VECTORES: Física Conceptual-ESPOL

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Introducción a las operaciones con cantidades vectoriales, suma y resta, métodos gráficos y analítico.

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VECTORES: Física Conceptual-ESPOL

  1. 1. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Las cantidades físicas (ej: velocidad, masa, fuerza) presentan características operacionales diferentes, estas diferencias se reflejan al momento de realizar operaciones matemáticas con ellas. Las cantidades conocidas como escalares obedecen las reglas aritméticas de la suma, resta, multiplicación y división. Las cantidades conocidas como Vectores obedecen reglas diferentes, conocidas como Algebra de Vectores 08/10/20091FLORENCIO PINELA - ESPOL
  2. 2. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Se tienen las siguientes cantidades físicas: Fuerza, aceleración, masa, peso, tensión. ¿Cuál de las siguientes operaciones son físicamente permitidas?. FUERZA + ACELERACIÓN => NO ES PERMITIDO (MASA) x (ACELERACIÓN) => SI ES ES PERMITIDO PESO + TENSIÓN => SI ES PERMITIDO 08/10/20092FLORENCIO PINELA - ESPOL FUERZA + MASA => NO ES PERMITIDO
  3. 3. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 3 La mayoría de nosotros estamos acostumbrados a la siguiente forma de matemáticas: 6 + 8 = 14. Todavía, somos extremadamente inquietos sobre esta forma de matemáticas: 6 + 8 = 10 y 6 + 8 = 2 y 6 + 8 = 5
  4. 4. 77 82 83 68 55 66 83 75 80 90 91 75 71 80 72 84 73 82 88 92 77 88 88 7364 Una Cantidad Escalar: sólo requiere de una magnitud y su unidad Estos valores aislados de temperatura son un ejemplo de una cantidad escalar (Usted tiene solo idea del valor de la temperatura en el punto escogido). 08/10/2009 4FLORENCIO PINELA - ESPOL
  5. 5. 77 82 83 68 55 66 83 75 80 90 91 75 71 80 72 84 73 57 88 92 77 56 88 7364 Una Cantidad Vectorial It may be more interesting to know which way the wind is blowing... Esto requeriría de una cantidad vectorial (Usted conoce tanto de la rapidez como de la dirección) Puede ser mas interesante conocer la dirección en que sopla el viento 08/10/2009 5FLORENCIO PINELA - ESPOL
  6. 6. Un reportero da una noticia e indica: “Dos autos colisionan en una calle céntrica de la ciudad. Uno de los conductores asegura que sólo viajaba a 40 km/h, mientras que el otro insistía que no superaba el límite de 60 km/h” • ¿Es suficiente la información para darnos cuenta de la “gravedad” del choque? a) SI b) NO • ¿En cuál de los siguientes casos se produciría el mayor daño en los vehículos durante la colisión? a) Viajan en la misma dirección b) Viajan en direcciones contrarias c) Viajan en direcciones perpendiculares 08/10/20096FLORENCIO PINELA - ESPOL
  7. 7. ¿Qué preguntaría el piloto a la torre de control, si de ésta le indican que el viento sopla en el aeropuerto a 40 km/h? 08/10/20097FLORENCIO PINELA - ESPOL
  8. 8. Gráfico superior Gráfico inferior El viento se mueve a una velocidad de 40 km/h hacia la izquierda. Si el avión vuela a una velocidad de 160 km/h con respecto al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión con respecto a la tierra? El viento se mueve a una velocidad de 40 km/h hacia la derecha. Si el avión vuela a una velocidad de 240 km/h con respecto al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión con respecto a la tierra? 08/10/20098FLORENCIO PINELA - ESPOL Los vectores se suman considerando su magnitud y dirección
  9. 9. Representación Gráfica de un Vector dirección: obvio magnitud: longitud La localización es irrelevante Estos son idénticos 08/10/20099FLORENCIO PINELA - ESPOL
