3. El movimiento
La Cinemática es la parte de la Física que estudia el movimiento
de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Decimos que un cuerpo tiene movimiento si varía su posición
en el tiempo respecto de otro que tomamos como referencia.
No existe el movimiento absoluto: reposo y movimiento son
conceptos relativos.
El sistema de referencia utilizado es un sistema de ejes
cartesianos, en cuyo origen de coordenadas O se encuentra el
observador.
Trayectoria es la línea que forman las sucesivas posiciones que
va ocupando el móvil.
4. El movimiento (2)
La posición del móvil queda determinada de dos formas:
• Conociendo las coordenadas del punto P(x, y).
• Mediante un vector de posición, cuyo origen está en O y el
extremo en el punto considerado.
r OP x i y j
( ) ( ) ( )r t x t i y t j
El vector de posición en función
del tiempo nos da la ecuación
vectorial del movimiento:
5. El movimiento (3)
El vector desplazamiento entre dos puntos P1 y P2 es un vector con
origen en P1 y extremo en P2.
2 1 2 1 2 1( ) ( )r r r x x i y y j
El espacio recorrido, Δs, entre las
posiciones P1 y P2 es la longitud del
tramo de trayectoria comprendido
entre P1 y P2.
En general, el espacio recorrido no
coincide con el módulo del vector
desplazamiento.
6. Ejercicios
1.El vector de posición de una partícula en cualquier instante viene
dado por:
Deduce la ecuación de la trayectoria.
2
( ) 4 2r t t i t j
2. El vector de posición de una partícula viene dado por:
a) Halla la posición de la partícula en los instantes 0, 1, 2, 3, 4, y
5 segundos.
b) Dibuja los vectores de posición y la trayectoria.
c) Comprueba que la ecuación analítica de la trayectoria es la de
la recta que une los extremos de los vectores de posición.
( ) 2 (10 )r t t i t j
7. 4.Una persona sale de paseo. Recorre 2 Km hacia el norte, después
se dirige hacia el este y recorre 1 Km y, por último, se dirige hacia
el sur y recorre 4 Km. Calcula el espacio recorrido y el
desplazamiento.
Ejercicios
3.La ecuación vectorial del movimiento de una partícula viene dada,
en unidades S.I., por:
a) Dibuja los vectores de posición para los tiempos 1, 3, y 5 s.
b) Halla la ecuación de la trayectoria.
c) Calcula y dibuja el desplazamiento entre t = 1 s y t = 3 s.
d) Halla el módulo de dicho desplazamiento.
e) Efectúa los apartados c y d para el intervalo t = 3 s y t = 5 s.
2
( ) 4 (1 )r t t i t j
8. Velocidad
La velocidad de un móvil indica como varía su posición respecto al
tiempo.
Velocidad media es el cociente entre el vector desplazamiento y el
tiempo empleado:
La velocidad media es una magnitud vectorial, siendo su dirección
y sentido los del vector desplazamiento.
2 1
2 1
m
r rr
v
t t t
9. Velocidad (2)
La celeridad media o rapidez media es una magnitud escalar que
se define como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo
empleado:
Generalmente, la celeridad media no coincide con el módulo de la
velocidad media.
Tanto la velocidad como la celeridad se miden en el SI en m·s-1.
m m
rs
c v
t t
5.Un objeto se mueve siguiendo una trayectoria definida por x = t2 e
y = t + 2, en el SI. Calcula:
a) El vector posición en cualquier instante.
b) El desplazamiento en el intervalo entre t = 1 y t = 3 segundos.
c) La velocidad media en ese intervalo de tiempo.
10. Velocidad (3)
Velocidad instantánea (o simplemente velocidad) es la velocidad
media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero:
lim limm
t o t o
r dr
v v
t dt
La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto al tiempo.
11. Velocidad (4)
La velocidad instantánea es una magnitud vectorial:
• Su módulo coincide con la celeridad instantánea.
• Su dirección es tangente a la trayectoria en cada punto.
• Su sentido es el del movimiento.
6.El vector posición de un móvil es:
(expresado en unidades S.I.). Calcula:
a) Su velocidad media entre los instantes t = 2 y t = 6 s.
b) Su velocidad en el instante t.
c) El módulo de la velocidad para t = 2 s y para t = 6 s.
2 2
( ) (10 )r t t i t t j
12. Aceleración
La aceleración es la magnitud que mide como cambia la velocidad
con el tiempo.
Aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad
y el tiempo transcurrido:
2 1
2 1
m
v vv
a
t t t
La aceleración media es una
magnitud vectorial, con la misma
dirección y sentido que .
Las unidades de la aceleración en
el SI son m·s-2.
v
13. Aceleración (2)
La aceleración instantánea (o simplemente aceleración) es la
aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado
tiende a cero:
La aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad
respecto al tiempo.
lim limm
t o t o
v d v
a a
t dt
7.La velocidad de un móvil viene dada por:
(expresada en unidades S.I.). Calcula:
a) Su velocidad inicial y su velocidad al cabo de 2 s.
b) Su aceleración media entre ambos instantes.
c) Su aceleración instantánea para t = 2 s.
2
4 (3 )v t i t j
14. Componentes intrínsecas
de la aceleración
El vector aceleración tiene una dirección variable, pero siempre se
puede descomponer en dos vectores: uno en la dirección de y
otro perpendicular a .
Componentes intrínsecas de la aceleración:
• Aceleración tangencial: es debida a la
variación del módulo de la velocidad.
• Aceleración normal: es debida al cambio
de dirección de la velocidad.
v
v
t n
d v
a a a
dt
15. Componentes intrínsecas
de la aceleración (2)
La ACELERACIÓN TANGENCIAL mide los cambios del módulo del
vector velocidad en el tiempo.
• Su dirección es siempre la del vector velocidad.
• Su sentido es el del vector velocidad si el movimiento es acelerado
(at > 0), y opuesto al movimiento si es desacelerado (at < 0).
• Tiene valor nulo (at = 0), si el movimiento es uniforme.
16. Componentes intrínsecas
de la aceleración (3)
La ACELERACIÓN NORMAL o CENTRÍPETA mide los cambios de la
dirección del vector velocidad en el tiempo.
• Su dirección es perpendicular al vector velocidad.
• Su sentido es siempre hacia el centro de curvatura de la trayectoria.
• Su módulo vale: 2
n
v
a
R
• Tiene valor nulo (an = 0) si la trayectoria
es una recta (R→∞)
18. Clasificación de los movimientos
Según la trayectoria los movimientos pueden ser:
• Rectilíneos: la dirección de la velocidad es constante (an = 0).
• Circulares: el radio de curvatura es constante.
• Curvilíneos no circulares.
Según el valor de la aceleración tangencial se clasifican como:
• Uniformes: at = 0 (el módulo de la velocidad es constante).
• Uniformemente variados: at = cte. (el módulo de la velocidad
aumenta o disminuye linealmente con el tiempo) .
• Acelerados no uniformemente: at ≠ cte.
19. Un cuerpo tiene un m.r.u. cuando la trayectoria es una recta y su
velocidad es constante en módulo, dirección y sentido.
• No tiene aceleración tangencial ni normal.
• La velocidad media coincide con la instantánea.
• Si elegimos la dirección del movimiento como eje X:
• Por tanto, las ecuaciones del m.r.u. son:
Movimiento rectilíneo uniforme
0
0 0
0
( )
r rr
v r r v t t
t t t
0 0( )xi x i v t t i
0 0( )x x v t t 0 .v v cte 0a
21. Movimiento rectilíneo uniforme (3)
La pendiente de la gráfica x-t
coincide con el valor de la
velocidad.
El área limitada por la gráfica v-t
y el eje X coincide con el espacio
recorrido en ese intervalo de
tiempo.
22. Ejercicios
9.Escribe la ecuación de posición
para los movimientos rectilíneos
representados en la figura.
8. Un móvil está inicialmente a 3 m a la derecha del origen de
coordenadas y se mueve con velocidad constante de 5 m/s hacia
él. Determina:
a) La posición del objeto a los 10 s.
b) La distancia recorrida en ese tiempo.
c) Comprueba que dicha distancia coincide con el módulo del
vector desplazamiento.
23. Ejercicios
11. Dos vehículos (A y B) parten uno al encuentro del otro desde
dos localidades que distan entre sí 400 Km. El vehículo A viaja a
100 Km/h, mientras que el B, que se pone en marcha un cuarto
de hora después, lo hace a 120 Km/h.
a) ¿Cuánto tiempo pasa desde que partió A hasta que se
encuentran?
b) ¿Qué distancia ha recorrido este vehículo?
10. Dos automóviles circulan por un tramo recto de autopista con
las velocidades de 36 y 108 Km/h.
a) Si viajan en el mismo sentido y están separados 1 km,
determina el instante y la posición en el que el coche más
rápido alcanza al otro.
b) Si se mueven en sentido opuesto determina el instante y la
posición en que se cruzan.
