CM - elaborato GAI

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Elaborato di Costruzioni Metalliche di Giordana Gai, A.A. 2013/14

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CM - elaborato GAI

  1. 1. Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale Corso di laurea magistrale in Ingegneria Civile COSTRUZIONI METALLICHE Appunti del corso Docente: Studente: Prof. Ing. Franco Bontempi Giordana Gai Assistenti: Ing. Francesco Petrini Ing. Paolo Emidio Sebastiani Anno Accademico 2013 – 2014
  2. 2. INDICE – APPUNTI DEL CORSO 1 STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO ..............................................................................................1 1.1 Fenomeni di instabilità ..............................................................................................................................1 1.1.1 Introduzione ........................................................................................................................1 1.1.2 Determinazione del carico critico .........................................................................................1 1.1.3 Teoria del 2° ordine .............................................................................................................2 1.1.4 Teoria del 1° ordine .............................................................................................................2 1.2 Sistemi discreti ................................................................................................................................2 1.2.1 Comportamento stabile simmetrico ....................................................................................2 1.2.1.1 Trattazione completa ..............................................................................................2 1.2.1.2 Teoria del 2° ordine .................................................................................................3 1.2.1.3 Criterio energetico ..................................................................................................3 1.2.1.4 Riepilogo .................................................................................................................4 1.2.2 Comportamento instabile simmetrico .................................................................................5 1.2.2.1 Trattazione completa ..............................................................................................5 1.2.3 Comportamento asimmetrico .............................................................................................6 1.2.3.1 Trattazione completa ..............................................................................................6 1.3 Instabilità a scatto (Snap Through) ..................................................................................................7 1.4 Sistemi a due gradi di libertà ...........................................................................................................8 1.5 Sistemi continui ............................................................................................................................10 1.5.1 Colonna di Eulero ..............................................................................................................10 1.5.1.1 Trattazione completa ............................................................................................10 1.5.1.2 Lunghezza libera di inflessione ..............................................................................11 1.5.1.3 Snellezza e curva di stabilità ..................................................................................12 1.5.1.4 Imperfezioni iniziali ...............................................................................................13 1.5.2 Telaio ................................................................................................................................15 1.5.2.1 Telaio shear-type ..................................................................................................15 1.5.2.2 Telaio flessibile .....................................................................................................16 2 TEORIA DELLA PLASTICITA’ ..................................................................................................................17 2.1 Introduzione .................................................................................................................................17 2.1.1 Plasticità ............................................................................................................................17 2.1.2 Tipi di non linearità ............................................................................................................18 2.2 Plasticità di materiale ...................................................................................................................19 2.2.1 Richiami ............................................................................................................................19 2.2.1.1 Stati monoassiali ...................................................................................................19 2.2.1.2 Stati non monoassiali : criteri di rottura ................................................................19 2.2.1.3 Incrudimento ........................................................................................................20 2.2.2 Legame costitutivo acciaio .................................................................................................22 2.2.3 Legami semplificati ............................................................................................................23 2.2.4 Duttilità di materiale .........................................................................................................25 2.3 Plasticità di sezione/elemento ......................................................................................................26 2.3.1 Teoria della trave ..............................................................................................................26 2.3.1.1 Sezione inflessa .....................................................................................................26 2.3.1.2 Momento ultimo della sezione ..............................................................................27 2.3.2 Teoria elasto-plastica trave inflessa ...................................................................................28 2.3.2.1 Campo elastico .....................................................................................................28 2.3.2.2 Campo elasto-plastico ...........................................................................................29 2.3.2.3 Sezione rettangolare .............................................................................................30
  3. 3. 2.3.2.4 Concetto di cerniera plastica .................................................................................31 2.3.2.5 Calcolo diagramma M-χ ........................................................................................33 2.3.3 Elementi presso-inflessi .....................................................................................................34 2.3.3.1 Sezione presso-inflessa .........................................................................................34 2.3.3.2 Curva limite plastico ..............................................................................................35 2.3.3.3 Curva limite elastico ..............................................................................................36 2.3.3.4 Considerazioni ......................................................................................................38 2.4 Plasticità di sistema ......................................................................................................................39 2.4.1 Introduzione ......................................................................................................................39 2.4.1.1 Duttilità .................................................................................................................39 2.4.1.2 Collasso totale .......................................................................................................39 2.4.1.3 Collasso locale .......................................................................................................40 2.4.2 Effetti dell’iperstaticità sul comportamento elasto-plastico ...............................................41 2.4.2.1 Analisi trave doppiamente incastrata ....................................................................41 2.4.2.2 Distribuzione dei carichi ........................................................................................42 2.5 Capacità portante in campo elasto – plastico ...............................................................................43 2.5.1 Introduzione ......................................................................................................................43 2.5.1.1 Ipotesi ...................................................................................................................43 2.5.1.2 Obiettivi ................................................................................................................43 2.5.1.3 Metodi ..................................................................................................................43 2.5.2 Analisi incrementale ..........................................................................................................44 2.5.2.1 Esempio ................................................................................................................44 2.5.2.2 Curva di pushover .................................................................................................45 2.5.3 Soluzioni analitiche ............................................................................................................46 2.5.3.1 Esempio ................................................................................................................46 2.5.3.2 Campo elastico .....................................................................................................46 2.5.3.3 Campo elasto-plastico ...........................................................................................47 2.5.3.4 Scarico a collasso incipiente ..................................................................................48 2.5.4 Analisi limite ......................................................................................................................49 2.5.4.1 Concetti base ........................................................................................................49 2.5.4.2 Teorema statico ....................................................................................................50 2.5.4.3 Teorema cinematico .............................................................................................53 2.5.4.4 Strutture intelaiate ...............................................................................................55 3 CONNESSIONI IN ACCIAIO ..........................................................................................................58 3.1 Definizioni .....................................................................................................................................58 3.1.1 Unioni in acciaio ................................................................................................................58 3.1.1.1 Zone nodali in un telaio .........................................................................................58 3.1.1.2 Unioni correnti ......................................................................................................58 3.1.1.3 Unioni di forza ......................................................................................................58 3.1.2 Sistemi di collegamento ....................................................................................................58 3.1.2.1 Sistemi chiodati .....................................................................................................58 3.1.2.2 Sistemi bullonati ...................................................................................................59 3.1.2.3 Sistemi saldati .......................................................................................................59 3.1.3 Aspetti normativi: Eurocodici ............................................................................................59 3.1.3.1 Introduzione .........................................................................................................59 3.1.3.2 Collegamento e nodo strutturale ..........................................................................59 3.2 Classificazione dei nodi .................................................................................................................60 3.2.1 Introduzione ......................................................................................................................60 3.2.2 Classificazione per rigidezza ..............................................................................................60 3.2.2.1 Nodo rigido ...........................................................................................................60 3.2.2.2 Nodo semi-rigido ..................................................................................................60
  4. 4. 3.2.2.3 Nodo incernierato .................................................................................................60 3.2.2.4 Formule ................................................................................................................61 3.2.3 Classificazione per resistenza ............................................................................................61 3.2.3.1 Nodo a completo ripristino ...................................................................................61 3.2.3.2 Nodo a parziali ripristino .......................................................................................61 3.2.3.3 Nodo incernierato .................................................................................................61 3.2.4 Classificazione per duttilità ................................................................................................62 3.2.5 Classificazione secondo i tipi di analisi ...............................................................................62 3.3 Modellazione del nodo .................................................................................................................63 3.3.1 Tipi di modellazione ..........................................................................................................63 3.3.2 Metodo delle componenti: esempio di un giunto saldato ..................................................63 3.3.2.1 Introduzione .........................................................................................................63 3.3.2.2 Calcolo della resistenza delle varie componenti .....................................................64 3.3.2.2.1 Resistenza zona soggetta a taglio ............................................................64 3.3.2.2.2 Resistenza zona compressa .....................................................................64 3.3.2.2.3 Resistenza zona tesa ...............................................................................65 3.3.2.3 Determinazione del momento resistente ..............................................................66 3.3.2.4 Calcolo della rigidezza rotazionale .........................................................................66 3.3.2.5 Calcolo della capacità rotazionale .........................................................................66 3.3.2.6 Conclusioni ...........................................................................................................67 3.3.3 Considerazioni ...................................................................................................................67 3.4 Modellazione a elementi finiti del nodo .......................................................................................67 3.4.1 Non linearità di materiale ..................................................................................................67 3.4.2 Non linearità di vincolo ......................................................................................................69 3.4.3 Esempio ............................................................................................................................72 3.5 Case History ..................................................................................................................................73 3.5.1 Importanza delle connessioni sul comportamento globale ................................................73 3.5.1.1 Giunti capannoni industriali ..................................................................................73 3.5.1.2 Ponte Minnesota ..................................................................................................73 3.5.1.3 Azione del fuoco ...................................................................................................74 4 COSTRUZIONI METALLICHE IN ZONA SISMICA................................................................................75 4.1 Basi della progettazione antisismica .............................................................................................75 4.1.1 Azioni sulla struttura .........................................................................................................75 4.1.2 Filosofie di progetto ..........................................................................................................76 4.2 Costruzioni in acciaio ....................................................................................................................76 4.2.1 Materiale ..........................................................................................................................76 4.2.1.1 Prescrizioni per le zone dissipative .........................................................................76 4.2.2 Tipologie strutturali ...........................................................................................................76 4.2.2.1 Strutture intelaiate ................................................................................................76 4.2.2.2 Strutture con controventi concentrici ....................................................................77 4.2.2.3 Strutture con controventi eccentrici ......................................................................78 4.2.2.4 Strutture a mensola o a pendolo inverso ................................................................78 4.2.2.5 Strutture intelaiate con controventi concentrici .....................................................78 4.2.2.6 Strutture intelaiate con tamponature ....................................................................78 4.2.3 Il fattore di struttura: duttilità globale ...............................................................................78 4.2.3.1 Il fattore q0 .............................................................................................................78 4.2.3.2 Il rapporto αu/ α1 ....................................................................................................79 4.2.4 Zone dissipative e duttilità locale .......................................................................................80 4.2.4.1 Confronto tra le Norme .........................................................................................80 4.2.4.2 Ordinanza 3274 ......................................................................................................80 4.2.4.3 NTC 08....................................................................................................................81
