CM - elaborato BELTRAMI DI MARCO
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

CM - elaborato BELTRAMI DI MARCO

on

  • 363 views

Elaborato corso di Costruzioni Metalliche

Elaborato corso di Costruzioni Metalliche

Statistics

Views

Total Views
363
Views on SlideShare
363
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
18
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

CM - elaborato BELTRAMI DI MARCO CM - elaborato BELTRAMI DI MARCO Document Transcript

  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE CORSO DI COSTRUZIONI METALLICHE A.A. 2012 - 2013 CONCETTI DI PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO STUDENTI: Enrico Beltrami Nico Di Marco DOCENTE: Prof. Ing. Franco Bontempi ASSISTENTI: Ing. Francesco Petrini Ing. Pierluigi Olmati
  • SOMMARIO 1) Introduzione ....................................................................................................................... 7 2) Basi di Comportamento Strutturale .................................................................................... 9 2.1) Concetti di base .............................................................................................................. 9 2.1.1) Semplicità ed affidabilità strutturali......................................................................... 9 2.1.2) Comportamenti elementari ..................................................................................... 9 2.1.3) Percorso dei carichi ................................................................................................12 2.1.4) Conclusioni ............................................................................................................12 2.2) Performance strutturali .................................................................................................14 2.2.1) Stato Limite di Esercizio..........................................................................................14 2.2.2) Stato Limite Ultimo ................................................................................................16 2.2.3) Comportamento ciclico ..........................................................................................18 2.3) 3) Shear Lag .......................................................................................................................20 Ottimizzazione Strutturale .................................................................................................23 3.1) Ottimizzazione dimensionale (sizing) .............................................................................23 3.2) Ottimizzazione topologica ..............................................................................................24 3.3) Ottimizzazione morfologica ...........................................................................................25 3.4) Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS.................................................................25 4) Concezione Strutturale ......................................................................................................27 4.1) Strutture interne ............................................................................................................29 4.1.1) Moment Resistant Frames (MRF) ...........................................................................29 4.1.2) Concentric Braced Frames (CBF) .............................................................................31 4.1.3) Eccentric Braced Frames (EBF) ...............................................................................33 4.1.4) Pareti di taglio ........................................................................................................34 4.1.5) Sistema ibrido ........................................................................................................34 4.1.6) Outrigger ...............................................................................................................35 4.2) Strutture esterne ...........................................................................................................36 4.2.1) Soluzioni tubolari ...................................................................................................37 Pagina | 1
  • 4.2.2) Traliccio spaziale .................................................................................................... 39 4.2.3) Super telaio ........................................................................................................... 40 4.2.4) Esoscheletro .......................................................................................................... 40 5) Zone Nodali ....................................................................................................................... 41 6) Teoria della plasticità......................................................................................................... 45 6.1) Livello di materiale ........................................................................................................ 46 6.2) Livello di sezione – elemento ......................................................................................... 52 6.2.1) Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa ............ 52 6.2.2) Elementi presso-inflessi ......................................................................................... 59 6.2.3) Elementi soggetti a flessione e taglio ..................................................................... 62 6.3) Livello di sistema strutturale .......................................................................................... 63 6.3.1) Iperstaticità............................................................................................................ 63 6.3.2) Distribuzione dei carichi ......................................................................................... 63 6.3.3) Distribuzione delle rigidezze................................................................................... 64 6.3.4) Ridistribuzione delle energie immesse ................................................................... 64 6.3.5) Meccanismi di collasso locale e globale .................................................................. 66 6.4) 7) Comportamento ciclico di una sezione inflessa .............................................................. 66 Analisi plastica ................................................................................................................... 69 7.1) Metodo incrementale (push-over) ................................................................................. 69 7.2) Metodo semi-analitico ................................................................................................... 72 7.3) Analisi limite .................................................................................................................. 75 7.3.1) Teorema statico ..................................................................................................... 75 7.3.2) Teorema cinematico .............................................................................................. 77 7.3.3) Teorema di unicità ................................................................................................. 78 7.3.4) Spazio delle azioni esterne ..................................................................................... 79 8) Progettazione in zona sismica ............................................................................................ 81 8.1) Metodo semplificato di progetto ................................................................................... 82 8.1.1) Fattore di struttura ................................................................................................ 82 8.1.2) Gerarchia delle resistenze ...................................................................................... 87 Pagina | 2
  • 9) Instabilità ..........................................................................................................................89 9.1) Trattazione ....................................................................................................................89 9.1.1) Formulazione continua...........................................................................................90 9.1.2) Formulazione energetica ........................................................................................91 9.2) 10) Interazione tra instabilità e plasticità .............................................................................92 Fatica.................................................................................................................................93 10.1) Curve di Wöhler e Metodo del serbatoio ....................................................................94 Pagina | 3
  • Pagina | 4
  • Corso di COSTRUZIONI METALLICHE Prof. Franco Bontempi Studenti: Enrico Beltrami Nico Di Marco Pagina | 5
  • Pagina | 6
  • 1) INTRODUZIONE Nel presente lavoro si vogliono affrontare i concetti e alcune problematiche alla base della progettazione delle strutture in acciaio, riportando inoltre alcuni approfondimenti su argomenti specifici, talvolta supportati da modellazioni agli elementi finiti. Lo scopo è quello di presentare una “guida ai concetti”, sintetica ed esaustiva. Risulta utile far riferimento ad una mappa concettuale che presenta il flusso di lavoro da seguire nel concepimento e nella successiva progettazione di una struttura in acciaio. I processi di analisi e di sintesi strutturale sono due processi concettualmente distinti. Mentre per il primo ci si affida a modelli di calcolo più o meno complessi e si segue un processo lineare, utilizzando in ogni step successivo i dati ottenuti nello step precedente, il secondo è un processo iterativo, nel quale entra direttamente in gioco la capacità del progettista di fornire soluzioni adeguate alle necessità: si parla di ottimizzazione strutturale. Basandosi sulla conoscenza dei concetti base alla base del comportamento strutturale, il progettista è in grado di prevedere diverse tipologie di intervento. Pagina | 7
  • A monte di questo lavoro di progressiva ottimizzazione, vi è una fase di concezione strutturale, che delinea le linee guida all’interno delle quali dovrà muoversi l’intero processo, definendo lo schema strutturale in grado di sopportare i carichi. Le due fasi sono comunque fortemente interconnesse, poiché in entrambi i processi si fa riferimento alle medesime conoscenze ed agli stessi comportamenti elementari alla base del comportamento di una struttura. Con riferimento dal digramma di flusso precedentemente riportato, meritano un approfondimento almeno due tra i blocchi presenti. In particolare con dati del problema strutturale si intende l’insieme delle informazioni che concorrono nel definire il sistema strutturale e che risultano indispensabili per affrontare la fase di calcolo. Per quanto riguarda la modifica della soluzione di tentativo, questa si può esplicare intervenendo sul complesso dei dati, a livello di dominio strutturale o di condizioni al contorno, ovvero sui limiti di accettabilità; quest’ultima possibilità comporta un coinvolgimento dell’intero team di lavoro, dagli architetti ai committenti dell’opera. In generale, la soluzione del problema strutturale non è detto che esista e, anche quando esistesse, non necessariamente è unica. Pagina | 8
  • 2) BASI DI COMPORTAMENTO STRUTTURALE Per affrontare qualunque attività di concezione ed ottimizzazione strutturale è necessario avere chiari alcuni concetti, derivanti dalla conoscenza degli aspetti strutturali di base, dei comportamenti e delle performance delle strutture. Tali conoscenze costituiscono la base comune per un corretto sviluppo delle successive attività di progettazione, nel senso più ampio del termine. Questo studio viene articolato in due parti, introducendo dapprima i concetti di base e trattando in seguito le performance strutturali richieste. Si riporta inoltre un comportamento strutturale tipico degli edifici alti, lo shear lag. 2.1) Concetti di base Le nozioni sulle quali si vuole porre l’accento sono: 1. Semplicità ed affidabilità strutturali; 2. Comportamenti elementari; 3. Percorso dei carichi. 2.1.1) Semplicità ed affidabilità strutturali Il concepimento di un sistema strutturale adatto a sopportare i carichi verticali ed orizzontali non è solitamente un’operazione semplice. Per far ciò ci si può riferire a comportamenti elementari noti e a schemi di comprovata affidabilità, ovvero prendere spunto dalle forme naturali, evolutesi per sostenere le medesime azioni. Si parla in quest’ultimo caso di evolutionary optimization. In questo processo si deve comunque tenere presente che un eccessivo incremento delle parti strutturali produce una diminuzione dell’affidabilità della struttura stessa. Si dimostra infatti che all’aumentare del numero degli elementi strutturali, aumenta la probabilità che qualcuna di questi collassi. 2.1.2) Comportamenti elementari Si trattano brevemente i diversi tipi di comportamento strutturale coinvolti per resistere ad azioni orizzontali e verticali, seguendo lo schema logico riportato nel diagramma. Pagina | 9
  • o Azioni verticali Il sistema resistente alle azioni verticali raccoglie i carichi agenti e li trasferisce alle strutture di fondazione. Risultano quindi coinvolti due comportamenti elementari: Distribuzione tensioni Elementi strutturali coinvolti 1D 2D Tipo di comportamento Funzione strutturale FLESSIONALE raccolta carichi Travi ASSIALE trasferimento sollecitazioni Colonne Cavi o funi Comportamento SLE SLU Piastre flessibile duttile Lastre rigido fragile Per quanto riguarda il comportamento assiale è necessario distinguere le sollecitazioni di trazione e di compressione. Nel primo caso è possibile infatti impiegare elementi strutturali quali cavi o funi, non resistenti a compressione ma di proprietà meccaniche decisamente migliori; nel caso di aste compresse si deve invece considerare la possibilità di fenomeni di instabilità. Un esempio pratico permette di evidenziare un ulteriore aspetto. Consideriamo una massa, vincolata ad un supporto rigido per mezzo di un numero variabile di bielle, sollecitate con sforzi assiali di trazione o di compressione. (a) Aste tese Nel caso (a.1), l’asta, di area A, è sollecitata da uno sforzo di trazione N dovuto al peso proprio della massa, che induce nell’elemento uno stato di sollecitazione ⁄ . È possibile disporre un numero maggiore di elementi, in modo da aumentare la robustezza del sistema, ognuno dei quali potrà avere un’area della sezione trasversale pari ad ⁄ , come mostrato in figura (a.2). Risulta quindi vantaggioso suddividere la trazione in più elementi, incrementando la robustezza della struttura. Pagina | 10
