Panorama de Matemática - Fundamental 2 - 2011

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Relatório do selecionador Ruy Pietropaolo, da área de Matemática para o Ensino Fundamental 2, sobre os projetos inscritos no Prêmio Victor Civita Educador Nota 10 de 2011.

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Panorama de Matemática - Fundamental 2 - 2011

  1. 1. 1 Prêmio Victor Civita 2011 Educador Nota 10 Prof. Dr. Ruy César PietropaoloRelatório final de Matemática – 6° ao 9° anoEste relatório tem por objetivo apresentar o panorama geral dos 111trabalhos de Matemática desenvolvidos com alunos do 6° ao 9° ano doEnsino Fundamental que foram inscritos para o prêmio Victor Civita 2011.Para tanto, apresenta-se inicialmente um levantamento quantitativo sobre operfil dos professores inscritos (regiões e estados em que atuam, idade,formação acadêmica), idade dos professores, temas abordados (números,álgebra, geometria, medidas, tratamento da informação) e categorias dasescolas (pública, privada ou filantrópica; rural ou urbana). Após essasinformações, são expostos os critérios utilizados para a seleção dostrabalhos de Matemática que foram indicados para compor a lista doscinquenta melhores. A segunda parte deste relatório trata de uma análisequalitativa, onde são destacadas características específicas dos trabalhos deMatemática que compuseram a lista dos cinquenta melhores. Além disso,são discutidos os dois trabalhos de Matemática, cujos professores ganharamo prêmio Educador nota 10.1. Quadro geral dos trabalhos analisadosDo total de trabalhos inscritos para o Ensino fundamental II, 62% foramdesenvolvidas por professoras. Relativamente ao ano de 2010, houveaumento significativo da participação de professores do sexo masculino: de29% para 39%.
  2. 2. 2 Sexo 39% feminino masculino 61%No tocante à idade pode-se afirmar que houve um expressivo número decandidatos que no momento da inscrição tinham 35 anos ou menos: 36%.Outro número bastante significativo foi o dos professores com 50 anos oumais: 19%, aproximadamente. É bastante interessante verificar que muitosprofessores, próximos da aposentadoria, parecem não ter uma atitude dedescrença e amargura em relação à docência, esperando apenas o tempopassar, mostrando serem sim muito propositivos para implementarmudanças e inovações. O gráfico a seguir apresenta esses índices,atestando que o prêmio Educador nota 10 atrai professores de todas asfaixas de idade. Idade dos participantes 19% 35 anos ou menos mais de 35 anos e menos de 45% 50 50 anos ou mais 36%Os dois gráficos a seguir mostram as distribuições dos trabalhos segundo acategoria da escola em que atua o professor inscrito (pública, privada,filantrópica) e a respectiva localização (urbana ou rural). Em relação aosdados de 2010, os índices de 2011 indicam que não houve variaçãosignificativa.
  3. 3. 3 Categoria da escola 13% 4% Pública Privada Filantrópica 83% Localização 10% zona urbana zona rural 90%Em relação à formação acadêmica dos professores, os índices de 2011também foram muito próximos aos de 2010. A grande maioria dosprofessores que se inscreveram neste ano tem curso superior completo:apenas 7 entre 111 professores (6%) declararam que ainda não haviamcompletado a graduação em nível superior, ao passo que no anterior esseíndice era de 7%. Dos professores que têm curso superior completo, umnúmero bastante razoável concluiu cursos de pós-graduação:especialização, aperfeiçoamento ou extensão. O gráfico a seguir mostra aformação acadêmica dos participantes.
  4. 4. 4 Formação acadêmica dos professores 39% Pós-Graduação Superior completo, apenas Superior incompleto 6% 55%Cabe ressaltar que a maioria dos trabalhos inscritos é da região Sudeste,com destaque para os estados de São Paulo (20 trabalhos) e de MinasGerais (17). A região Sul aparece em segundo lugar, com destaque paraSanta Catarina (10). A seguir, vem a região Nordeste cujo destaque é oestado do Ceará (7). Depois, vem a Centro-Oeste, com destaque para Goiás(5) e, finalmente, a região Norte, cujo destaque é o Pará (4).Os índices percentuais de cada região constam no gráfico a seguir. Distribuição por região 21% 19% Sudeste Sul Nordeste Centro_Oeste 13% Norte 39% 8%Embora diversos projetos (18%) não tenha um foco claramente delineado,na maioria dos projetos (82%) foi possível identificar os objetosmatemáticos que se queria ensinar. O gráfico a seguir mostra a distribuiçãodos grandes blocos de conteúdo (Números; Álgebra; Geometria e Medidas;Tratamento da Informação) que foram objetos de estudo.
