos.
La ecuación (4.27) prcde ser empleada para definir errores de propagación relacio-
nados con operaciones matemáticas comunes. Los resultados se resumen enlatabla4.3.
Se deja el desarrollo de estas fórmulas como un ejercicio de tarea.
4.2.3 Esrobilidqd y condición
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los
datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incerti-
dumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.
Estas ideas pueden estudiarse usando la serie de Taylor de primer orden
f(x): f(l) + f'(i)(x - x)
Esta relación puede emplearse para estimar el error relativo de/(r) como en
f(x)-f(i) - f'(i)(x-i)
: --
/G) f(i)
TABIA 4.3 Error estimodo de frontero osociodo con los operociones motemóticos
comunes usondo nufneros Inexoclos u y v.
Operoción Error estimodo
Adición + v) Aü+Aü
Suslrocción ^{u - t) Aú+Aü
Multiplicoc¡ón ^(u x
a{u n) IUIAV + IVIAU
¡l/ü
IUIAV + IyIAU
urvlston _ |
w

22. 4.2 ERROR DE PROPAGACIÓN r05 I
I
El error relativo de x está dado por
x-i
-..-.--
x
IJn número condicionado puede definirse como larazónde estos errores relativos
*
Número condicionado : {'') (4.28)
f(i)
El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre
de r es aumentada por/(r). Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es
idéntico al error relativo de r. Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es
amplificado, mientras que para un valor menor que I decimos que está disminuido.
Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados. Cualquier
combinación de factores de la ecuación (4.28), al incrementarse el valor numérico del
número condicionado, tiene tendencia a aumentar la incertidumbre en el cálculo def(x).
EJEMPLO 4.2 Número condicionodo
Enunciodo del problemo. Calcule e interprete el número condicionado para
: tanx Parai = L +o.l/¿
f@)
z z)
.f@): tanx Patai :L+rr,(f)
Solución. El número condicionado es calculado como
í(1/cos2r)
Número condicionado - tani
Parai:nl2+0.1(nl2)
r.7279(40.86)
Número condicionado :
-6.314
Así, la función está mal condicionada . Para í : nl2 + 0.01(7T/2), esta situación es aún
peor
1.s865 (4053)
Número condicionado :
-63.66
Para este caso, la mayor causa del mal condicionamiento parece ser la derivada. Esto
tiene sentido, ya que en la vecinda d de nl2,la tangente tiende al infinito por la.derecha y
por la izquierda.

23. r0ó SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
4.3 ER.ROR NUMÉRICO TOTAT
El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. En gene-
ral, el único camino para minimizar los errores de redondeo es incrementando el número
de cifras significativas en la computadora. Adicionalmente, hemos notado que el error
de redondeo se incrementará tanto por la cancelación por resta como porque en el análi-
sis exista un incremento en el número de cálculos. En contraste, en el ejemplo 4.4 se
demostró que el error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pe-
queño. Debido a que al decrecer el tamaño del paso puede tenerse una cancelación por
rqsta o en el incremento de cálculos, los errores de truncamiento pueden ser dísminuidos
cuando los errores de redondeo se incrementan.Porlo tanto, se debe afrontar el siguiente
dilema: la estrategia para disrninuir un componente del error total conduce a un incre-
mento en el otro componente. ¡En un cálculo,.se podría disminuir el tamaño del paso
para minimiz4r los errores de truncamiento únicamente para descubrir que el error de
redondeo empieza a dominar la solución y el error total crece ! Así, el remedio empieza a
ser un problema (véase figura 4.8). Un reto irnplica determinar un tamaño de paso aproxi-
mado para un cálculo en particular. Se debería seleccionar un tamaño del paso largo con
el fin de disminuir la cantidad de cálculos y errores de redondeo sin incurrir en la pena-
lización de grandes errores de redondeo. Si el grror total es como se mu€stra en la figura
4.8, el reto es identificar el punto de disminución donde los errores de redondeo empie-
zan a negat los beneficios de la reducción del tamaño del paso.
