Modelos de Redes: Árbol de expansión mínima  M. En C. Eduardo Bustos Farías
Objetivos  Conceptos y definiciones de redes.  Importancia de los modelos de redes  Modelos de programación lineal, repres...
Un problema de redes es aquel que puederepresentarse por:                       86                                        ...
IntroducciónLa importancia de los modelos de redes:* Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a travésde modelos ...
Terminología de Redes* Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarsedesde un nodo i a un nodo j a través de un a...
Rutas/Conexión entre nodos*Ruta: Una colección de arcos formados por una serie denodos adyacentes* Los nodos están conecta...
Árbol de expansión mínima                            7
Árbol de expansión mínimaEste problema surge cuando todos los nodos de unared deben conectar entre ellos, sin formar un lo...
Árbol de expansión mínimaEste problema se refiere a utilizar las ramas o arcos dela red para llegar a todos los nodos de l...
Algoritmo de Kruskal                       10
Algoritmo de Kruskal1.   Comenzar en forma arbitraria en cualquier     nodo y conectarlo con el mas próximo (menos     dis...
EJEMPLO 1EL TRANSITO DEL DISTRITO     METROPOLITANO  Árbol de expansión mínima                              12
EL TRANSITO DEL DISTRITO  METROPOLITANO La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea en siste...
RED QUE                                                                             55REPRESENTA         Zona Norte       ...
Solución - Analogía con un problema de redes- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimientomuy fácil (“trivi...
Solución óptima mediante WINQSB                                  16
RED QU E                                                                   55REPRESENTA LA                              50...
EJEMPLO 2 RED DE COMUNICACIONESÀRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA                            18
Ejemplo 1Se va a instalar una red de comunicaciónentre 12 ciudades.Los costos de los posibles enlacesdirectos entre pares ...
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SOLUCIÓN CON   WINQSB               21
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Método Tabular     1   2   3    4   5   6   7   8   9   10   11   121        4            12    4       6            33   ...
EJEMPLO 3  winqsb            38
Solucione el siguiente árbol de extensión mínima parala red de comunicaciones de emergencia usando elmétodo tabular. Las u...
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USANDO EL WINQSB                   41
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EJEMPLO 4 CENTRO REGIONAL DE        CÓMPUTOÁrbol de expansión mínima                            58
Un centro regional de cómputo (C.R.C.), debeinstalar líneas especiales para comunicación, afin de conectar a cinco usuario...
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SOLUCIÓN           61
Desarrollo del algoritmo:· Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en  cualquier otro nodo) y se encuentra que el  nodo más próxi...
Con una extensión de 110 Kms.                                63
Interacción   Nodos   Distancia                       (Km.)    1          3-4       10    2          4-6       20    3    ...
MÉTODO TABULAR     1    2    3    4    5    61         20   40   30   50   402    20                  403    40           ...
PROBLEMA PARA     RESOLVERCAMINOS EN EL PARQUE     RUTA MÁS CORTA                       66
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EJERCICIO PARA  RESOLVER                 75
La cía. MCC acaba de obtener la aprobaciónpara ofrecer el servicio de televisión por cableen una zona metropolitana.Los no...
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SOLUCIÓN           78
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EJERCICIO PARA  RESOLVER                 80
1. TV Cable Visión desea establecer una red de   comunicación para brindar el servicio de cable que   permita enlazar las ...
250      82
SOLUCIÓN           83
Usando TORA              84
1° A = {1}                                B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}   Min = {(1,2)(1,3)(1,4)} = (1,2) = 4000...
8° A = {1,2,3,4,5,6,7,8}                                        B = {9,10,11,12,13,14,15}    Min = {(4,9)(5,9)(6,12)(7,9)(...
EJERCICIO PARA  RESOLVER                 87
Una compañía desea anunciar su producto a las12 principales estaciones de radio locales.La red de comunicaciones por cable...
89
SOLUCIÓN           90
SOLUCION EN EL TORA :ARBOL1---------------------------------------------------------*** MINIMAL SPANNING TREE SOLUTION ***...
From   To    Arc LengthN1     N2    3.00N2     N4    1.00N4     N6    4.00N6     N10   1.00N6     N5    2.00N10    N12   3...
EJERCICIO PARA  RESOLVERÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA                            93
Una empresa de paquetería ha iniciadosus labores, repartiendo paquetes portoda la ciudad, pero tiene clientesprincipales, ...
Distancia en Kms.                    95
SOLUCIÓN           96
Paso 0:A=0B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}Paso 1:A = {1}B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,2)(1,3)(1,5)} = 1   ...