  5. 5. 5 Temas 18% 30% Geometria/Medidas Números 9% Álgebra Tratamento da Informação Jogos 11% Outros 22% 10%Outro aspecto bastante positivo que se pode observar nesse gráfico é ogrande número de projetos envolvendo assuntos relativos à Geometria eMedidas.2. Critérios não-classificatórios e classificatóriosEm 2011, tal como ocorreu no ano passado, os professores elaboraram edesenvolveram situações de aprendizagem tendo em vista a articulação deconteúdos dos diferentes campos da Matemática (números, álgebra,geometria, medidas e tratamento da informação) – um pressuposto que, aprincípio, pode ser considerado apropriado. Provavelmente, essesprofessores buscaram a intradisciplinaridade (“interdisciplinaridade interna”)da Matemática, fazendo conexões entre os diversos temas.No entanto, os docentes devem ter em vista que, apesar da importânciadessa articulação, os projetos devem ter como foco a aprendizagem deconceitos e/ou procedimentos relativos a um determinado bloco deconteúdos e previstos no currículo do ano escolar em questão.Reitera-se também que em diversos projetos inscritos em 2011 não haviaclareza a respeito de seus objetivos – não havia um tema específico. Outrosprojetos indicavam apenas objetivos gerais e, ainda assim, bastanteamplos: “desenvolver o raciocínio”; “preparar para vida”; “formar ocidadão”.Os objetivos de um dado projeto devem ser, evidentemente, factíveis parao tempo previsto e, evidentemente, não podem indicar uma tarefa muito
  6. 6. 6ampla. É necessário que o professor considere que a principal finalidade deum projeto – pelo menos para os que são submetidos à premiação daFundação Victor Civita – é a de fornecer condições efetivas para que hajaaprendizagem significativa de noções e/ou procedimentos matemáticosprevistos no currículo.Assim, antes de mais nada, um projeto deve necessariamente oferecer ricoscontextos para que os alunos possam dar significado àquilo que está sendoensinado. Nessa perspectiva, os professores devem levar em conta apotencialidade das situações propostas e dos materiais educativos: enfimum bom projeto deve conter uma sequência didática adequada para umgrupo de alunos de um dado ano escolar – uma sequência para ensinar eaprender determinado conteúdo ou procedimento matemático.Assim, além da falta de clareza dos objetivos, de definição ou de não-adequação dos conteúdos matemáticos (dispersão, excesso, assuntos nãoprevistos para a série) houve outros critérios que foram fundamentais paraa não classificação de projetos: falta de detalhamento das etapas dasequência; não realização de sondagens para identificar os conhecimentosprévios dos estudantes; ausência da proposta de problematização parainiciar um assunto; ausência de sistematização das noções abordadas;concepção espontaneísta do processo de aprendizagem; a não possibilidadede troca entre os alunos; concepção redutora de avaliação; uso do tempona sala de aula de forma inadequada como a construção de materiaisdidáticos (deveria ser feito no contra-turno) etc.Neste ano, a falta de detalhamento das etapas foi um problema recorrenteem muitos trabalhos. Havia projetos com apenas a descrição das atividades,sem a indicação de como foram desenvolvidas e do momento em que asnoções foram sistematizadas. Em outros, havia uma descrição da formacomo foram desenvolvidas, mas não havia indicações do que foi ensinado.Ou seja, o professor apresentava os procedimentos metodológicos adotados– como a identificação dos conhecimentos prévios dos alunos ou asjustificativas dos encaminhamentos feitos – mas não indicaram,minimamente, as atividades desenvolvidas, o nível de aprofundamento etc.
  7. 7. 7Além disso, não basta conceber e desenvolver um bom trabalho para ele serclassificado; o professor deverá saber justificar e registrar seu projeto deforma clara para que os selecionadores possam compreendê-lo. Ou seja, énecessário saber comunicar!A seguir, apresentam-se uma síntese dessas considerações e outroscritérios que foram utilizados para não-classificação de projetos dematemática. Cabe ressaltar que esses critérios foram utilizados no anoanterior: ü Adesão a um projeto interdisciplinar sem uma necessária reflexão sobre os contextos por ele proporcionados: esse projeto é adequado para o tratamento didático dos conteúdos matemáticos que se quer desenvolver? ü Concepção redutora do processo de ensino e aprendizagem de Matemática: enfatiza-se mais os procedimentos e se dá menor atenção aos conceitos e às aplicações, por exemplo. ü A descrição do projeto não permite identificar ou analisar os conteúdos matemáticos (noções e procedimentos) desenvolvidos. ü Sequências e situações meramente transcritas de livros didáticos, ou de dissertações e teses. ü A proposição de uma sequência de jogos sem a problematização necessária ou sem a vinculação direta de conteúdos matemáticos. ü Ausência de indicadores de avaliação dos alunos. ü Apresentação de uma sequência de atividades desconexa e inconsistente ainda que as atividades sejam isoladamente interessantes – reunião, por exemplo, em um só projeto de atividades e/ou de materiais que o professor julga interessantes sem se ater à pertinência desses aos objetivos enunciados. ü O projeto apresenta erros conceituais: em geometria, por exemplo, encontraram-se erros conceituais em relação às definições de objetos geométricos e às respectivas propriedades.
