Trabajo series de taylor

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Trabajo series de taylor

  1. 1. EJERCICIOS SERIES DE TAYLOR<br />FREDY ANDRES REYES SANCHEZ<br />DOCENTE: PhD EDUARDO CARRILLO<br />UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER<br />ESCUELA INGENIERIA DE PETROLEOS<br />MÉTODOS NUMÉRICOS<br />BUCARAMANGA<br />2010<br /> La serie nfinita<br />ex=1+x+ x22!+x33!+…xnn!<br />Puede ser usada para aproximar ex.<br /> Demuestre que la expansión en series de Maclaurin es un caso especial de expansión en serie de Taylor con xi=0 y h=x.<br />Use la serie de Taylor para estimar fx=e-x en xi+1=1 para xi=25. Emplee versiones de cero, primero, segundo, y tercer orden y calcule el εt para cada caso.<br />Solución: <br /> Para este caso xi=0 y h=x, entonces:<br />fx=f0+f'0x+f''0x22!+…<br />f0=f'0=f''0=1;<br />fx=1+x+x22!+x33!+…<br />fxi+1=e-xi-e-xih+e-xih22!+e-xih36!+…<br />para xi=25 y xi+1=1->h=75<br />Para orden cero:<br />f1≅e-0,25=0,778801 <br />siendo el valor verdadero e-0,1=0,367879<br />entonces el εt=0,367879-0,778801 0,367879*100=-111.7%<br />Para el primer orden:<br /> f1≅0,778801-0,7788010,75≅0,1947<br />εt=47,1%<br />Para el segundo orden:<br /> f1≅0,778801-0,7788010,75+0,7788010,7522≅0,413738<br />f1≅0,413738 y el εt=-12,46%<br />Para el tercer orden:<br /> f1≅0,413738-0,7788010,7563≅0,358978<br />εt=2,42%<br />La expansión en serie de maclaurin para cos x es <br />cosx=1-x22+x44!-x66!+x88!-…<br />Iniciando con el prime término cosx=1, agréguese los términos uno a uno para estimar cos(π4). Después de que agregue cada uno de los términos, calcule los errores porcentuales relativos exactos y aproximados. Use una calculadora para determinar el valor exacto. Agréguese términos hasta que el valor absoluto del error aproximado falle bajo cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.<br />Solución: <br />Usando εs=0,5*102-2=0,5%<br />Para el orden cero:<br />cosπ4≅1<br />Siendo el valor verdadero cosπ4=0,707107<br />εt=0,707107-1 0,707107*100=-41,42%<br />Para el primer orden:<br />cosπ4≅1-π422=0,691575 siendo su εt=2,19%<br />εa=0,691575-1 0,691575*100=-44,6%<br />Para el segundo orden:<br />cosπ4≅0,691575+π4424=0,707429 siendo su εt=-0,456%<br /> y el εa=2,24%<br />Para el tercer orden:<br />cosπ4≅0,707429+π46120=0,707130 siendo su εt=0,0005%<br />y el εa=-0,046%<br />Usar los términos en series de Taylor de cero a tercer orden para predecir f(2) para:<br />fx=25x3-6x2+7x-88<br />Usando como punto de base x=1. Calcúlese el error relativo porcentual verdadero para cada aproximación.<br />el valor verdadero es f2=102<br />Para el orden cero:<br />f2≅f1≅-62 y su εt=160,8%<br />Para el primer orden:<br />f'1=1512-121+7=10<br />f2≅-62+701=8<br />εt=92,1%<br />Para el segundo orden:<br />f''1=150(1)-12=138<br />f2≅8+138212=77<br />εt=24,5%<br />Para el tercer orden:<br />f'''1=150<br />f2≅77+150613=102<br />εt=0%<br />Que era como se esperaba.<br />Use aproximaciones de diferencias de O (h) hacia atrás y hacia adelante y una aproximación central de O (h)2 para estimar la primera derivada de la función mencionada en el problema anterior. Evaluar la derivada en x=2 usando un tamaño del paso de h=0,25. Compare los resultados con el valor correcto de las derivadas. Interpretar los resultados con el valor correcto con base en el término residual de la expansión en serie de Taylor.<br />f'x=7512-12x+7<br />f'2=283 que es el valor verdadero.<br />xi-1=1,75 fxi-1=39,85938<br />xi=2,0 fxi=102<br />xi+1=2,25 fxi+1=182,1406<br />Hacia adelante:<br />f'2=182,1406-1020,25=320,5625<br />εt=-13,273%<br />Hacia atrás:<br />f'2=102-39,59380,25=248,5625<br />εt=12,17%<br />Y central:<br />f'2=182,1406-39,59382(0,25)=284,5625<br />εt=-0,55%<br />Relacionamos los errores hacia adelante y hacia atrás:<br /> εt≈f''xih2<br />f''2=1502-12=288<br /> εt≈2880,252=36<br />Que es íntimo o pequeño.<br />Para la diferencia central:<br /> εt≈-f'''xih22<br /> εt≈-1500,2526=-1,5625<br />Que es lo exacto.<br />εt=283-284,5625<br />Que era como se esperaba.<br />BIBLIOGRAFÍA<br />Tomado y resuelto de la Chapra, sección de problemas propuestos, números 4.1, 4.2, 4.4 y 4.6<br />

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