  5. 5. 4.3 Strategie di progettazione antisismica ..........................................................................................83 4.3.1 Capacity design .................................................................................................................83 4.3.1.1 Principi base ..........................................................................................................83 4.3.2 Panoramica dei sistemi di dissipazione ..............................................................................83 4.3.3 Sistemi dissipativi ordinari .................................................................................................84 4.3.3.1 Strutture intelaiate ................................................................................................84 4.3.3.2 Strutture con controventi concentrici ....................................................................86 4.3.3.3 Strutture con controventi eccentrici ......................................................................88 4.3.3.4 Collegamenti .........................................................................................................90 5 CRITERI DI PROGETTAZIONE ..........................................................................................................91 5.1 Analisi strutturale .........................................................................................................................91 5.1.1 Requisiti strutturali elementari ..........................................................................................91 5.1.1.1 SLE .........................................................................................................................91 5.1.1.2 SLU ........................................................................................................................91 5.1.1 Requisiti strutturali sistemici .............................................................................................92 5.1.2.1 Durabilità ..............................................................................................................92 5.1.2.1.1 Misure per contrastare gli effetti della durabilità ....................................94 5.1.2.2 Robustezza ............................................................................................................95 5.1.2.3 Trattazione statistica e SLIS ...................................................................................97 5.1.2.4 Resilienza ...............................................................................................................97 5.2 Progettazione ................................................................................................................................98 5.2.1 Orizzonte temporale di vita della struttura ........................................................................98 5.2.1.1 Degradazione della qualità .....................................................................................98 5.2.1.2 Stati della struttura ................................................................................................99 5.2.2 Valutazione della duttilità ..................................................................................................99 5.2.2.1 Curva di pushover ..................................................................................................99 5.2.2.2 Esempio ...............................................................................................................100 5.2.3 Valutazione della robustezza ...........................................................................................101 5.2.3.1 Curva di pushdown ..............................................................................................101 5.2.3.2 Esempio ...............................................................................................................101 5.2.4 Non linearità geometriche ...............................................................................................102 5.2.4.1 Effetto P-∆ negativo .............................................................................................102 5.2.4.2 Effetto P-∆ positivo ..............................................................................................103 5.2.4.3 Percorsi di carico ..................................................................................................105 5.2.5 Strategie di progettazione ...............................................................................................106 5.2.5.1 Specializzazione e integrazione ............................................................................106 5.2.5.2 Evoluzione e innovazione .....................................................................................107 5.2.5.3 Innovazione di Khan: outrigger .............................................................................108 5.3 Concezione e progetto di edifici alti ............................................................................................110 5.3.1 Comportamenti globali ....................................................................................................110 5.3.1.1 Punzonamento ....................................................................................................110 5.3.1.2 Ribaltamento .......................................................................................................111 5.3.1.3 Scorrimento .........................................................................................................111 5.3.1.4 Effetto P-∆............................................................................................................112 5.3.1.5 Equalizzazione deformazioni per carichi verticali ..................................................114 5.3.2 Comportamenti locali ......................................................................................................115 5.3.2.1 Comportamento a diaframma ..............................................................................115 5.3.2.2 Deformabilità fuori piano .....................................................................................116 5.3.2.3 Criticità schema tube ...........................................................................................116 5.3.2.3.1 Conclusioni ...........................................................................................117 5.3.2.4 Esempi telai .........................................................................................................119
  6. 6. 5.3.3 Comportamenti elementari .............................................................................................120 5.3.3.1 Trazione ...............................................................................................................120 5.3.3.2 Compressione ......................................................................................................121 5.3.3.3 Flessione ..............................................................................................................121 5.4 Ottimizzazione strutturale ..........................................................................................................122 5.4.1 Introduzione ....................................................................................................................122 5.4.1.1 Turbina eolica offshore ........................................................................................122 5.4.1.2 Considerazioni sul costo di un edificio ..................................................................123 5.4.2 Ottimizzazione locale ......................................................................................................124 5.4.2.1 Sizing ...................................................................................................................124 5.4.3 Ottimizzazione globale ....................................................................................................124 5.4.3.1 Morphing .............................................................................................................124 5.4.3.2 Topologica ...........................................................................................................125 5.4.4 Esempio: trave semplicemente appoggiata .....................................................................125 5.4.4.1 Predimensionamento ..........................................................................................125 5.4.4.2 Sizing ...................................................................................................................125 5.4.4.3 Morphing .............................................................................................................126 5.4.4.4 Topologia .............................................................................................................126 5.4.4.5 Osservazioni ........................................................................................................127 5.4.5 Soluzioni per edifici alti ...................................................................................................127 5.4.5.1 Outrigger .............................................................................................................127 5.4.5.2 Altre tipologie resistenti .......................................................................................129 5.4.6 Sottostrutturazione .........................................................................................................130 5.4.6.1 Sottostrutturazione verticale ...............................................................................130 5.4.6.2 Sottostrutturazione orizzontale ...........................................................................131 5.4.6.3 Elemento strutturale: trave forata .......................................................................132
  7. 7. 1 1-STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO 1.1 Fenomeni di instabilità 1.1.1 Introduzione Consideriamo un sistema strutturale ideale in una configurazione d’equilibrio. Applicando una piccola perturbazione al sistema possiamo avere due situazioni differenti: - il sistema oscilla ma ritorna nella configurazione iniziale indeformata; - il sistema oscilla ma si allontana dalla configurazione originaria, assumendo un’altra configurazione. Nel primo caso parliamo di equilibrio stabile, nel secondo caso invece di equilibrio instabile. Nella seconda situazione possiamo avere spostamenti rilevanti rispetto alla configurazione iniziale, causati in generale o da imperfezioni di parti della struttura (che, nella realtà, non sarà mai “ideale”), che possono quindi portare a fenomeni di instabilità locale, oppure da meccanismi di instabilità dell’equilibrio che coinvolgono la struttura nel suo insieme. I problemi che trattiamo si dicono problemi di stabilità semplici o euleriani e sono caratterizzati dalle seguenti condizioni: - il sistema strutturale è conservativo (non c’è dissipazione di energia). Questo ci consente di scrivere l’energia potenziale totale, da cui possiamo ricavare le equazioni di equilibrio del sistema, sfruttando il criterio energetico. - i carichi applicati al sistema sono posizionali (agiscono sempre nella stessa direzione). Un esempio di carico non posizionale noto è la forza di precompressione. - il materiale è elastico lineare - se gli effetti delle non linearità geometriche non sono sentiti nella fase pre-critica (struttura che inizialmente si mantiene vicina alla configurazione banale) possiamo linearizzare gli spostamenti, pur scrivendo l’equilibrio nella configurazione deformata. 1.1.2 Determinazione del carico critico Pensiamo a una struttura soggetta a un carico P che incrementiamo con un moltiplicatore λ. La determinazione del carico critico, ovvero l’individuazione dell’innesco dell’ instabilità, avviene attraverso la risoluzione di un problema agli autovalori e alle autofunzioni (nei casi continui) o agli autovettori (nei casi discreti). Si arriva a questo problema sfruttando il teorema di stazionarietà dell’energia potenziale totale. In particolare, per i casi discreti, si arriva a un’espressione del tipo ( - ƛi ) = dove è la matrice di rigidezza elastica lineare della struttura, definita positiva è una matrice di costanti che amplificata per ƛ produce un decremento di rigidezza complessiva della struttura tale da renderla labile secondo gli N possibili autovettori Il problema agli autovalori ammette soluzione diverse dalla banale solo se ( - ƛi ) = , altrimenti la soluzione è unica e coincide con la configurazione indeformata. Chiaramente, la situazione critica è individuata dal minore tra gli autovalori u0 u1 u2 instabile stabile
  8. 8. 2 ƛcr = min (ƛi) I problemi euleriani di stabilità sono caratterizzati quindi dalla presenza di una configurazione fondamentale banale di equilibrio (indeformata o non) legata linearmente al carico: si ha un comportamento lineare in fase pre-critica. Il carico però deteriora la rigidezza. Questo fa sì che raggiunto un determinato valore del carico (detto carico critico euleriano) la rigidezza nei confronti di un modo deformativo, ortogonale alla configurazione banale, si annulla: il modo si sovrappone alla soluzione banale, dando luogo a una biforcazione del percorso di equilibrio. 1.1.3 Teoria del 2° ordine La teoria del 2° ordine mantiene nell’espressione dell’energia solo i termini fino al 2° ordine. Questo equivale a scrivere l’equilibrio nella configurazione deformata, pur considerando l’ipotesi di piccoli spostamenti in fase pre-critica. 1.1.4 Teoria del 1° ordine Questa trattazione non consente di individuare i punti di biforcazione dell’equilibrio. Infatti considera l’equilibrio nella configurazione indeformata e la cinematica di piccoli spostamenti che, uniti alle ipotesi di legame elastico lineare e invarianza delle condizioni al contorno, rappresentano le ipotesi di validità del Teorema di Kirchhoff sull’esistenza e unicità della soluzione del problema elastico. In questo modo troviamo quindi solo la soluzione banale. 1.2 Sistemi discreti 1.2.1 Comportamento stabile simmetrico Figura 1.1 1.2.1.1 Trattazione completa - Equilibrio ----- > configurazione deformata - Cinematica ----- > grandi spostamenti - θ : unico grado di libertà del sistema - molla: relazione lineare - asta inestensibile (L non cambia) - no imperfezioni iniziali - asta ∞ rigida (la rigidezza è tutta concentrata nella molla rotazionale)
  9. 9. 3 Cinematica Ci riferiamo al punto B (per conoscere gli spostamenti degli altri punti basta sostituire la coordinata y a L). = = (1 − ) Equilibrio – = 0 ( ) = Il carico cresce in funzione di θ, dopo un certo livello di soglia. 1.2.1.2 Teoria del 2° ordine - Equilibrio ----- > configurazione deformata - Cinematica ----- > piccoli spostamenti Cinematica Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, operiamo una linearizzazione. = = 1 Quindi avremo = = 0 Equilibrio – = 0 = ∀ Figura 1.2 Il sistema ha un comportamento di tipo INCRUDENTE. Il comportamento è stabile in quanto il carico critico aumenta in funzione di θ. 1.2.1.3 Criterio energetico Ricaviamo ora le equazioni a partire dall’energia potenziale totale. Dobbiamo derivare l’espressione di ℇ rispetto all’unica coordinata lagrangiana θ. ℇ = ½ 2 ℇ = − ( 1 − ) − − −− > ℇ = ½ − ( 1 − )
  10. 10. 4 ℇ = – = Siamo tornati alla stessa espressione ottenuta precedentemente. Nello spirito della teoria del 2° ordine, utilizziamo adesso lo sviluppo in serie di Taylor troncato al 2° ordine per approssimare il cos θ. ( )(a) n! ∞ n=0 ( − ) cosθ = 1 − 1 2 θ ℇ θ = 1 2 θ − PL 1 − 1 − 1 2 θ = ∀ Se le imperfezioni sono piccole, ci basta utilizzare la teoria del 2° ordine. All’aumentare dell’imperfezione però ci si allontana dalla situazione ideale (a sfavore di sicurezza, perché si ha un Pcr inferiore) e quindi è bene ricorrere alla trattazione completa, che tiene conto dell’imperfezione iniziale θ0 Figura 1.3 Il comportamento post-critico è di tipo incrudente. 1.2.1.4 Riepilogo CASO HP. CINEMATICA HP. EQUILIBRIO TEORIA 1 sin θ cos θ Deformata Trattazione completa 2 sin θ ~ θ tan θ ~ θ Deformata Teoria del 2° ordine 3 sin θ ~ θ tan θ ~ θ Indeformata Teoria del 1° ordine CASO CINEMATICA (termini considerati) TEORIA : EQUAZIONI 1 ∞ ℇ = K θ – PL sinθ = 0 2 2 cos θ = 1 - ½ θ2 ℇ = K θ – PL θ = 0 3 1 cos θ = 1 ℇ = K θ = 0 Tabella 1.1
  11. 11. 5 1.2.2 Comportamento instabile simmetrico Figura 1.4 1.2.2.1 Trattazione completa - Equilibrio ----- > configurazione deformata - Cinematica ----- > grandi spostamenti Cinematica Ci riferiamo al punto B . = = (1 − ) Equilibrio – + ( ) = 0 – − = 0 (– – ) = 0 = 0 − −− > = 0 − −− > = – – = 0 ( ) = ∀ ≠ - θ : unico grado di libertà del sistema - molla: relazione lineare - asta inestensibile (L non cambia) - no imperfezioni iniziali - asta ∞ rigida (la rigidezza è tutta concentrata nella molla traslazionale) Figura 1.5 Qui il comportamento post-critico è instabile, c’è infatti una brusca caduta del carico P. All’aumentare dell’imperfezione iniziale, vediamo che ci allontaniamo sempre più dal caso ideale, leggendo un ramo di caduta con pendenza sempre maggiore.