  8. 8. 8Para a pré-seleção dos projetos que poderiam ser classificados para oscinquenta melhores do prêmio VC 2011 também foram utilizadas asseguintes questões: ü O projeto apresenta certo grau de originalidade ou é uma mera e simples reprodução de sequências didáticas já aplicadas? ü São problematizadas questões desafiadoras para os alunos? O projeto procura envolver todos os alunos ou apenas é destinado para os mais preparados da sala? ü O tema é socialmente relevante e/ou ou necessário para desenvolver competências e habilidades cognitivas? Trata-se de conteúdo curricular? ü O projeto trata de um conteúdo difícil de ser ensinado, mas a proposta intencional do professor cria a possibilidade de levantar hipóteses e fazer conjecturas a respeito de um problema significativo? ü Contextualização dos conteúdos propostos no projeto relaciona os conhecimentos matemáticos que os alunos já têm sobre o assunto e se propõe a algo mais do que simplesmente identificá-los? As atividades previstas levam em conta os conhecimentos prévios dos alunos? ü O projeto tem em vista o desenvolvimento de atitudes dos alunos como a utilização dos conhecimentos matemáticos para a compreensão da realidade? O projeto visa o desenvolvimento da capacidade de investigação e da perseverança do aluno na busca de solução para um problema? ü O trabalho valoriza ou utiliza as tecnologias no processo de ensino e aprendizagem de Matemática? As tecnologias indicadas no projeto estão de fato a serviço desse processo? ü Há sistematização dos resultados de forma consistente buscando avaliar o alcance do projeto para aquela faixa etária?
  9. 9. 93. Projetos selecionados para a lista dos 50 finalistasApresenta-se a seguir os dois projetos de Matemática do EnsinoFundamental II que foram pré-selecionados para a lista geral dos cinquentamelhores projetos do prêmio Victor Civita 2011. Cabe ressaltar que osprofessores desses projetos foram entrevistados por telefone e enviaramproduções dos alunos, fotos e vídeos das aulas. Título do trabalho: Estatística e Educação FinanceiraProfessor/Gestor: David Gouveia AlvesCidade: Brasília - DFO projeto tem por objetivo a aplicação de um conjunto de situações-problema para alunos de 8ª série com vistas a um trabalho sobre EducaçãoFinanceira retomando e aplicando noções elementares de Estatística e deproporcionalidade (regras de três, porcentagem e juros simples).Os dois temas abordados são relevantes. Além disso, o aluno tem contatocom diferentes registros e textos matemáticos. Esses dois temas articulamdiversos conteúdos relativos ao bloco Números e Operações.No entanto, o professor não explicita claramente os conteúdos que querensinar. Em verdade, a finalidade de seu projeto é iniciar um trabalho sobrea Educação Financeira. Para tanto, o aluno deveria utilizar noções eprocedimentos matemáticos. Ou seja, o contexto utilizado é para aplicar(rever) as noções já trabalhadas, mas que os alunos ainda não dominamcom vistas ao desenvolvimento de conceitos da Educação Financeira. Ouseja, os conteúdos matemáticos estabelecidos no projeto forneceminstrumentos necessários para obter e organizar as informações, interpretá-las, fazer cálculos e, desse modo, produzir argumentos para fundamentarconclusões sobre elas. Apesar de essa perspectiva ser válida é esperadotambém que os professores de Matemática proponham questões práticasque forneçam os contextos que possibilitam explorar de modo significativonovos conceitos e procedimentos matemáticos. Assim, os problemas devempermear toda a atividade matemática para desenvolver um conceito: antes(o contexto), durante e depois (aplicação do conceito).
