Función Compuesta y Función Inversa

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Función Compuesta y Función Inversa

  1. 1. FUNCIÓN COMPUESTA g o f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@. En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante. Definición: Dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X. A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento. Ejemplo Sean las funciones: f ( x) = x 2 g ( x) = x + 2 La función g compuesta con f que expresamos f o g está dada como 2 fog ( x) = f ( g ( x)) = (x + 2 ) = x 2 + 4 x + 4 La función f compuesta con g que expresamos g o f está dada como gof ( x) = g ( f ( x)) = x 2 + 2
  2. 2. Observación: La función compuesta está bien definida, pues cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función: 1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ο f) cumple la condición de existencia. 2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)). Propiedades de la Función Compuesta • La composición de funciones es asociativa, es decir: • La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir: Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)². • La inversa de la composición de dos funciones es: Función recíproca o inversa
  3. 3. Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a. En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f. Definición: Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla: Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple: • y • . De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa. Definiciones alternativas Dadas dos aplicaciones y las propiedades: 1. y 2. , Entonces: • Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f. • Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f. • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
  4. 4. Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa. Propiedades algebraicas Inversión del orden en la composición de funciones. • La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1, • La recíproca de la recíproca de una función es la propia función: Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y . Gráfico Gráfico de la función inversa Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ]
  5. 5. • Los gráficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta ∆: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes. • Las tangentes en M y M' tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

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