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Interpretacíon de la Derivada
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Interpretacíon de la Derivada

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Transcript

  • 1. Interpretación Geométrica de la Derivada
    Muchos problemas importantes en cálculo dependen de la determinación de la recta tangente a una curva dada, en un punto específico de la misma. Si consideramos la gráfica de una circunferencia, la recta tangente en punto P de está curva se define como la recta que corta la circunferencia únicamente en el punto P ver la figura 1. Para cualquier otra curva la recta que debería ser la recta tangente en el punto P, corta la curva en otro punto Q; ver figura 2
    Veamos esas figuras
  • 2. Figura 1
    Figura 2
    Q
    Recta secante
    P
    P
    Punto de tangencia
    Recta tangente
  • 3. Recta Tangente y la Derivada
    Consideremos una función f continua en “a” .Para definir la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto . Consideremos a I un intervalo abierto que contiene al número “a” en el cual f está definida . Sea otro punto sobre la gráfica de f tal que también está en I y sea S la recta que pasa por los puntos P y Q es decir, S es una recta secante.
    Veamos la gráfica
  • 4. Volver
  • 5. Podemos observar en la gráfica que h denota una variación en el valor de “a” cuando x cambia de “a” a a+h y puede ser positiva o negativa, esa variación se llama incremento de x .
    La recta secante que pasa por los puntos P y Q de la gráfica su pendiente está dada por:
    Acuérdate de la definición de pendiente
    Siempre que la recta no sea vertical
  • 6. Pendiente de una Recta
    Para dos puntos cualesquiera en una recta R digamos
    La pendiente está dada por :
    Observación :
    Si entonces no existe pendiente (Rectas Verticales)
    Si entonces la pendiente es cero (Rectas Horizontales)
  • 7. Ahora si imaginamos el punto P como un punto fijo y el punto Q moviéndose a lo largo de la curva en dirección hacia P ( Q se aproxima a P ).
    Lo que estamos diciendo es que el valor de h se aproxima a cero . Mientras esto sucede, la recta secante gira sobre el punto fijo P y el ángulo tiende a ser . La posición límite de la recta secante es la que deseamos sea la recta tangente a la curva en el punto P. Este análisis nos lleva a la definición de recta tangente.
    Veamos entonces la definición de Recta tangente
  • 8. Definición de Recta Tangente
    Supongamos que la función f es continua en “a”; entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto es:
    si este límite existe
    1.-
    La recta si
    2.-
    y
  • 9. La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

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