  • (b) Aste compresse Nel caso di assenza di instabilità, le due soluzioni con aste tese o compresse, sarebbero del tutto identiche; tuttavia quando le aste sono compresse, si deve considerare la possibilità che le aste si instabilizzino. Consideriamo ancora i due casi, con la massa sostenuta da un unico elemento di area A o da tre aste ognuna di area ⁄ , e calcoliamo il momento d’inerzia di ogni asta ed il relativo carico critico. Le grandezze calcolate sono riferite al singolo elemento compresso. carico critico euleriano Schema (b.1) – 1 elemento (b.2) – 3 elementi Area elemento Momento d’inerzia ( Carico critico euleriano ( ) ( ) ( ) ( ) [ ) [ ] ] Nel caso di compressione è quindi nocivo suddividere l’elemento in più parti, poiché elementi più piccoli sono caratterizzati da un carico critico nettamente minore (funzione del cubo del lato). Si cerca quindi di convogliare la compressione in pochi elementi di dimensioni maggiori. o Azioni orizzontali Il comportamento di una struttura sotto carichi orizzontali può essere di tipo flessionale o tagliante. Nel primo caso il comportamento della struttura è quello di una mensola incastrata alla base, nella quale vale la teoria di Bernoulli-Navier e si ipotizza che le sezioni ruotino restando piane. Nel secondo caso invece non sono trascurabili gli scorrimenti dovuti al taglio (teoria della trave di Timoshenko), le sezioni restano rettilinee, ma non più perpendicolari alla linea d’asse; il comportamento è quello di un telaio shear-type. Pagina | 11
  • I due comportamenti presentati rappresentano le due situazioni estreme di edifici con comportamento flessionale puro e comportamento tagliante puro. In questi casi si osserva che: comportamento flessionale puro più flessibile in testa più rigido alla base comportamento tagliante puro più rigido in testa più flessibile alla base È possibile accoppiare i due comportamenti, pervenendo ad uno schema ibrido in cui si sfrutti la rigidezza del comportamento flessionale ai piani bassi e la rigidezza del comportamento tagliante ai piani alti. Si presenterà questa possibilità in seguito, parlando di sistemi ibridi. 2.1.3) Percorso dei carichi Il percorso dei carichi all’interno di una struttura può essere di vario tipo, coinvolgendo diversi elementi strutturali. Una regola generale suggerisce di limitare tale percorso, rendendo più immediata e diretta possibile la trasmissione del carico alle strutture di fondazione. 2.1.4) Conclusioni Quelli presentati sono i concetti fondamentali di cui tener conto nel processo di progettazione di una struttura, in particolare di una struttura in acciaio. Tali requisiti posso tuttavia condurre ad esigenze di progettazione tra di loro contrastanti: è quindi necessario valutare il caso in esame pesando ogni esigenza in funzione degli scopi cui si intende pervenire. Alla pagina seguente si propone un esempio. Pagina | 12
  • Esempio Consideriamo due possibili schemi strutturali per sopportare i carichi verticali:   Schema (a): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi e trasferiti a terra direttamente mediante elementi verticali compressi; Schema (b): carichi raccolti da elementi orizzontali inflessi, trasferiti ad elementi verticali tesi e, attraverso una struttura a traliccio, trasmessi ad un nucleo centrale compresso. Analizzando il comportamento delle due strutture mediante i criteri precedentemente illustrati possiamo delineare vantaggi e svantaggi di entrambe: Schema Vantaggi Svantaggi Percorso dei carichi più breve (a) (b) Instabilità membrature compresse Semplicità strutturale   affidabilità Elementi tesi: assenza instabilità  elementi più snelli  suddivisione della sollecitazione in più parti Elementi compressi:  concentrazione compressione Percorso dei carichi più lungo Struttura complessa  minore affidabilità Maggiore sensibilità al danneggiamento  propagazione del collasso Si è accennato alla sensibilità al danneggiamento nelle strutture con schema di tipo (b). Ciò deriva dal fatto che, nel caso di collasso di un elemento verticale teso, in particolare se di bordo, la parte di struttura al di sotto di esso perde la sospensione e il collasso si propaga. Questo comportamento può essere corretto posizionando diversi outrigger, che permettono di suddividere adeguatamente la struttura. Pagina | 13
  • 2.2) Performance strutturali Nelle fasi di concezione e sintesi strutturale si devono considerare i requisiti che si intende soddisfare. Consideriamo una generica struttura soggetta ad una forza orizzontale H in sommità e misuriamo lo spostamento  in testa. Possiamo tracciare su un piano ,H una curva che rappresenti il comportamento della struttura. I requisiti legati al comportamento in esercizio e al comportamento ultimo dell’opera sono differenti e saranno affrontati separatamente. 2.2.1) Stato Limite di Esercizio Nello Stato Limite di Esercizio il requisito principale è quello di garantire una buona rigidezza della struttura al fine di assicurare un adeguato confort agli utenti. Quest’obiettivo può essere raggiunto controllando i diversi parametri riportati nel diagramma seguente. Pagina | 14
  • o Spostamenti: indipendentemente dalla tipologia, per ottenere una rigidezza adeguata occorre limitare gli spostamenti; spostamenti   rigidezza  o Frequenze: la rigidezza della struttura o di una sua parte possono essere controllate monitorando una caratteristica dinamica come la frequenza di vibrazione (o il suo inverso, il periodo proprio di vibrazione ⁄ ); in particolare per garantire una rigidezza adeguata occorre che la frequenza sia elevata; frequenza   rigidezza  o Tensioni: modo indiretto per assicurare una adeguata rigidezza è quello di limitare lo stato tensionale nelle membrature e negli orizzontamenti; difatti: tensioni   deformazioni   spostamenti   rigidezza  Si nota come il controllo delle frequenze sia uno strumento più potente e versatile, poiché permette di superare problemi specifici ed ambiguità che potrebbero presentarsi controllando direttamente gli spostamenti ed è più affidabile del controllo indiretto delle tensioni. La frequenza propria di vibrazione è determinata effettuando un’analisi modale, ovvero risolvendo un problema agli autovalori. Una volta individuato il parametro dimensionante nelle condizioni di esercizio, ci si pone il problema di come raggiungere tale obiettivo. Ricordando che la rigidezza assiale è maggiore della rigidezza flessionale, si cerca di coinvolgere elementi che siano sollecitati da azioni di compressione o trazione introducendo elementi diagonali nei telai. L’introduzione di elementi diagonali permette di ancorare direttamente il nodo ad un vincolo esterno, individuando un sistema reticolare nel quale il comportamento meccanico coinvolto è di tipo assiale (concetto di triangolazione). Pagina | 15
  • Introducendo due diagonali, si deve considerare la possibilità che quello compresso sia soggetto ad instabilità. Se i diagonali sono dimensionati in modo da resistere anche alle sollecitazioni di compressione si può ulteriormente ridurre lo spostamento f, realizzando una doppia triangolazione. Maglie triangolari possono essere individuate con diverse disposizioni degli elementi diagonali. 2.2.2) Stato Limite Ultimo Nelle condizioni ultime i requisiti da tenere in considerazione sono molteplici: Si trascura in questa sede il primo punto. o Instabilità Il fenomeno dell’instabilità, per quanto riguardi condizioni ultime, è determinata da grandezze proprie del comportamento in esercizio (rigidezza flessionale membrature) e non da caratteristiche ultime come la resistenza del materiale. Dalla definizione del carico critico euleriano si evince come la stabilità della struttura sia direttamente proporzionale alla rigidezza della stessa, sia in termini di rigidezza della membratura, sia in funzione delle condizioni di vincolo (attraverso la lunghezza libera di inflessione). Si conclude quindi che più la struttura è rigida o è rigidamente vincolata, più il carico critico è alto e la struttura è stabile. Pagina | 16
  • o Duttilità Con il termine duttilità si indica la capacità di un corpo di deformarsi plasticamente prima di arrivare a rottura. Le proprietà duttili del materiale possono essere studiate e definite in campo statico o in termini ciclici; per la trattazione del comportamento ciclico si rimanda ad un successivo paragrafo. In campo statico, ovvero fin tanto che la forza applicata cresce in modo monotono, si possono fornire diverse definizioni di duttilità. In particolare la si definisce in termini cinematici ed energetici con riferimento al comportamento di un elemento teso. (a) Considerazioni CINEMATICHE La duttilità è definita in questo caso come il rapporto tra lo spostamento ultimo e quello relativo alla fine del tratto elastico. Nel caso in cui nella curva forza-spostamento non sia facilmente individuabile la fine del ramo elastico, si procede ad un’approssimazione della curva stessa con una bilatera. (b) Considerazioni ENERGETICHE Facendo riferimento a criteri energetici, si può definire la duttilità come il rapporto tra il lavoro necessario ad arrivare fino a rottura e il lavoro elastico (ovvero l’energia elastica immagazzinata). Pagina | 17
  • La duttilità, a differenza dell’instabilità, risulta avere una correlazione negativa con la rigidezza. Difatti più la struttura è rigida meno è duttile, ovvero il lavoro che devo spendere per portarla a collasso è più basso. Quindi, riassumendo: instabilità k   Pcr  duttilità k     2.2.3) Comportamento ciclico Consideriamo ora il medesimo schema di trave appoggiata, soggetta questa volta ad una forza o ad uno spostamento ciclici. Il comportamento ciclico è definito da due aspetti: il profilo della risposta strutturale (skyline) e la modalità di scarico. o Profilo della risposta strutturale Il profilo è ottenuto sottoponendo il sistema ad un carico monotono crescente, positivo o negativo. Nel caso dell’acciaio si possono considerare profili di tipo elastico perfettamente plastico o elasto-plastico incrudente. Mentre la pendenza del ramo elastico è definita dal modulo elastico E, l’eventuale incrudimento assume valori . Pagina | 18
  • o Modalità di scarico Nei materiali metallici, ed in particolare per l’acciaio, si assume che il ramo che si percorre nella fase di scarico sia caratterizzato da una pendenza pari a quella del materiale vergine (E). Si possono individuare due modelli di comportamento: (a) Incrudimento di tipo CINEMATICO: la distanza tra i punti di snervamento in direzioni di carico opposte rimane costante; si segue quindi un comportamento di carico e scarico sempre con pendenza E all’interno del range definito da . Questo modello simula con sufficiente approssimazione il comportamento degli acciai ed in particolare coglie bene l’effetto Bauschinger. (b) Incrudimento di tipo ISOTROPO: modello appropriato per gli acciai ad alta resistenza, lavorati a freddo (trafilati), prevede un incremento delle caratteristiche meccaniche del materiale di ciclo in ciclo. Limitandoci al tratto di ciclo riportato in figura (b.1), si osserva che lo snervamento a compressione è raggiunto per il valore di tensione massimo raggiunto nella direzione di carico opposta. Gli acciai il cui comportamento è descritto da questo modello generalmente sopportano un numero minore di cicli. Per entrambi i casi perde di significato la definizione cinematica di duttilità, poiché non è possibile individuare spostamenti ultimi, mentre resta sempre valida la definizione energetica, legata all’area compresa nel ciclo. Pagina | 19
  • 2.3) Shear Lag Nello studio delle strutture si fa sovente riferimento a modelli semplificati per interpretare e descrivere il comportamento strutturale, tanto a livello di elemento (locale) che a livello di struttura (globale). Uno dei modelli più semplici e potenti è quello di considerare, in un elemento inflesso, che una generica sezione ruoti restando piana e perpendicolare all’asse dell’elemento. Tale ipotesi può essere applicata anche ad un’intera struttura, a patto però che tale sezione piana sia materializzata mediante l’inserimento di outrigger, dei quali si dirà in seguito. Diversamente infatti, tale ipotesi non risulta soddisfatta. Consideriamo una struttura soggetta ad un’azione orizzontale che viene sopportata da più colonne che lavorano in parallelo. Tra queste le colonne di spigolo, essendo le più rigide, assorbono una aliquota di carico maggiore: la deformazione risulta esaltata nelle colonne di spigolo e l’ipotesi si sezione che ruota restando piana decade. Questo fenomeno, che tiene conto della deformabilità delle sezioni trasversali, è noto come shear lag. Pagina | 20
  • Possiamo spiegare questo comportamento con riferimento ad una trave a doppio T incastrata ad un estremo e sollecitata con forze concentrate all’altro estremo come in figura. Si considera un profilo sottile, per il quale la generica sezione non ruota restando piana. Si nota come i punti in cui sono applicate le forze concentrate risentono maggiormente del carico, mentre il punto centrale subisce uno spostamento minore: la deformazione non risulta costante sullo spessore (in figura è rappresentata mediante una spezzata, a rigore l’andamento sarebbe continuo). Il trasferimento del carico alle fibre interne avviene per taglio (da cui la definizione shear); tali fibre, come detto, ne risentono con un certo ritardo (lag). Pagina | 21
  • Pagina | 22