En casos realesr-sin embargo, tales situaciones son ¡elativamente poco comunes
porque muchas computadoras rnanejan suficientes cifras significativas para que los erro-
FIGURA 4.8
Representoción grofico de elementos de iuicio entre el error de redondeo y error de
truncomienlo que ólgunos veces son inseporobles en el popel que iuegon en un método
numérico. El punto de retorno disminuido es presentodo, donde el error de redondeo
empiezo o negor los beneficios de lo red¡cción del tomoño del poso.

24. 4.3 ERROR NUMERICO TOTAL 107
res de redondeo no predominen. Sin embargo, algunas veces estos errores ocurren
y surge una clase de "principio numérico de incertidumbre" que da un límite abso-
luto sobre |a exactitud que puede obtenerse usando ciertos métodos numéricos compu-
tarizados.
4.3.1 Control de errores numér¡cos
para muchos casos prácticos, no se conoce el error exacto asociado con el método numé-
rico. Con excepción, claro, de cuando obtenemos la solución exacta que hace la aproxi-
mación numérica innecesaria. Por lo tanto, en muchas aplicaciones en la ingeniería debe
tenerse algún estimado del error en los cálculos.
No hay una forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos
los problemas. En muchos casos, la estimación se basa en la experiencia y buen juicio
del ingeniero.
Aunque el análisis de error es hasta cierto punto un arte, hay varias guías de progra-
mación que pueden sugerirse. La primera, y principal, implica evitar la resta de dos
números casi iguales. Cuando esto ocurre, siempre se pierden cifras significativas. Algu-
nas veces puede reordenarse o reformularse el problema para evitar la cancelación por
resta. y si esto no es posible, puede usarse la aritmética de precisión extendida. Además,
cuando se agregan o restan números, es mejor clasificarlos y trabajar primero con los
números más pequeños. Esto evita perder cifras significativas.
Más allá de estos consejos de cálculo, se puede intentar predecir el error numérico
total usando formulaciones teóricas. La serie de Taylor es la primera herramienta de
análisis tanto para el error de truncamiento como para el error de redondeo. Varios ejem-
plos han sido presentados en este capítulo. La predicción del error numérico total es muy
complicada para, incluso, un problema de tamaño moderado, y hay que cuidar no ser
pesimista. Por lo tanto, usualmente se intenta para tareas de pequeña escaia.
Latendencia es ir hacia adelante con los cálculos numéricos y tratar de estimar la
exactitud de sus resultados. Esto algunas veces se puede realizar al observar si los resul-
tados satisfacen alguna condición o ecuación como una prueba' O puede ser posible
sustituir los resultados de nuevo en la ecuación original para estar seguros que satisface
1a ecuación.
por último, usted debería prepararse para realizar experimentos numéricos que
incrementen su conocimiento con respecto a los errores de cálculo y posibies problemas
mal condicionados. Tales experimentos pueden implicar repetir cálculos con diferentes
tamaños de paso o método y comparar los resultados. Puede emplearse un análisis sensi-
tivo para ver cómo la solución cambia cuando se modifican los parámetros del modelo o
datos de entrada. Se puede intentar con diferentes algoritmos numéricos que tienen dife-
rente fundamento matemático y que se basan en distintas estrategias de cálculo o tienen
diferentes características de convergencia y estabilidad.
Cuando los resultados del cálculo numérico son extremadamente críticos y puedan
implicar la pérdida de vidas humanas o tener severas situaciones económicas, es apro-
piado tomar precauciones especiales. Esto puede implicar el uso de dos o más grupos
independientes para resolver el mismo problema y luego comparar los resultados'
Estos asuntos del error serán un tema que tendrá que ver con el análisis en todas las
secciones de este libro. Se deja esas investigaciones a secciones específicas.
--ñ

25. r08 SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
4.4 EQUIVOCACIONES, ERRORES DE FORMUTACIóN
E INCERTIDUMBRE EN tOS DATOS
Aunque las siguientes fuentes de error no están conectadas directamente con la mayor
parte de los métodos numéricos de este 1ibro. en algunas ocasiones pueden tener un gran
impacto en el éxito al realizar un modelado, Por io tanto, se deben tener siempre en cuen-
ta cuando se apliquen técnicas numéricas en e1 contexto de problemas del mundo real.
