2. Sistema de Coordenadas Polares
• Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos del
plano se pueden representar en coordenadas
cartesianas mediante dos números (abscisa,
ordenada). En este tema veremos que los puntos del
plano también se pueden representar usando otro
sistema de referencia, que denominamos
coordenadas polares.
En esta unidad se introducen las coordenadas polares y algunos ejemplos que
ilustran su utilidad para representar, mediante ecuaciones con dichas
coordenadas, algunas curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de
Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras.
Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación de las
curvas en coordenadas polares, sólo es preciso definir las mismas de cada
punto:r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las
coordenadas cartesianas x e y.
3. • Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir
de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se
denomina sistema de referencia.
• Sistema de Coordenadas Polares
• Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada
es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que
forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
• Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio
bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
• En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el
plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas
coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las
coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.
• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir
de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se
denomina sistema de referencia.
4. Gráficas de Ecuaciones en
Coordenadas Polares
• Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para
numerosos valores de θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando
luego los puntos resultantes (x,y).
• Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en
calculadora depende de la ventana de graficación especificada x-y, y
también del rango de los valores mostrados de θ.
Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para
los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la
gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los
puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.
Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para
dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener siempre presente que
representan las coordenadas polares.
5. Intersección de Gráficas
• Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una variedad de
gráficas de las mismas, el próximo paso consiste en extender las técnicas del
cálculo al caso de intersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares,
con el propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de formas
diferentes en coordenadas polares, debe tenerse
especial cuidado al determinar los puntos de
intersección de dos gráficas polares, por lo que se
sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive
cuando más adelante calculemos el área de una región
polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de
intersección de dos gráficas polares con el de encontrar
los puntos de colisión de dos satélites en órbita
alrededor de la tierra, dichos satélites no entrarían en
colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en
tiempos diferentes (valores de q).
6. Calcular el Área de una Región Plana
en Coordenadas Polares
• El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo
al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores
de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha
área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por:
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el
intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta
región, partimos el intervalo [ a , b ] en n su intervalos
iguales a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de
los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula
para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no
negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positivos y
negativos en el intervalo [ a , b ] .