  10. 10. 10O projeto proporcionou contextos para retomar os conteúdos que ele julgounecessários segundo o diagnóstico realizado pelo professor. No entanto, oprofessor declara no início do projeto que seus alunos iriam aprenderestatística utilizando-se de gráficos financeiros – o que não ocorreu: seuinvestimento foi na compreensão de termos usados na Matemáticafinanceira. Provavelmente ele deverá trabalhar a Estatística em momentoposterior.O professor delineou bem as tarefas. Segundo os relatos, os alunos seaplicaram para realizar as tarefas solicitadas.O trabalho foi realizado em grupos e gerou debates a respeito do significadoe valor do dinheiro na vida das pessoas. Os alunos se envolveram quandopesquisaram sobre as variações dos preços da Cesta Básica.O professor informa que sua satisfação foi muito grande, pois transformousuas aulas em um espaço de pesquisa.O professor poderia, além de explicitar com clareza objetivos e conteúdos(da serie em questão), incluir novos conteúdos como a construção degráficos: setores; barras e colunas. O professor poderia também procurar autilização de novas tecnologias como o uso de planilhas eletrônicas.Este trabalho tem algum diferencial, pois cada grupo de alunos teve aoportunidade de administrar a vida financeira de uma família hipotética. Ocoordenador do grupo recebia as informações por e-mail da família para queos alunos discutissem os gastos e as aplicações financeiras a serem feitos.
  11. 11. 11 Título do trabalho: A matemática da fotografiaProfessor: Marcel Messias GonçalvesCidade: Nova Andradina – MSO projeto tem por objetivo a aprendizagem da noção de semelhança detriângulos por alunos do 9º ano (8ª série). Para tanto ele utiliza comoestratégia a máquina fotográfica. Os alunos construíram com sucata umamáquina fotográfica e puderam comprovar conhecimentos sobre óptica e asemelhança de triângulos.O conceito de semelhança de figuras, sobretudo a de triângulos, é defundamental importância não apenas na perspectiva de aprender maisMatemática, mas pela vasta utilização desse conhecimento no cotidiano eem outras áreas do saber, a Física, por exemplo. A máquina fotográfica éum conceito potencialmente rico para desenvolver essa importante noção.Os conteúdos matemáticos envolvidos são pertinentes tendo em vista odiagnóstico feito pelo professor.Apesar de o professor não explicitar as expectativas de aprendizagem aoiniciar o projeto, pode-se inferir pela sua narrativa que os alunosaprenderam a: Ø comparar dois triângulos, informando se são ou não semelhantes; Ø aplicar a noção de semelhança para resolver problemas.Cabe destacar que houve compatibilidade entre objetivos e conteúdos. Noentanto, o professor não retoma o problema inicial – o do diagnóstico.O professor valorizou a interação entre os alunos como fator deaprendizagem, pois o trabalho foi realizado em grupos e gerou debates arespeito da construção da máquina fotográfica e dos conceitos envolvidos.O professor declara que teve de pesquisar bastante para elaborar asatividades. No decorrer da entrevista ela reconhece que poderia teraproveitado a oportunidade para desenvolver a noção de semelhança dequadriláteros e não apenas a de triângulos.
  12. 12. 12O projeto poderia ter incluído o trabalho com a noção de semelhança dequadriláteros e não apenas a de triângulos. Poderiam ter sido propostasatividades mais diversificadas. Faltou um trabalho com as homotetias paraampliar a noção de semelhança.Este trabalho tem algum diferencial, pois houve a aplicação da noção desemelhança em uma situação controlada pelo aluno (altura da imagem doobjeto em sua câmara escura “máquina fotográfica”).4. Projetos Vencedores; Educador nota 10Os projetos apresentados a seguir foram escolhidos entre os professores deMatemática do Ensino Fundamental II para compor o grupo dos dezprofessores nota 10.4.1 Espelhos e caleidoscópios: investigações matemáticas sobresimetriasProfessor: Edson Thó RodriguesCidade/UF: João Pessoa/PBSérie/Ano: 8ª/9º ano1. Apresentação O projeto tinha por objetivo o desenvolvimento de um conjunto de atividades investigativas em duas turmas de 8ª série com vistas à aprendizagem de noções relativas às simetrias: simetria axial e simetria rotacional. Além disso, as atividades tiveram como objetivo a identificação dos polígonos regulares que podem ser usados para pavimentar o plano, utilizando a noção de simetria, por meio de dois espelhos planos (os ângulos entre os espelhos variaram: 30º, 45º, 60º, 90º). Para tanto, foram disponibilizados espelhos planos, polígonos confeccionados em cartolina guache, caleidoscópios etc. Após terem realizado as investigações solicitadas, os alunos preencheram “relatórios”, respondendo às questões propostas e, deste modo, puderam sistematizar as conclusões do grupo.
