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La circunferencia en geometria analitica
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La circunferencia en geometria analitica

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  • 1.  Introducción  Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria  Forma general de la ecuación de la circunferencia  Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas  Familias de circunferencias  Eje radical  Tangente a una curva  Tangente a una circunferencia  Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia
  • 2. La circunferencia es el lugar geométrico del plano descrito por un punto que se mueve a una distancia constante de un punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.
  • 3. 1 . E scrib ir la ecu ació n d e la circu n feren cia d e cen tro C ( 3, 7 ) y rad io 7 . 2. Los extrem os de un diam etro de una circunferencia son los puntos A (2, 3) y B ( 4, 5 ). H allar la ecuación de la curva.
  • 4. 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C ( 3, 7) y radio 7. -1 0 -8 -6 -4 -2 2 y -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 4 x
  • 5. 2. Los extrem os de un diam etro de una ci rcunferencia son los puntos A (2, 3) y B ( 4, 5). H allar la ec uación de la curva. y 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 -1 2 3 4 5 x
  • 6. C orolario: C uando el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas h la ecuación de la circunferencia se expresa : x 2 y 2 r 2 k 0
  • 7. x h 2 y k 2 r 2 (2)
  • 8. x 2 y 2 r 2 (3)
  • 9. U n a circu n feren cia tien e su cen tro en el o rig en y u n rad io ig u al a ¿C u ál es su ecu ació n ? 2.
  • 10. D esarro llan d o lo s cu ad rad o s en la ecu ació n x 2 h y k 2 r 2 ten em o s x 2 2hx h 2 y 2 2 ky k 2 r 2 y ag ru p an d o to d o s lo s térm in o s en el p rim er m iem b ro : x 2 y 2 2h x 2k y h 2 k 2 r 2 0
  • 11. x 2 y 2h, 2 2h x 2k , y h 2 k 2 2k y r h 2 k 2 r 2 0 2 S on núm eros reales cualesquiera, por lo tanto podem os decir: D 2h E 2k F h 2 k 2 r 2 S ustituyendo en la ecuación x 2 y 2 2h x 2k y tenem os: x 2 y 2 Dx Ey F 0 h 2 k 2 r 2 0
  • 12. L a fo rm a x 2 y 2 Dx Ey F 0 es la fo rm a g en eral d e la ecu ació n d e la circu n feren cia.
  • 13. P ara corresponder a la ecuación de una circunferencia, hacem os r 1 2 D 2 E 2 4F
  • 14. P or lo que se presentan tres casos para : a) b) c) D 2 D 2 D 2 E 2 4F 0 E 2 4F 0 E 2 4F 0
  • 15. x 2 y 2 Dx 2 D x y 2 a) D 2 E 2 Ey E 2 4F F 2 0 D 2 E 2 4F 4 0 La ecuación corresponde a una circunfere ncia con centro en D C E , 2 2 y radio r 1 2 D 2 E 2 4F
  • 16. x 2 y 2 Dx 2 D x Ey y 2 b) D 2 E 2 E 2 4F F 2 0 D 2 E 2 4F 4 0 La ecuación corresponde a una circunfere ncia de radio cero; es decir, un punto de coo rdenadas C D 2 , E 2
  • 17. x 2 x y 2 Dx Ey 2 D y 2 c) D F E 2 0 D 2 2 2 E 2 4F E 2 4F 4 0 La ecuación corresponde a una circunferencia im aginaria y, por lo tanto, no tiene representación real.
  • 18. N O T A . S i se da la ecuacion de una circun ferencia en la form a general, se aconseja no proc eder m ecanicam ente, usando las fórm ulas dadas en el teorem a 2 para obtener el centro y el ra dio. E n vez de esto, es conveniente reducir la ecuación a la form a ordinaria por el m étodo de co m pletar cuadrados, tal com o se hizo en la deducc ion del teorem a m ism o.
  • 19. E s la ecuación 3 x 2 3y 2 12 x 24 y 15 0 la ecuación de una circunferencia. E n caso afirm ativo, encontrar dónde está su centro y cuál es su radio E s la ecuación 2 x² 2y 2 28 x 6y 188 0 la ecuación de una circunferencia. E n caso afirm ativo, encontrar dónde está su centro y cuál es su radio.
  • 20. E jem plo: H állese la ecuación de una circ unferencia pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4 y su centro está sobre la recta 3 x 2y 23 0.
  • 21. A hora considerarem os fam ilias o haces de circunferencias de la m ism a m anera que consideram os fam ilias de rectas. Y a señalam os que una circunferencia y su ecuación se determ inan cada una por tres condicione s independientes. U na circunferencia que satisface m enos d e tres condiciones independient es no es única.
  • 22. La ecuación de una circunferencia que satisface solam ente dos condiciones contiene una constante arbitraria llam ad a parám etro. S e dice entonces que tal ec uación r eprese n ta una fam ilia de circu nferen c i as d e un parám etro .
  • 23. P or ejem plo , la fam ilia de todas las circunferencias concéntricas cuyo centro com ún es el punto (1, 2) tiene por ecuac ión x 1 2 y 2 2 k 2 en donde el parám etro k es cualquier núm ero real positivo.
  • 24. k 1/ 2 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6
  • 25. P ara entender lo que sucede con esta fam ilia de circunferencias que estam os por crear, debem os tener claro cuáles son las posibilidades de intersección de dos circunferencias dadas, com o la C 1 y C 2 de la transparencia anterior y com o determ inar dichas intersecciones. H acem os, por lo tanto, un paréntesis para estuciar la intersección de dos circunferencias.
  • 26. Las dos circunferencias, C1 : x C2 : x 2 2 2 D1 x E1 y F1 0 2 D2 x E2 y F2 0 y y pueden: a) Intersectarse en dos puntos b) Intersectarse en un solo punto y ser tangentes entre ellas c) N o intersectarse
  • 27. x 1 x 2 2 2 y 2 y 1 2 2 5 2 3 2 S e in tersectan
  • 28. x x 2 1 2 2 y y 3 1 2 2 3 2 2 2 Son tangentes
  • 29. x 2 y 2 1 2 2 2 x 1 2 y 3 2 7 2 10 N o se in tersectan
  • 30. x 2 3 y 3 2 1 2 2 x 1 2 y 3 2 2 2 N o se in tersectan
  • 31. Si d r1 r2 las circunferencias no se intersecta n Si d r1 r2 las circunferencias son tangentes ex teriores Si d r1 r2 r2 r1 d las circunferencias se intersec tan en dos puntos d r2 r1 las circunferencias no se intersectan d r2 r1 las circunferencias son tangentes interiores