Paso 6:A = {1,2,3,4,5,6}B = {7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(6,11)}= 1        Nodo = 11Paso 7...
Paso 11:A = {1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13}B = {7,8,9}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,13)(11,12)(10,7)(10,8)}= 2 ...
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EJERCICIO PARA  RESOLVER                 101
Desarrolle la solución del árbol de extensión       mínima (Kms.) para la siguiente red de          comunicaciones de emer...
ANEXO ALGORITMO  DE KRUSKAL     GRAFOS                  103
Algoritmo de Kruskal  Dado un grafo ponderado G=(V, A), el algoritmo parte de un grafo  G’= (V, Ø). Cada nodo es una compo...
Árboles de expansión.                                      Algoritmo de Kruskal     Ejemplo. Mostrar la ejecución del algo...
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20 arbol de_extension_minima

  1. 1. Modelos de Redes: Árbol de expansión mínima M. En C. Eduardo Bustos Farías
  2. 2. Objetivos Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redes Modelos de programación lineal, representación en redes y soluciones usando el computador para: * Modelos de asignación * Modelo del vendedor viajero * Modelos de la ruta mas corta * Modelos de la rama mas cortaY otros.
  3. 3. Un problema de redes es aquel que puederepresentarse por: 86 9 10 Nodos Arcos 7 10 Funciones en los arcos
  4. 4. IntroducciónLa importancia de los modelos de redes:* Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a travésde modelos redes* El resultado de un problema de redes garantiza una soluciónentera, dada su estructura matemática. No se necesitanrestricciones adicionales para obtener este tipo de solución.* Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeñosalgoritmos , no importando el tamaño del problema, dada suestructura matemática.
  5. 5. Terminología de Redes* Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarsedesde un nodo i a un nodo j a través de un arco que losconecta. La siguiente notación es usada:Xij= cantidad de flujoUij= cota mínima de flujo que se debe transportarLij= cota maxíma de flujo que se puede transportar.* Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puedetransportarse en una sola dirección se tiene un arco dirigido (laflecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse enambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).* Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i siexiste un arco que une el nodo j con el nodo i.
  6. 6. Rutas/Conexión entre nodos*Ruta: Una colección de arcos formados por una serie denodos adyacentes* Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos.Ciclos / Arboles /Arboles expandidos* Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo porun cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta.* Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos.*Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos dela red (contiene n-1 arcos).
  7. 7. Árbol de expansión mínima 7
  8. 8. Árbol de expansión mínimaEste problema surge cuando todos los nodos de unared deben conectar entre ellos, sin formar un loop.El árbol de expansión mínima es apropiado paraproblemas en los cuales la redundancia esexpansiva, o el flujo a lo largo de los arcos seconsidera instantáneo. 8
  9. 9. Árbol de expansión mínimaEste problema se refiere a utilizar las ramas o arcos dela red para llegar a todos los nodos de la red, de maneratal que se minimiza la longitud total.La aplicación de estos problemas de optimización seubica en las redes de comunicación eléctrica, telefónica,carretera, ferroviaria, aérea, marítima, etc.; donde losnodos representan puntos de consumo eléctrico,teléfonos, aeropuertos, computadoras.Y los arcos podrían ser de alta tensión, cable de fibraóptica, rutas aéreas, etc.Si n = numero de nodos, entonces la solución óptimadebe incluir n-1 arcos. 9
  10. 10. Algoritmo de Kruskal 10