  • 3) OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE Il processo di progettazione di una struttura o di un oggetto è un insieme di operazioni che collegano la fase di concezione a quella di realizzazione del prodotto. In questa fase assumo rilevanza i processi di ottimizzazione, che consentono la ricerca della migliore configurazione, tra una serie di configurazioni ammissibili, in funzione delle esigenze progettuali. Si possono individuare diversi livelli di ottimizzazione, propri di diverse fasi o di diverse esigenze progettuali. Inoltre devono essere presi in considerazione gli aspetti relativi ai costi di realizzazione, ovvero ai profitti, che spesso possono condizionare ed indirizzare le scelte progettuali. Nella definizione dell’obiettivo del processo di ottimizzazione di devono quindi contemplare le seguenti proprietà strutturali:    Economicità: costo dei materiali, costo di fabbricazione, costo di manutenzione e utilizzo; Proprietà meccaniche: globali e locali; Esigenze estetiche. 3.1) Ottimizzazione dimensionale (sizing) L’ottimizzazione dimensionale consiste nella determinazione delle sezioni ottimali delle membrature, una volta che siano state individuate configurazione, forma, condizioni di carico e di vincolo della struttura. Si prenda ad esempio il dimensionamento di una delle colonne di un edificio in acciaio. L’obiettivo è quello di realizzare un elemento in grado di assicurare una adeguata resistenza nei confronti delle sollecitazioni cui è sottoposto, senza però porre in opera materiale in eccesso. Tale fine è raggiunto rastremando la sezione della colonna, impiegando profili più grandi in basso, dove le sollecitazioni sono maggiori, e profili più snelli ai piani alti, dove la colonna è meno sollecitata. Idealizzando tale concetto si potrebbe pensare ad una colonna che assicuri in ogni sezione solamente la quantità di materiale strettamente necessario. Tuttavia le colonne sono realizzate impiegando profili commerciali, ed ad ogni cambiamento di sezione corrisponde la realizzazione di una unione. Minimizzando il costo relativo al materiale si incrementa il costo relativo alla realizzazione delle giunzioni, che presentano un onere non trascurabile. Rappresentando tali funzioni su un medesimo piano cartesiano, si può determinare una funzione somma Costo Totale, sulla quale individuare il punto di minimo, che consente di ottimizzare il dimensionamento. Pagina | 23
  • La struttura conserva quindi una topologia fissata, ovvero i percorsi dei carichi rimangono i medesimi, indipendentemente dalle dimensioni degli elementi. 3.2) Ottimizzazione topologica Per ottimizzazione topologica si intende un processo che consente, una volta definiti dominio strutturale, condizioni di carico e condizioni di vincolo, di determinare il grado di connessione e la configurazione strutturale. Per definire il grado di connessione (o grado di ottimizzazione topologica) ci si riferisce al concetto di classe topologica: una classe topologica è detta n-volte connessa se si rendono necessari n-1 tagli per continuare a collegare due punti dello stesso dominio, trasformando un dato dominio molteplicemente connesso in un altro semplicemente connesso. Classe topologica Dominio e tagli Grado di connessione Dominio semplicemente connesso 1 Dominio doppiamente connesso 2 Dominio tre volte connesso 3 Avendo definito il grado di connessione come la capacità di unire due punti di un dominio seguendo percorsi diversi (ovvero la possibilità di unire due punti del dominio a seguito di un certo numero di tagli), risulta intuitivo giungere alla conclusione che l’ottimizzazione topologica, applicata ad una struttura, modifica il percorso dei carichi. Nel processo di ottimizzazione topologica si inseriscono e si eliminano elementi, cambiando le connessioni tra varie parti della struttura, in modo che il carico possa fluire seguendo percorsi differenti. Pagina | 24
  • 3.3) Ottimizzazione morfologica Quest’ultimo livello di ottimizzazione riguarda la forma dell’oggetto ed è il più generale tra i livelli di ottimizzazione finora presentati e li coinvolge entrambi. L’ottimizzazione morfologica consente infatti di intervenire sulla disposizione degli elementi e sullo spessore degli stessi (rispettivamente ottimozzazione topologica e sizing). 3.4) Introduzione sottostrutture: gli OUTRIGGERS Il problema della scelta dello schema resistente i carichi è affrontato nel capitolo relativo alla concezione strutturale; si vuole fornire in questo paragrafo un esempio di ottimizzazione del comportamento strutturale. A tal fine in alcuni casi può risultare conveniente introdurre sottostrutture, come nel caso degli ouriggers, ovvero lame di controvento orizzontali che ripristinano la planarità della sezione. In questa sede si vuole presentare la ricerca della posizione ottimale di tali sottostrutture al fine di limitare lo spostamento della struttura in sommità. Si considera un generico edificio alto in acciaio (50 piani) e si sceglie inizialmente di posizionare un unico outrigger. Si nota come l’effetto di questa sottostruttura dipenda dalla posizione di inserimento dalla stessa; in particolare l’efficienza maggiore è raggiunta posizionando l’outrigger intorno al 32° piano. Non sembra invece essere conveniente introdurre un secondo outrigger, almeno nella configurazione presentata. Infatti, a fronte di un raddoppio dei costi, si ottiene una modesta diminuzione dello spostamento in sommità della struttura. Pagina | 25
  • Pagina | 26
  • 4) CONCEZIONE STRUTTURALE Per la trattazione degli aspetti relativi alla concezione del sistema resistente i carichi si segue la classificazione presentata nell’articolo “Structural Developments in Tall Buildings: Current Trends and Future Prospects” (Mir M. Ali e Kyoung Sun Moon). La scelta di uno schema strutturale dipende da molteplici fattori, dalle esigenze architettoniche e ingegneristiche a quelle economiche; si ritiene pertanto conveniente presentare e commentare le diverse soluzioni adottabili. A partire dalla fine del 1800 lo sviluppo economico ed industriale ha portato all’edificazione di edifici adibiti ad uso uffici. L’impiego dell’acciaio in campo strutturale ha peraltro permesso di realizzare edifici alti minimizzando le dimensioni delle membrature e garantendo pertanto ampi spazi interni. Nella maggior parte delle strutture in questo periodo sono impiegati sistemi di telai rigidi con controventature. Per assistere all’introduzione di innovazioni tecnologiche che permettano un’ottimizzazione del materiale strutturale impiegato e il raggiungimento di altezze più elevate, si deve aspettare la seconda metà del 1900, quando, sotto la spinta di un nuovo sviluppo economico e tecnologico, si introducono innovazioni quali l’inserimento di sottostrutture orizzontali (outriggers), forme tubolari resistenti ai carichi, strutture artificialmente smorzate o miste acciaio-calcestruzzo. La maggiore conoscenza della meccanica dei materiali e del comportamento delle membrature e il progressivo affermarsi del calcolo automatico, hanno permesso di sviluppare un approccio globale all’analisi strutturale, con simulazioni tridimensionali piuttosto che lo studio di sistemi piani. Negli edifici multipiano, il parametro che controlla il progetto è solitamente l’azione laterale del vento; ciò dipende dal fatto che quando l’altezza della struttura supera i dieci piani lo spostamento laterale diventa importante e la rigidezza, più che la resistenza, assume carattere vincolante. L’ingegnere bengalese Fazlur Khan dimostrò che aumentare l’altezza della struttura produce un aumento di materiale impiegato per resistere ai carichi orizzontali maggiore rispetto all’incremento di materiale necessario per sopportare i carichi verticali. Egli chiamò la differenza tra queste due quantità di materiale “structural height premium” ed osservò come tale scarto fosse differente per ogni altezza prevista per l’edificio. Pagina | 27
  • Lo stesso Khan riconobbe quindi la necessità di sviluppare schemi strutturali adeguati a soddisfare i requisiti propri di ogni range di altezza raggiunta; nel 1969 classificò quindi i sistemi strutturali di edifici alti in funzione della loro altezza e con riferimento alla loro efficienza. Si riporta un grafico relativo alle strutture in acciaio. I sistemi strutturali possono essere suddivisi in base alla distribuzione dei componenti del sistema resistente primario ai carichi orizzontali. In quest’ottica si distinguono strutture interne, nella quali la maggior parte del sistema resistente è posizionata all’interno della struttura, e strutture esterne, nella quali il sistema resistente è dislocato lungo il perimetro dell’edificio o addirittura all’esterno della struttura. Pagina | 28
  • 4.1) Strutture interne 4.1.1) Moment Resistant Frames (MRF) Sono i telai con comportamento flessionale, nei quali travi e colonne sono rigidamente collegate tra di loro, in modo da ripristinare la continuità flessionale. Difatti resistono alla azioni orizzontali principalmente mediante la rigidezza flessionale delle membrature. Pagina | 29
  • Consideriamo una mensola, la cui deformabilità sia tutta concentrata in un concio prossimo all’incastro, mentre il resto sia rigido. Si nota come gli spostamenti dovuti ad una deformazione flessionale del concio si esaltino al crescere della distanza dal concio stesso. Si deduce che il comportamento flessionale non sia particolarmente rigido. Le membrature soggette a flessione, a fronte di una scarsa rigidezza, offrono una buona duttilità, sia in termini monotoni che ciclici. Ciò dipende tuttavia dalle caratteristiche di duttilità della sezione degli elementi. Possiamo classificare le sezioni delle membrature in acciaio in quattro classi, in funzione della zona in cui queste collassano (presentando una brusca caduta di resistenza in un piano momento-curvatura normalizzati). Classe I duttile Classe II duttile, impiegabile con limitazioni Classe III non duttili Classe IV non duttili, neanche in campo statico Pagina | 30
  • I telai con comportamento flessionale presentano quindi: MRF rigidezza K (SLE) Duttilità  (SLU)   4.1.2) Concentric Braced Frames (CBF) L’introduzione di controventi concentrici e nodi che non trasferiscano momento flettente permette di realizzare strutture reticolari che resistono ai carichi laterali principalmente attraverso la rigidezza assiale delle membrature. Considerando la medesima mensola soggetta ad un’azione assiale, vediamo come lo spostamento della parte rigida sia uguale alla deformazione del concio. A parità di carico P, coinvolgendo un comportamento assiale si ottengono spostamenti ridotti rispetto al caso flessionale; conseguentemente la rigidezza assiale risulta essere maggiore. Per quanto riguarda il comportamento ultimo, è necessario distinguere una sollecitazione assiale monotona crescente da una storia di carico ciclica (propria peraltro di un elemento diagonale in un sistema CBF). Mentre nel primo caso il materiale assicura un comportamento duttile, nel secondo si ha un rapido deterioramento dello stesso. Per studiare il comportamento ciclico del materiale si considera un elemento soggetto ad una prova sperimentale a controllo di spostamenti assiali. Si riportano la storia di spostamenti imposta al sistema e si rappresentano i valori delle forze assiali misurate. I risultati sono riportati su un piano Forza – Spostamento. Pagina | 31
  • tratto OA A tratto AB B tratto BC C tratto CD D tratto DE E tratto EF F Comportamento elastico lineare Snervamento del materiale Comportamento plastico perfetto: scorrimento a forza costante Termina la fase di carico, inizia lo scarico Scarico, stessa pendenza del ramo di carico, recupero la deformazione elastica Forza nulla, spostamento plastico residuo (allungamento) Compressione nell’asta, ma spostamenti ancora positivi Si è riportata l’asta alla sua configurazione iniziale; stato caratterizzato da tensioni di compressione non nulle per via dell’allungamento plastico subito nella fase di trazione Compressione, parte elastica Insorgono fenomeni di instabilità Asta instabilizzata, formazione di una cerniera plastica (kink) Termina la fase di compressione, si ricomincia a allungare l’asta  Tratto F   Seguo un percorso rettilineo con pendenza minore rispetto al ramo elastico iniziale, la rigidezza è minore; Per la presenza della cerniera plastica precedentemente formatasi non si ha più una distribuzione uniforme di sforzi: anche la soglia in corrispondenza della quale entro nuovamente in campo plastico è più bassa, la resistenza è minore. Se rappresentiamo un certo numero di cicli notiamo come questa combinazione tra plasticità ed instabilità conduca rapidamente ad una notevole perdita di rigidezza e resistenza del sistema. Quando è coinvolto Il comportamento assiale delle membrature, il sistema strutturale presenta quindi le caratteristiche: CBF rigidezza K (SLE) Duttilità  (SLU)   Pagina | 32
  • o Soluzioni progettuali Possibili soluzioni progettuali per di ovviare al problema dell’instabilità dei diagonali (ovvero al degrado che ne consegue) possono essere:   Aumento sezione dei diagonali; Contenimento dell’instabilità. È senz’altro possibile aumentare la dimensione dei controventi in modo che questi non si instabilizzino affatto. Tuttavia, in questo modo tali membrature rimarrebbero in campo elastico, alterando il comportamento della struttura in quanto provvedendo alla dissipazione di energia. Ciò si riflette inoltre in una diminuzione del fattore di struttura e quindi in un aumento dell’azione sismica. Viceversa, è possibile contenere l’instabilità dei diagonali all’interno di una camicia, nella quale si possano formare tanti ondeggiamenti, cui corrisponde un incremento del carico critico euleriano. Confinando l’instabilità si riesce ad avere un comportamento abbastanza duttile, evitando inoltre la formazione di plasticizzazioni localizzate (kink). 4.1.3) Eccentric Braced Frames (EBF) Posizionando un diagonale eccentrico che insista sul traverso e non direttamente sul nodo, si possono cogliere i benefici di entrambi i sistemi MRF e CBF, realizzando una struttura reticolare imperfetta, che introduca perturbazioni flessionali che migliorano il comportamento ciclico del telaio.   Comportamento in campo lineare (SLE) molto simile a quello delle strutture reticolari, assicura una buona rigidezza; Concentrazione negli elementi di tipo link del comportamento duttile sotto carico ciclico (SLU), concentrando le plasticizzazioni e lasciando il resto della struttura in campo elastico lineare. In funzione dei rapporti geometrici tra altezza e lunghezza dell’elemento e degli spessori di anima e piattabande della trave, si possono distinguere elementi caratterizzati da due diversi comportamenti: (a) Link flessionali o link lunghi: l’elemento è sottoposto ad un regime tensionale flessionale, il comportamento legato al momento è preponderante; (b) Link taglianti o link corti: elemento tozzo, il regime tensionale preponderante è quello tagliante. Pagina | 33
