4. Algebra Booleana
En el cual los símbolos aparentemente carecen de
significado, de tal manera que esta algebra puede
aplicarse a otras áreas.
Para esto recordemos que una operación binaria es
solo una función que asigna a cada pareja ordenada
un solo elemento.
Un algebra booleana es un sistema algebraico
formado por un conjunto A formado por elementos
a, b, c, …z, dos operaciones binarias simbolizadas
por # y * definidas sobre el conjunto A y una
relación de equivalencia simbolizada por =, tales
que, para cualesquiera elementos a, b y c de A, se
verifican las siguientes propiedades o axiomas:
5. 1. Cerradura o clausurativa:
(a # b) y (a * b) tambien son elementos del conjunto A
2. Conmutativa:
(a # b) = (b # a) y (a * b) = (b * a)
3. Asociativa:
(a # b) # c = a # (b # c) y (a * b) * c = a * (b * c)
4. Distributiva:
a # (b * c) = (a # b) * (a # c) y a * (b # c) = (a * b) # (a * c).
5. Identidad:
a#0=aya*e=a
Los elementos 0 y e reciben el nombre de elementos neutros
para las
operaciones # y * respectivamente.
6. Complementación:
Para cada elemento a que pertenece al conjunto A existe un
elemento a’ en
A tal que: a # a’ = 0 y a * a’ = e.
El elemento a’ se llama elemento inverso para las operaciones #
y*
6. Algebra Booleana en sistemas
numéricos
Para este sistema se puede
adaptar la siguiente
simbología:
A: El conjunto de los enteros (
Z)
8. A continuación se realiza la verificación de
que el conjunto de números enteros (Z) es
un algebra booleana, es decir, que
satisface dada una de las siguientes
propiedades para cualesquiera a, b, c y d
elementos del conjunto Z.
9. 1. Cerradura:
a+b=cya*b=d
2. Conmutativa:
a+b=b+aya*b=b*a
3. Asociativa:
a + (b + c) = (a + b ) + c = (a + c) + b
a * (b * c) = (a * b) * c = ( a * c) * b
4. Distributiva:
a + (b * c) = (a + b) * (a + c)
a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
5. Identidad: Existen en Z elementos 0 y 1 tales que:
a+0=aya*1=a
10. El 0 y el 1 reciben el nombre de
elementos neutros para la
adición y la multiplicación
respectivamente.
6. Complementación: Para cada
elemento a que pertenece al
conjunto z, existe un elemento
(-a) que también pertenece al
conjunto de enteros tal que:
a + (-a) = 0, (-a) recibe el
nombre de inverso aditivo del
11. Es importante aclarar que
la operación binaria del
producto no tiene inverso
multiplicativo, es decir, no
existe un elemento en los
enteros tal que al
multiplicarlo con otro
entero de como resultado
el elemento neutro del
producto (1)