  12. 12. 6 1.2.3 Comportamento asimmetrico Figura 1.6 1.2.3.1 Trattazione completa Procedendo allo stesso modo arriviamo all’equazione di P in funzione di θ. ( ) = (1 − 1 √1 + ) Figura 1.7 In questo caso è evidente che il segno dell’imperfezione iniziale determina l’instabilità o meno. Il ramo di sinistra è STABILE, in quanto P aumenta con θ, mentre il ramo di destra è INSTABILE, in quanto P decresce con θ. Il comportamento asimmetrico è ancora più evidente con l’aumentare dell’imperfezione iniziale.
  13. 13. 7 1.3 Instabilità a scatto (Snap Through) Figura 1.8 La struttura è un arco a 3 cerniere. Le aste sono caratterizzate da E, A , J. Facendo l’ipotesi di aste rigide, l’unica coordinata lagrangiana del sistema è l’angolo θ = α - φ . Definiamo i seguenti parametri: - v abbassamento in mezzeria del sistema - α angolo totale iniziale che forma l’asta con l’orizzontale - φ angolo che la configurazione indeformata forma con la deformata - L lunghezza dell’asta nella configurazione deformata - L0 lunghezza iniziale dell’asta (noto) - H0 altezza iniziale dell’arco (noto) = = = / = / ∆ = – = (1 − / ) ∆ / = 1 − / = ∆ / = (1 − / ) Equilibrio in direzione verticale (nella configurazione deformata) – 2 = 0 = 2 ( − ) Figura 1.9
  14. 14. 8 Il comportamento di questa struttura è da subito non lineare. Vediamo come al raggiungimento di Pcr la struttura cambia meccanismo resistente: il sistema passa da una struttura a arco a una struttura a tiranti. È l’instabilità a scatto, che coinvolge l’intero sistema. Ma in una struttura a arco come questa non è detto che si instauri il meccanismo a scatto: questo dipende dalla rigidezza flessionale delle aste. Possiamo avere infatti due situazioni: - ASTE TOZZE : il carico critico euleriano associato all’instabilità della singola asta è molto elevato. Questo fa sì che l’asta possa essere considerata come rigida e il meccanismo instabile che si instaura è quello a scatto. - ASTE SNELLE : qui invece può succedere che si instabilizzi l’asta (per raggiungimento del carico critico euleriano) prima dell’instaurarsi dell’instabilità a scatto. Se le due aste sono uguali, quella che si instabilizza sarà quella che possiede una imperfezione iniziale. 1.4 Sistemi a due gradi di libertà Figura 1.10 Il sistema in figura possiede due gradi di libertà, che sono le rotazioni delle due aste. Per studiare la stabilità dell’equilibrio di questo sistema dovremo scrivere due equazioni di equilibrio, determinando due forme di instabilità. Quella di maggior interesse ingegneristico chiaramente è quella associata al ƛ minore. Scriviamo le equazioni utilizzando il Metodo Energetico, già illustrato precedentemente. Energia potenziale elastica ℇ = ½ + ½ Energia potenziale dei carichi ℇ = − ƛ ( 1 − ) − ƛ ( 1 − ( + ) ) Sviluppiamo la teoria del 2° ordine --- > = 1 − ½ Quindi otteniamo: ℇ = − ƛ (½ ) − ƛ (½ ( + )2 ) Energia potenziale totale ℇ = ½ + ½ − ƛ (½ ) − ƛ (½ ( + )2 )
  15. 15. 9 Adesso imponiamo ℇ = 0 con q = θ1 θ2 ℇ = K θ1 - ƛ L ( 2 θ1 + θ2) = 0 ℇ = K θ2 - ƛ L ( θ1 + θ2) = 0 In termini matriciali avremo 0 0 – 2ƛ L ƛ L ƛ L ƛ L θ1 θ2 = 0 0 [ + G ] = ------- > = Dove la prima sottomatrice dipende esclusivamente dalla rigidezza della struttura, mentre la seconda sottomatrice G dipende dal carico. All’aumentare del carico quindi si modifica la rigidezza complessiva della struttura . NB. Facendo un’analisi al primo ordine il termine G non compare, quindi non possiamo leggere l’instabilità del sistema. È necessario condurre almeno un’analisi al 2° ordine. Risolviamo ora il problema agli autovalori. Per farlo, dobbiamo imporre = K − 2ƛ L −ƛ L −ƛ L K − ƛ L = 0 ƛ1,2 = K L 3 ± √5 2 ƛ1 = √ ≅ 0.382 ƛ2 = K L 3 + √5 2 ≅ 2.618 K L Determinati gli autovalori, calcoliamo ora θ1 e θ2 . [ − ƛ1 G ] = 2(√5 − 2) √5 − 3 √5 − 3 √5 − 1 ------- > = . 1 [ − ƛ2 G ] = 2(−√5 − 2) −√5 − 3 −√5 − 3 −√5 − 1 ------- > = − . 1 Le due forme di instabilità ottenute sono le seguenti.
  16. 16. 10 1° forma instabilità 2° forma instabilità Figura 1.11 Figura 1.12 NB. In generale, per qualunque struttura S avremo una matrice di rigidezza complessiva che è data da una parte “elastica” e da una parte che dipende dal carico. Quest’ultima non compare in un’analisi del 1° ordine. Per cui, se vogliamo considerare gli effetti P - ∆ di un edificio, dovremo necessariamente condurre un’analisi del 2° ordine. 1.5 Sistemi continui 1.5.1 Colonna di Eulero Figura 1.13 1.5.1.1 Trattazione completa Consideriamo un’asta incernierata alla base e con un carrello in testa che permette il solo abbassamento verticale. Il problema ora è a ∞ gradi di libertà. L’equazione di equilibrio agli spostamenti va scritta nella configurazione deformata. x = linea d’asse della colonna IPOTESI - asta perfetta dal punto di vista geometrico (perfettamente rettilinea, verticale, con sezione costante) - materiale elastico lineare omogeneo (non ci sono sforzi iniziali) - il carico P è allineato sull’asse verticale dell’asta - l’asta può deformarsi solo nel piano della figura xy Stiamo dunque considerando un problema ideale.
  17. 17. 11 u(x) = deformata trasversale della colonna N = sforzo normale nella colonna ’’( ) + ( ) = La soluzione si scrive : ( ) = ( ) + ( ) Condizioni al contorno : (0) = 0 − −− > = 0 ( ) = 0 − −− > ( ) = 0 Quest’ultima mi dà due soluzioni. = 0 --- > Soluzione banale ( ) = 0 (non ci interessa) ( ) = 0 − −− > = Poniamo = ’’( ) + N E I ( ) = 0 − − − − > ’’( ) + 2 ( ) = 0 2 = 2 Il valore di N che annulla la soluzione sarà Ncr= n2 π2 L2 E I . Poiché l’asta ha infiniti gradi di libertà, esisteranno infiniti valori di Ncr. Quello di maggior interesse però è quello relativo a n=1, cioè il primo valore per cui si innesca l’instabilità. 1° forma instabilità Figura 1.14 2° forma instabilità Figura 1.15 NB 1. Nel caso discreto precedentemente studiato avevamo determinato Pcr = K / L. A parità di rigidezza, il carico critico diminuisce con l’aumentare della lunghezza L della colonna. Nel caso continuo vediamo ancora come il carico critico, fissata la rigidezza flessionale E I ,dipenda solo dalla lunghezza L, che questa volta però compare elevata a quadrato. Quindi Ncr decresce più velocemente con l’aumentare di L. NB 2. Più il carico è alto (cresce con n2 ), più aumenta l’energia necessaria per instabilizzare la colonna. Si potrebbero raggiungere quindi carichi critici molto più alti impedendo lo sviluppo delle deformata di ordine inferiore (ad es. inserendo opportune condizioni di vincolo). 1.5.1.2 Lunghezza libera di inflessione Quanto detto finora vale per uno schema di colonna incernierata. Volendo studiare altri schemi dovremmo risolvere l’equazione differenziale iniziale inserendo le nuove condizioni al contorno, che in generale sono diverse per ogni schema considerato. Non è un procedimento comodo.
  18. 18. 12 Definiamo quindi la lunghezza libera di inflessione L0 come la distanza tra due punti di flesso nella deformata critica (il tratto tra i due flessi può essere considerato come un’asta doppiamente incernierata – vedi caso studiato – che presenta, nei confronti dell’instabilità, lo stesso comportamento dell’asta effettiva). Riscriviamo Ncr in questo modo. = Con = L = lunghezza della colonna β = fattore moltiplicativo (tabulato per molti casi semplici) Figura 1.16 1.5.1.3 Snellezza e curva di stabilità = raggio giratore d’inerzia = / snellezza. La snellezza è un parametro adimensionale che riassume le caratteristiche geometriche e le condizioni di vincolo che governano il comportamento dell’asta nei confronti dell’instabilità. = / = / Questo valore è tanto più piccolo quanto più l’asta è snella. In realtà noi sappiamo che il materiale non è indefinitamente elastico, ma presenta un limite di snervamento fy. Imponendo = / otteniamo = y snellezza limite. Questo valore dipende dal tipo di materiale (fy = tensione di snervamento) e dal modulo elastico. È di grande importanza perché separa le aste snelle (λ > λC ), per le quali si ha la crisi per l’instaurarsi dell’instabilità (ovvero per raggiungimento della σcr), dalle aste tozze (λ < λC ), per le quali la crisi si ha per il meccanismo di schiacciamento (ovvero per raggiungimento della fy). Nella curva di stabilità σcr - λ si può rappresentare graficamente la separazione dei due campi. Figura 1.17
  19. 19. 13 1.5.1.4 Imperfezioni iniziali Nella realtà le colonne non sono mai perfette: ci saranno sempre delle imperfezioni iniziali dovute a difetti di fabbricazione o errata posa in opera dell’elemento. Se ne tiene conto considerando un’eccentricità dello sforzo normale agente sull’asta. Figura 1.18 Seguiamo lo stesso procedimento già svolto per la colonna ideale. ’’( ) + 2 ( ) = − 2 2 = / (0) = ( ) = 0 La soluzione sarà: ( ) = cos( ) + 1 − cos( ) sin( ) sin( ) − 1 = sin [ ( − ) − sin( ) sin( ) − 1 Calcoliamo lo spostamento in mezzeria (che è lo spostamento massimo) ( /2) = m = 1 cos ( αL 2 ) − 1 Consideriamo un aumento dell’eccentricità , per tenere conto degli effetti del 2° ordine 1 = + m = cos ( αL 2 ) Ma sappiamo che ( ) = 1 – 2 Inoltre possiamo scrivere le seguenti operazioni: α2 = N/EI ; Ncr= π2 L2 E I --- > Ncr L2 π2 = E I ----- > α2 = N Ncr π2 L2 Quindi 1 = 1 − ( αL π )2 = 1 − N Ncr La tensione massima di compressione si ottiene attraverso la formula binomia della presso-flessione: = + 1 = + 1 − = + 1 − Con M = N e = momento in sommità della colonna W = I Ymax modulo di resistenza della sezione ρ = I A raggio giratore d’inerzia
  20. 20. 14 σm = N/A tensione media per compressione semplice che provoca crisi nella colonna 0 = 2 max eccentricità limite Quest’ultima rappresenta una sorta di capacità della sezione, in quanto dipende solo da grandezze geometriche. Introduciamo ora due parametri: - Snellezza adimensionale λ* = λ/λcr - Misura dell’imperfezione m = e/e0 (ponendo m=0 torniamo al caso di colonna ideale) - γ = σm /fy rapporto tra la tensione che provoca la crisi nella colonna e la tensione di snervamento Facendo le dovute sostituzioni si arriva a un’equazione del tipo m = *2 + (1 − ) − [ *2 + (1 + )]2 − *2 2 *2 Figura 1.19 Nella Normativa non troviamo m espresso in questo modo, ma compare la seguente formula. = √ *2 − 0.04 Con α dipendente dalla classe di sezione a b c d α 0.15 0.28 0.38 0.58 Noto m , entriamo nella curva e ricaviamo γ (moltiplicatore del carico critico). NB 1. Negli EC γ si chiama χ ; nelle CNR si trova ω = 1/χ = < y NB 2. Nella colonna (pensiamo a un telaio) può esserci una sollecitazione di momento che deriva dagli orizzontamenti. La formula diventa: Tabella 1.2
  21. 21. 15 = + 1 − Dove M = Meq è un momento equivalente (combinazione dei momenti d’estremità, se l’andamento è lineare lungo la colonna). 1.5.2 Telaio 1.5.2.1 Telaio shear type Consideriamo un telaio shear-type, dotato di orizzontamento infinitamente rigido rispetto alle colonne (ovvero rigidezza della trave > 4-5 volte rigidezza della colonna). Agisce solo carico verticale ortogonalmente al traverso. Figura 1.20 Come si instabilizza questa struttura? Coerentemente ai vincoli presenti (incastro alla base e nodo rigido superiormente), possiamo avere due forme di instabilità. Figura 1.21 Figura 1.22 Per stabilire qual è la forma che si instaura guardiamo quanto vale la lunghezza libera di inflessione L0. La forma a cui associamo la maggiore lunghezza L0 sarà quella con carico critico Ncr inferiore. È facile quindi capire che la forma di instabilità è la prima. NB. Ncr2 = 4 Ncr1 Il carico critico relativo alla 2° forma è 4 volte maggiore.