  • Possiamo calibrare i momenti secondari che si sviluppano in modo da ottenere una buona duttilità regolando l’inclinazione del diagonale, ovvero la lunghezza dell’elemento link. L’introduzione di questo sistema consente di assorbire in modo proficuo le azioni cicliche (strutture in zona sismica) e consente una agevole manutenzione. EBF rigidezza K (SLE) Duttilità  (SLU)   4.1.4) Pareti di taglio Sono pareti in calcestruzzo armato e possono essere trattate come mensole incastrate alla base. Nel caso in cui sia necessario conferire una rigidezza notevole si può ricorrere ad un sistema costituito da due o più pareti accoppiate: in questo caso la rigidezza del sistema supera la rigidezza delle singola pareti. Questi elementi strutturali sono dislocati nel nucleo centrale dell’edificio. 4.1.5) Sistema ibrido Si può pensare ad un sistema ibrido che consenta di sfruttare i punti di forza di pareti di taglio (o analoghi tralicci) da un lato e dei sistemi intelaiati (MRF) dall’altro. Difatti la seconda soluzione non risulta efficiente oltre i 30 piani poiché la componente della deformazione a taglio dovuta alla flessione di travi e colonne implica una eccessiva deformazione della struttura; viceversa le pareti a taglio assicurano una rigidezza adeguata in questo range di altezze. Quando i due sistemi sono collegati mediante orizzontamenti rigidi, i due componenti sono obbligati ad assumere la medesima deformata: ne risulta che nella parte superiore il nucleo centrale è sostenuto dai telai, mentre nella parte inferiore dell’edificio è la parete di taglio a trattenere il sistema intelaiato, come mostrato in figura. Pagina | 34
  • 4.1.6) Outrigger Nelle strutture con sistema resistente ai carichi orizzontali localizzato nel nucleo centrale, questo si comporta come una mensola incastrata a terra; il resto della struttura risulta trascinato dal nucleo. Inoltre, per grandi altezze, la resistenza a flessione del nucleo risulta essere inefficiente. La soluzione risiede nel coinvolgere anche le colonne più esterne nel sistema resistente, introducendo strutture reticolari disposte orizzontalmente: gli outriggers. Il comportamento di una struttura con nucleo resistente interno ed outrigger, è analogo al sistema di albero, crocette e sartie che permettono ad una imbarcazione a vela di sopportare l’azione del vento sulle vele. Pagina | 35
  • L’introduzione di questi elementi consente inoltre di:      Ripristinare l’ipotesi di sezione che ruota restando piana: l’intera struttura si comporta come un’unica mensola; Coinvolgere le colonne più esterne, che offrono un braccio maggiore nei confronti del momento ribaltante; Il sistema di telai perimetrali non necessita di connessioni rigide; Evitare picchi di sollecitazione nei punti più esterni (vedi shear lag); Pregio estetico. 4.2) Strutture esterne Pagina | 36
  • 4.2.1) Soluzioni tubolari Una soluzione tubolare sfrutta un sistema strutturale tridimensionale che impegna l’intero perimetro dell’edificio per resistere alle azioni orizzontali. Questo tipo di schemi resistenti permettono di sfruttare esplicitamente per la prima volta la risposta tridimensionale delle strutture. Una scelta di questo tipo condiziona fortemente l’estetica della facciata, poiché implica il posizionamento, a seconda della tipologia, di elementi diagonali, nodi resistenti a momento, colonne molto vicine tra loro. Le forme tubolari possono essere di diversi tipi in funzione dell’efficacia strutturale che possono fornire per le diverse altezze, come rappresentato nella figura precedentemente riportata. (a) Sistema tubolare intelaiato Prevede il dimensionamento di telai a nodi rigidi sull’intero perimetro della struttura. Ciò comporta un notevole vincolo architettonico sulla facciata, poiché inevitabilmente si perviene a colonne tra loro vicine e travi alte, e l’insorgere del fenomeno dello shear lag. (b) Sistema tubolare controventato Per garantire una adeguata rigidezza si può far ricorso ad elementi sollecitati assialmente, disponendo controventi diagonali. Questa soluzione porta quindi i seguenti benefici:     Irrigidimento dei telai nel loro piano; I diagonali possono essere impiegati non solo come sistema di stabilizzazione per la azioni orizzontali, bensì possono comportarsi anche come colonne inclinate, raccogliendo i carichi verticali dagli orizzontamenti; Eliminazione degli effetti del fenomeno dello shear lag; Possibilità di spaziare maggiormente le colonne e ridurre le sezioni delle travi e delle colonne stesse. Si è individuata una inclinazione ottimale dei diagonali di approssimativamente 45°. Questa soluzione è stata sviluppata per il John Hancock Center di Chicago dall’ingegnere Fazlur Khan, e successivamente adottata in altre strutture. Khan dimostrò che in questo modo era possibile raggiungere un comportamento a mensola puro per tutta la struttura; diversamente, nel caso di un sistema tubolare intelaiato, solo il 30% dello spostamento orizzontale totale sarebbe stato attribuibile a questo comportamento, mentre il restante 70% sarebbe stato dovuto ad un comportamento a telaio. Il sistema intelaiato inoltre avrebbe sviluppato del fenomeno dello shear lag, mentre il sistema controventato permette di ridistribuire gli sforzi dovuti ad azioni Pagina | 37
  • verticali ed orizzontali attraverso i diagonali, consentendo alla struttura di rispondere in modo unico. Come accennato, i diagonali provvedono ad una ridistribuzione dei carichi gravitazionali. Fazlur Khan dimostrò che il sistema di controventamento del John Hancock consente ai carichi verticali di diffondersi tra le colonne, seguendo percorsi diversi rispetto ad un sistema intelaiato, nel quale il percorso dei carichi verticali è prevalentemente verticale. In figura si nota come, caricando direttamente anche solo due delle cinque colonne, alla base risultino tutte ugualmente sollecitate. Si nota inoltre come questa configurazione permetta di realizzare una migliore triangolazione di più nodi direttamente a terra, con percorsi di carico per le forze orizzontali conseguentemente più diretti. (c) Sistema tubolare in fascio Sistema costituito da una serie di tubi indipendenti collegati insieme in modo da formare una singola entità. Una sezione pluricellulare consente una migliore distribuzione delle rigidezze, riducendo e frazionando il fenomeno dello shear lag. Ciò consente di:   Raggiungere altezze maggiori; Colonne perimetrali più spaziate tra loro consentono di disporre le linee dei telai interni (di bordo per ogni tubo) senza compromettere l’utilizzabilità degli spazi; Questa soluzione consente inoltre di realizzare architetture innovative, come nel caso della Sears Tower a Chicago. Osservando il diagramma delle tensioni su una sezione alla base dell’edificio riportata di lato e replicata alla pagina seguente, si osserva come l’introduzione del fascio di tubi consenta di avvicinare l’andamento reale delle tensioni a quello ideale di una sezione che ruoti restando piana. Pagina | 38
  • (d) Sistema tubolare “tube in tube” Basato sulla soluzione di un sistema tubolare intelaiato, prevede una collaborazione con il nucleo centrale per resistere alle azioni orizzontali. Le azioni sono trasferite dal tubo esterno al nucleo centrale mediante gli orizzontamenti. Questa soluzione consente inoltre una migliore difesa nei confronti di attacchi terroristici alla struttura, come l’impatto di un aeromobile. (e) Sistema tubolare “DIAGRID” Consente di portare i carichi sia verticali che orizzontali sfruttando una configurazione triangolare diagonale, distribuita in modo uniforme su tutta la struttura: le colonne verticali di facciata sono eliminate. Questa soluzione presenta un ulteriore miglioramento rispetto all’introduzione di outrigger in quanto consente di aumentare, oltre che la rigidezza flessionale, anche la rigidezza a taglio. Tale obiettivo è raggiunto poiché il taglio è portato attraverso azione assiale nei diagonali. È la soluzione adottata nella St. Mary Axe di Londra. 4.2.2) Traliccio spaziale Soluzione che consiste in un sistema tubolare controventato modificato con diagonali che connettono la facciata con l’interno della struttura. Nel caso della Bank of China Tower di Hong Kong, questo sistema è realizzato disponendo strutture tubolari controventate di forma triangolare, convergenti in un’unica colonna centrale. Pagina | 39
  • 4.2.3) Super telaio Sistema composto da megacolonne costituite da telai, eventualmente controventati, di grandi dimensioni disposti ai vertici dell’edificio, connessi da tralicci orizzontali multipiano ogni 15-20 piani. È il caso del Parque Central Complex Towers di Caracas. 4.2.4) Esoscheletro Il sistema resistente ai carichi orizzontali può essere infine dislocato fuori dal perimetro dell’edificio, esternamente alle facciate, realizzando particolari architetture. Ne sono esempi l’Hotel de las Artes di Barcellona e l’O-14 building di Dubai Pagina | 40
  • 5) ZONE NODALI Quando si pensa alle zone nodali di una struttura in acciaio, si fa generalmente riferimento alle due condizioni di vincolo di cerniera o di incastro. Tali condizioni rappresentano però situazioni estreme, cui raramente è possibile o è lecito ricorrere: in generale tutte le condizioni di vincolo possono essere considerate intermedie. Rappresentiamo una trave inflessa ed evidenziamo la dipendenza dell’andamento di spostamenti e sollecitazioni flettenti in funzione delle condizioni di vincolo. Nel caso di cerniera ideale la trave agli estremi è libera di ruotare ed il vincolo non offre nessun ritegno flessionale. Nel caso di trave incastrata invece la sezione terminale della trave è vincolata a rimanere verticale; ciò incrementa notevolmente la rigidezza del sistema strutturale. Queste condizioni, come detto, sono da considerarsi estreme. In generale ogni configurazione di vincolo fornisce una coppia di ritegno, che modifica la distribuzione dei momenti lungo l’asse della trave. Tale condizione può essere considerata modellando il vincolo per mezzo di una molla rotazionale, di rigidezza opportunamente calibrata. Pagina | 41
  • Considerando un comportamento elastico lineare del materiale, si può determinare la rigidezza della molla rotazionale come rapporto tra il momento agente nel nodo e la rotazione della sezione terminale. La rigidezza k fornisce la pendenza di una retta in un piano Momento-Rotazione. È quindi possibile posizionare su questo piano tutte le possibili configurazioni di nodi semirigidi. In letteratura sono forniti abachi di questo tipo, che legano particolari configurazioni nodali con valori delle rigidezze rotazionali. Tali abachi sono utilizzabili per un predimensionamento, mentre per una determinazione accurata della rigidezza k è consigliabile effettuare modellazioni più accurate delle regioni nodali. Si sottolinea inoltre che gli abachi, come quello riportato di seguito, sono tracciati in funzione di grandezze adimensionalizzate, in accordo a quanto definito nell’Eurocodice 3 parte2 [§ 5.2.2], che normalizza la classificazione dei nodi in funzione della rigidezza. EC3[2] – § 5.2.2.1 Pagina | 42
  • ̅ rigidezza adimensionalizzata ̅ momento adimensionalizzato ̅ rotazione adimensionalizzata ki Mpb Ib L rigidezza rotazionale iniziale della connessione momento plastico della trave momento di inerzia della trave lunghezza della trave Classificazione: Cerniere perfette ̅ ̅ Nodi semirigidi Nodi rigidi ̅ Pagina | 43
  • Pagina | 44
  • 6) TEORIA DELLA PLASTICITÀ Affrontare lo studio di una struttura in campo plastico consente di introdurre nella trattazione le non linearità che caratterizzano il comportamento strutturale. I tipi di non linearità che si possono riscontrare sono molteplici:     Di materiale: legame costitutivo del materiale di tipo elasto-plastico; Di geometria: equilibrio scritto nella configurazione deformata, regime di grandi spostamenti; Di vincolo: vincoli non bidirezionali (monolateri); Di forze: forze posizionali, che seguono la deformata. In questa sede ci si sofferma sullo studio dei primi due tipi. In termini di risoluzione del problema il considerare queste non linearità comporta:    Non validità principio di sovrapposizione degli effetti: non si ha più diretta proporzionalità tra l’aumento dell’azione esterna e l’aumento della risposta; Non validità del teorema di unicità della soluzione (Kirchoff); Equazioni risolutive del problema non lineari: le matrici di rigidezza e delle forze esterne dipendono dai gradi di libertà ( ) ( ) Affrontiamo ora lo studio della plasticità a livello di materiale, di sezione e di struttura, per poi riportare alcuni cenni di comportamento ciclico in campo elasto-plastico. Pagina | 45
  • 6.1) Livello di materiale Per la caratterizzazione in campo plastico del materiale occorre definire la soglia a partire dalla quale si ha tale comportamento e caratterizzare lo stato post-snervamento. Si analizza successivamente il legame costitutivo dell’acciaio e si presentano alcuni legami semplificati. (a) Individuazione limite plastico In funzione del tipo di materiale strutturale impiegato il passaggio da un comportamento di tipo elastico ad un comportamento di tipo plastico può essere più o meno definito e localizzato. Tracciando i legami costitutivi si nota come per l’acciaio (a) il limite di plasticità sia ben definito, mentre il calcestruzzo (b) presenta un comportamento più graduale. In generale tuttavia gli stati di tensione non sono mai monoassiali; per definire il limite di plasticità si fa ricorso a superfici di snervamento, definite come il luogo dei punti sul piano delle tensioni che rappresentano stati di snervamento del materiale. Pagina | 46
  • Superfici di snervamento adottabili sono quelle fornite dai criteri di rottura di Tresca e Von Mises. Si riportano le relazioni che definiscono tali superfici limite. o Criterio di Tresca {[ ] [ ] [ ]} massima tensione tangenziale agente massima tens.tg. ammissibile in stato monoassiale o Criterio di Von Mises ̅ ̅ √ ∫ ∫ ( ) √ √( ) ( ) ( ) tens.tg. media √ Tutti i criteri di resistenza per i materiali duttili hanno nello spazio delle tensioni principali una rappresentazione cilindrica con l’asse del cilindro l’asse idrostatico (uguaglianza delle tensioni principali). La sezione del cilindro è definita dal particolare criterio considerato. Pagina | 47