24. Un cuerpo tiene un m.r.u.v. cuando la trayectoria es una recta y
su velocidad varía de forma uniforme.
• La aceleración normal es nula, y el vector aceleración sólo
tiene componente tangencial.
• La aceleración media y la instantánea coinciden.
• Si elegimos la dirección del movimiento como eje X, las
ecuaciones del m.r.u.v. son:
M. R. U. V.
0
0 0
0
21
0 0 0 02
( )
( ) ( )
v vv
a v v a t t
t t t
r r v t t a t t
21
0 0 0 02
( ) ( )x x v t t a t t 0 0( )v v a t t .a cte
25. M. R. U. V. (2)
Las gráficas x-t, v-t y a-t de un m.r.u.v. son las siguientes:
27. Ejercicios
13. Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo
instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáforos
contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración
constante de 1,2 m/s2, mientras que el automóvil acelera con
2,4 m/s2. El automóvil alcanza al camión después de que éste ha
recorrido 50 m.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar el camión?
b) ¿Qué velocidad tienen ambos cuando están emparejados?
c) ¿Qué distancia separa los dos semáforos?
12. Un automóvil parte de una gasolinera donde estaba en posición
de reposo. Después de recorrer 200 m alcanza una velocidad de
108 Km/h. Calcula:
a) El valor de la aceleración.
b) El tiempo que ha tardado en alcanzar la velocidad indicada.
28. Ejercicios
15. El conductor de un vehículo que marcha a 108 Km/h descubre
un árbol caído en el camino, 100 m delante de su posición. Si
tarda 0,75 segundos en aplicar los frenos, y éstos le
proporcionan una aceleración constante de 6 m/s2:
a) Calcular el tiempo transcurrido desde que avista el árbol
hasta que se detiene.
b) ¿Puede evitar el choque?
c) Dibujar las gráficas v-t y x-t.
14. Un objeto sube por un plano inclinado, encontrándose con una
velocidad de 15 m/s cuando está a 6 m del origen, y de 10 m/s
cuando está a 10 m.
a) ¿Cuál es su aceleración, supuesta uniforme?
b) ¿Qué tiempo tarda en recorrer esos 4m?
29. M. R. U. V. (4)
La CAÍDA LIBRE y el LANZAMIENTO VERTICAL son m.r.u.v. con la
particularidad de estar sometidos a la aceleración de la gravedad.
La aceleración de la gravedad, g, se puede considerar constante e
igual a 9,81 m/s2, y está dirigida verticalmente hacia abajo.
Las ecuaciones de estos movimientos
son:
donde H es la posición inicial: H = y0.
21
0 0 02
( ) ( )y H v t t g t t
0 0( )v v g t t
2
9,81m·sa g
31. Ejercicios
18. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente
situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después
de soltarla. Calcula:
a) La velocidad con que se soltó.
b) La velocidad con que golpeó el agua.
16. Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad
de 20 m/s. Calcula:
a) Altura máxima alcanzada.
b) Velocidad cuando llega al suelo.
17. Desde una cierta altura se deja caer libremente un objeto.
Cuando se encuentra a 5 m del suelo ha alcanzado una
velocidad de 25 m/s.
a) ¿Desde qué altura se dejó caer?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle?
32. Ejercicios
19. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad
de 10 m/s. Al mismo tiempo, desde una altura de 10 m se deja
caer otro objeto. Calcula:
a) El instante y la posición donde se encuentran.
b) Las velocidades de ambos objetos en ese instante.
20. Se deja caer una pelota desde 90 metros de altura. Un segundo
más tarde una segunda pelota se lanza desde el suelo
verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s.
Calcula:
a) El instante y la posición donde se encuentran la dos pelotas.
b) La velocidad que tendrá cada una en ese momento.
33. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: Si un cuerpo está sometido a
varios movimientos independientes, el movimiento resultante se
obtiene sumando vectorialmente los movimientos parciales,
tanto si son simultáneos como si son sucesivos.
Composición de dos m.r.u.
Composición de movimientos
21. Un bote cruza un río de 40 metros de ancho que posee una
corriente de 2,5 m/s . El bote se desplaza a 5m/s en dirección
perpendicular a la orilla del río. Calcula:
a) El tiempo que tardará en cruzar el río.
b) La distancia que es arrastrado río abajo.
c) El espacio recorrido.