  22. 22. 16 1.5.2.1 Telaio flessibile L’altro caso interessante è quello in cui la trave ha rigidezza molto inferiore di quella delle colonne. Figura 1.23 Cambia il vincolo in sommità (c’è una cerniera, mentre prima il nodo era vincolato a restare rigido) e di conseguenza cambiano le forme di instabilità. Anche qui per capire quale forma si instaura guardiamo L0 e il corrispondente Ncr. Figura 1.24 Figura 1.25 È evidente che si instaura la 1° forma. NB. In questo caso semplice abbiamo due colonne, quindi Ncr tot = 2 Ncr.
  23. 23. 17 2-TEORIA DELLA PLASTICITÀ 2.1 Introduzione 2.1.1 Plasticità Ci proponiamo di studiare come variano le sollecitazioni nella struttura quando questa entra in campo plastico. Consideriamo un telaio piano incastrato e, per semplicità, elementi di trave e colonna tutti uguali, con sezione rettangolare. Figura 2.1 Figura 2.2 Aumentando il carico F aumenta il momento flettente nelle travi e nelle colonne, in maniera lineare. Questo finchè non si raggiunge la plasticizzazione in una delle sezioni (ad es. nella sezione A): lì il momento non può più aumentare, ma nelle altre sezioni si. Avremo quindi due conseguenze principali: - variano le sollecitazioni nella struttura - varia l’ascissa in cui si annullano le sollecitazioni L’entrata in campo plastico della struttura fa sì che non possiamo trascurare la presenza delle non linearità. - Non vale la sovrapposizione degli effetti (non posso calcolare la somma dei diagrammi dati da F e ∆F) - Non vale il teorema di unicità della soluzione di Kirchhoff - Le equazioni risolutive diventano non lineari = ( )
  24. 24. 18 La matrice di rigidezza e/o il vettore dei carichi dipendono dallo stato deformativo e tensionale della struttura (ovvero dai gradi di libertà q che vado a cercare). La risoluzione consiste in una procedura iterativa (si aggiorna la rigidezza K in funzione dello stato deformativo). 2.1.2 Tipi di non linearità I tipi di non linearità di cui possiamo tener conto sono: - non linearità di materiale Es. qualunque legame che non sia perfettamente elastico - non linearità geometriche Es. Fune soggetta a carichi verticali: per dare una forza verticale che equilibri i carichi deve inflettersi, assumendo una certa rigidezza (che è appunto una rigidezza geometrica) Figura 2.3 - non linearità di vincolo Es. Vincolo monolatero Figura 2.4 - non linearità di forze Es. Carichi che cambiano direzione, seguendo l’andamento della deformata Figura 2.5 Figura 2.6
  25. 25. 19 2.2 Plasticità di materiale 2.2.1 Richiami 2.2.1.1 Stati monoassiali L’acciaio è tra i materiali per i quali il limite di plasticità è ben definito da un solo parametro σy. Figura 2.7 NB. Se il materiale non ha limite di plasticità ben definito possiamo utilizzare soltanto legami approssimati. 2.2.1.2 Stati non monoassiali: criteri di rottura Se siamo in presenza di stati di sollecitazione pluriassiali dobbiamo riferirci a delle superfici di snervamento. I criteri di rottura utilizzati sono i seguenti: Figura 2.8 - TRESCA max = s Dove τmax è la tensione massima in stato biassiale τs è la tensione in stato monoassiale. In particolare è noto che max = [( 1 − 2) ; ( 3 − 2 ) ; ( 2 − 1 )] s = s 2 s = Figura 2.9 In questo caso il dominio è un esagono. - VON MISES = Dove è la tensione media attorno al punto più sollecitato, τs è la tensione in stato monoassiale. In particolare è noto che
  26. 26. 20 ̅ = 1 4 = 1 √15 ( 1 − 2) + ( 3 − 2 ) + ( 3 − 1 ) In questo caso il dominio è un’ellisse. Figura 2.10 Figura 2.11 2.2.1.3 Incrudimento STATI MONOASSIALI Figura 2.12 STATI NON MONOASSIALI Possono presentarsi le 4 seguenti situazioni: - ISOTROPO - STATICO Figura 2.13 cilindri che si sviluppano lungo l’asse idrostatico E’ = pendenza ramo ascendente La superficie cambia, mantiene le proporzioni tra le due parti, allargandosi ma restando attorno all’origine.
  27. 27. 21 - NON ISOTROPO - STATICO Figura 2.14 - ISOTROPO - CINEMATICO Figura 2.15 - NON ISOTROPO - CINEMATICO Figura 2.16 Raggiungendo il limite plastico, la superficie si allarga ma cambia forma. La forma resta la stessa ma cambia posizione. Cambia sia di forma che di posizione.
  28. 28. 22 NB. In generale, quando possibile, preferiamo riferirci a stati monoassiali in quanto: - sono stati facilmente trattabili sperimentalmente, di conseguenza i dati di cui disponiamo sono meno incerti - volendo ricorrere a trattazioni numeriche che tengano conto delle non linearità, gli stati monoassiali hanno matrici di dimensioni inferiori e danno quindi meno problemi dal punto di vista computazionale - riferendoci alla trattazione di strutture canoniche (per le quali vale l’ipotesi di sezioni che traslano e ruotano restando piane), gli stati di sollecitazione possono essere visti come convoluzione degli stati tensionali delle singole fibre, che sono soggette a stati monoassiali. 2.2.2 Legame costitutivo acciaio Si riporta il legame sperimentale dell’acciaio, ottenuto da una prova di trazione monoassiale a deformazione imposta. Figura 2.18 Figura 2.17 Il primo tratto ha un andamento lineare, con pendenza α0= arctan(E0) : registriamo una σe inf e una σe sup ; dopo si registra un ramo circa piatto, con allungamento a tensione costante (ci sono delle piccole ondulazioni ma sono trascurabili perché piccole). Segue un ramo non lineare, in cui devo aumentare la forza per avere ancora allungamento. A questo punto, effettuando uno scarico e un successivo ricarico, descrivo due rami curvi simmetrici rispetto a una retta, con pendenza uguale a quella iniziale α0. Tornando al ramo non lineare incrudente, raggiungiamo un valore max σmax : dopo otteniamo due rami differenti: se ci riferiamo a A0, leggiamo un ramo di softening (rilassamento) in cui la tensione diminuisce, mentre se ci riferiamo all’area effettiva vediamo che la tensione continua a aumentare. Potrei riferirmi sempre all’area iniziale A0, anche se in realtà, quando il provino è prossimo alla rottura, la strizione è talmente grande che non posso trascurare la differenza tra A e A0. La σ limite elastica si definisce in maniera convenzionale: è la tensione per cui, scaricando, ottengo una εresidua = 0.002% (il ramo non è perfettamente lineare, ma sarà leggermente curvo). A seconda del tipo di acciaio, varia la tensione limite.
  29. 29. 23 2.2.3 Legami semplificati - RIGIDO PLASTICO (2 parametri) Il blocco comincia a scorrere quando la forza F vince l’attrito Figura 2.19 - ELASTO-PLASTICO BILINEARE (3 parametri) Quando la forza della molla supera l’attrito statico il blocco si muove Figura 2.20 - ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE BILINEARE (4 parametri) Come il caso precedente, ma per far scorrere il blocco devo aumentare ancora la forza, per vincere la seconda molla Figura 2.21 La pendenza del ramo incrudente può essere valutata con un criterio energetico. Modello reologico: blocco ad attrito Modello reologico: blocco ad attrito con molla Modello reologico: blocco ad attrito con due molle
  30. 30. 24 Figura 2.21 Altrimenti dei valori tipici sono 0.005 ≤ ≤ 0.05 - ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE (5 parametri) Il blocco ad attrito scorre dopo aver esteso la prima molla; poi c’è un gap, superato il quale il blocco ricomincia a scorrere (avendo vinto una seconda molla) Figura 2.22 - ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE (6 parametri) Come il precedente, ma descrive un ramo incrudente curvilineo = ( ) ( ) Figura 2.23 - MENEGOTTO-PINTO (4 parametri) Questo tipo di legame è molto utilizzato in campo sismico, per descrivere le deformazioni cicliche.