4.4.1 Errores por equ¡vococión
A todos les son familiares los errores por negligencia o por equivocación. En los prime-
ros años de las computadoras, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algu-
nas veces al mal funcionamiento de la propia computadora. En la actualidad esta fuente
de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a
errores humanos.
Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matemáti-
ca y pueden contribuir con todos los otros componentes del error. Se pueden evitar úni-
camente con un sólido conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado
del método y diseño de la solución del problema.
Las equivocaciones por 1o general se pasan por alto en la discusión de un método
numérico. Esto sin duda prueba e1 hecho de que los errores por negligencia son, hasta
cierto punto, inevitabies. Sin embargo. recuérdese que hay varias formas con las cuales
su aparición se puede minimizar. En particular. los buenos hábitos de programación que
se bosquejaron en el capítulo 2 son mu1'úti1es para disminuir las equivocaciones. Ade-
más, hay formas simples de verificar cuándo un método numérico trabaja correctamen-
te. A lo largo del texto, se estudian algunas formas de verificar los resultados de un
cálculo numérico.
4.4.2 Errores de formulqción
Los errores de formulación o errores de ntodelqmiento pueden ser atribuidos a lo que se
podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de
formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newton no toma en
cuenta los efectos relativísticos. Esto no desvirhra la validez de la solución del ejemplo
L 1, ya que estos errores son mínimos en las escalas de tiempo y espacio asociadas con el
problema de la caída del paracaidista.
Sin embargo, supóngase que la resistencia del aire no es linealmente proporcional
a la velocidad de caída, como en ia ecuación (1.7), sino que es una función del cuadrado
de la velocidad. Si éste fuese el caso, 1as soluciones analíticas y numéricas obtenidas en
el primer capítulo serían falsas debido al error en la formulación. En algunos casos de
estudio durante el resto del libro se incluyen algunas consideraciones adicionales de los
errores de formulación. Se debe estar consciente de estos problemas y darse cuenta que
si se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico generará los resultados
adecuados.

26. T
PROBLEMAS 109
4.4.3 lncertidumbre en los dotos
Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre en los datos
físicos sobre los que se basa el modelo. Por ejemplo, supóngase que se desea probar el
modelo de la caída del paracaidista haciendo diferentes saltos y luego midiendo la velo-
cidad después de un intervalo de tiempo específico. Sin duda, se asociará cada medición
con una incertidumbre, ya que el paracaidista caerá con más rapidez en unos saltos que
en otros. Estos errores pueden mostrar inexactitud e imprecisión. Si los instrumentos
constantemente subestiman o sobreestiman las mediciones de la velocidad, se estará
tratando con un instrumento inexacto o desviado. Por otro lado, si las medidas son ca-
sualmente altas y bajas, entonces se trata de una cuestión de precisión.
Los errores de medición se pueden cuantificar sumando los datos con una o más
técnicas estadísticas bien conocidas, que generen tanta información como sea posible,
observando las características específicas de los datos. Esta estadística descriptiva es a
menudo seleccionada para presentar 1) la posición del centro de distribución de los datos
y 2) eI grado de esparcimiento de los datos. Como tales, dan una medida de la desviación
e imprecisión, respectivamente. En la parte cinco se retoma el tema de caracterización de
incertidumbre de datos.
Aunque se debe estar consciente de los errores por equivocación, errores de formu-
lación e incertidumbre en los datos, los métodos numéricos usados para construir mode-
los pueden estudiarse, en la mayor parte de los casos, en forma independiente de estos
errores. Por 1o tanto, en la mayor parte de este libro se supondrá que no hay errores por
negligencia, que el modelo es adecuado, y que se está trabajando sin errores en las medi-
ciones de los datos. Bajo estas condiciones se puede estudiar los métodos numéricos sin
complicaciones.