  • (b) Incrudimento: comportamento post-snervamento Il comportamento nel ramo post-snervamento è caratterizzato dall’incrudimento, ovvero dal comportamento del materiale a livello dei cristalli che lo compongono, con conseguente variazione di diverse proprietà fisico-meccaniche del materiale. Nel caso dell’acciaio, l’incrudimento si caratterizza in funzione dello stato di tensione:   Stato monoassiale: pendenza del tratto post-snervamento; Stato biassiale: isotropia e staticità. Considerando il caso biassiale, la prima caratteristica riguarda il cambiamento di dimensioni ma non di forma del dominio, mentre la seconda riguarda lo spostamento dei punti del dominio. Si ottengono quindi quattro combinazioni. ISOTROPIA STATICITA’ incrudimento isotropo incrudimento non isotropo incrudimento statico incrudimento cinematico dominio cambia di dimensioni ma non di forma 1 dominio cambia di dimensioni e di forma 2 dominio non si sposta 3 dominio si sposta 4 Pagina | 48
  • (c) Legame costitutivo Sottoponendo un provino di acciaio cilindrico di sezione A0 ad una prova di carico di trazione monoassiale a controllo di spostamenti, si traccia la curva tensioni-deformazioni caratteristica del materiale. Pagina | 49
  • Si possono individuare i seguenti tratti: 1. Fase elastica lineare: proporzionalità diretta tra tensioni e deformazioni; 2. Fase elastica non lineare: tratto leggermente curvo, in caso di scarico si recuperano queste deformazioni; 3. Decadimento: decadimento verticale della tensione a deformazioni costanti fino ad un limite di snervamento inferiore; 4. Fase di snervamento: aumento di deformazioni a tensioni costanti; 5. Hardening: aumento tensioni fino a rottura con pendenza variabile; 6. Softening (a): ramo decrescente, se 7. Softening (b): ramo crescente, se ⁄ ; ⁄ ; 8. Deformazioni residue: nel caso in cui si effettui uno scarico ed un successivo ricarico in fase plastica, le due curve sono caratterizzate da una pendenza media pari a quella che caratterizzava il materiale in fase elastica; al termine dello scarico il provino subisce una deformazione residua plastica, mentre la parte elastica è recuperata. Il legame reale, ricavato da una prova sperimentale, è evidentemente troppo complesso per essere implementato e considerato come legame costitutivo nei calcoli strutturali; si deve pertanto ricorrere a legami semplificati, introducendo necessarie approssimazioni. Si riporta di seguito un elenco di possibili legami semplificati, a complessità crescente. Legame rigido perfettamente plastico 1 o 2 parametri Legame elasto-plastico perfetto 3 parametri Legame elasto-plastico incrudente 4 parametri Legame elasto-plastico incrudente con tratto a deformazione libera 5 parametri Aggiornamento modulo tangente Sono presentati:    Forma del legame costitutivo; Modello reologico corrispondente; Legame in comportamento ciclico. Pagina | 50 ( )
  • Pagina | 51
  • Altro legame costitutivo, utilizzato prevalentemente in ambito di ricerca, è il legame MenegottoPinto. Tale legame si adatta a studi del comportamento ciclico delle strutture, quindi prevalentemente in zona sismica. È uno dei metodi più affidabili, ma i coefficienti di adimensionalizzazione 0 ed 0 ed il parametro n devono essere calibrati con riferimento ad evidenze sperimentali. ( ( ) )( ) ( ) [ ( ) ] 6.2) Livello di sezione – elemento Si distingue la trattazione in funzione dello stato di sollecitazione dell’elemento; in particolare si affronta lo studio di elementi semplicemente inflessi e di elementi presso-inflessi. 6.2.1) Elementi semplicemente inflessi: teoria elasto-plastica della trave inflessa La teoria della trave si basa su tre assunzioni, riportate di seguito, che consentono di descrivere lo stato tensionale nell’elemento in termini di caratteristiche di sollecitazione, ovvero di risultanti delle tensioni sulla sezione.    Una dimensione predominante rispetto alle altre; Validità del Principio di De Saint Venant: ad una certa distanza dagli estremi del solido si può ipotizzare che la distribuzione delle forze sulle sezioni sia ininfluente, lo stato di sollecitazione è descritto dalle risultanti; Sezioni ruotano restando piane e perpendicolari all’asse. Nello studio della teoria elasto-plastica della trave inflessa si considera inoltre:    Piccoli spostamenti: l’equilibrio è scritto nella configurazione indeformata; Assenza fenomeni di instabilità; Legame costitutivo elasto-plastico perfetto. Pagina | 52
  • Consideriamo la generica sezione di una trave inflessa, aumentiamo progressivamente la sollecitazione e tracciamo alcuni andamenti di tensioni e deformazioni, riferiti a situazioni tipiche o limite: (a) Limite elastico: tutte le fibre sono in campo elastico, solo le fibre estreme hanno raggiunto la tensione di snervamento;  My: momento di snervamento (b) Generica situazione in campo plastico: le deformazioni sono ancora a farfalla (la sezione ruota restando piana), mentre le tensioni non aumentano oltre la tensione di snervamento (legame elasto-plastico perfetto); (c) Completa plasticizzazione della sezione: tutte le fibre hanno raggiunto la tensione di snervamento, il diagramma delle deformazioni non è tracciabile ().  Mp: momento plastico Pagina | 53
  • Come mostrato in figura, si individuano due valori tipici del momento, in corrispondenza delle situazioni (a) e (c). E’ inoltre possibile individuare un valore ultimo del momento (Mu: momento ultimo), corrispondente al raggiungimento della deformazione ultima nella fibra più sollecitata. Questa situazione corrisponde al distacco di materiale per rottura delle fibre. In funzione della duttilità del materiale si può avere . Per descrivere il comportamento di una sezione di una trave inflessa in campo elasto-plastico si studia un concio di trave di lunghezza unitaria inflesso secondo un raggio di curvatura r. Lo scopo è quello di trovare la relazione tra momento sollecitante e curvatura in campo elastico ed in campo elasto-plastico. Considerando la fibra baricentrica ab e la generica fibra cd, si ricava, ricorrendo alle similitudini tra gli archi, la dipendenza della deformazione dalla curvatura. ̂ ( )) ( ( ) ̂ ( ) Essendo la curvatura, in piccoli spostamenti, pari all’inverso del raggio di curvatura , è possibile ricavare: ( ) o Campo elastico per tutte le fibre Scriviamo la relazione momento-curvatura per una trave semplicemente inflessa in campo elastico: ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) Pagina | 54
  • e ricaviamo la curvatura al limite elastico, corrispondente al raggiungimento della tensione di snervamento nelle fibre più sollecitate: o { { { Campo elsto-plastico per tutte le fibre nel nucleo elastico, altrove Concentrando l’attenzione sul nucleo elastico, ovvero nella porzione di sezione più vicina all’asse neutro le cui fibre non hanno ancora raggiunto lo snervamento, possiamo determinare l’espressione della curvatura al limite dello stesso: ( ) Resta quindi determinato il legame tra la curvatura in campo elasto-plastico e la curvatura al limite elastico: { ⁄ ⁄ Si vuole ora determinare il legame momento-curvatura in campo elasto-plastico di una sezione inflessa. Il diagramma delle tensioni precedentemente riportato può essere visto come la somma di tre diagrammi relativi a condizioni elementari: Considerando il contributo di ogni diagramma costituente, si può scrivere l’espressione del momento come: Pagina | 55
  • dove We, Z, e Ze sono rispettivamente il modulo di resistenza elastico del nucleo elastico, il modulo plastico dell’intera sezione ed il modulo plastico del nucleo elastico. È possibile ottenere il medesimo risultato per via analitica, risolvendo l’integrale che lega la tensione alla caratteristica di sollecitazione flessionale. Tale relazione, come mostrato, si può scindere in due termini legati rispettivamente al contributo del nucleo elastico e delle fibre plasticizzate. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) Per raggiungere l’obiettivo che ci si prefigge è utile procedere in termini di grandezze adimensionalizzate. Dividendo l’espressione del momento per il momento di snervamento si ottiene: [ ] [ ] [ ] Si osserva che i moduli di resistenza We e Ze che rientrano nella formulazione finale dipendono dall’ampiezza del nucleo elastico ye la quale, a sua volta, mediante la relazione precedentemente ricavata, dipende dalla curvatura della sezione. [ ] ( ) { La funzione  non esiste sempre in forma chiusa in funzione del tipo di sezione. La soluzione esatta può essere determinata nel caso di sezione rettangolare. SEZIONE RETTANGOLARE modulo elastico sezione modulo elastico nucleo elastico modulo plastico sezione modulo plastico nucleo elastico Noti i moduli di resistenza, si determinano il fattore di forma  e il legame momento curvatura in forma chiusa: [ Pagina | 56 ( ) ]
  • DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA È quindi ora possibile tracciare il legame tra il momento sollecitante e la curvatura della sezione. Tale legame è lineare in campo elastico, mentre è quadratico in campo elastoplastico. L’andamento tende asintoticamente al valore del momento plastico . Il diagramma può essere rappresentato in forma adimensionalizzata: ciò consente di rappresentare il comportamento in campo elasto-plastico di diverse sezioni. Si nota come, mentre il tratto elastico sia comune, il limite massimo raggiunto sia funzione delle risorse plastiche della sezione, proporzionali alla quantità di materiale strutturale che si trova in prossimità dell’asse neutro. Pagina | 57
  • CERNIERA PLASTICA Per lo studio dei sistemi di travi, ovvero il comportamento degli elementi e delle sezioni in campo elasto-plastico, un concetto importante è quello di cerniera plastica. Si considera uno schema di trave semplicemente appoggiata sollecitata con una forza concentrata in mezzeria. Ipotizzando che la sollecitazione P sia tale da portare a completa plasticizzazione la sezione di mezzeria, si può determinare, facendo ricorso alla similitudine tra triangoli, l’ampiezza l della zona con fibre in campo plastico. ⁄ ⁄ ⁄ ( ) L’ampiezza ricavata, essendo funzione del fattore di forma  , risulta essere dipendente dalla forma della sezione corrente. Per le sezioni a doppio T, caratterizzate da un valore di  basso, l’estensione della zona plasticizzata risulta essere percentualmente limitata rispetto alla luce della trave; è quindi accettabile l’approssimazione di considerare le plasticizzazioni concentrate in un punto. Una volta raggiunto il momento plastico Mp in corrispondenza di una sezione, ad un ulteriore incremento di carico non corrisponde un incremento di momento interno: lo schema, per carichi incrementali, diventa un meccanismo. La cerniera plastica fornisce quindi momento non nullo (M=Mp), ma momento incrementale nullo (M=0). La sezione (e il suo intorno) ha un comportamento a cerniera solo in carico monotono, ma in scarico si comporta in modo elastico. Facendo l’ipotesi che la plasticizzazione sia concentrabile in un punto, lo studio della capacità portante dell’elemento può essere effettuato monitorando lo stato della cerniera su un diagramma momento-curvatura. Al raggiungimento del momento plastico corrisponde una curvatura ultima teoricamente infinita, che può praticamente essere considerata pari a tre o quattro volte la curvatura di snervamento. Pagina | 58
  • 6.2.2) Elementi presso-inflessi Si vuole ora investigare come la presenza di uno sforzo assiale possa influenzare il momento plastico. In questo caso per rappresentare il comportamento di una sezione di un elemento pressoinflesso in campo elasto-plastico si fa ricorso a superfici di interazione, definite su un piano momento-sforzo assiale. Le superfici di interesse sono:   Superficie limite plastica: luogo dei punti che produce la completa plasticizzazione della sezione; Superficie limite elastica: luogo dei punti che definisce la prima plasticizzazione di una fibra della sezione. Considerando una generica sezione sollecitata da uno sforzo assiale costante di compressione P e da un momento flettente variabile M. Si nota come, al crescere della sollecitazione flettente, la posizione dell’asse neutro sia variabile. I diagrammi sono tracciati nell’ipotesi di legame elastoplastico perfetto. Determiniamo ora le due superfici limite. o Superficie limite plastica Prendendo in esame la situazione, ideale, di completa plasticizzazione, possiamo dividere i contributi dovuti alle due sollecitazioni. risultante di compressione momento flettente con | Pagina | 59 ⁄ ( )⁄
  • Definiamo ora i limiti plastici sotto sollecitazioni semplici, ovvero lo sforzo assile ed il momento che, se agiscono da soli, plasticizzano l’intera sezione: È ora possibile ricavare la relazione che definisce la superficie limite: ( ) ( ( ) ) La superficie limite è definita da una curva del secondo ordine, con concavità verso il basso nel primo quadrante e intersezione con gli assi per valori unitari delle grandezze adimensionalizzate. o Superficie limite elastica Ci si riferisce ora alla situazione al limite elastico, in cui la prima fibra raggiunge lo snervamento. Si riportano come sopra dapprima i termini relativi a questa situazione e successivamente i termini di adimensionalizzazione, che questa volta rappresentano le sollecitazioni che, se applicate da sole, portano a snervamento la prima fibra della sezione. Con riferimento alla similitudine tra i triangoli evidenziati, si definisce la relazione: ( ( ) ( ) Pagina | 60 )
  • ( ( ) ) È ora possibile ricavare la relazione che definisce la superficie limite: ( ) In questo caso la superficie limite è una retta. Le due superfici permettono quindi di controllare lo stato di sollecitazione della sezione, definito come un punto sul piano M/Mp – P/Pp. Data la forma delle superfici, risulta evidente che le risorse plastiche della sezione sono funzione del percorso di carico seguito. tratto campo sollecitazioni O-A elastico aumento proporzionale carichi aumento proporzionale carichi A-A* A-A’ A-A’’ elasto-plastico aumento solo M, P=cost aumento solo P, M=cost Pagina | 61