  13. 13. 13Trata-se de um projeto que procura dar significado a um conteúdocurricular: simetrias. O professor utiliza como estratégia espelhos ecaleidoscópios para que o aluno construa essa noção. Os alunos fazeminvestigações, discutem e o professor as sistematiza. O professorprocura dar significado àquilo que ensina.Outro aspecto importante: os conteúdos a serem ensinados é quedefiniram o projeto e não o contrário como acontece muitas vezes –concebe-se um projeto e depois é que se pensa nos conteúdos a seremensinados.Cabe destacar que o professor desenvolveu a maior parte das atividadesno âmbito de suas aulas.O professor tinha como objetivo ensinar conteúdos relativos àssimetrias. O ponto de partida do projeto foi a aplicação de um pré-teste,em duas turmas de 9° ano do Ensino Fundamental, para verificar osconhecimentos prévios que os alunos tinham sobre reconhecimento defiguras geométricas planas (a nomenclatura), seus elementos epropriedades. As devidas intervenções pedagógicas foram feitasposteriormente, ao longo do desenvolvimento das atividades. Depois foifeito um pós-teste, que mostrou evolução de aprendizado.O professor tinha como expectativa de aprendizagem o desenvolvimentodo pensamento geométrico, por meio da exploração de situações deaprendizagem que levassem o aluno a resolver situações-problema queenvolvesse figuras geométricas planas, utilizando procedimentosrelativos à transformação de figuras no plano, identificando a figurasimétrica a uma outra dada por meio de reflexão em reta (simetriaaxial). Os alunos aprenderam a identificar:Ø eixos de simetria de figuras, incluindo diversos polígonos (regulares, não regulares, convexos e não-convexos), círculos e circunferências;Ø e/ou construir as figuras simétricas a uma outra dada por meio de reflexões em retas;Ø polígonos regulares que podem pavimentar o plano.
  14. 14. 142. Desenvolvimento passo-a-passo O ponto de partida do projeto foi a aplicação de um pré-teste, em duasturmas de 9° ano do Ensino Fundamental, baseado no modelo de Van Hielepara verificar os conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre aidentificação de figuras geométricas planas, seus elementos e propriedades.Assim, o professor identifica os conhecimentos prévios dos alunos e suasdefasagens. Eixos de simetria: a atividade: “o outro lado do espelho” foi,efetivamente, o primeiro conjunto de investigações matemáticas a serdesenvolvido (em grupos), e foi realizado em duas aulas. Para concluir aatividade 1, os alunos deveriam elaborar os conceitos de “eixo de simetria”e de “transformação de reflexão”. Foram propostas 4 “experiências”, todasbem elaboradas. Na experiência 1, os alunos receberam dez figuras geométricas planasdiferentes com formas de: 1 – pentágono; 2 – paralelogramo; 3 –retângulo; 4 – quadrado; 5 – hexágono; 6 – losango; 7- triânguloequilátero; 8 – triângulo escaleno; 9 – trapézio e 10 – círculo(confeccionadas em cartolina guache) e um espelho plano. Em cada figurafoi desenhada uma linha tracejada. Os alunos deveriam colocar o espelhoplano (verticalmente) sobre a linha tracejada de cada figura geométricadada, com o objetivo de verificar se essa linha era ou não um eixo desimetria. Em seguida deveriam responder as seguintes perguntas: “Emquais figuras a linha tracejada é um eixo de simetria?” e “Em quais figuras alinha tracejada não é um eixo de simetria?” Na experiência 2, ainda com o auxílio de um espelho plano, os alunosdeveriam descobrir a quantidade de eixos de simetria das dez figuras dadasna experiência 1. Em seguida, responder as seguintes questões: “Como sãochamadas as figuras que não têm nenhum eixo de simetria?” e “Qual onome da figura geométrica plana que têm infinitos eixos de simetria?” Na experiência 3, os alunos utilizaram imagens de rostos de pessoas, deanimais, de objetos (recortes de revistas) e um espelho plano. Com relaçãoà imagem de rosto, esta deveria ser dobrada para fora na direção da linhade simetria (que passa pelo nariz e pelo meio da boca), depois essa linha da
  15. 15. 15dobra seria encostada em um espelho plano disposto de formaperpendicular para as devidas observações das imagens formadas,diferenciando imagens reais das virtuais, tendo como finalidade construir oconceito de simetria de reflexão. Em seguida, os grupos de alunos deveriamresponder às seguintes questões: “A imagem do rosto formada pelo espelhoé igual ou diferente da imagem real?” e “Qual é o tipo de simetria obtidanessas observações?” Imagens em dois espelhos paralelos: A atividade denominada “espelhosparalelos e o infinito” foi também desenvolvida (em grupos), em duas aulas,com apenas duas experiências. Na experiência 1, os alunos usaram doisespelhos planos, dispostos em paralelo e pequenos objetos colocados entreeles. As imagens geradas deveriam ser observadas para responder