PROBLEMAS
4.1 La serie infinita nar el valor exacto. Agréguese términos hasta que el valor abso-
luto del error aproximado falle bajo cierto criterio de error, con-
xl x3 -l siderando dos cifras significativas.
e':l-rr--*;- I J: ni 4.3 Repita los cálculos de1 problema 4.2,pero ahora usando la
serie de expansión de Maclaurin para sen x.
puede ser usada para aproximar e'.
c) ¡5 xj
sen.:x- -r3+5l- T.+"'
Demuestre que la expansión en serie de Maclaurin es un
caso especial de la expansión en serie de Taylor [véase ecua- 3l
ción (4.7)l conrj : 0 y h : x.
ó) Use 1a serie de Taylor para estimar/(x) : e-' on r¡11 : 1 para evaluar el seno (z/4).
paÍa xi - 0.25. Emplee versiones de cero, primero, segun- 4.4 Úsese los términos en serie de Taylor de cero a tercer orden
do y tercer orden y calcule el lgl para cada caso. para predecir f(2) para
4.2 La expansión en serie de Maclaurin para cos.r es
Jtxt :25x] - 612 + 7x - 88
x2 x1 xó xE
cos-r =I- --+---+ 6!
2 4l 8! usando como punto base ¡: 1. Calcúlese el error relativo por-
centual verdadero para cada aproximación.
Iniciando con e1 primer término cos ¡ : 1, agréguese los térmi- 4.5 Use los términos de la serie de Taylor dél cero al cuafto
nos uno a uno para estimar cos (trl4). Después de que agregue orden para estimarf(3) paraf(x): ln:r usando como punto base
cada uno de los términos, calcule los errores porcentuales relati- ,r: 1 . Calcúlese el error relativo porcentual g para cada aproxi-
vos exactos y aproximados. Use una calculadora para determi- mación. Analice los resultados.

27. il0 SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
4.6 Use aproximaciones de diferencias de O(h) hacia atrás 4.14 Demuestre que la ecuación (4.4) es exacta para todos los
y hacia adelante y una aproximación central de O(h2¡ para es- valores dex, si/(;r) ax2 + bx + c. :
timar la primera derivada de la función mencionada en el pro- 4.15 La fórmula de Manning para un canal rectangular puede
blema 4.4. Evalúe la derivada en x : 2 usando un tamaño del escribirse como
paso de h :
0.25. Compare los resultados con el valor correc-
to de 1as derivadas. Interprétese los resultados con el valor co-
rrecto con base en el término residual de la expansión en serie de
o:1tt tBrBH)s'.,s' l
- +?Hzt:
Taylor.
4.7 Use la aproximación de diferencias centrales de O1h2¡ para donde Q : flujo (m'ls). r : coeficiente de rugosidad, B : an-
estimar la segunda derivada de la función examinada en el pro- cho (m), H : altura (m) y S: pendiente. Aplique la fórmula
blema 4.4. Realice la evaluación para r-
2 usando un tamaño
para un arroyo donde se conoce que el ancho 20 m y el alto : :
: 0.3 m. Desafortunadamente conocemos el coeficiente de rugo-
del paso h 0.2 y 0.1. Compare lo estimado con e1 valor verda-
dero de la segunda de¡ivada. Interprete sus resultados con base
sidad y la pendiente con una precisión de sólo l0%. Esto es, la *
rugosidad es como 0.03 con un rango de 0.027 a 0.033 y la pen-
en el término residual de la expansión en serie de Taylor.
4.8 Recuerde que la velocidad de caída del paracaidista puede diente es 0.0003 con un rango de 0.00027 a 0.00033. Use un
análisis de error de primer orden para determinar la sensibilidad
ser calculada con [véase ecuación ( 1 . 1 0)]
de predicción del flujo para cada uno de esos dos factores. ¿Con
cuál se debería intentar medir para una mejor precisión?
,@:Y(r-e-r./'t'¡ 4.16 Si xl < l. se sabe que
Use un análisis de er¡o¡ de primer orden para estimar el error de
: 6,sig :
1
: 1 *.r +,rl +.t3 + . .
upafat 9.8,y m : S}.peroc : 12.5+ 2. 1ii
I
-_t
4.9 Repitael problema4.8cong:9.8, ¡ :6,c: 12.5+2y
¡n:50+0.5. Repita el problema 4.2 para esta serie con 0.1. ¡:
4.17 Un misil deja laTierra con una velocidad inicial vo forman-
4.10 La ley de Stefan-Boltzmann puede ser empleada para esti-
do un ángulo @o con la vertical como se muestra enlafiguraP4.l7
mar la velocidad de cambio de energía H para una superficie, .