  • 6.2.3) Elementi soggetti a flessione e taglio Per lo studio dell’interazione tra il taglio e lo sforzo assiale prodotto nelle fibre dalla flessione, si può far ricorso al criterio di rottura di Von Mises:     √ La sezione è dichiarata in crisi secondo il criterio di Von Mises, non quando tutte le fibre ragglingono la tensione di snervamento y. Questo problema di interazione non è semplicemente risolvibile in forma chiusa, sono quindi stati proposti diversi modelli semplificativi basati sul criterio di Von Mises. Tali modelli si propongono di determinare la riduzione di momento platico dovuta alla presenza di sforzi di taglio. Per la distribuzione degli sforzi di taglio si assume che:    Siano concentrati nel solo nucleo elastico (consegueza criterio di rottura assunto); Si abbia un andamento parabolico (teoria di Jourawsky); Lo sforzo massimo di taglio è maggiore del 50% rispetto al valore medio. Considerando una sezione rettangolare si ha la distribuzione di tensioni mostrata in figura, con valore massimo dello sforzo di taglio localizzato in corrispondenza dell’asse neutro (baricentrico). È quindi possibile determinare l’ampiezza del nucleo elastico: | √ Al fine di valutare la riduzione del momento plastico dovuto alla presenza dello sforzo di taglio, si commenta l’andamento delle tensioni assiali sulla sezione. Pagina | 62
  • [( ) ( )] Definendo in modo ideale la forza agente che porterebbe a completa plasticizzazione la sezione per solo taglio , si può esprimere il momento ridotto adimensionalizzato rispetto al momento plastico: ( ) ( ) 6.3) Livello di sistema strutturale Passando a considerare gli aspetti legati alla plasticità per i sistemi strutturali, di devono considerare ulteriori fattori che intervengono nella trattazione:      Iperstaticità; Distribuzione dei carichi; Distribuzione delle rigidezze; Ridistribuzione energie immesse; Meccanismi di collasso locale e globale. 6.3.1) Iperstaticità L’entrata in campo plastico può avere effetti differenti in funzione dell’iperstaticità del sistema. La completa plasticizzazione di una sezione, come visto, materializza sull’elemento una cerniera plastica. Definendo il collasso come la formazione di plasticizzazioni tali per cui la struttura non ha più capacità portanti per successivi incrementi di carico e si trasforma in un cinematismo, è evidente che maggiore è il grado di iperstaticità, maggiore è il numero di cerniere plastiche che si devono formare prima che la struttura collassi. 6.3.2) Distribuzione dei carichi Consideriamo una trave doppiamente incastrata soggetta a due condizioni di carico differenti. Si definiscono con l’apice (*) le grandezze di carico relative alla formazione della prima cerniera plastica e con il pedice (u) le grandezze di carico relative al collasso del sistema. Pagina | 63
  • Raggiungo la prima plasticizzazione contemporaneamente nella sezione di mezzeria e nelle sezioni di estremità La prima plasticizzazione è raggiunta nelle sezioni di estremità; Il sistema diventa isostatico e può ancora sopportare un incremento di carico Le risorse plastiche del sistema non sono nulle: Le risorse plastiche del sistema sono nulle: Il collasso avviene per la formazione contemporanea di tre cerniere allineate. Per la trattazione completa di questo sistema si rimanda al punto (4). La distribuzione dei carichi influisce in modo determinate sulla risposta del sistema. 6.3.3) Distribuzione delle rigidezze In campo elastico due elementi in parallelo lavorano nei confronti di un incremento dell’energia esterna, proporzionalmente alla loro rigidezza. Questa assunzione può essere estesa al campo plastico, poiché in generale un problema plastico può essere affrontato come una successione di stati elastici. 6.3.4) Ridistribuzione delle energie immesse Una plasticizzazione locale comporta un cambio di schema statico e quindi una distribuzione di energia differente rispetto alla situazione precedente. Pagina | 64
  • Dopo il raggiungimento del momento plastico nelle sezioni più sollecitate la struttura non è collassata, bensì resiste con uno schema statico differente: da p* in poi (in ottica incrementale) è una trave doppiamente appoggiata. Posso incrementare ancora il carico di una quantità p tale che: La trave quindi collassa per un carico: Possiamo quindi quantificare le risorse plastiche del sistema strutturale: Il carico di collasso è il 33% più grande rispetto al carico di prima plasticizzazione. Si definiscono le risorse plastiche come la capacità del sistema di resistere ad un successivo incremento di carico dopo aver raggiunto la plasticizzazione. Queste possono essere definite in termini di:    Sistema: successione differenziata delle plasticizzazioni; Forma della sezione: valore del fattore di forma ; Incrudimento del materiale. Pagina | 65
  • 6.3.5) Meccanismi di collasso locale e globale Si possono individuare meccanismi di collasso a livello globale (di struttura) o a livello locale (di elemento). Nel primo caso dato un sistema strutturale n volte iperstatico, questo collassa (ovvero diventa un cinematismo) se si formano n+1 cerniere plastiche ben poste. Il secondo caso si verifica invece quando la formazione di cerniere plastiche è tale che queste siano allineate lungo un elemento; si ha un numero di cerniere minore di n+1. 6.4) Comportamento ciclico di una sezione inflessa È di interesse estendere lo studio della teoria della plasticità di una sezione semplicemente inflessa al caso in cui il carico sia di tipo ciclico. Ciò risulta essenziale nella progettazione di strutture in zona sismica. Tracciando gli usuali diagrammi delle tensioni sulla sezione, si associa un livello tensionale ad ogni fibra; tutte le fibre sono descritte mediante il medesimo legame costitutivo, considerato in questo caso di tipo elasto-plastico perfetto. Considerando una sezione rettangolare parzializzata possiamo rappresentare la posizione di alcune fibre sul diagramma -: Sottoponendo la sezione ad una storia di carico non più monotona, bensì ciclica, ogni fibra differirà dalle altre, oltre che per il livello tensionale corrente, anche per la propria storia di sollecitazione. Immaginiamo di sottoporre la sezione alla seguente storia di carico: Pagina | 66
  • (a) Carico: incremento momento sollecitante fino al raggiungimento di un momento M*>My e M*<Mu, tale quindi da parzializzare la sezione ma senza che risulti completamente plasticizzata; (b) Scarico: decremento del momento applicato fino ad annullamento dello stesso (-M*): si nota come, anche se la sollecitazione esterna è stata rimossa, rimane determinato un diagramma di autotensioni residue di equilibrio sulla sezione e permane una deformazione plastica residua; (c) Carico in direzione opposta: inversione del carico, incremento in direzione negativa fino al raggiungimento dello snervamento nelle fibre estreme della sezione: sovrappongo al diagramma del passo (a) un diagramma lineare di tensioni prodotto da un momento complessivo pari a 2My: la sezione può essere sottoposta a storie di carico inverse all’interno del range di 2My senza che si produca alcuna nuova plasticizzazione. (d) Raggiungimento momento platico: continuo la fase di carico fino al completo sfruttamento delle risorse plastiche della sezione. Pagina | 67
  • Se una volta raggiunta la completa plasticizzazione della sezione per valori negativi del momento si inverte la direzione di carico fino ad invertire il segno del momento sollecitante e fino al raggiungimento del momento plastico positivo, e si ripete il percorso descritto in modo ciclico, si producono cicli isteretici sul piano M-. Pagina | 68
  • 7) ANALISI PLASTICA Lo studio della capacità portante di una struttura in campo elasto-plastico può essere affrontato seguendo tre differenti metodi di calcolo:    Metodo incrementale; Metodo semi-analitico; Metodo dell’analisi limite. Partendo dalla conoscenza della geometria, delle condizioni di vincolo, della distribuzione dei carichi e delle rigidezze ed ipotizzando un legame costitutivo del materiale di tipo elasto-plastico perfetto, si vuole determinare il moltiplicatore del carico che porta la struttura a collasso. 7.1) Metodo incrementale (push-over) Il metodo incrementale è un metodo step-to-step che consiste nel seguire il comportamento strutturale attraverso una serie di analisi, tutte elastiche, considerando la formazione progressiva di cerniere plastiche che modificano lo schema statico di calcolo. Si considera quindi un modello a plasticità concentrata. Aumentando il carico applicato alla struttura la distribuzione dei momenti su di essa aumenta linearmente fino al raggiungimento, nella sezione caratterizzata da momento massimo, del momento plastico: si forma la prima cerniera plastica. La struttura, se iperstatica, subisce pertanto un cambiamento di schema statico ed è ancora in grado di sopportare incrementi di sollecitazione. La seconda cerniera plastica si forma quando la somma dello stato tensionale riferito allo schema statico attuale e dello stato limite dello schema statico originario consente il raggiungimento del momento plastico in un’altra sezione. Si procede in questo modo fino alla trasformazione della struttura in un meccanismo, con conseguente collasso della stessa. Si riporta a titolo di esempio il caso di una trave doppiamente incastrata soggetta ad un carico verticale eccentrico progressivamente crescente. Si considera una trave IPE120 (modulo plastico Z=60.73 cm3), di acciaio S235. Il momento plastico risulta essere pari a . Pagina | 69
  • Pagina | 70
  • Si è ricavata la soluzione del problema elasto-plastico risolvendo una successione di problemi elastici, riguardanti l’aumento incrementale del carico. Si può rappresentare il comportamento in campo elasto-plastico della struttura su un piano forzaspostamento (lo spostamento è relativo al punto di applicazione della forza). Si nota come in corrispondenza di ogni plasticizzaizone si abbia un cambiamento di pendenza, dovuto ad una riduzione di rigidezza del sistema. È inoltre possibile stimare la duttilità come rapporto tra la freccia ultima e quella relativa alla formazione della prima cerniera plastica. È importante infine notare che ad ogni modifica dello schema statico corrisponde una ridistribuzione delle energie immesse. Tale cambiamento produce un sistema strutturale differente rispetto a quello precedente; non è quindi possibile definire a priori quale sarà la successione nelle formazione delle cerniere plastiche. Pagina | 71
  • 7.2) Metodo semi-analitico Un metodo analitico permetterebbe di trovare soluzioni del problema elasto-plastico in forma chiusa; tuttavia ciò risulta possibile in un numero limitato di casi. Si può ricorrere in modo proficuo ad un metodo di tipo semi-analitico, che consenta di trovare la soluzione in forma chiusa a tratti. Si tratta il caso di un sistema reticolare costituito da tre aste (9 gradi di libertà), nell’ipotesi di materiale elasto-plastico perfetto (ipotesi di infinita duttilità di materiale). Il sistema è una volta iperstatico. Si ricavano separatamente le soluzioni al problema elastico ed al problema elastoplastico. o Soluzione elastica Si procede nell’ottica del metodo degli spostamenti: si impone lo spostamento  del punto in cui convergono le tre aste, si scrive la congruenza ed imponendo l’equilibrio si ricavano gli sforzi nelle aste X, Y. Le equazioni risolutive sono le equazioni di equilibrio scritte in termini di spostamento. Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, si scrive l’equilibrio nella posizione indeformata ( ). Congruenza  asta OA ( ⁄ ) aste OB, OC ⁄  ( ⁄ ) Equilibrio ( ) Si risolve il sistema e si ricavano gli sforzi nelle aste: √ { √ L’asta che assorbe la sollecitazione maggiore è l’asta OA, che sarà quindi anche la prima a entrare in campo plastico. Si determina il valore del carico per il quale si raggiunge la tensione di snervamento e la conseguente deformazione al limite elastico. Pagina | 72
  • √  √  o Soluzione elasto-plastica Una volta raggiunto lo snervamento dell’asta OA, continuiamo ad incrementare il carico agente. Per le ipotesi fatte lo sforzo nell’asta OA rimane costante e pari a , mentre cresce la sollecitazione nelle aste OB ed OC fino al raggiungimento del campo plastico. Equilibrio ( )  { √ È quindi possibile determinare il carico di rottura del sistema e, sfruttando le equazioni di congruenza precedentemente riportate, lo spostamento corrispondente a tale condizione:  √ ( √ )  ⁄ Possiamo quantificare i benefici portati dallo sfruttamento delle risorse plastiche del sistema in termini di sovraresistenza e duttilità. In entrambi i casi l’incremento di capacità è consistente. ( √ ) √ Osservando quest’ultimo risultato è interessante osservare che, nonostante si sia ipotizzata una duttilità di materiale infinita, la duttilità di struttura non lo è. Ciò dipende dal fatto che la struttura non collassa per crisi del materiale, bensì perché si trasforma in un meccanismo. Si riportano infine i risultati ottenuti su un piano sforzo nelle aste – sollecitazione. Pagina | 73
  • o Scarico Si può ipotizzare di effettuare uno scarico completo del sistema e valutare il comportamento delle aste:   Asta OA: è plasticizzata, presenterà una deformazione residua; Aste OB ed OC: non sono plasticizzate, tendono a recuperare interamente la deformazione subita. Conseguentemente:   Per congruenza le aste OB ed OC presenteranno una deformazione residua di allungamento, saranno quindi tese; L’asta OA, per equilibrio del nodo, risulterà compressa. Analogamente a quanto ricavato per la fase elastica di carico e definito lo scarico P si ha: ( √ √ ) { √ Si ricavano quindi gli sforzi residui nelle aste come: √ √ { { √ √ { √ Per la convenzione dei segni scelta, come previsto l’asta OA risulta compressa (X), mentre le aste OB ed OC risultano tese (Y). Pagina | 74
  • 7.3) Analisi limite L’analisi limite è un metodo energetico per il calcolo del moltiplicatore critico dei carichi esterni, ovvero del coefficiente di amplificazione di tali carichi che produce il collasso strutturale in campo elasto-plastico. Per la determinazione del moltiplicatore critico si può far ricorso ai due teoremi statico e cinematico, che consentono l’individuazione di due soluzioni “limite”. In entrambi i casi si assume che siano rispettate le seguenti ipotesi:     Le sezioni ruotano restando piane; Piccoli spostamenti (con conseguente assenza di fenomeni di instabilità); Legame costitutivo elasto-plastico perfetto; Duttilità infinita di elemento o di struttura. Successivamente alla trattazione dei due teoremi si commenteranno i risultati ottenuti ed il loro significato. In conclusione ci si soffermerà brevemente sulla definizione grafica del moltiplicatore di collasso. 7.3.1) Teorema statico Il teorema statico si basa su considerazioni legate all’equilibrio del sistema. In particolare si assume che il carico di collasso possa essere stimato considerando una distribuzione di momenti in equilibrio con i carichi esterni, tale che il momento in ogni punto lungo la struttura non ecceda il momento plastico. Tale stima rappresenta il reale carico di collasso se il diagramma dei momenti mostra che si sono formate un numero sufficiente di cerniere plastiche e che conseguentemente si sia sviluppato un meccanismo di collasso. Nel caso in cui non siano state determinate un numero sufficiente di cerniere, il carico determinato è una stima per difetto del carico di collasso esatto. Si riporta a titolo di esempio il medesimo sistema precedentemente trattato e si elencano di seguito i passi del metodo: (a) Per ogni struttura iperstatica, si eliminano i gradi di iperstaticità interni e si determina il sistema principale; (b) Si determina il diagramma dei momenti del sistema isostatico di cui sopra; (c) Si determinano i diagrammi risultati dall’applicazione di ogni incognita iperstatica al sistema isostatico; (d) Si combinano i diagrammi ricavati; (e) Dal diagramma combinato si determinano le equazioni di equilibrio; (f) Si stabilisce in quali punti il diagramma raggiunge il momento platico; (g) Si risolvono le equazioni di equilibrio. Pagina | 75