  11. 11. Algoritmo de Kruskal1. Comenzar en forma arbitraria en cualquier nodo y conectarlo con el mas próximo (menos distante o costoso).2. Identificar el nodo no conectado que esta más cera o menos costoso de alguno de los nodos conectados. Deshacer los empates de forma arbitraria. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado.3. Repartir este aso hasta que se hayan conectado todos los nodos. 11
  12. 12. EJEMPLO 1EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO Árbol de expansión mínima 12
  13. 13. EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea en sistemas de tránsito. El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales. El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos los centros a un mínimo costo. La red seleccionada debe permitir: - Factibilidad de las líneas que deban ser construídas. - Mínimo costo posible por línea. 13
  14. 14. RED QUE 55REPRESENTA Zona Norte UniversidadEL ARBOL 50 3 5EXPANDIDO. 30 Distrito Comercial 39 38 33 4 34Zona Oeste 45 32 1 28 8 35 43 Zona 2 6 Zona Este Shopping 40 Centro 41 Center 37 36 44 7 Zona Sur 14
  15. 15. Solución - Analogía con un problema de redes- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimientomuy fácil (“trivial”).- Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.- Algoritmo: * Comience seleccionando el arco de menor longitud. * En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la precaución de no formar ningún loop. * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están conectados.Solución mediante el computador- Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de losarcos y la descripción de la red. 15
  16. 16. Solución óptima mediante WINQSB 16
  17. 17. RED QU E 55REPRESENTA LA 50 UniversidadSOLUCIÓN ÓPTIMA 3 5 Zona Norte 30 Distrito Comercial 39 38 33 4 34 Zona Oeste 45 Loop 32 1 28 8 35 43 Zona 2 6 Zona Este Shopping 40 Centror 41 Center 37 36 44 Costo Total = $236 millones 7 Zona Sur 17
  18. 18. EJEMPLO 2 RED DE COMUNICACIONESÀRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA 18
  19. 19. Ejemplo 1Se va a instalar una red de comunicaciónentre 12 ciudades.Los costos de los posibles enlacesdirectos entre pares permisibles es el quese muestra en la figura.Cada unidad de costo representa $10,000dólares. 19
  20. 20. 1 4 2 6 3 6 41 3 7 15 4 6 5 7 2 89 7 2 29 5 10 3 11 1 12 20
  21. 21. SOLUCIÓN CON WINQSB 21
  22. 22. 22
  23. 23. 23
  24. 24. 24
  25. 25. 25
  26. 26. 26
  27. 27. 27
  28. 28. 28
  29. 29. 29
  30. 30. 30
  31. 31. 31
  32. 32. 32
  33. 33. 33
  34. 34. 34
  35. 35. 35
  36. 36. SoluciónInteracción Nodo Con nodo Costo ($)1 1 5 12 1 2 43 2 6 34 6 7 55 7 8 26 8 4 17 7 11 28 11 12 19 11 10 310 10 9 511 2 3 6 SUMA $33 36
  37. 37. Método Tabular 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 4 12 4 6 33 6 6 74 6 15 1 4 96 3 4 5 77 7 5 2 28 1 2 29 9 510 7 5 311 2 3 112 2 1 37
  38. 38. EJEMPLO 3 winqsb 38
  39. 39. Solucione el siguiente árbol de extensión mínima parala red de comunicaciones de emergencia usando elmétodo tabular. Las unidades son distancias en kms. 39
  40. 40. SOLUCIÓN 40
  41. 41. USANDO EL WINQSB 41
  42. 42. 42
  43. 43. 43
  44. 44. 44
  45. 45. 45
  46. 46. 46
  47. 47. 47
  48. 48. 48
  49. 49. 49
  50. 50. 50
  51. 51. 51
  52. 52. 52
  53. 53. 53
  54. 54. 54
  55. 55. 55
  56. 56. 56
  57. 57. ITERACIÓN DEL NODO AL NODO DISTANCIA1 1 12 122 12 15 133 15 14 124 14 13 45 13 10 56 14 7 97 7 8 18 10 9 109 14 11 1010 11 6 811 9 4 1212 4 3 913 3 2 1114 4 5 13 SUMA 129 57
  58. 58. EJEMPLO 4 CENTRO REGIONAL DE CÓMPUTOÁrbol de expansión mínima 58
  59. 59. Un centro regional de cómputo (C.R.C.), debeinstalar líneas especiales para comunicación, afin de conectar a cinco usuarios satélite con unanueva computadora central, la compañíatelefónica local es la que instalará la nueva redde comunicaciones, pero es una operacióncostosa.Con el propósito de reducir costos, se buscaque la longitud total (Kms.) de estas líneas seala menor posible.La red para este problema es la siguiente: 59
  60. 60. 60
  61. 61. SOLUCIÓN 61
  62. 62. Desarrollo del algoritmo:· Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo más próximo es el 4 (10 Kms.)· El siguiente nodo más cercano al 3 o 4 es el nodo 6 (20 Kms).· Repitiendo el paso anterior tenemos el siguiente árbol de extensión mínima: 62