La máxima altitud deseada es aR donde R es el radio de laTierra.
esto es
Las leyes de la mecánica se pueden usar para mostrar que:
H : AeoTa
donde 11 está en watts, A : área de la superficie 1m2.¡, e :
sen 0o: (1 + s)
emisividad que caracteriza la propiedad de emisión de la super-
ficie (dimensional), o : constante universal llamada constante donde u" : velocidad de escape del misil. Se desea disparar el
de Stefan-Boltzmann (: 5.67 x 10-8 W m-2 Kr¡ y ?": tempe- misil de manera que alcance una velocidad máxima de diseño
ratura absoluta (K). Determina¡ e1 error de H para una placa de dentro de una exactitud de+ lVo. Determinar el rango de valores
aceroconl : 0.15 m2, e:0.90y T:650*25. Comparelos para @o si un/uo : )y a : 0.2.
resultados con el error exacto. Repita los cálculos pero con Z:
650 + 50. Interprete los resultados.
4.11 Repita el problema 4. 10, pero para una esfera de cobre con
radio: 0.15 + 0.02 m, e: 0.90+ 0.05 y T:550!25. FIGUR.A P4.17
4,12 Evalúe e inte¡prete los números condicionrdos para
a) ¡1x¡:fii+ r para.r
= 1.0001
b) Jx): e' parax: 9
c) f(x):a{@ a -¡ parax:200
a) Jx) parax : 0.01
x
sen ir
e) para jr : 1 .001 lt
^xl I -r cos "[
4.13 Empleando ideas de la sección 4.2, demuestre las relacio-
nes de la tabla4.3.

28. RI
CAPITULO 5
Métodos de intervolos
Este capítulo trata sobre raíces de ecuaciones con métodos que aprovechan el hecho de
que una función en forma típica cambia de signo en la vecindad de una raí2. A estas
técnicas se les llama métodos de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales
para la raí2. Como su nombre 1o indica, estos valores deben "encerrar" o estar sobre
cualquier lado de Ia raí2. Los métodos particulares descritos respecto a este punto em-
plean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así
converger a la respuesta correcta.
Como preámbulo de estas técnicas se discutirán los métodos gráficos para represen-
tar funciones y sus raíces. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar
valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el
comportamiento de los métodos numéricos.
5. I MÉTODOS CnÁHCOS
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación /(x) : 0
consiste en graficar la función y observar en donde crtza eI eje.r. Este punto, que repre-
senta el valor de x parala cualf(x) :
0, proporciona una aproximación inicial de laraiz.
EJEMPLO 5.1 Lo oproximoción grófico
Enunciodo del problemo. Use la aproximación gráfica para determinar el coeficiente
de rozamiento c necesario para que un paracaidista de masa m :
68.1 kg tenga una
velocidad de 40 m/s después de una caída libre de f = 10 s. Nots'. La aceleración de la
gravedad es 9.8 m/s2.
Sof ución. Este problema se puede resolver determinando la raíz de la ecuación (PT2.4)
usandolosparámetros / : :
l0,g 9.8,u 40 y m 68.1: : :
9.8(68.1).
f(c) : #tt -.-tclós't)ro) - 40
L
o
I
f(c) : Wf O - e-0.146843c) - 40 (Es.1.1)
Varios valores de c pueden ser sustituidos en el lado derecho de esta ecuación para calcu-
lar

29. t28 MÉ-ToDos DE INTERVALoS
{"}11
l ' : ::.