  • Il sistema in esame è, per carichi verticali, due volte iperstatica (n=2); sono quindi necessarie n+1=3 cerniere plastiche affinché si sviluppi un meccanismo. Questo particolare sistema strutturale genera una unica possibile dislocazione delle cerniere plastiche (f):   Ai nodi esterni; Nel punto di applicazione del carico. Si determina pertanto un'unica relazione di equilibrio (e) relativa al sistema (d): ( ( ) ) Inoltre devono essere sodisfatte le condizioni di ammissibilità statica (condizioni limite delle singole sezioni): | | | | | | Si ricava il carico di collasso quando tutte le sezioni in esame raggiungono il momento plastico: ( ) ( ( ) Pagina | 76 )
  • Considerando come nel caso dell’analisi incrementale un profilato IPE120, di momento plastico MP=14.27kNm, si ottiene un carico critico pari a Pcr = 19.98 kN, coincidente con il valore precedentemente determinato. Nel caso in cui fosse possibile individuare più configurazioni staticamente ammissibili, si ricava il carico di collasso relativo ad ognuna di esse. Il collasso sopraggiunge quando è raggiunto il carico massimo tra quelli associati ad ogni configurazione staticamente ammissibile. La potenza del metodo risiede nella possibilità di ottenere una stima del carico di collasso mediante considerazioni grafiche, sommando i diagrammi dei momenti, operazione agevole per i calcoli a mano. 7.3.2) Teorema cinematico Nel metodo cinematico si ipotizza di conoscere il corretto cinematismo di collasso compatibile con i carichi ed i vincoli del sistema strutturale. Il carico di collasso è il carico associato al meccanismo ipotizzato, e può essere determinato attraverso il metodo dei lavori virtuali, ovvero deve essere verificata l’uguaglianza tra il lavoro esterno prodotto dai carichi applicati ed il lavoro interno che il momento plastico compie nelle rotazioni delle cerniere plastiche. ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) dove: rotazione i-esima cerniera plastica ∑ ∫ lavoro che i carichi concentrati compiono nei spostamenti ( ) ( ) lavoro che i carichi distribuiti compiono nei rispettivi spostamenti Nell’applicazione del metodo si trascurano le deformate elastiche, essendo queste molto più piccole rispetto a quelle plastiche. Lo svantaggio del metodo consiste nel fatto che una erronea ipotesi circa il meccanismo di collasso produce risultati a sfavore di sicurezza, stimando per eccesso il carico ultimo. Risolvendo il precedente caso di studio: Pagina | 77
  • ( Tenendo conto che ) , uguagliando lavoro interno e lavoro esterno si ottiene: ( ) ovvero il medesimo valore di carico critico determinato nell’approccio statico e nell’analisi incrementale. 7.3.3) Teorema di unicità Nella presentazione dei due precedenti teoremi si è messo in luce come debbano essere soddisfatte tre condizioni:    Equilibrio tra carichi esterni e sollecitazioni interne; In ogni sezione il momento non deve mai superare il momento plastico; Quando si raggiunge il carico di collasso si deve sviluppare un meccanismo di collasso cinematicamente compatibile. È tuttavia possibile, come dimostrato nel caso dei teoremi statico e cinematico, sviluppare una procedura di calcolo in campo plastico basandosi solo su alcune di queste condizioni. Ciò comporta che i due suddetti teoremi non conducano necessariamente a soluzioni esatte, bensì rappresentino rispettivamente un limite inferiore ed un limite superiore per la soluzione. o Teorema statico: LIMITE INFERIORE Un carico di collasso calcolato sulla base di un assunto diagramma dei momenti in cui non sia mai raggiunto il momento plastico è minore o al massimo uguale al reale carico di collasso. Poiché l’equilibrio è soddisfatto tracciando un diagramma dei momenti, non si pone attenzione allo sviluppo di un meccanismo di collasso valido. o Teorema cinematico: LIMITE SUPERIORE Un carico di collasso calcolato sulla base di un assunto meccanismo di collasso risulterà sempre più grande o al massimo uguale al reale carico di collasso. Poiché l’equilibrio è soddisfatto ipotizzando un cinematismo di collasso, non si controlla se il diagramma dei momenti supera il momento plastico, ma ci si affida a considerazioni energetiche per la determinazione del carico ultimo. Pagina | 78
  • o Teorema di unicità Il carico di collasso reale è il carico per il quale le soluzioni di limite superiore ed inferiore coincidono. Ciò è verificato quando sono soddisfatte tutte e tre le condizioni precedentemente esposte. 7.3.4) Spazio delle azioni esterne È possibile individuare graficamente il moltiplicatore ultimo su un piano che riporti in ascissa ed ordinata le azioni cui è sottoposto il sistema strutturale. A differenza delle superfici limite nello spazio delle tensioni (i,j) e nello spazio delle caratteristiche della sollecitazione (N,M) precedentemente presentate, la superficie nello spazio delle azioni esterne (Pi,Pj) non è univoca, poiché dipende dalle condizioni di carico e di vincolo, ovvero dipende da come la membratura è inserita all’interno del sistema strutturale. Una volta nota questa superficie, il problema della determinazione del moltiplicatore di collasso è facilmente risolvibile, come indicato in figura. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ È inoltre dimostrabile che tutte le superfici limite menzionate sono convesse. Se infatti fossero presenti concavità non sarebbero soddisfatte le due seguenti ipotesi:   Data una combinazione di carico ammissibile il moltiplicatore cr di questa combinazione è il massimo tra quelli che da questa producono combinazioni ancora ammissibili (ci muoviamo lungo una retta); Data una combinazione di carico ammissibile il moltiplicatore cr è unico. Pagina | 79
  • Pagina | 80
  • 8) PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA Nell’affrontare lo studio ed il dimensionamento di una struttura in zona sismica si può ricorrere a due metodi di progetto, come mostrata nel digramma riportato di seguito. Le normative moderne sono sempre più orientate verso un approccio di tipo prestazionale, che consenta maggiore libertà al progettista, purché questo soddisfi i requisiti prestazionali imposti dalla norma stessa. Di seguito ci si soffermerà tuttavia sull’approccio tradizionale in duttilità e sulle assunzioni alla base della trattazione. Dimensionare una struttura in modo che questa, se soggetta all’azione sismica di design, rimanga in campo elastico, è sicuramente possibile anche se comporta un impegno economico molto elevato; ricorrere a questa soluzione risulta giustificato quindi solo per strutture di tipo strategico, che devono rimanere perfettamente agibili ed operative nelle prime fasi di emergenza post-sisma. Per le strutture ordinarie si accetta che si verifichi un danneggiamento, ovvero che parti della stessa entrino in campo plastico; è responsabilità del progettista decidere in quali elementi strutturali concentrare le plasticizzazioni. Si parla di progettazione in duttilità. Ad esempio in una struttura a ritti pendolari si concentrano le plasticizzazioni negli elementi diagonali, mentre è richiesto che le colonne, responsabili del trasferimento dei carichi verticali, rimangano in campo elastico. L’entrata in campo plastico permette inoltre una notevole dissipazione di energia, essendo questa proporzionale all’area sottesa dai cicli di isteresi relativi alle singole membrature. Pagina | 81
  • 8.1) Metodo semplificato di progetto Il metodo semplificato di progetto consiste in: (a) Considerare le risorse plastiche in modo indiretto attraverso un fattore di struttura q: tale fattore permette di considerare la dissipazione plastica continuando ad eseguire analisi di tipo elastico lineare; (b) Localizzare le plasticizzazioni mediante la gerarchia delle resistenze; (c) Assicurare la duttilità locale nelle zone dissipative: questo obbiettivo è raggiunto imponendo il rispetto delle due condizioni sul materiale Si devono inoltre considerare eventuali errori nella stima della resistenza fy del materiale: una eventuale sovrastima potrebbe produrre un comportamento differente da quello ipotizzato, con una differente dislocazione delle plasticizzazioni. È quindi opportuno adottare un opportuno coefficiente di sovraresistenza come riportato in normativa. La variabilità in funzione del tipo di acciaio dipende dal fatto che la fy può è un parametro caratterizzato da incertezza minore per gli acciaio di caratteristiche più scadenti. (d) Verifica a posteriori degli Stati Limite di Esercizio: a differenza del metodo avanzato di progetto (Performance Based Design), nel quale il dimensionamento può essere guidato indipendentemente da requisiti di SLU o SLE, nell’approccio tradizionale si risolve un problema di resistenza per poi verificare le condizioni di esercizio. 8.1.1) Fattore di struttura Il fattore di struttura permette di stabilire un legame tra un comportamento elasto-plastico dissipativo reale ed un comportamento elastico lineare sfruttato nel calcolo. In particolare consente di abbattere le forze sismiche elastiche, facendo affidamento sulle capacità di duttili della struttura. La determinazione del fattore di struttura si basa sul principio di uguale spostamento elastico ed elasto-plastico: Preso un oscillatore elementare con le stesse caratteristiche di rigidezza e massa e soggetto alla stessa forzante della struttura reale, - una volta con capacità strutturale elastica, - una volta con capacità strutturale elasto-plastica, i due oscillatori hanno lo stesso spostamento massimo al collasso. Pagina | 82
  • Riportando su un piano forza-spostamento il comportamento strutturale dell’oscillatore elementare nei due casi, figura (a), si può rappresentare tale enunciato. In particolare si osserva, con riferimento alle aree campite, che, definite le grandezze duttilità in spostamento fattore riduttivo per la duttilità, risulta essere: Sovrapponendo al grafico la curva di puh-over calcolata per il telaio reale, figura (b), si può individuare un ulteriore un ulteriore punto in corrispondenza della formazione della prima cerniera plastica. Difatti, essendo iperstatica, la struttura plasticizza progressivamente fino al raggiungimento della resistenza ultima. Rimane quindi individuato il rapporto: fattore di sovraresistenza che indica le risorse plastiche che la struttura è in grado di offrire tra la prima plasticizzazione ed il collasso (completa plasticizzazione). È quindi possibile definire la grandezza q0, che rappresenta il massimo valore che il fattore di struttura q può assumere. Valori caratteristici di q0 sono forniti dalla normativa vigente nella tabella 7.5.II, riportata di seguito, validi a patto che vengano rispettate le prescrizioni imposte dalla normativa stessa. Pagina | 83
  • Tabella 7.5.II – Limiti superiori dei valori di q0 per le diverse tipologie strutturali e le diverse classi di duttilità Paragrafo 7.5.2.2 – fattori di struttura Si evidenzia come l’abbattimento delle forze, proporzionale a q0, dipenda dalla tipologia strutturale, oltre che dalla classe di duttilità scelta. tipologia strutturale note Plasticizzazione travi  Flessibilità architettonica  Rigidezza modesta (rigidezza flessionale)  Costo collegamenti Intelaiata Plasticizzazione controventi tesi Controventi concentrici  Rigidezza elevata (rigidezza assiale)  Economicità  Flessibilità architettonica Pasticizzazione elementi “link” Controventi eccentrici  Rigidezza buona (rigidezza assiale)  Dissipazione energia  Flessibilità architettonica Pagina | 84
  • Per determinare il fattore di struttura si introducono fattori correttivi relativi alla regolarità strutturale ed alla duttilità locale. Questa correzione risulta indispensabile per tener conto di altre grandezze che intervengono nella determinazione delle capacità plastiche della struttura. o Fattore di regolarità strutturale La procedura presentata risulta tanto meno rappresentativa del reale comportamento tanto più la struttura è non regolare, sia in pianta che in altezza. Ad una struttura irregolare corrispondono minori risorse plastiche, poiché è maggiore la possibilità che si verifichino collassi locali. Paragrafo 7.3.1 – metodi di analisi e verifica: analisi lineare o Fattore di duttilità locale Questo fattore dipende dalla classificazione delle sezioni delle membrature metalliche, ed in particolare dal valore assunto dal parametro S. membrature S KD note duttili > 1.2 1 non si sviluppano fenomeni di instabilità locale plastiche 1 < S < 1.2 0.75 snelle <1 0.5 instabilità locale: presenza di interazione tra instabilità e plasticità Il parametro S, definito come il rapporto tra la tensione di collasso e la tensione di snervamento, può essere esplicitato in funzione di:    Parametri geometrici sezionali; Parametri di materiale (E , fyk); Distribuzione sollecitazioni assiali e flettenti lungo l’asse dell’elemento. Pagina | 85
  • Si riassume con un diagramma di flusso il procedimento del metodo semplificato. L’introduzione del fattore di struttura, come spiegato, consente una riduzione delle sollecitazioni sismiche da impiegare nel dimensionamento: tale riduzione si opera abbattendo lo spettro di progetto. Pagina | 86