  31. 31. 25 = + (1 − )( ) [1 + ] / Figura 2.24 NB. I legami ricavati precedentemente possono essere utilizzati per descrivere cicli di carico-scarico. Ci si accorge facilmente che le aree sottese (a parità di tensione massima raggiunta ) variano molto: cambia l’accuratezza. Un modello più ricco consente un’accuratezza migliore, ma aumenta la difficoltà nel gestire una modellazione governata da più parametri. 2.2.4 Duttilità di materiale A livello di materiale, la duttilità è la capacità di assorbire deformazioni oltre il limite elastico. Figura 2.25 Può essere calcolata in due modi: ⎩ ⎨ ⎧ = = −
  32. 32. 26 2.3 Plasticità di sezione/elemento 2.3.1 Teoria della trave 2.3.1.1 Sezione inflessa Ipotesi basilari: 1) sezioni traslano e ruotano restando piane 2) piccoli spostamenti (trattazione al 1° ordine) 3) assenza di instabilità (anche locale) 4) legame elasto-plastico perfetto isotropo Figura 2.26 Aumentando il momento agente M, abbiamo che le σ e le ε aumentano, finchè nella fibra più sollecitata raggiungo σ = σy : pensando alle caratteristiche della sollecitazione, abbiamo raggiunto M = My, ovvero il momento di snervamento. Continuando a aumentare il momento agente, le ε continuano a crescere nello stesso modo, mentre per le σ aumentano le fibre plasticizzate, che hanno raggiunto la σy . Figura 2.27 GEOMETRIA SOLIDO (una dimensione molto maggiore rispetto alle altre 2) PRINCIPIO DSV (estinzione degli effetti in una zona proporzionale all’area caricata) SEZIONI TRASLANO E RUOTANO RESTANDO PIANE TEORIA DELLA TRAVE Ci riferiamo alle sollecitazioni di sezione e non a quelle puntuali (ovvero alle caratteristiche della sollecitazione)
  33. 33. 27 A un certo punto tutte le fibre della sezione saranno plasticizzate. Il momento agente sarà M = Mp , ovvero il momento di plasticizzazione. Figura 2.28 Si definisce un indice delle risorse plastiche della sezione: = 2.3.1.2 Momento ultimo della sezione Nella precedente trattazione non abbiamo tenuto conto del fatto che la sezione avrà un limite anche nella ε (non possiamo avere rotazione indefinita). Quindi, in generale, il momento ultimo Mu della sezione non è detto che coincida col Mp (per il quale ho σ=σy in tutte le fibre). Mu può essere dato da − raggiungimento della εu in una ibra − raggiungimento della capacità portante della sezione Le situazioni possono essere le seguenti: 1) ≤ − Dipende dalla duttilità di materiale µ e dalla distanza del materiale dall’asse neutro. Riusciamo a arrivare a un momento massimo simile a Mp. Figura 2.29 2) ≤ ≥ − Mu è definito quando almeno una fibra raggiunge εu. Il legame è incrudente, quindi oltre al limite plastico ci sono delle risorse (non basta che tutte le fibre siano plasticizzate). - Se si raggiunge εu quando ho ancora alcune fibre in campo elastico ---- > Mu < Mp
  34. 34. 28 - Se si raggiunge εu quando tutte le fibre sono plasticizzate ---- > Mu > Mp Figura 2.30 2.3.2 Teoria elasto-plastica trave inflessa Consideriamo un concio di trave di altezza H che si inflette lungo un arco di circonferenza di apertura dφ, con raggio di curvatura r. Figura 2.31 2.3.2.1 Campo elastico Sfruttiamo la similitudine. = + Ma sappiamo che: = = 1 = + ( ) = 1 + ( ) Quindi possiamo scrivere 1 = + 1 + ( ) − −→ + ( ) = + − −→ ( ) =
  35. 35. 29 Ponendo = − −→ ( ) = Quindi ( ) = ( ) = (dipende solo dalla geometria del problema) Ma vale anche che ( ) = Quindi in campo elastico posso esprimere la curvatura χ in questo modo = Ora calcolo la curvatura limite elastica = 2 = = = = = Questo è il limite di curvatura elastica: il suo superamento comporta l’entrata in campo plastico. 2.3.2.2 Campo elasto-plastico Figura 2.31 = ( ) = Non ci riferiamo più al grafico σ-ε , ma al grafico M-χ. Il campo elastico termina quando raggiungo i limiti = La parte centrale, non plasticizzata, la chiamiamo “nucleo elastico”, con altezza totale 2ye = Se ye tende a 0, la curvatura tende a ∞ e questo non è possibile: è chiaro che il raggiungimento di Mp è una situazione ideale, che non può verificarsi. Secondo i nostri modelli, per coerenza, dovremmo avere χ=∞. Per definire Mp introduciamo il modulo plastico z (analogo al modulo elastico W). =
  36. 36. 30 Figura 2.32 Esprimiamo il diagramma delle σ come somma di tre diagrammi: - diagramma limite nucleo elastico - diagramma limite plastico - diagramma limite nucleo elastico come se fosse tutto elasticizzato - We = modulo elastico nucleo elastico - z = modulo plastico - ze = modulo plastico nucleo elastico = + − = + 1 − = + 1 − = − − NB. z dipende solo dalla sezione,mentre ze e We dipendono dall’ampiezza del nucleo elastico, ovvero da ye ye può essere espresso in funzione di χy / χ. = ( ) L’obiettivo è quello di esprimere M in modo generico in campo elasto – plastico. Questo perché stiamo analizzando la sezione e abbiamo bisogno di un grafico M - χ (non più σ – ε come per gli stati monoassiali ). Per una sezione inflessa, il momento in campo elastico lo sappiamo scrivere facilmente, mentre in campo plastico generalmente no. La funzione ( ) dipende dal tipo di sezione e spesso non è esprimibile in forma chiusa. 2.3.2.3 Sezione rettangolare Un caso semplice è quello della sezione rettangolare. L’obiettivo è determinare . = 1 12 ℎ /2 = 1 6 ℎ = 1 12 (2 ) = 2 3 = 2 2 = 4 − −−→ = 4 − −→ = (2 ) 4 = = 1 − − = 3 2 1 − − 2 3 4 = 3 2 1 − 3 4 = 3 2 1 − 4 3 ( ) = 3 2 1 − 1 3 ( )
  37. 37. 31 Dove il termine rappresenta proprio il β della sezione rettangolare. Figura 2.33 All’inizio c’è un ramo lineare, poi diventa non lineare, con asintoto orizzontale pari a β. Questo parametro aumenta se c’è più materiale vicino all’asse neutro. Per le sezioni tipo IPE vale 1.14. CAMPO ELASTICO CAMPO ELASTO-PLASTICO RELAZIONE M-χ = = ( ) VALORE LIMITE M = = VALORE LIMITE χ e RELAZIONE CON NUCLEO ELASTICO = 2 ℎ = 2 ℎ Tabella 2.1 2.3.2.4 Concetto di cerniera plastica Consideriamo una trave semplicemente appoggiata con un carico centrale. Figura 2.34
  38. 38. 32 Il diagramma del momento avrà andamento lineare simmetrico, col massimo in mezzeria. Immagino di aver raggiunto il momento Mp nella sezione di mezzeria. A una certa distanza dalla mezzeria troverò M=My. Voglio trovare il valore ∆L , per capire la quota parte della trave che ha iniziato a plasticizzarsi. 2 = 2 − ∆ 2 = = 2 2 − ∆ 2 = − ∆ − −→ − ∆ = − −→ ∆ = ( − ) Quindi la lunghezza ∆L dipende non solo dalla luce della trave, ma anche dalle risorse in campo plastico che è in grado di offrire la sezione considerata. Se la trave avesse sezione a doppia T, posto che β=1.14, otteniamo ∆ = 0.123 , ovvero il 12% della trave ha iniziato a elasticizzarsi. Possiamo fare l’approssimazione che la trave sia plasticizzata in un solo punto, che agisce come una cerniera in carico. Nel momento in cui si forma la cerniera, per la struttura di Fig. 2.35 avrei 3 cerniere allineate, che equivale al collasso (la struttura è diventata un meccanismo). Figura 2.35 C’è una grande differenza tra la curvatura χ dentro e fuori la cerniera: fuori il ramo è lineare, poi inizia un tratto curvo, che termina con una cuspide in corrispondenza della mezzeria.
  39. 39. 33 Figura 2.36 Facciamo quindi lo schema di cerniera plastica, in cui tutta la plasticizzazione avviene in un solo punto. Questo schema : - è più trattabile dal punto di vista numerico - ha un errore piccolo rispetto al modello reale (per quanto riguarda le travi) - è necessario per grandi strutture (altrimenti l’onere computazionale sarebbe troppo elevato) NB 1) Il termine cerniera plastica è improprio, perché lì il M ≠ 0 (anzi M = Mp = costante). È quindi un modello coerente per quanto riguarda il cinematismo che si istaura, ma non rispetta l’equilibrio. NB 2) La cerniera plastica è unilaterale (problema incrementale in carico). Quindi funziona a patto che l’incremento di carico sia nello stesso verso del carico che ha portato alla formazione della cerniera. Ovvero, se scarico il materiale torna indietro in modo elastico (e questo non è verosimile se pensiamo a una sezione che ha subito una plasticizzazione). 2.3.2.5 Calcolo diagramma M-χ Figura 2.37 Per tracciare il diagramma M-χ possiamo procedere nel seguente modo.
  40. 40. 34 Il diagramma M – χ è noto in forma chiusa quando la sezione è in campo elastico, mentre quando siamo in campo elasto-plastico l’espressione non è nota in forma chiusa, ma esistono funzioni che legano M a χ. In questo modo possiamo monitorare lo stato di una sezione, ad es. la sezione di mezzeria, all’aumentare dello stato deformativo. 2.3.3 Elementi presso-inflessi 2.3.3.1 Sezione presso-inflessa Figura 2.38 Consideriamo una trave rettangolare (base b e altezza H) su cui agiscono contemporaneamente una compressione P e un momento flettente M. L’asse neutro non sarà più baricentrico (come nel caso di flessione semplice), ma spostato verso la fibra superiore. Il legame considerato è elasto-plastico perfetto. Data una sezione, fisso χ = χ* Ricavo ε * = χ* y (nell’hp. Sezioni che ruotano restando piane) Ricavo diagramma σ (inserendo il legame costitutivo σ=σ(ε) Procedo per ulteriori incrementi di χ*, ricavando coppie di punti (χ*,M*) SINO STOP Ricavo i valori M* N° di punti sufficienti?
  41. 41. 35 Figura 2.39 2.3.3.2 Curva limite plastico Consideriamo la sezione tutta plasticizzata. Scomponiamo il diagramma come la somma di due diagrammi: uno a flessione semplice e uno a compressione semplice. Figura 2.40 = 2 = − = ℎ 4 − (2 ) 4 = 4 (ℎ − 4 ) = . . = . . I valori limite che, se agissero singolarmente, porterebbero a completa plasticizzazione la sezione sono: = = ℎ = = ℎ 4 Facciamo i rapporti ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ / = 2 ℎ = 2 ℎ / = 4 (ℎ − 4 ) ℎ 4 = 1 − 4 ℎ = 1 − ( 2 ℎ ) = − ( ) Abbiamo ottenuto l’equazione di una parabola. / = − ( )
  42. 42. 36 Figura 2.41 2.3.3.3 Curva limite elastico Figura 2.42 Ipotizziamo di aver raggiunto la plasticizzazione nella fibra inferiore. Allora il diagramma delle tensioni posso vederlo come la somma di due diagrammi: uno ottenuto traslando la curva in modo da avere flessione semplice e l’altro dato dalla differenza tra i due. = = ℎ 6 = ℎ( − ) Facendo delle proporzioni tra triangoli otteniamo = ℎ 2 + ℎ 2 = 1 + 2 ℎ − −−→ = ( + ) = ℎ 6 = ℎ 6 (1 + 2 ℎ ) = ℎ = ℎ (1 + 2 ℎ )
  43. 43. 37 ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ / = ℎ 6 ℎ 6 (1 + 2 ℎ ) = 1 (1 + 2 ℎ ) / = ℎ 1 + 2 ℎ − 1 ℎ (1 + 2 ℎ ) = 1 − 1 (1 + 2 ℎ ) = − Questa volta non abbiamo ottenuto una relazione parabolica, ma lineare. = − Per rappresentare questa relazione e quella del Par. 2.3.3.3 nello stesso grafico occorre adimensionalizzare il momento M rispetto allo stesso valore. Noto che = Sostituiamo quest’espressione nella relazione precedente: = 1 − − −−→ = 1 − − −−→ = 1 − − −−→ = ( − ) Figura 2.43 Se non agisce momento, le condizioni di prima plasticizzazione coincidono con le condizioni ultime. Se invece agisce momento no, la sezione presenta delle risorse plastiche legate a β prima di arrivare al collasso.