34. Tiro horizontal
Suponiendo despreciable el rozamiento con el aire, si se lanza
horizontalmente un objeto desde una altura H con una velocidad v0,
el objeto conservará esta misma velocidad en el eje X, mientras que
en el eje Y su rapidez irá aumentando debido a la caída libre.
Por tanto, es la composición de
dos movimientos:
Eje X: MRU
x0 = 0; vx = v0 = cte.
Eje Y: MRUV (Caída libre)
y0 = H; vy0 = 0
ay = - 9,81 m/s2
La trayectoria es una parábola.
36. 22. Desde un avión que vuela a 500 m de altura y cuya velocidad
horizontal es de 90 m/s se desea lanzar una bolsa de víveres
sobre unos náufragos. Sin tener en cuenta el rozamiento ni los
efectos del viento, determina:
a) La velocidad del objeto a los 5 s de haber sido lanzado.
b) La posición del objeto en ese instante.
c) La distancia horizontal desde la que ha de soltarse la bolsa.
d) El módulo de la velocidad de la bolsa cuando llega al suelo.
23. Sobre una mesa de 1 m de altura rueda, con velocidad
constante de 2 m/s una bola, hasta que cae por uno de sus
extremos:
a) ¿A qué distancia de la base de la mesa golpeará el suelo?
b) Calcular el módulo de la velocidad en el momento de chocar
con el suelo.
c) Escribir la ecuación de la trayectoria.
Ejercicios
37. Es el movimiento que describe un objeto lanzado con una velocidad
v0 que forma un cierto ángulo α con la horizontal.
Como el tiro horizontal, es la composición de dos movimientos:
Eje X: MRU
x0 = 0
vx = v0 cos α
Eje Y: MRUV
y0 = H
vy0 = v0 sen α
ay = - 9,81 m/s2
La trayectoria es una parábola.
Tiro oblicuo
39. 24. Un saltador de longitud alcanza una velocidad de 10 m/s en el
instante en que inicia su salto. Si la inclinación con que lo realiza
es de 25° con respecto a la horizontal y se desprecian los efectos
del viento y los rozamientos, determina:
a) El tiempo total que está en el aire.
b) La altura máxima alcanzada en el vuelo.
c) El alcance del salto.
25. Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30° con la
horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de
distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m calcula la
velocidad con que se lanzó.
Ejercicios
40. 26. Un bombero desea apagar el fuego de una casa. Para ello
deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de
altura. Si sujeta la manguera a 1 m del suelo apuntando bajo un
ángulo de 60° hacia la fachada, que dista 15 m,
a) ¿Con qué velocidad debe salir el agua?
b) ¿Cuánto tiempo tarda el agua en llegar a la ventana?
27. Una pelota que desliza por un tejado, de 45° de inclinación,
lleva una velocidad de 12 m/s cuando llega al borde, que se
encuentra a una altura de 18 m. Calcula:
a) La distancia a la que cae del edificio.
b) Su velocidad en ese instante.
Ejercicios
41. Movimientos circulares
El movimiento circular se caracteriza porque su trayectoria es una
circunferencia.
Si tomamos como origen de coordenadas el centro de la
circunferencia, el vector posición del móvil gira variando de
dirección, pero manteniendo su módulo R constante:
cosr x i y j R i Rsen j
Se define la POSICIÓN ANGULAR, ϕ,
como el ángulo que forma el vector
posición con el semieje X positivo.
Su unidad en el S.I. es el radián (rad).
42. Movimientos circulares (2)
La VELOCIDAD ANGULAR MEDIA entre dos posiciones es el cociente
entre el desplazamiento angular y en tiempo trascurrido:
La VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA, ω, es la velocidad angular
media cuando Δt tiende a cero.
La unidad de velocidad angular en el S.I. es el rad/s, aunque se
utilizan también las revoluciones por minuto (r.p.m.) y por segundo
(r.p.s.).
2 1
2 1
m
t t t
w
0
lim
t
d
t dt
w
43. Movimientos circulares (3)
La ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA entre dos instantes es el
cociente entre el cambio de velocidad angular y en tiempo
trascurrido:
La ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA, α, es la aceleración
angular media cuando Δt tiende a cero.
La unidad de aceleración angular en el S.I. es el rad/s2.
2 1
2 1
m
t t t
w ww
0
lim
t
d
t dt
w w
44. Movimientos circulares (4)
Si situamos el origen de espacios, O’, como
se indica en la figura, la posición del móvil
vendrá representada por el arco de
circunferencia, s.