  63. 63. Con una extensión de 110 Kms. 63
  64. 64. Interacción Nodos Distancia (Km.) 1 3-4 10 2 4-6 20 3 3-5 30 4 4-1 30 5 1-2 20 110 Km. 64
  65. 65. MÉTODO TABULAR 1 2 3 4 5 61 20 40 30 50 402 20 403 40 10 304 30 10 205 50 40 30 406 40 20 40 65
  66. 66. PROBLEMA PARA RESOLVERCAMINOS EN EL PARQUE RUTA MÁS CORTA 66
  67. 67. 67
  68. 68. SOLUCIÓN 68
  69. 69. 69
  70. 70. 70
  71. 71. 71
  72. 72. 72
  73. 73. 73
  74. 74. 74
  75. 75. EJERCICIO PARA RESOLVER 75
  76. 76. La cía. MCC acaba de obtener la aprobaciónpara ofrecer el servicio de televisión por cableen una zona metropolitana.Los nodos de la red que aparece en seguidarepresentan los puntos de distribución a los quedeben llegar las líneas primarias del cable.Los arcos de la red muestran el número demillas que existen entre los puntos dedistribución.Determine la solución que permitirá a lacompañía llegar a todos los puntos dedistribución con una longitud mínima de la líneadel cable primario. 76
  77. 77. 77
  78. 78. SOLUCIÓN 78
  79. 79. 79
  80. 80. EJERCICIO PARA RESOLVER 80
  81. 81. 1. TV Cable Visión desea establecer una red de comunicación para brindar el servicio de cable que permita enlazar las 14 ciudades de la República Mexicana.Determinar cómo se conectarían dichos 14 ciudades de forma que la longitud de cable a utilizarse sea mínima.El nodo 1 constituye la estación de reparto.Los números expresados en cada rama expresan las distancias entre las ciudades.A través de la aplicación de este algoritmo, podemos calcular la cantidad mínima de cable a ser utilizadas en la red de comunicación por cable (expresado en metros) 81
  82. 82. 250 82
  83. 83. SOLUCIÓN 83
  84. 84. Usando TORA 84
  85. 85. 1° A = {1} B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(1,2)(1,3)(1,4)} = (1,2) = 40002° A = {1,2} B = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(1,3)(1,4)(2,3)(2,5)(2,6)} = (2,3) = 2003° A = {1,2,3} B = {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(1,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)} = (3,4) = 2004° A = {1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(2,5)(2,6)(3,5)(4,5)(4,9)} = (4,5) = 2505° A = {1,2,3,4,5} B = {6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(2,6)(4,9)(5,6)(5,7)(5,9)} = (5,6) = 2006° A = {1,2,3,4,5,6} B = {7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(4,9)(5,7)(5,9)(6,7)(6,8)(6,12)} = (6,7) = 2007° A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(4,9)(5,9)(6,8)(6,12)(7,8)(7,9)} = (7,8) = 150 85
  86. 86. 8° A = {1,2,3,4,5,6,7,8} B = {9,10,11,12,13,14,15} Min = {(4,9)(5,9)(6,12)(7,9)(8,9)(8,11)(8,12)} = (8,9) = 2009° A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {10,11,12,13,14,15} Min = {(6,12)(8,11)(8,12)(9,10)} = (9,10) = 25010° A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} B = {11,12,13,14,15} Min = {(6,12)(8,11)(8,12)(10,11)(10,15)} = (10,11) = 18011° A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} B = {12,13,14,15} Min = {(6,12)(8,12)(10,15)(11,13)(11,14)(11,15)} = (11,13) = 35012° A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13} B = {12,14,15} Min = {(6,12)(8,12)(10,15)(11,13)(11,14)(11,15)(13,14)} = (13,14) = 12013° A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14} B = {15} Min = {(6,12)(8,12)(10,15)(11,15)(14,15)} = (14,15) = 120 86
  87. 87. EJERCICIO PARA RESOLVER 87
  88. 88. Una compañía desea anunciar su producto a las12 principales estaciones de radio locales.La red de comunicaciones por cable que enlazaa las estaciones de radio se indica en la figura.Determine como se conecta las 12 estacionesde radio de modo que se minimice la longitudtotal del cable que se utilizó (Kms). 88
  89. 89. 89
  90. 90. SOLUCIÓN 90
  91. 91. SOLUCION EN EL TORA :ARBOL1---------------------------------------------------------*** MINIMAL SPANNING TREE SOLUTION ***Minimal spanning tree length = 28.0000 91
  92. 92. From To Arc LengthN1 N2 3.00N2 N4 1.00N4 N6 4.00N6 N10 1.00N6 N5 2.00N10 N12 3.00N4 N8 4.00N8 N11 1.00N10 N9 4.00N9 N7 3.00N7 N3 2.00 92
  93. 93. EJERCICIO PARA RESOLVERÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA 93