  44. 44. 38 2.3.3.4 Considerazioni Figura 2.44 Prendo una sezione e la sottopongo a (M*,P*) inferiori al limite elastico. Introduco un moltiplicatore in modo da aumentare P e M in modo proporzionale: ci muoviamo su una retta. Una volta raggiunto il limite elastico, il moltiplicatore varrà λ = OB/OA. Ora posso muovermi in varie direzioni: - verticalmente : equivale a lasciare P=cost, aumentando solo il momento. La lunghezza del segmento percorso fino al limite plastico è un indice delle risorse flessionali plastiche della sezione - orizzontalmente : equivale a lasciare M=cost, aumentando solo lo sforzo normale. La lunghezza del segmento percorso fino al limite plastico è un indice delle risorse plastiche a compressione della sezione - diagonalmente : facendo variare sia P che M, ho informazioni sulle risorse plastiche a presso-flessione Se una sezione è prevalentemente compressa, le risorse plastiche sono pochissime (quando si plasticizza la 1° fibra ho già quasi raggiunto la plasticizzazione dell’intera sezione). Queste superfici possono essere tradotte in tanti diagrammi M-χ, ricavati a P=cost. Figura 2.45 Coerentemente con ciò che abbiamo detto prima, la duttilità diminuisce all’aumentare di P.
  45. 45. 39 2.4 Plasticità di sistema 2.4.1 Introduzione 2.4.1.1 Duttilità Utilizzeremo i concetti di cerniera plastica e duttilità di struttura, dove quest’ultima può essere calcolata come = Dove con δ indichiamo qualunque spostamento significativo per il modo di deformarsi della struttura considerata. Figura 2.46 Figura 2.47 2.4.1.2 Collasso totale Per collasso totale si intende la situazione per cui la struttura diventa un meccanismo: essa non è quindi in grado di sopportare ulteriori incrementi di carico. Corrisponde alla formazione di un n° di cerniere plastiche tali da innescare un cinematismo di collasso. Vale la regola per cui una struttura n volte iperstatica collassa globalmente quando si sono formate n+1 cerniere plastiche. Esempio 1 : Trave appoggiata Figura 2.48
  46. 46. 40 Quando si forma la cerniera plastica in mezzeria (punto a momento massimo) la struttura diventa un meccanismo (3 cerniere allineate). Struttura 0 volte iperstatica --- > n= 1 cerniera Esempio 2 : Telaio Struttura 3 volte iperstatica --- > n= 4 cerniere Figura 2.49 2.4.1.3 Collasso locale Per collasso locale invece ci riferiamo alla formazione di un meccanismo che coinvolge solo una parte della struttura, che globalmente può anche non collassare. Avvengono per formazione di meno cerniere plastiche (n* < n + 1) Esempio 3 : Telaio Struttura 3 volte iperstatica --- > n* = 3 Figura 2.50
  47. 47. 41 2.4.2 Effetti dell’iperstaticità sul comportamento elasto-plastico 2.4.2.1 Analisi trave doppiamente incastrata Figura 2.51 = 1 24 = = 1 12 Le prime cerniere plastiche si formeranno in A e C contemporaneamente, data la simmetria di struttura e carico. = = − −− > ∗ = Il sistema comincia a comportarsi così Figura 2.52 Studio il problema Figura 2.53 ∆ = 1 8 ∆ Collassa per : ∗ + ∆ =
  48. 48. 42 1 24 ∗ + 1 8 ∆ = 1 8 ∆ = − 1 24 ( 12 ) 1 8 ∆ = 2 − −−> ∆ = = ∗ + ∆ = 12 + 4 = − ∗ ∗ = 4 3 − 1 100 = % % ∗ NB. La struttura era 3 volte iperstatica, quindi per arrivare al collasso globale ci saremmo aspettati che le cerniere plastiche necessarie sarebbero state 4. Invece in questo caso ne bastano 3, perché sono allineate. Figura 2.53 2.4.2.2 Distribuzione dei carichi Se considerassi una diversa distribuzione di carico, ad es. forza F concentrata nella mezzeria della trave, cambia il grafico del momento del flettente. Figura 2.54 = = = 1 8 Con un grafico di questo tipo, si formano contemporaneamente 3 cerniere plastiche quando = = = ∗ = = 8 Le capacità plastiche quindi dipendono anche dai carichi.
  49. 49. 43 2.5 Capacità portante in campo elasto-plastico 2.5.1 Introduzione 2.5.1.1 Ipotesi Ci proponiamo ora di studiare l’evoluzione di un sistema strutturale: aumentando progressivamente il carico vediamo come evolve il sistema, monitorando la formazione di cerniere plastiche. Le ipotesi sono le seguenti: - i carichi aumentano proporzionalmente (applichiamo un moltiplicatore λ alla distribuzione iniziale, in modo che H/V = cost ) - modello a plasticità concentrata (cerniera plastica in un solo punto) - no instabilità I parametri noti sono: - geometria, rigidezze e vincoli della struttura - distribuzione iniziale dei carichi - legame costitutivo elastico perfettamente plastico 2.5.1.2 Obiettivi Figura 2.55 Gli obiettivi dell’analisi sono: 1) determinazione di λy , per il quale nella struttura si forma la prima cerniera plastica 2) determinazione di λult , per il quale la struttura si trasforma in un meccanismo. Ovvero calcolare il carico di collasso globale 2.5.1.3 Metodi Possiamo utlizzare 3 metodi: - Analisi incrementale (è l’analisi più completa: consente di trovare sia λult che λy) - Soluzioni analitiche in forma chiusa (è raro che esistano, si hanno solo per casi semplici) - Analisi limite (consente di trovare solo λult )
  50. 50. 44 2.5.2 Analisi incrementale 2.5.2.1 Esempio Figura 2.56 Considero un telaio piano soggetto a una certa distribuzione di carico: applichiamo il moltiplicatore λ e vediamo come evolve il sistema strutturale. - tutte le sezioni sono uguali , con My = Mu = 500 KNm - duttilità infinita Ad ogni passo devo sommare lo stato tensionale incrementale a quello incrementale limite, ottenendo quello assoluto. 1 – SCHEMA STATICO INCREMENTALE Figura 2.57 2 – STATO TENSIONELE INCREMENTALE (∆M*) Figura 2.58
  51. 51. 45 3 – STATO TENSIONELE INCREMENTALE LIMITE (∆ML) Figura 2.59 4 – STATO TENSIONELE ASSOLUTO LIMITE (ML) Figura 2.60 - Formazione 1° cerniera plastica: la individuo monitorando la sezione a momento massimo - Formazione 2° cerniera plastica: guardo lo schema iniziale (struttura ancora in campo elastico) e individuo qual è la seconda sezione con momento massimo . Devo però controllare che, una volta formatasi la 1° cerniara plastica, la ridistribuzione degli sforzi sia tale che la 2° cerniera plastica si formi proprio in quella sezione (non è detto che sia così). Alla fine, avrò la formazione di 4 cerniere plastiche : la struttura è diventata un meccanismo e collassa. Figura 2.61 2.5.2.2 Curva di pushover Dall’esempio precedente, individuiamo λy = 25.5 (formazione 1° cerniera plastica) e λult =31.3 (formazione 4° cerniera plastica). La curva di pushover si ottiene ponendo in ascissa lo spostamento significativo ad ogni step (nel caso trattato, lo spostamento δy del punto estremo) e in ordinata il moltiplicatore di carico. Calcolati i valori δ(λy) e δ(λult) possiamo valutare la duttilità della struttura come rapporto tra i due. = λ (λ ) Figura 2.62
  52. 52. 46 2.5.3 Soluzioni analitiche 2.5.3.1 Esempio Figura 2.62 Il sistema è 1 volta iperstatico (9 gradi di libertà , 10 gradi di vincolo). 2.5.3.2 Campo elastico Calcoliamo la soluzione nello spirito del metodo degli spostamenti: imponendo un allungamento δ ad , scriviamo la congruenza e poi ricaviamo l’equilibrio. Consideriamo piccole deformazioni. = = = = = = − −− > = , ≅ cos 4 − −→ = ∆ = − −− > cos 4 4 = Quindi otteniamo = ( ) = Equilibrio del nodo
  53. 53. 47 + 2 = = 2 − − − −→ = √ = √ La prima asta che si plasticizza è , in quanto X>Y . La plasticizzazione avviene quando = 2 2 + √2 = Quindi i valori limite di carico e allungamento sono ⎩ ⎨ ⎧ = 2 + √2 2 = = 2.5.3.3 Campo elasto-plastico Continuiamo l’analisi della struttura, considerando che ormai l’asta si è plasticizzata. = = 2 4 = − − −− > = − √2 Le aste , si plasticizzano quando = = − √2 − − − − > = ( + √ ) Valutiamo la sovraresistenza plastica = 1 + √2 2 + √2 2 = 1 + √2 1 + √2 2 = 1 + √2 1 + √2 √2 = √2 1 + √2 1 + √2 = √2 = . + % Calcolo lo spostamento ultimo. = ∆ = − −− > cos 4 4 = = ( 4 ) = (1/√2) = 2 − −−> = + % à Figura 2.64 Figura 2.63
  54. 54. 48 2.5.3.4 Scarico a collasso incipiente Figura 2.65 Suppongo di effettuare uno scarico a collasso incipiente. Il comportamento del sistema è elastico. L’asta OA era già plasticizzata, ma le aste OB e OC ancora no. Quello che otteniamo è che : - OA resterà allungata un po’ di più rispetto alla configurazione iniziale (proprio perché ha subito la plasticizzazione) - OB, OC dovranno allungarsi anche loro, risultando quindi tese. In conseguenza di ciò, poiché l’equilibrio nel nodo deve essere sempre valido, abbiamo che l’asta OA risulterà compressa (siamo in fase di scarico, quindi non c’è più la forza P). ⎩ ⎨ ⎧ = 2 2 + √2 = 2 + √2 − −> ⎩ ⎨ ⎧∆ = 2∆ 2 + √2 ∆ = ∆ 2 + √2 − −> = − ∆ = − ∆ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = (1 − 2 1 + √2 2 + √2 ) = (1 − 1 + √2 2 + √2 ) − − − − > ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = − √2 2 + √2 = 1 2 + √2 NB. In scarico le aste si prendono la stessa quota parte di carico che si prendevano in fase elastica.