34. t l5'r :i:'r .,t"¡ia-'¡: "r.;.,
8 17.ó53
12 6.067
' 'ló t
-2.269
2Q -8.401
Estos puntos se muestran en la gráfica de la figura 5.1. La curva resultante cruzael eje c
eiiret2it6.Unvistazoalagrítñ.éáprop<ircionauná:estimación delaraízde14.75.La
validei dé'la estiirtación visüal ie t'uede verificar sustituyendo su valor en la ecuación
(E5.í,1) para,obteñeJ
"
f(]4.75)¿
667.38
-- (l -
14.75
e-0-14ó843(14'75)) - 40'=='0.059
el cual es cercano a cero. Tambien puederevisarse por düstitución en la ecuación (PT2.4)
junto con'el valor de lós panimeiios de este ejemplo para dar
' .1. 9-8(68.1) /,
"
;: lli;'' (t - ,-tra.xrc..|)t1) : ¿o.oss
que es muy cercano a la velocidad de caída deseada de 40 m/s.
,. ,t .-.r' .'; , .
'
"
FIGURA 5.I
Lo opro¡imtción grOiico por.o'detori*f lói roíces de uno ecuoción.
¡
I
I
I

30. 5.I MÉTODOS GRAFICOS r29
Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin
embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raí2.
Estas aproximaciones se pueden emplear como valores iniciales para los métodos numé-
ricos analizados en este capítuio y en el siguiente. Por ejemplo, el software de métodos
numéricos TOOLKIT que acompaña este texto permite graficar funciones sobre un ran-
go específico. Esta gráfica puede usarse para seleccionar valores iniciales de un interva-
1o donde está contenidalaraiz antes de implementar el método numérico. La posibilidad
de graficar aumenta considerablemente la utilidad de los programas.
Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar aproxin-raciones iniciales de
la raí2, son herramientas importantes en la comprensión de las propiedades de las fun-
ciones, previendo las fallas de los métodos numéricos. Por ejemplo, la figura 5.2 mues-
tra algunas formas diferentes en las que la raíz puede encontrarse (o no estar) en un
intervalo definido por un límite inferior;r, y un límite superiorx,,. La figura 5.2ó bosque-
ja el caso donde una simple raiz está acotada por valores positivo y negativo de/(;r). Sin
embargo, en la figura 5 .2d, donde f (x ) y f @ r) están también sobre lados opuestos en el
eje x, muestra tres raíces que ocurren en ese intervalo. En general, stf(x) y f(x,,) tienen
signos opuestos, existe un número impar de raíces dentro del intervalo. Como se indica
en la figura 5.2a y c, sif (x j) y f(x,,) tienen el mismo signo, no hay raíces o hay un número
par de ellas entre los valores dados.
Aunque estas generalizaciones son usualmente verdaderas, existen casos en que no
se cumplen. Por ejemplo, funciones tangenciales al eje x (véase figura 5 .3a) y las funcio-
nes discontinuas (véase figura 5.3á) pueden no cumplir estos principios. Un ejemplo de
una función que es tangencial al ej e x es la ecuación cúbica/(x) : (t - 2)(x - 2)@ - a) .
Obsérvese que cuando x : 2, dos términos en este polinomio son igual a cero. Matemá-
FIGURA 5.3
llusfroción de olgunos excepciones o os cosos genero es
moslrodos en lo figuro 5 2 ol Pueden ocurrir roíces
múltiples cuondo lo función es tongenfe ol eie x. En esle
coso, ounque los punlos exlremos son de signos opueslos,
FIGURA 5.2 hoy un número por de iniersecciones con el eie x en el
llustrcción de los formos en inlervolo. b) Función drsconlinuo donde los puntos exlremos
^e'o'¡l n ,o nr rede or'.rr.t de signo opuesio conlienen un número por de roíces. Se
uno roíz en un intervolo requiere eslrolegics especio es poro delerminor los roíces
preescriio por los límites en esios cosos.
inferior xi y superior x! . Los
,nc sos o) y cJ irdico" que si
f(x,) y f(x,) iienen el mismo
signo, entonces no hobró
roíces dentro del intervolo o
hobró un número por de
ellos Los incisos b) y d)
indicon que si lo función
iiene signos diferenfes en los
punlos exlremos, enlonces
hobró un número impcr de
roíces denlro del intervo o.
I
¡