asseguintes perguntas: “Quantas são as imagens desse objeto?” e “Quais ostipos de isometrias (simetrias) obtidas?” Na experiência 2, os alunosanalisaram a simetria presente em letras e palavras colocadasparalelamente ou perpendicularmente entre dois espelhos planos emparalelo e, em seguida, responderam as seguintes perguntas: “Por quealgumas letras são vistas sempre na mesma posição em todas asimagens?”; “Por que algumas palavras são vistas sempre na mesma posiçãoem todas as imagens?” e “Por que certas palavras para serem bemvisualizadas (lidas) em todas as imagens são colocadas entre os espelhossegundo uma determinada direção?” Pavimentações do plano, rotações: “O livro de espelhos, polígonos eeixos de simetria” foi a terceira atividade trabalhada, a qual era compostade quatro blocos. Em todas foram utilizados os livros de espelhos e outrosmateriais concretos como: canudos de refrigerante, regiões triangulares (decartolina ou papel cartão), bases substituíveis, tampas e outros objetos.Com o livro de espelhos obtemos uma sequência de várias imagens queformam uma nova figura (transformações geométricas). Dois tipos deisometrias foram estudados: a simetria de reflexão (simetria axial) e asimetria de rotação, que possui um ponto fixo. No primeiro bloco de atividades sobre pavimentações foram utilizadoslivros de espelhos e canudos de refrigerante. Esses canudos deveriam ser
  16. 16. 16colocados perpendicularmente em relação à bissetriz de cada ângulo obtidoa partir de uma determinada abertura do livro de espelhos para obterpolígonos, com a finalidade de nomear, classificar e estudar seus elementose algumas propriedades; e verificar eixos de simetria. E teriam queresponder às seguintes questões exploratórias: “Quais são os polígonos quevocê conseguiu formar?”; “É possível formar um triângulo? Se a respostafor positiva, qual o ângulo de abertura do livro de espelhos?”; “Qual é opolígono formado para o ângulo de 90º?”; “Qual é o polígono formado parao ângulo de 60º?”; “Quantos lados tem o polígono formado para o ângulode 45º?”; “Quantos lados tem o polígono formado para o ângulo de 30º?”;“É possível formar um losango? Justifique a sua resposta.” e “Com apenasum canudo é possível formar um retângulo? Justifique a sua resposta.” Nosegundo bloco de atividades os canudos foram substituídos por regiõestriangulares, que deveriam ser colocadas sob as folhas do livro de espelhos(abertos de acordo com os ângulos solicitados) de modo que apenas umvértice ficasse voltado para a parte interna do livro de espelhos e os outrosvértices fora da área de reflexão dos espelhos, cujos objetivos eram:estabelecer diferenças entre polígonos convexos e não convexos; e analisaras relações entre o número de lados de polígonos, número de pontas(vértices) e a amplitude dos ângulos. As questões exploratórias nesse blocoforam: “Quantas pontas tem a figura geométrica formada para o ângulo60º?”; “Quantas pontas tem a figura geométrica formada para o ângulo90º?”; “Qual é a relação que existe entre o ângulo formado pelos espelhos eo número de pontas da figura geométrica formada?”; “Os polígonos(contornos) nas figuras geométricas obtidas são convexos ou não convexos(côncavos)?” No terceiro bloco de atividades, cada grupo de alunos trabalhou asaberturas dos livros de espelhos de acordo com as diversas basessubstituíveis (90º, 60º e 45º), com o objetivo de reforçar a análise darelação que existe entre o número de lados de cada polígono resultante e aamplitude do ângulo de abertura do livro de espelhos. Em seguida,responderam às seguintes questões exploratórias: “Para cada basesubstituível (de 90º, 60º e 45º): a) Quantos lados tem a região poligonalformada; b) Qual o nome dado ao seu contorno (polígono)?” e “Sem utilizar
  17. 17. 17a base substituível de 30°, diga quantos lados tem o contorno (polígono)formado para o referido ângulo?”. Esta última foi considerada como umdesafio. No quarto bloco de atividades (último), os alunos colocaram umobjeto (uma tampa) sobre a bissetriz de cada ângulo das diversas basessubstituíveis e verificaram os polígonos formados com base na observaçãodo número de vértices (objeto e imagens refletidas nos espelhos), tendocomo finalidade analisar as relações entre o número de lados de polígonos ea amplitude dos ângulos. Pavimentações do plano: “A beleza das pavimentações noscaleidoscópios” foi a quarta e última atividade realizada (em grupos),composta de três blocos e desenvolvida a partir da utilização de livros deespelhos; de regiões poligonais regulares confeccionadas comemborrachado EVA; de caleidoscópios formados por um livro de espelhos emais um espelho; e, bases substituíveis (triângulos equiláteros). Osobjetivos específicos eram: descobrir polígonos regulares de um só tipo quepavimentam o plano; e reconhecer figuras simétricas em