  55. 55. 49 2.5.4 Analisi limite 2.5.4.1 Concetti base Il metodo si basa su un principio energetico che, data una distribuzione di carichi sulla struttura, permette di trovare il moltiplicatore ultimo dei carichi λult. Non permette di calcolare λy. - Superficie limite Figura 2.66 In queste superfici, ogni combinazione di carico rappresenta un punto, mentre il processo di carico è descritto da una retta. Calcoliamo come distanza del punto λult della superficie dallo stato iniziale. - Convessità Figura 2.67 La superficie limite deve essere comunque convessa. Solo in questo modo infatti vale λult(critico)= λmax(tra quelli ammissibili). Figura 2.68 Può essere riferita a 1° plasticizzazione o a collasso
  56. 56. 50 Se la superficie non fosse convessa, posto ̂ = versore della direzione del carico, ∃ almeno un λ<λmax che mi porta ancora sulla super icie limite. = ̂λ = ̂λ = ̂λ = ̂λ Non potremmo quindi dire che λult sia proprio il λmax. (la definizione di λult non è univoca) Figura 2.69 Se conoscessi la superficie limite nello spazio dei carichi esterni il problema di trovare λult sarebbe di facile soluzione. In realtà noi possiamo conoscere la superficie limite al più nello spazio delle tensioni (Tresca o Von Mises), che dipendono solo dalle caratteristiche del materiale, o nello spazio delle sollecitazioni (M,N), che dipendono dalle caratteristiche della sezione, ovvero dalle rigidezze. Per valutarla nello spazio dei carichi esterni dovrei conoscere la reale distribuzione dei carichi e dei vincoli. Per risolvere il problema e calcolare ugualmente λult , sfruttiamo i seguenti teoremi: - TEOREMA STATICO = λcr è il massimo tra quelli staticamente ammissibili, compatibili con le resistenze massime della struttura e con i vincoli (teorema limite superiore) - TEOREMA CINEMATICO = λcr è il minimo tra quelli cinematicamente compatibili con i vincoli esterni e le giunzioni della struttura (teorema limite inferiore) - TEOREMA UNICITÀ = tra tutti i λ possibili, λcr è l’unico che produce stati di tensione staticamente ammissibili e cinematismi compatibili. 2.5.4.2 Teorema statico Figura 2.70 Consideriamo un sistema strutturale una volta iperstatico. Vogliamo valutare il carico critico Pcr mediante il teoremo statico.
  57. 57. 51 Figura 2.71 Per risolvere il sistema, data la sua iperstaticità, inseriamo l’incognita iperstatica χ e studiamo il sistema principale (1) e il sistema con l’incognita χ (2). Figura 2.72 Riportiamo i diagrammi del momento flettente(per il sistema completo iperstatico e per i sistemi 1 e 2). Figura 2.73 (1) = = = = ( + ) − = (2)
  58. 58. 52 = χ = − χ = = χ = ( + ) = χ ( + ) = ( + + ) = χ = χ (1)+(2) = − = − χ = − = − χ ( + ) = = χ Condizioni di ammissibilità statica 1) ≤ − −→ − χ ≤ 2) ≤ − −→ − χ ( + ) ≤ 3) ≤ − −→ χ ≤ Stiamo cercando il Pcr che mi porta a collasso globale. Per come è fatta la struttura, se si formano le cerniere plastiche in A e in B abbiamo un collasso locale, non globale. Figura 2.74 Quindi per avere collasso globale si deve verificare per forza o la situazione 3) o 1)+2) Situazione (a) (ovvero 1) e 3) al limite) − χ = χ = − −−→ = + = + Situazione (b) (ovvero 2) e 3) al limite) − χ ( + ) = χ = − −−→ = + ( + ) = + ( + ) Risulterebbe cioè Pcr (b) > Pcr (a) . Cioè il carico critico dovrebbe essere Pcr (b). Ma non è staticamente ammissibile. Vediamo perché. So che MA è sempre > di MB (si vede dal grafico iniziale del momento flettente). Ma se assumo che MB = MP, allora dovrebbe essere MA > MP : ma questo non è staticamente ammissibile. Il carico critico è quindi Pcr (a) , l’unico che è staticamente ammissibile. = +
  59. 59. 53 2.5.4.3 Teorema cinematico Figura 2.75 Consideriamo la stessa struttura. Per calcolare il carico critico dobbiamo: - individuare tutti i cinematismi per formazione di cerniere plastiche - applicare il principio energetico di minimo (λcr è quello che corrisponde al minimo lavoro di collasso) Ipotizziamo che le cerniere plastiche si formino: - dove sono applicati i carichi e dove sono i vincoli - dove ci sono bruschi cambiamenti di rigidezza in una direzione (es. cambio di sezione). Figura 2.76 Inoltre consideriamo che le deformazioni plastiche siano >> di quelle elastiche. Con queste ipotesi siamo in grado di individuare due cinematismi. Figura 2.77 = + = − −→ + + = + Le rotazioni sono: = + + = + (approssimiamo le rotazioni con le tangenti)
  60. 60. 54 Figura 2.78 = + = − −→ + + = + Le rotazioni sono: ⎩ ⎨ ⎧ = + + = (approssimiamo le rotazioni con le tangenti) Poiché i due sistemi sono simmetrici, ho che = = = , = Inoltre abbiamo ( ) > ( ) ( ) > ( ) − −− > ( ) > ( ) − −→ λ = λ − −→ à ( ) Calcolo ( ) ( ) + ( ) + = [ + + + + ] ( ) 1 + + = + ( + ) − −→ ( ) + = ( + ) + 1 + ( ) = 1 + 1 − −− > ( ) = + Ritroviamo lo stesso valore ottenuto col teorema cinematico (Par. 2.5.4.2)
  61. 61. 55 2.5.4.4 Strutture intelaiate Figura 2.79 Consideriamo un telaio incernierato : questa struttura è 1 volta iperstatica quindi, per arrivare a un collasso globale, si devono formare 2 cerniere plastiche. Risolviamo questo problema mediante il Teorema Cinematico. Prima di tutto, individuiamo i meccanismi possibili. Sono 6. Figura 2.80
  62. 62. 56 1) ℎ = + 2) − ℎ = + 3) ℎ + 1 2 = 2 + 2 4) − ℎ − 1 2 = 2 + 2 5) ℎ − 1 2 = 2 + 2 6) − ℎ + 1 2 = 2 + 2 Sono equazioni dirette, nel piano (H,V). 1) = + = 2) − = + = 3) = − 2ℎ + 2 ℎ + 2 ℎ = − 2ℎ + 4) − = 2ℎ + 2 ℎ + 2 ℎ = 2ℎ + 5) = 2ℎ + 2 ℎ + 2 ℎ = 2ℎ + 6) − = − 2ℎ + 2 ℎ + 2 ℎ = − 2ℎ + In questo modo descriviamo proprio la superficie limite nel piano della sollecitazioni esterne che stavamo cercando. Abbiamo 6 equazioni, che descrivono 6 rette: il dominio è esagonale. Figura 2.81 Quindi, per i telai, riusciamo a trovare la superficie limite sfruttando il teorema cinematico.
  63. 63. 57 Per il telaio incastrato il dominio diventa ottagonale. Figura 2.82 NB. I due domini visti finora sono simmetrici: stiamo pensando all’acciaio, con momento plastico Mp uguale sia per flessione positiva che per flessione negativa. Se volessimo considerare un materiale come il calcestruzzo armato, dovremo tener conto che in generale l’armatura sarà asimmetrica: pertanto il grafico non risulterà simmetrico rispetto al al segno delle forze esterne (non abbiamo lo stesso comportamento per flessione positiva e negativa). Figura 2.83
  64. 64. 58 3 - CONNESSIONI IN ACCIAIO 3.1 Definizioni 3.1.1 Unioni in acciaio 3.1.1.1 Zone nodali in un telaio I giunti tra gli elementi sono realizzati nelle zone di diffusione (D- Regions). Sappiamo che queste zone sono caratterizzate da concentrazione degli sforzi e non validità della teoria della trave di Bernoulli (non sono infatti verificate le ipotesi alla base della teoria di De Saint Venant): le indicazioni progettuali sono basate su teorie e modellazioni semplificate, supportate da analisi sperimentali o numeriche. Lo studio accurato delle unione è fondamentale, perché esse possono risultare il punto debole della struttura. Figura 3.1 3.1.1.2 Unioni correnti Servono per creare profili composti a partire da ferri piatti e cantonali (profili che non esistono sui sagomari, come travi alte e profili a cassone) 3.1.1.3 Unioni di forza Uniscono tra loro i vari elementi strutturali per formare l’intera costruzione 3.1.2 Sistemi di collegamento 3.1.1.1 Sistemi chiodati - Non si realizzano più ma possono trovarsi nelle strutture esistenti - Venivano montati a caldo: in questo modo nei gambi si generavano spesso tensioni di trazione che portavano anche alla rottura del chiodo stesso - Non possono essere scomposte a meno che non si distruggano anche gli elementi di connessione. TRAVE-COLONNA TRAVE-TRAVE COLONNA-COLONNA COLONNA-FONDAZIONE
  65. 65. 59 3.1.1.2 Sistemi bullonati VANTAGGI: - Facilità e velocità di montaggio e smontaggio - Flessibilità della struttura nel caso in cui debba subire modifiche per far fronte a nuove esigenze - Riutilizzo delle parti strutturali SVANTAGGI: - Gli elementi strutturali sono indeboliti dalla presenza dei fori - La presenza dei fori comporta una distribuzione delle tensioni caratterizzata da punte locali 3.1.1.3 Sistemi saldati VANTAGGI: - Collegamenti più rigidi - Si evita l’indebolimento dovuto ai fori dei bulloni - Le saldature occupano meno spazio, per cui i giunti risultano più snelli - Gli elementi da unire non devono subire un trattamento iniziale (per le bullonature occorre realizzare i fori) SVANTAGGI: - In generale sono più difficili da realizzare 3.1.3 Aspetti normativi: Eurocodici 3.1.3.1 Introduzione Gli Eurocodici trattano le connessioni in acciaio in modo molto più approfondito rispetto alle NTC 08. Per questo, per una modellazione più avanzata (che comprenda la modellazione del nodo) ci si può avvalere degli Eurocodici (“indicazioni di comprovata validità”). 3.1.3.2 Collegamento e Nodo strutturale - Collegamento (Connection) = è la parte che interessa proprio la trasmissione delle forze al contatto tra gli elementi (saldatura per unioni saldate, piastra + bulloni per unioni bullonate). - Nodo strutturale (Joint) = coinvolge tutta quella zona in cui nascono variazioni rilevanti delle caratteristiche della sollecitazione (pannello d’anima della colonna soggetta a taglio) Figura 3.2
  66. 66. 60 3.2 Classificazione dei nodi 3.2.1 Introduzione Le strutture in acciaio sono usualmente progettate facendo riferimento a modelli in cui i nodi hanno comportamento ideale. Generalmente, si accetta di rappresentare il comportamento dei nodi attraverso due modelli idealizzati: incastro perfetto e cerniera perfetta. Incastro perfetto: - completa continuità tra gli elementi collegati - trasferimento completo delle forze tra l’estremità della trave e la colonna - assenza di deformazioni parassite Figura 3.3 Cerniera perfetta: - sufficiente capacità di rotazione della trave - assenza di momenti parassiti Figura 3.4 L’utilizzo di questi schemi comporta notevoli semplificazioni: il comportamento reale però è sempre intermedio. 3.2.2 Classificazione per rigidezza Questa classificazione è applicabile solo al nodo trave-colonna. 3.2.2.1 Nodo rigido Il comportamento del nodo non ha influenza significativa sulla distribuzione delle forze e dei momenti nella struttura. Stessa cosa per le deformazioni. 3.2.2.2 Nodo semi-rigido In questo caso tra gli elementi esiste interazione, che dipende dal momento resistente e dalla rotazione di progetto. È in grado di trasmettere forze e momenti. 3.2.2.3 Nodo incernierato
  67. 67. 61 Il nodo deve essere in grado di trasmettere forze, senza sviluppo di momenti. Inoltre, deve consentire la rotazione risultante dai carichi di progetto. 3.2.2.4 Formule ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 ) − −− > , ≥ 2) − − −− > . ≤ , ≥ 3) − −− > , ≤ . = 8 25 ≥ 0.1 Figura 3.5 3.2.3 Classificazione per resistenza Si basa sul confronto tra il momento resistente di progetto del nodo con il momento resistente degli elementi che vi convergono. 3.2.3.1 Nodo a completo ripristino Il momento resistente di un nodo a completo ripristino deve essere non inferiore a quello degli elementi che unisce. , ≥ 3.2.3.2 Nodo a parziale ripristino È un nodo che non ricade né nella categoria di nodo a completo ripristino, né di nodo incernierato. 3.2.3.3 Nodo incernierato Ha le caratteristiche di cui sopra (Par. 3.2.2.3) e deve valere la relazione: , ≤ 0.25 Figura 3.6
  68. 68. 62 3.2.4 Classificazione per duttilità Dipende dalle classificazioni precedenti. Si distinguono i nodi in: - nodo continuo - nodo semi-continuo - nodo semplice 3.2.5 Classificazione secondo i tipi di analisi Nel caso di un’analisi elastica globale, le uniche caratteristiche rilevanti per la modellazione sono quelle di rigidezza. Viceversa, se stiamo effettuando un’analisi rigido- plastica ci interessano principalmente le resistenze. Infine, in tutti gli altri casi, sia la rigidezza che la resistenza governano il modo in cui il nodo dovrebbe essere modellato. La tabella seguente riassume la casistica.