  • 8.1.2) Gerarchia delle resistenze Applicare concetto di gerarchia delle resistenze nella progettazione strutturale permette di definire l’ordine di plasticizzazione degli elementi. Considerando più elementi che lavorino in serie, si vuole che il collasso sopraggiunga prima negli elementi caratterizzati da comportamento duttile rispetto a quelli caratterizzati da comportamento fragile, in modo che il comportamento complessivo risulti duttile. Ciò comporta l’imposizione di una limitazione sulle resistenze degli elementi: dove 0V è un coefficiente di sovraresistenza, che copre eventuali incertezze nella determinazione della resistenza degli elementi duttili. Considerando una struttura con controventi tesi, si vuole assicurare che la colonna rimanga in campo elastico quando i controventi tesi siano snervati. Lo sforzo di progetto per l’n-esima colonna, nell’ipotesi che tutti i controventi siano plasticizzati, è pari alla somma di un termine dovuto alla trasmissione dei carichi verticali e della componente verticale della resistenza di design del controvento. ∑ [ ∑ ( )] Si sottolinea che si dovrà amplificare mediante il coefficiente di sovraresistenza solo il termine relativo ai carichi orizzontali, poiché si ipotizza che sotto carichi verticali non ci siano plasticizzazioni. La normativa fornisce le formule per la determinazione delle sollecitazioni di progetto e prescrive la verifica che deve essere soddisfatta. In tale verifica si tiene conto della possibile interazione con il momento flettente, e la resistenza assiale è data come funzione del momento sollecitante. ( ) La gerarchia delle resistenze implica che i collegamenti siano l’ultimo elemento strutturale a collassare. La resistenza del collegamento deve essere maggiore della capacità plastica dell’elemento dissipativo opportunamente amplificata. Pagina | 87
  • Pagina | 88
  • 9) INSTABILITÀ L’acciaio è un materiale caratterizzato dal medesimo comportamento a trazione ed a compressione; tuttavia il carico corrispondente ad una condizione di collasso non è necessariamente analogo nei due casi. Difatti una sollecitazione di compressione, che sia uniforme su tutta la sezione di una membratura, relativa ad alcune fibre della sezione stessa o indotta da uno stato piano di sforzo, può determinare l’insorgere di fenomeni di instabilità. Considerando un generico percorso di carico, in corrispondenza di un particolare valore del moltiplicatore dei carichi cr il sistema sviluppa istantaneamente un diverso percorso di equilibrio (ramo secondario) che produce spostamenti rilevanti rispetto alla configurazione iniziale. Tale condizione si verifica per un carico critico minore della capacità portante del materiale, differenza tanto più importante quanto più l’elemento è snello. La localizzazione del punto di biforcazione dipende dalle caratteristiche della sezione dell’elemento in esame. In seguito si presenta una classificazione delle membrature metalliche. L’insorgere dell’instabilità è tendenzialmente associata ad un comportamento fragile, anche se procedendo con una analisi non lineare si possono individuare eccezioni. 9.1) Trattazione Lo studio del fenomeno può essere affrontato mediante un approccio tradizionale, ricorrendo a considerazioni cinematiche e di equilibrio, ovvero mediante lo studio dell’energia potenziale totale del sistema strutturale. In entrambi in casi si possono individuare tre ipotesi alla base della trattazione:    Legame costitutivo elastico: non si prevede dissipazione di energia; Vincoli perfetti (lisci e bilateri); Forze posizionali: la direzione della forza non segue la configurazione deformata. È inoltre possibile sviluppare diverse teorie in funzione delle ipotesi fatte riguardo:   Cinematica: piccoli o grandi spostamenti; Equilibrio: configurazione in cui scrivere l’equilibrio (indeformata o deformata). Hp cinematiche Hp equilibrio teoria piccoli spostamenti configurazione indeformata TEORIA DEL PRIMO ORDINE piccoli spostamenti configurazione deformata TEORIA DEL SECONDO ORDINE grandi spostamenti configurazione deformata TRATTAZIONE COMPLETA Pagina | 89
  • 9.1.1) Formulazione continua La trattazione analitica tradizionale dell’instabilità elastica è affrontata nell’ambito della teoria del secondo ordine, con ipotesi di piccoli spostamenti ed equilibrio scritto nella configurazione deformata. Si studia il caso di una colonna perfettamente verticale, di sezione costante, sollecitata da un’azione di compressione perfettamente centrata. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La soluzione generale dell’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti è del tipo: ( ) ( ) ( ) si impongono le condizioni al contorno e si ricavano le costanti di integrazione: { ( ( ) ) { ( ) La soluzione dell’equilibrio ai momenti è quindi del tipo: ( ) ( ) dove la costante A indica l’ampiezza della deformata. Ricordando le due definizioni date per il parametro , si ricava l’espressione del carico critico euleriano corrispondente all’insorgere del fenomeno di instabilità: Generalizzando tale risultato si sostituisce la lunghezza L con il parametro , detto lunghezza libera di inflessione, che permette di tener conto delle diverse condizioni di vincolo. Pagina | 90
  • 9.1.2) Trattazione completa Passando da una trattazione del secondo ordine ad una trattazione completa, ovvero rimuovendo l’ipotesi di cinematica dei piccoli spostamenti, è possibile cogliere diversi andamenti post-critici: (a) stabile simmetrico: dopo il raggiungimento del carico critico la struttura è in grado di sopportare successivi incrementi di carico all’aumentare dello spostamento; (b) instabile simmetrico: dopo il raggiungimento del carico critico, all’aumentare dello spostamento la struttura è in grado di sopportare carichi decrescenti; (c) asimmetrico: il comportamento successivo al raggiungimento del carico critico dipende dalla direzione nella quale avviene lo spostamento. Gli andamenti presentati sono tuttavia teorici, ricavati da modelli perfetti. Le aste reali sono infatti caratterizzate da imperfezioni di varia natura che, se trascurate, produrrebbero una sovrastima della capacità portante. Nel fascicolo allegato si svolgono alcuni casi notevoli che consentono di indagare gli effetti delle imperfezioni sul percorso di equilibrio. 9.1.3) Formulazione energetica L’energia potenziale è un tipo di energia dovuta all’azione di una forza: un corpo fermo può essere spostato dalla sua posizione originaria grazie all’azione di una forza, che compie un lavoro inducendo una variazione di energia potenziale. Per affrontare lo studio dell’instabilità in termini energetici si scrive l’energia potenziale totale del sistema come somma dell’energia dovuta ai carichi esterni (energia esterna) e l’energia relativa alle forze di deformazione (energia interna). Le n posizioni di equilibrio possono essere individuate eguagliando a zero la derivata di tale grandezza rispetto al vettore delle coordinate lagrangiane. Pagina | 91
  • 9.2) Interazione tra instabilità e plasticità In termini di tensione si ricava: avendo definito la snellezza . È inoltre possibile individuare una soglia di snellezza superata la quale si ha collasso della membratura per instabilità, mentre al di sotto della quale l’elemento raggiunge lo snervamento. √ Pagina | 92
  • 10) FATICA Il collasso di un elemento strutturale può sopraggiungere, oltre che per il superamento della resistenza ultima dello stesso, anche per il raggiungimento di uno Stato Limite di Fatica; questa possibilità corrisponde ad una condizione di carico ciclico. In particolare si distinguono due tipi di rottura a fatica, per basso o alto numero di cicli. o Alto numero di cicli È una rottura tipica di elementi soggetti a sollecitazioni non particolarmente elevate ma ripetute con altissima frequenza nel corso della vita utile della struttura, come strutture offshore o ponti stradali o ferroviari. La capacità dei metalli e dei dettagli costruttivi di resistere a centinaia di migliaia di cicli di tensione al di sotto del livello di snervamento è detto “resistenza a fatica per alto numero di cicli”. Per assicurare tale resistenza si può intervenire su due fronti, limitando l’escursione di sollecitazione massima a valori di tensione molto al di sotto del limite di snervamento, ovvero configurando i dettagli costruttivi in modo da minimizzare le concentrazioni di tensione. La rottura sopraggiunge per la propagazione di microfessure o imperfezioni del reticolo cristallino del metallo. o Basso numero di cicli Nel caso in cui i livello di sollecitazione sia tale da superare il limite di snervamento, la rottura per fatica sopraggiunge per un numero più contenuto di cicli. La capacità dei metalli di resistere ad un numero limitato e quantificabile di cicli di tensione al di sopra del livello di snervamento è detto “resistenza a fatica per basso numero di cicli” o “resistenza a plasticità alternata”. Come nel caso precedente, la rottura avviene per la propagazione di difetti del materiale, ma in questo caso la resistenza è direttamente legata alla duttilità del materiale. Inoltre tale resistenza sarà tanto minore quanto più alto sarà il livello di sollecitazione raggiunto, ovvero quanto maggiore è l’incremento di tensione raggiunto rispetto al limite di snervamento. Il superamento del limite di snervamento in un profilo metallico soggetto a momento flettente produce l’insorgere di plasticizzazioni inelastiche permanenti (soprattutto nelle ali del profilo); queste, al momento dell’inversione del carico, si comportano come imperfezioni iniziali e favoriscono l’insorgere di instabilità locali per livelli tensionali più bassi rispetto al caso di carico monotono. Tale comportamento è tenuto in conto nelle normative tecniche, che prevedono rapporti larghezzaspessore contenuti per le flange dei profili. Pagina | 93
  • 10.1) Curve di Wöhler e Metodo del serbatoio Gli effetti dei carichi critici, come visto, si risentono in maggiore misura nelle zone nelle quali si verificano concentrazioni di tensione: si pone quindi l’attenzione sulle zone di giunzione di elementi strutturali. Si presenta ora un metodo che consente di studiare il fenomeno, nel caso di fatica per basso numero di cicli. Le norme tecniche come la CNR-UNI 10011-97 riportano i risultati di prove sperimentali eseguite sottoponendo i particolari costruttivi a sollecitazioni cicliche di ampiezza costante. Ad ogni particolare strutturale corrisponde una curva di Wöhler che rappresenta, per ogni incremento di tensione (di ampiezza costante), il numero di cicli che porta l’elemento a rottura per fatica. Tali curve sono quindi tracciate su un piano bilogaritmico in base 10 che presenta in ascissa il numero di cicli Nc ed in ordinata l’incremento di tensione . Le curve su questo piano si presentano come rette di equazione: nella quale il coefficiente angolare m assume valori differenti (m=3; m=5) in relazione al tipo di sollecitazione ed al numero di cicli:     m=3: m=5: punto D: rappresenta il limite a fatica per carichi di ampiezza costante, ovvero il limite al di sotto del quale, per incrementi di tensione di ampiezza costante, la vita del particolare è indefinita; punto F: rappresenta il limite per i calcoli a fatica; corrisponde ad un  al di sotto del quale ogni  di fatica può essere trascurato. Pagina | 94
  • Si presenta di seguito l’abaco riportato sulle norme tecniche CNR-UNI 10011-97, nel quale le diverse curve sono funzione della tensione di rottura dei particolari costruttivi. Pagina | 95
  • In generale i cicli di sollecitazione inelastica applicati alla struttura hanno ampiezze differenti, mentre abbiamo visto che le curve sfruttate per definire la rottura sono ricavate da prove sperimentali condotte sottoponendo i provini a cicli di carico ad ampiezza costante. Il metodo del serbatoio permette di mettere in relazione le due diverse storie di carico. Tale metodo è presentato al C4.2.4.1.4.2 della Circolare Esplicativa alle NTC2008. Rappresentato l’oscillogramma delle tensioni, ovvero l’andamento nel tempo degli incrementi di tensione dovuti ad uno spettro di carico, si ipotizza che questo rappresenti la linea di fondo di un serbatoio colmo di liquido, nel quale la quota del pelo libero è definita dalla massima tensione. Si ipotizza di svuotare il serbatoio in corrispondenza del punto di minimo assoluto; in questo modo rimangono individuati ulteriori serbatoi compresi tra i massimi relativi, che verranno a loro volta svuotati. In generale, la differenza di quota tra il pelo libero e il punto di minimo rappresenta l’incremento di tensione, e ad ogni incremento corrisponde un ciclo. In questo modo gli incrementi di tensione risultano ordinati in modo decrescente: si perde quindi il reale andamento delle tensioni nel tempo. Una volta individuati gli incrementi di tensione ed il relativo numero di cicli, la regola di Miner, riportata di seguito, permette l’utilizzo delle curve di Wöhler. ∑ nella quale ni rappresenta il numero di applicazioni del carico nell’escursione temporale, mentre Ni rappresenta il numero di cicli che porta a rottura il pezzo per fatica. Tale regola si basa sull’assunzione che l’ordine di applicazione degli incrementi di tensione non influisce sullo studio del fenomeno (ipotesi peraltro indispensabile per quanto detto). Pagina | 96
  • Considerando una storia di carico caratterizzata da tre incrementi di tensione, ognuno dei quali si ripete ni volte, si descrive di seguito il procedimento.  Individuazione del primo punto, di coordinate note (  Individuazione dell’ascissa incognita n2*: nell’applicazione del secondo incremento si deve tener conto del fatto che il pezzo ha già subito gli incrementi 1, quindi ha già perso una parte di resistenza. Si imposta quindi una proporzione tra i numeri di cicli che individuano l’inizio dei tratti orizzontali nel diagramma ed i numeri di cicli che comportano il collasso per ogni livello tensionale (noti):  Tracciamento di un tratto orizzontale al livello di tensione 2 per una lunghezza equivalente a n2.  Ripetizione ultimi due punti per il tratto a livello 3: ipotizziamo che questo tratto porti a rottura il pezzo. Pagina | 97 );
  • Pagina | 98
  • BIBLIOGRAFIA TESTI Bruneau, Michel; Uang, Chia-Ming; Sabelli, Rafael. Ductile Design of Steel Structures. 2a ed. Mc Graw Hill. ARTICOLI SCENTIFICI Ali, Mir M.; Moon, Kyoung Sun. Structural Developments in Tall Buildings: Current Trends and Future Prospects. Khan, Fazlur. Structural Artist of Urban Building Forms. fonte: http://khan.princeton.edu/khanHancock.html Bonella, I.; Rovati M. Ottimizzazione topologica: teoria e applicazioni strutturali Pagina | 99