padrõesgeométricos planos. Cabe considerar que o desenvolvimento do trabalho ocorreu de forma compatível com os objetivos e conteúdos. O foco do trabalho foi o desenvolvimento de conteúdos relativos ao tema isometrias no plano (simetrias). Os conteúdos estão perfeitamente articulados aos objetivos enunciados. No entanto, não deixa muito claro no projeto o processo de devolução aos alunos sobre os resultados das atividades realizadas. No projeto não foram apresentados comentários (apenas na entrevista) sobre o teor das discussões que ocorreram no decorrer das aulas. O professor valorizou a interação entre os alunos como fator de aprendizagem, pois o trabalho foi realizado em grupos de 3 ou 4 alunos. Este foi um dos pontos fortes do projeto: os alunos deveriam discutir os resultados obtidos nas investigações, sintetizando no relatório as conclusões do grupo. No entanto, o trabalho poderia ter explorado ainda mais as rotações no plano (simetria rotacional) e as translações. O uso da informática
  18. 18. 18poderia favorecer ainda mais o processo de ensino e de aprendizagem(há alguns applets e softwares que trabalham as simetrias).Este trabalho tem como diferencial as estratégias utilizadas. Atividadesde investigação foram bem conduzidas pelo professor, antes daapresentação dos conteúdos. Para tanto o professor disponibilizou osmateriais necessários. As situações-problema propostas se constituíramno ponto de partida para a aprendizagem e não apenas o de chegada.
  19. 19. 194.2 Título do trabalho: Introdução ao Estudo de Medidas deSuperfícieProfessora: Célia Maria Ribeiro BatistaCidade: Joinvile (SC)Série/Ano: 5ª/6ºSelecionador: Ruy César Pietropaolo1. Apresentação O projeto tem por objetivo a aplicação de um conjunto de atividades a uma turma de 6º ano (5ª série) com vistas à aprendizagem da noção de área como medida de superfície e a compreensão do significado do m² como unidade padrão de área. O trabalho da professora apoiou-se em procedimentos que favoreceram a compreensão das noções envolvidas, como a obtenção de áreas pela composição e decomposição de figuras por procedimentos de contagem (ladrilhamento), por estimativas e aproximações. A professora também tinha como objetivo que o aluno “visualizasse mentalmente” o tamanho de 1 m². Os alunos fizeram investigações a respeito de quantas pessoas cabem em 1 m² e estimaram quantas pessoas caberiam em uma quadra. O aluno verificou que formas distintas podem ter a mesma área. Transformou, por exemplo, um quadrado de 1 m² de área em um triângulo de 1 m². O trabalho, como o próprio nome o diz, é o de apenas introdução ao tema. A professora fala também sobre perímetro e de polígonos não convexos. Esse projeto foi premiado porque trata-se de um trabalho desenvolvido com enorme eficiência. Os alunos fazem experimentações, elaboram conjecturas que são discutidas posteriormente com a professora. A relevância justifica-se também, porque é comum encontrar alunos, mesmo entre os que tenham estudado as medidas, que não desenvolveram a noção do “tamanho” do metro quadrado; ao perguntar a esses alunos quantas pessoas podem ficar em pé numa superfície de 1 m², é comum surgirem respostas absurdas como 60, 500, 1.200, nenhuma etc. Esse fato dificulta a compreensão de diversos conceitos e
  20. 20. 20 o desenvolvimento de estimativas. Nesse sentido, experiências simples, como a proposta pela professora – construção de um quadrado de 1m de lado com papel (jornal) para verificar quantas vezes esse “quadrado” cabe numa determinada superfície – poderá favorecer o desenvolvimento da referida noção. A professora procura dar significado àquilo que ensina. Outro aspecto importante: os conteúdos a serem ensinados é que definiram o projeto e não o contrário como acontece muitas vezes – concebe-se um projeto e depois é que se pensa nos conteúdos a serem ensinados. A professora desenvolveu a maior parte das atividades no âmbito de suas aulas. Utilizou espaços alternativos como a quadra de esportes. Esses espaços foram sim relevantes para o processo: os alunos determinaram a área da quadra e estimaram quantas pessoas cabiam, por meio da estimativa sobre quantas pessoas cabem em 1m². O que a professora queria ensinar? Ø A professora tinha como objetivo ensinar áreas e medidas – conteúdos relativos ao tema Grandezas e Medidas. Ou seja, a professora tinha como expectativa o desenvolvimento da competência métrica e o desenvolvimento da noção de superfície, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levassem o aluno a compreender o significado de 1 m² como a área de um quadrado de 1 metro de lado.2. Desenvolvimento do projeto passo-a-passo: Para início de conversaA professora inicia seu trabalho colocando para a turma as seguintesquestões: Ø o que é superfície? Ø o que é área? Ø o que é o metro quadrado?
