Interpretacíon de la Derivada

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Interpretacíon de la Derivada

  1. 1. Interpretación Geométrica de la Derivada<br />Muchos problemas importantes en cálculo dependen de la determinación de la recta tangente a una curva dada, en un punto específico de la misma. Si consideramos la gráfica de una circunferencia, la recta tangente en punto P de está curva se define como la recta que corta la circunferencia únicamente en el punto P ver la figura 1. Para cualquier otra curva la recta que debería ser la recta tangente en el punto P, corta la curva en otro punto Q; ver figura 2<br />Veamos esas figuras<br />
  2. 2. Figura 1<br />Figura 2<br />Q<br />Recta secante<br />P<br />P<br />Punto de tangencia<br />Recta tangente <br />
  3. 3. Recta Tangente y la Derivada<br />Consideremos una función f continua en “a” .Para definir la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto . Consideremos a I un intervalo abierto que contiene al número “a” en el cual f está definida . Sea otro punto sobre la gráfica de f tal que también está en I y sea S la recta que pasa por los puntos P y Q es decir, S es una recta secante.<br />Veamos la gráfica<br />
  4. 4. Volver <br />
  5. 5. Podemos observar en la gráfica que h denota una variación en el valor de “a” cuando x cambia de “a” a a+h y puede ser positiva o negativa, esa variación se llama incremento de x .<br />La recta secante que pasa por los puntos P y Q de la gráfica su pendiente está dada por:<br />Acuérdate de la definición de pendiente<br />Siempre que la recta no sea vertical<br />
  6. 6. Pendiente de una Recta<br />Para dos puntos cualesquiera en una recta R digamos <br />La pendiente está dada por : <br />Observación :<br />Si entonces no existe pendiente (Rectas Verticales) <br />Si entonces la pendiente es cero (Rectas Horizontales) <br />
  7. 7. Ahora si imaginamos el punto P como un punto fijo y el punto Q moviéndose a lo largo de la curva en dirección hacia P ( Q se aproxima a P ).<br />Lo que estamos diciendo es que el valor de h se aproxima a cero . Mientras esto sucede, la recta secante gira sobre el punto fijo P y el ángulo tiende a ser . La posición límite de la recta secante es la que deseamos sea la recta tangente a la curva en el punto P. Este análisis nos lleva a la definición de recta tangente.<br />Veamos entonces la definición de Recta tangente<br />
  8. 8. Definición de Recta Tangente<br />Supongamos que la función f es continua en “a”; entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto es:<br />si este límite existe <br />1.-<br />La recta si<br />2.-<br />y<br />
  9. 9. La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.<br />
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