  10. 10. a b c c a CosSen c b SenCos cSena cCosb 222 bac 22222 CoscSencc 22 1 CosSen Repaso de Trigonometría básica Para un triángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos es igual al coseno de su complemento El teorema de Pitágoras es válido únicamente para triángulos rectángulos opuesto sen hipotenusa adyacente cos hipotenusa opuesto tan adyacente       08/10/200910FLORENCIO PINELA - ESPOL Opuesto adyacente
  11. 11. Representación de un vector en Coordenadas Rectangulares Cualquier vector, A, que se encuentre en el plano x-y es posible representarlo por medio de sus componentes rectangulares: Ax y Ay A Ax Ay Ax = A cos Ay = A sen 2 2 x yA A A 1 tan tan y y x x A A A A x yA A A    2 2 2 x yA A A Forma matemática de expresar que el vector A es igual a la suma de los vectores Ax y Ax Magnitud del vector A 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 11 x y
  12. 12. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 12
  13. 13. La dirección de un vector en 2-D x y -α Sea = 130 Sen 130 = 0,766 Cos 130 = -0,643 α = - 230 Sen(-230 )= 0,766 Cos(-230 )=-0,643 • Positivo en “sentido” antihorario • Negativo en “sentido” horario 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 13
  14. 14. Compruebe el signo de las componentes! 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 14  la componente rectangular de un vector que apunte a la derecha se considera positiva. Hacia la izquierda negativa.  la componente rectangular de un vector que apunte hacia arriba se considera positiva. Hacia abajo negativa.
  15. 15. Pregunta de Concepto: Todos los vectores de la figura tienen la misma magnitud, cuál de ellos tiene la mayor componente horizontal? A B C 08/10/200915FLORENCIO PINELA - ESPOL
  16. 16. Pregunta de concepto: Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. Cuál de los siguientes vectores representaría mejor al vector A? a b c 08/10/200916FLORENCIO PINELA - ESPOL
  17. 17. Pregunta de concepto: Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud del vector A? a) b) c) d) 6 20 12 2 2 -4 08/10/200917FLORENCIO PINELA - ESPOL
  18. 18. Pregunta de Actividad: Para el vector indicado en la figura, cuya magnitud es de 20 unidades. ¿Cuál es el valor de su componente vertical? 150a) 20 b) 17,2 c) 10 d) 5 08/10/200918FLORENCIO PINELA - ESPOL
  19. 19. Pregunta de Actividad: Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectagulares: Ax = -2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud y dirección del vector A? -2 -4 a) 20 30 b) 6 243,4 c) 6 63,4 d) 20 243,4 08/10/200919FLORENCIO PINELA - ESPOL
  20. 20. Algunas veces es más conveniente representar un punto en el plano por sus coordenadas polares, (r, ) donde r es la distancia desde el origen hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ángulo entre r y un eje fijo, medido contrario a las manecillas del reloj. r (x,y) x y o tan y x 2 2 r x y 1 tan y x 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 20
  21. 21. Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polares si sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5) -2 -5 ¡Cuidado cuando use tan = y/x ! ' 1 5 tan 68,2 2 o ¡Línea de acción del vector! 180 68,2o or 2 2 ( 2) ( 5) 29r : 29; 248,2o r  08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 21
  22. 22. Se identifican dos procedimientos para sumar o restar vectores. • El Método Gráfico (Polígono) • Método Analítico (Descomposición vectorial) 08/10/200922FLORENCIO PINELA - ESPOL
  23. 23. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 23 Los casos más simples
  24. 24. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 24 Los casos más simples
  25. 25. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 25 Los casos simples de vectores perpendiculares
  26. 26. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 26 casos más complicados en los cuales los vectores se dirigen en direcciones diferentes en comparación con las direcciones puramente verticales y horizontales.