  21. 21. 21 O objetivo da professora era o de identificar os conhecimentos prévios de seus alunos. Não souberam responder adequadamente às questões. Construindo o m²: Construção do m² utilizando jornais e revistas.Professora discute os significados de “superfície” e de “m²”. Cada aluno fezem seu caderno o registro das conclusões. Fazendo investigações: A professora organizou a sala colocando ascarteiras nas laterais, e no centro os alunos colocaram os quadrados. Aprofessora junta alguns quadrados formando retângulos com diferentesdimensões e questiona a turma sobre quantos m² tinha a superfícieformada com os quadrados. Além disso, pergunta a respeito dosprocedimentos que poderiam usar para saber quantos m² tem umasuperfície retangular sem precisar contar um por um. Depois pede para osalunos estimarem quantas daquelas superfícies de 1m² caberiam na sala deaula. Como houve divergências, solicitou que discutissem e queapresentassem uma forma de estimar quantos m² tem a sala. Os alunosapresentaram diferentes procedimentos: colocando o m² no chão da sala eimaginando quantos caberiam na sala; outros disseram que foramcolocando o quadrado nas paredes do comprimento e largura, imaginaramquantos quadrados caberiam em uma parede e em outra (comprimento elargura) e dessa forma alguns multiplicaram os quadrados de um lado comos quadrados do outro lado; outros imaginaram o número de fileiras com aquantidade de quadrados em cada fileira. A maioria chegou ao resultadocorreto, apenas alguns não conseguiram o resultado esperado. Então aprofessora realizou uma discussão para que todos compreendessem osprocedimentos utilizados. Fazendo experimentações: Os alunos em grupo foram orientados afazer a decomposição do m² em três triângulos. Depois, a composição dasseguintes formas geométricas: triângulo retângulo isósceles, losango (opróprio quadrado), retângulo, paralelogramo e o trapézio isósceles –sempre utilizando as três peças da decomposição. Questões: refletindo sobre o que aprenderam Foram propostas as seguintes questões e tarefas para os alunos:
  22. 22. 22 Ø O que é metro quadrado? Ø O que é superfície? Ø O que é área? Ø Como você pode representar a superfície de 1m²? Ø Meça as dimensões do seu quarto e calcule sua área. Ø Calcule o perímetro de seu quarto. Cálculos – aplicando as noções aprendidas: Em grupos os alunosforma solicitados a: Ø Medir comprimentos para se obter as dimensões lineares da quadra de vôlei; Ø Obter a área da quadra de vôlei; Ø Estimar o número de pessoas (alunos) que cabem na quadra; Ø Indicar um procedimento para contar os tacos na sala de aula sem contá-los de um em um. Avaliação: Nesse momento a professora realizou uma avaliação escritacom questões relacionadas ao diagnóstico do início. Ou seja, sua finalidadefoi verificar a eficácia do projeto, isto é, a aprendizagem dos alunos. Asquestões se referiam aos conceitos de superfície, área e m², ao cálculo deárea e ao desenvolvimento da visão (noção) de espaço.3. Os alunos aprenderam a: Ø reconhecer a superfície como uma grandeza e área como uma medida da superfície; Ø diferenciar área de perímetro: perímetro indica a medida do contorno de uma superfície ao passo que a área indica a medida do interior da superfície (região plana); Ø reconhecer que na decomposição de um quadrado em outros polígonos, a área é invariante, ao passo que o perímetro não;
  23. 23. 23 Ø estimar o número de pessoas que cabem em uma dada superfície conhecida sua área.Apesar de simples, o trabalho tem um certo nível de originalidade quando aprofessora propõe a decomposição do quadrado de 1 m de lado. Ou seja,por meio dessa proposta os alunos passaram a considerar que 1 m² não é amedida apenas do interior de um quadrado de 1 m de lado, poisdecompuseram esse quadrado em outras figuras de mesma área. Elatrabalhou com a questão da reversibilidade do pensamento do aluno.

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