Esto nos permite relacionar las magnitudes
lineales con las magnitudes angulares.
• POSICIÓN LINEAL: es el espacio, s, que coincide con la longitud del
arco del ángulo ϕ:
• VELOCIDAD LINEAL: es la rapidez, v:
• ACELERACIÓN LINEAL: es la aceleración tangencial, at:
·s R
· ·s R v Rw
· ·tv R a Rw
45. Movimiento circular uniforme
Un cuerpo tiene un m.c.u. cuando la trayectoria es una
circunferencia y su rapidez es constante.
• No tiene aceleración tangencial (at = 0), ya que la rapidez es
constante.
• Tiene aceleración normal (an = v2/R = cte.), ya que el vector
velocidad cambia de dirección.
• Su velocidad angular es constante (ω = v/R = cte.).
• Es un movimiento periódico, pues se repite cada cierto intervalo
de tiempo llamado periodo, T.
• El Periodo, T, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta.
• La frecuencia, f, es el número de vueltas que da en un segundo.
En el S.I. la frecuencia se mide en ciclos/s o Hertzios (Hz).
1 2
2f f
T T
w
46. Movimiento circular uniforme (2)
Como la aceleración angular es nula, la velocidad angular media y
la instantánea coinciden, por lo que:
Por tanto, las ecuaciones que describen el m.c.u. son:
0 0( )t t 0 .cte 0
0
0 0
0
( )m t t
t t
0 0( )s s v t t 0 .v v cte 0ta
22
· .na v R R cte
48. 28. Atamos un objeto con una cuerda de 70 cm de longitud y lo
hacemos girar con una velocidad de 5 rad/s. Calcula:
a) La velocidad lineal.
b) El ángulo y el número de vueltas que ha girado en 5 minutos.
c) La aceleración normal necesaria para conseguirlo.
29. Un tocadiscos gira a 45 rpm. Determina:
a) La velocidad lineal de un punto colocado a 12 cm del eje.
b) Su aceleración normal en ese punto.
c) El número de vueltas que ha girado en 3 minutos.
Ejercicios
49. 30. Un objeto gira con una velocidad angular de 33 rpm. Calcula:
a) El periodo y la frecuencia.
b) Número de vueltas en 15 minutos.
c) Velocidad de un objeto situado a 10 cm del eje de giro.
d) Aceleración centrípeta en ese punto.
e) Ángulo descrito en 2 segundos.
31. La Tierra gira alrededor de sí misma empleando 24 horas en dar
una vuelta. Calcula:
a) Su velocidad angular, en rad/s y en r.p.m.
b) La velocidad lineal de un punto del ecuador.
c) La aceleración de este punto. Dato: RT = 6 370 km.
Ejercicios
50. M.C.U.V.
Un cuerpo tiene un m.c.u.v. cuando recorre una circunferencia con
aceleración angular constante.
• La aceleración angular es constante. Por tanto, la aceleración
angular media e instantánea coinciden.
• Tiene aceleración tangencial es constante (at = α·R = cte.).
• La aceleración normal no es constante (an = v2/R ≠ cte.), ya que
la rapidez varía.
• La velocidad angular varía de forma uniforme.
• Las ecuaciones del m.c.u.v. son:
0
2
00
1
20 ( ) ( )t t t t 0 0( )t t
· .ta R cte2 2
· .na R v R cte
0
2
00
1
20 ( ) ( )ts s v t tt a t 00 ( )tv a t tv
52. 33. Un ventilador, de 50 cm de radio, gira a 150 r.p.m. cuando se
desconecta de la corriente, tardando medio minuto en pararse.
Calcula:
a) Su velocidad angular inicial, en unidades del S.I.
b) Su aceleración angular.
c) El número de vueltas que da hasta que se detiene.
d) El espacio recorrido por el punto medio y por el extremo de una
de las aspas, mientras se está parando.
e) La velocidad lineal del extremo a los 25 s.
f) La aceleración tangencial, normal y total del extremo a los 25 s.
32. Un disco de 30 cm de diámetro, inicialmente en reposo, empieza a
girar alrededor de un eje perpendicular y que pasa por su centro
con una aceleración angular de 5 rad/s2. Calcula, a los 20 s:
a) Su velocidad angular y el número de vueltas que ha dado.
b) La velocidad lineal y el espacio recorrido por un punto del borde.
Ejercicios