  27. 27. A C B A + B = C A B Observe que el vector resultante (negro) tiene un valor máximo y mínimo. ¿Cuándo ocurre esto? 08/10/200927FLORENCIO PINELA - ESPOL Los vectores se unen extremo con origen, conservando su magnitud y dirección. El vector resultante parte del origen del primero al extremo del último
  28. 28. Los vectores se unen extremo con origen, conservando su magnitud y dirección. El vector resultante parte del origen del primero al extremo del último A B A+B C A+B+C D R R = A + B +C + D R A B C D     08/10/200928FLORENCIO PINELA - ESPOL
  29. 29. C A B C B A      A  A  A  B  B  B  C  C  C  No importa el orden en que se sumen, su resultante siempre será la misma ! 08/10/200929FLORENCIO PINELA - ESPOL
  30. 30. 08/10/200930FLORENCIO PINELA - ESPOL
  31. 31. LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA (ejemplo de tres vectores) 08/10/200931FLORENCIO PINELA - ESPOL
  32. 32. A+B+C=D A B C Sean los vectores A, B, y C de la figura, ¿Cuál sería la magnitud y dirección del vector resultante de sumar A, B y C ? Pregunta de actividad: a) b) c) 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 32
  33. 33. Pregunta de concepto Se tienen dos vectores de 10 y 15 unidades de magnitud. ¿Cuál sería el valor de la mínima y máxima magnitud de la suma de los dos vectores? El valor mínimo sería de 5 unidades. El valor máximo sería de 25 unidades a) minimo: 5 maximo 15 b) Minimo: 0 maximo: 25 c) Minimo: 5 maximo: 25 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 33
  34. 34. Los cuatro vectores de la figura tienen sus extremos y origen sobre la superficie de una esfera de radio R, como se indica en la figura. ¿Cuál es la magnitud del vector resultante de la suma de los cuatro vectores? a) R b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R Pregunta de Actividad: 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 34
  35. 35. Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado en la figura tienen una magnitud de 10 unidades. La resultante de la suma de los cinco vectores es: a) 10 b) 20 c) 10 d) 5 e) 52 2 Pregunta de Actividad: 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 35
  36. 36. Pregunta de concepto Sea C = A + B. Si el módulo del vector A es de 25 u y el módulo del vector B es de 12 u. ¿Qué se puede decir respecto a los vectores A y B, sabiendo que el módulo de C es de 13 u a) La dirección de A es contraria a la dirección de B b) La dirección de A es la misma que la dirección de B c) La dirección de A es perpendicular a la dirección de B d) La dirección de A es paralela a la dirección de B. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 36
  37. 37. EL VECTOR NEGATIVO LA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA. Un vector es negativo cuando apunta en dirección contraria a uno definido como positivo. A -A B -B C -C 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 37
  38. 38. RESTA DE VECTORES RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ES EQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO A – B = A + (- B) A B A-B A-B Si los vectores se unen por su origen, la resultante de Se dirige desde el extremo de B hasta el extremo de A 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 38
  39. 39. Sean los vectores A y B que se muestran en la figura. ¿Cuál de las alternativas representa el vector B - A? A B a) b) c) Pregunta de concepto 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 39
  40. 40. Sean los vectores A y B; el vector A tiene 10 unidades de magnitud. El vector A – B es perpendicular al vector A y tiene 15 unidades de magnitud. La magnitud del vector B es a) 18.0 b) 16.0 c) 13.0 d) 11.2 e) 8.0 A A-BB Pregunta de Actividad: 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 40
  41. 41. Pregunta de concepto Para los vectores a, b y c, indicados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta? 3) c b a   1) a c b   2) a b c   4) Todas son correctas a b c 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 41
  42. 42. Pregunta de concepto Para los vectores a y b de la figura. ¿Cuál de las siguientes operaciones entre los vectores a y b tiene la mayor magnitud? 3) 2 2a b  1) 2a b  2) a b  a b 4) a b  08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 42