  69. 69. 63 3.3 Modellazione del nodo 3.3.1 Tipi di modellazione I modelli per la previsione del comportamento dei nodi si dividono in 5 categorie: - test sperimentali - modelli empirici - modelli analitici - modelli agli elementi finiti - modelli meccanici (metodo delle componenti) Chiaramente, il metodo più accurato consiste nell’effettuare test sperimentali, a cui però non si può ricorrere se non in casi eccezionali, poichè però sono molto dispendiosi. 3.3.2 Metodo delle componenti: esempio di un giunto saldato 3.3.2.1 Introduzione Detti anche modelli a molla, i modelli meccanici si basano sulla simulazione del nodo/collegamento con un insieme di componenti rigide e flessibili. Il metodo delle componenti consta di 3 fasi principali: - identificazione delle componenti - risposta delle componenti - assemblaggio delle componenti Consideriamo un giunto saldato e guardiamo come si articola il metodo. Figura 3.7 Individuiamo le varie fonti di deformabilità. Nel caso di connessioni saldate abbiamo: - pannello d’anima della colonna a taglio - anima della colonna in trazione - anima della colonna in compressione - flangia della colonna in flessione - anima e flangia della trave in compressione Figura 3.8
  70. 70. 64 Le prime 3 componenti contribuiscono sia in termini di rigidezza che di resistenza , per cui vengono modellate con un legame di tipo elasto-plastico; le altre 2 componenti contribuiscono solo alla resistenza e per questo vengono modellate con un legame rigido-plastico. NB. In tale metodo, si ipotizza che la rottura delle saldature sia evitata, poiché la loro rottura è un meccanismo di tipo fragile. È auspicabile quindi che le saldature siano dimensionate sempre a vantaggio di sicurezza. 3.3.2.2 Calcolo della resistenza delle varie componenti 3.3.2.2.1 Resistenza zona soggetta a taglio Pannello d’anima di colonna non irrigidito . = √⁄ Dove Av è l’area di taglio, calcolabile a seconda del tipo di sezione dell’elemento: 3.3.2.2.2 Resistenza zona compressa Anima di colonna non irrigidita , = . − . , , ≤ Va inoltre calcolata la resistenza all’instabilità dell’anima della colonna, considerata come membratura compressa. Figura 3.9
  71. 71. 65 ℎ. = ℎ = (ℎ + ) , = = ′ à Figura 3.10 Eventualmente, si possono aggiungere piatti di rinforzo orizzontali e obliqui. Figura 3.11 3.3.2.2.3 Resistenza zona tesa Ala di colonna non irrigidita , = ( + ) + , ≤ + 2 + 7 , ≥ 0.7 Figura 3.12
  72. 72. 66 3.3.2.3 Determinazione del momento resistente Assumiamo che la resistenza complessiva sia governata dalla componente più debole. = . ; , ; , Con z = braccio delle forze interne Figura 3.13 Figura 3.14 3.3.2.4 Calcolo della rigidezza rotazionale = − ∑ ( , ) Dove - Sj è la rigidezza secante con riferimento allo snervamento (M < Mrd) - ki coefficiente di irrigidimento per il componente i-esimo - Fi forza nel componente i-esimo - Fi,Rd resistenza di progetto del componente i-esimo Figura 3.15 = 0.24 , = 0.8 , 3.3.2.5 Calcolo della capacità rotazionale - Si può assumere che un collegamento trave-colonna saldato non irrigidito, progettato in conformità con queste regole applicative, abbia una capacità di rotazione φCd di 0.015 radianti. - In un collegamento saldato trave-colonna, nel quale la colonna è irrigidita nella zona compressa ma non nella zona tesa, quando la resistenza al momento non è governata dalla resistenza della zona soggetta a taglio, la capacità di rotazione è pari a φCd =0.025 hc/hb Figura 3.16
  73. 73. 67 3.3.2.6 Conclusioni - I metodi illustrati non possono essere applicati ai collegamenti trave-trave - I metodi illustrati non riguardano i collegamenti in cui la trave è collegata all’anima della colonna - Questi metodi non devono applicarsi in presenza di elementi con sezioni che non siano a I o H. 3.3.3 Considerazioni Operando con quest’approccio, potremmo arrivare a valori di momento resistente M,Rd e rigidezza S,ini del nodo tali che il nostro giunto saldato trave-colonna non risulta essere un nodo rigido / a completo ripristino (caratteristiche per cui pensavamo di averlo progettato), bensì è un nodo semi-rigido / a parziale ripristino (vedi Par. 3.2.2 e 3.2.3). Per ripristinare la continuità del nodo, così come da richiesta progettuale, possiamo inserire ulteriori elementi, ricalcolare il momento resistente (in particolare Vpl,Rd, vedi Par. 3.3.2.2.1) : - irrigidimenti orizzontali, in modo che le due forze concentrate in corrispondenze delle ali della trave siano assorbite da questi - Se ancora non basta a riportare il nodo nella categoria di nodi a completo ripristino, occorre inserire un irrigidimento obliquo. 3.4 Modellazione a elementi finiti del nodo 3.4.1 Non linearità di materiale Consideriamo un caso semplice: una piattabanda con un unico foro dove andremo successivamente a posizionare un bullone. La piattabanda è soggetta a trazione (distribuzione di pressioni uniformi, equivalenti a una risultante pari a F). Figura 3.17 Innanzitutto dobbiamo creare una mesh di elementi finiti, facendo in modo che non ci sia tanta differenza tra le aree degli elementi utilizzati. Inseriamo anche dei vincoli: in questo modo la lastra, soggetta a trazione, può diminuire la propria sezione per effetto Poisson. Figura 3.18 Figura 3.19
  74. 74. 68 Figura 3.20 In corrispondenza del foro , le σ hanno un andamento che non è uniforme: c’è una concentrazione di tensione. L’andamento è non lineare già in campo elastico. Figura 3.21 Figura 3.22 Al crescere di p*, arriveremo a snervamento prima delle fibre in corrispondenza del foro; continuando a aumentare p* aumentano le fibre snervate, fino a arrivare a due stress-block. Calcoliamo il valore del carico p che porta alla crisi della lastra. = ( − ) = = ( − ) è < Il valore che porta a snervamento è inferiore alla tensione di snervamento dell’acciaio, proprio per la presenza del foro. Volendo modellare questo processo, ci si riconduce a un legame F – u , dove F è la risultante della distribuzione di pressioni applicate e u è lo spostamento. = = ( − ) t = spessore lastra Figura 3.23
  75. 75. 69 Un legame del genere però può dare problemi con i calcolatori ( in corrispondenza di Fy abbiamo infiniti valori di u --- > non vale l’unicità della soluzione). È meglio considerare un legame incrudente , con pendenza molto ridotta, in cui non ci sono problemi di molteplicità della soluzione. = 20 ÷ 50 Figura 3.24 3.4.2 Non linearità di vincolo Adesso consideriamo che la lastra è vincolata a un bullone. Figura 3.25 Ci sarà un certo gioco tra il bullone e il foro: pensando di tirare la lastra verso destra, il gioco aumenta a destra, mentre diminuisce a sinistra, fino a che le superfici del foro e del bullone entrano in contatto (cambiando la direzione della forza va tutto al contrario). Questa non linearità di contatto si può modellare come una non linearirà di materiale : mi interessa schematizzare un legame che reagisca principalmente a compressione. Abbiamo vari schemi possibili, di differente complessità. 1) NO TENSION (N O T ) Modelliamo il comportamento di una biella, reagente solo a compressione. Figura 3.26 Elastico – lineare Figura 3.27
  76. 76. 70 Elastico – plastico (può rappresentare bene il punzonamento di un palo) Figura 3.28 2) NO COMPRESSION (N O C ) In questo caso modelliamo il comportamento degli elementi tipo fune. Figura 3.29 Elastico – lineare Figura 3.30 Elastico – plastico Figura 3.31
  77. 77. 71 3) Legame che tiene conto della FRAGILITÀ (es. fibre di carbonio) Figura 3.32 4) Come caso intermedio, si ha un legame elasto-plastico con modesta resistenza a trazione (1/20 – 1/50 di quella a compressione). È più trattabile numericamente. Figura 3.33 5) Altra modellazione possibile è quella che tiene conto del “gioco”, ovvero del fatto che devo percorrere un certo tratto prima di avere il contatto bullone-lamiera. Figura 3.34
  78. 78. 72 3.4.3 Esempio Facciamo ora uno zoom sul foro e guardiamo come si modellano i singoli elementi. La lastra è in trazione verso destra (vedi figura Par. 3.2.2) - bullone = elemento beam - vincolo bullone – lamiera = elementi link (a cui assegniamo uno dei legami visti nel Par. 3.3.2). Figura 3.35 La dimensione del link va scelta tenendo conto della larghezza media e dello spessore (dipende quindi da quanti link ho inserito). Figura 3.35 Una modellazione con 8 link già è sufficiente; con 16 link riusciamo a arrivare proprio alla pressione di rifollamento. NB. Inserendo i link sui due piani (superficie esterna e interna della lamiera) possiamo valutare bene il taglio a cui è soggetto il bullone. Figura 3.36

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