  94. 94. Una empresa de paquetería ha iniciadosus labores, repartiendo paquetes portoda la ciudad, pero tiene clientesprincipales, los cuales necesitan suspaquetes lo más pronto posible.La empresa necesita saber cual es elcamino más rápido para que sus enviadoslleguen a su destino para hacer la entregaa tiempo. 94
  95. 95. Distancia en Kms. 95
  96. 96. SOLUCIÓN 96
  97. 97. Paso 0:A=0B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}Paso 1:A = {1}B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,2)(1,3)(1,5)} = 1 {(1,2)(1,3)(1,5)} Nodo = 2Paso 2:A = {1,2}B = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,3)(1,5)(2,4)(2,5)}= 2 {(1,3)(1,5)(2,4)(2,5)}= Nodo = 5Paso 3:A = {1,2,5}B = {3,4,6,7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,3)(1,5)(2,4)(5,7)(5,8)}= 3 {(1,3)(1,5)(2,4)(5,7)(5,8)}= Nodo = 4Paso 4:A = {1,2,4,5}B = {3,6,7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,3)(4,7)}= 2 Nodo = 3 {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,3)(4,7)}=Paso 5:A = {1,2,3,4,5}B = {6,7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,6)(3,7)}= 1 {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,6)(3,7)}= Nodo = 6 97
  98. 98. Paso 6:A = {1,2,3,4,5,6}B = {7,8,9,10,11,12,13}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(6,11)}= 1 Nodo = 11Paso 7:A = {1,2,3,4,5,6,11}B = {7,8,9,10,12,13}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(11,12)(11,13)}= 1 Nodo = 13Paso 8:A = {1,2,3,4,5,6,11,13}B = {7,8,9,10,12}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(11,12)(13,12)}= 2 Nodo = 9Paso 9:A = {1,2,3,4,5,6,9,11,13}B = {7,8,10,12}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,10)(9,13)(11,12)(13,12)}= 2 Nodo = 12Paso 10:A = {1,2,3,4,5,6,9,11,12,13}B = {7,8,9,10}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,10)(9,13)(11,12)}= 3 Nodo = 10 98
  99. 99. Paso 11:A = {1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13}B = {7,8,9}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,13)(11,12)(10,7)(10,8)}= 2 Nodo = 7Paso 12:A = {1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13}B = {8,9}Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,13)(11,12)(10,8)(7,8)}= 3 Nodo = 8Resultado final: 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 1 + 2 = 23 99
  100. 100. 100
  101. 101. EJERCICIO PARA RESOLVER 101
  102. 102. Desarrolle la solución del árbol de extensión mínima (Kms.) para la siguiente red de comunicaciones de emergencia: 22 12 12 18 8 16 1218 17 18 14 13 21 9 16 16 18 14 12 12 111 16 9 12 5 12 15 14 5 12 4 13 16 102
  103. 103. ANEXO ALGORITMO DE KRUSKAL GRAFOS 103
  104. 104. Algoritmo de Kruskal Dado un grafo ponderado G=(V, A), el algoritmo parte de un grafo G’= (V, Ø). Cada nodo es una componente conexa en sí misma. En cada paso de ejecución se elige la arista de menor costo de A. Si une dos nodos que pertenecen a distintas componentes conexas entonces se añade al árbol de expansión G’. En otro caso no se coge, ya que formaría un ciclo en G’. Acabar cuando G’ sea conexo: cuando tengamos n-1 aristas.Estructura del algoritmo de Kruskal Sea T de tipo Conjunto de aristas, el lugar donde se guardarán las aristas del árbol de expansión. Asignar T a Ø. Mientras T contenga menos de n-1 aristas hacer: Elegir la arista (v, w) de A con menor costo. Borrar (v, w) de A (para no volver a cogerla). Si v, w están en distintos componentes conexos entonces añadir (v, w) a T. En otro caso, descartar (v, w). 104
  105. 105. Árboles de expansión. Algoritmo de Kruskal Ejemplo. Mostrar la ejecución del algoritmo de Kruskal. 5 1 4 1 4 1 4 1 16 5 2 2 5 3 4 3 5 32 2 2 4 6 6 6 6 3 6 3 5 5 5 Necesidades del algoritmo: Las aristas deben ser ordenadas, según el costo. Necesitamos operaciones para saber si dos nodos están en la misma componente conexa y para unir componentes. Relación dos nodos pertenecen a una componente conexa: es una relación binaria de equivalencia ⇒ podemos usar la estructura de representación para relaciones de equivalencia (con operaciones Inicia, Encuentra y Unión). 105
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