  43. 43. • El método geométrico de suma de vectores NO es el procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta precisión o en problemas tridimensionales. En esta sección se describe un método para sumar vectores que hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular. A estas proyecciones se las llama componentes del vector. Cualquier vector se puede describir completamente por sus componentes. 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 43
  44. 44. La dirección de un vector, por convención, siempre se mide con respecto al eje positivo de las “x”. Positivos en “sentido” antihorario 08/10/200945FLORENCIO PINELA - ESPOL
  45. 45. Componentes: magnitudes en las direcciones x y y, generalmente (x = derecha, y = arriba) C B A A = (4, 3) B = (0, –2) C = A + B = (4+0, 3–2) = (4, 1) x y ¿Cuál es el valor de A + B? 08/10/200946FLORENCIO PINELA - ESPOL
  46. 46. Pregunta de concepto:Vectores  Vector A = {0,2}  Vector B = {3,0}  Vector C = {1,-4} What is the resultant vector, D, from adding A+B+C? (a) {3,5,} (b) {4,-2} (c) {5,-2} 08/10/200947FLORENCIO PINELA - ESPOL
  47. 47. Pregunta de concepto:Vectores  Vector A = {0,2}  Vector B = {3,0}  Vector C = {1,-4} What is the resultant vector, E, from adding A+B-C? (a) {2,2} (b) {4,-2} (c) {2,6} 08/10/200948FLORENCIO PINELA - ESPOL
  48. 48. SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES A B C 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 49
  49. 49. A Ax Ay Bx By Cx Cy R B C Rx Ry Rx = Ax + Bx + Cx Ry = Ay + By + Cy 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 50
  50. 50. Ry Rx R Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial) Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial) Magnitud del vector R 2 2 x yR R R Línea de acción del vector R 1 tan y x R R DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DEL VECTOR R 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 51
  51. 51. DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DEL VECTOR RESULTANTE 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 52
  52. 52. Pregunta de Actividad: Determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A + B + C + D A = 40 B = 20 C = 30 D = 40 a) R = 22,4 = 163,4 b) R = 130 = - 63,4 c) R = 22,4 = - 63,4° d) R = 30 = - 63,4° 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 53
  53. 53. A = 40 B = 20 C = 30 D = 40 10 20 R 2 2 10 20 22,4R 1 20 tan 63,4 10 o 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 54
  54. 54. Pregunta de Actividad: • Sean los vectores A, B y C. con sus componentes rectangulares: A: (2, -4) B: (4, 6) C: (-3, 2) ¿Cuál es la magnitud del vector resultante de la suma A + B + C? a) 0 b) 7 c) 5 d) 20 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 55
  55. 55. A=40B=10 Ejemplo: Para los vectores indicados en la figura, determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A+B 3040 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 56
  56. 56. A=40 B=10 3040 40 cos 30o 40 sen 30o -10 cos 40o 10 sen 40o 0 0 40cos30 10cos40 27xR 0 0 40 30 10 40 26,4yR sen sen 2 2 27 26,4 37,7R 1 026,4 tan 44,7 27 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 57
  57. 57. A=40B=10 C =30 Para los vectores indicados en la figura, determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A+B-2C 30 40 40 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 58
  58. 58. A=40B=10 C =30 30 40 40 Expresemos todos los ángulos respecto al eje positivo de las “x” A = 30 B = 140 C = - 40 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 59
  59. 59. R = A+B-2C A=40B=10 C =30 30 40 40 2x x x xR A B C 2y y y yR A B C cos cos 2 cos 2 x A B C y A B C R A B C R Asen Bsen Csen 40cos30 10cos140 2(30)cos( 40 ) 40 30 10 140 2(30) ( 40 ) o o o x o o o y R R sen sen sen 19 65 x y R R 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 60
  60. 60. 19 65 x y R R ' 1 65 tan 73,7 19 o 180 73,7 106,3o o o 2 2 ( 19) (65) 67,7R R 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 61
  61. 61. 08/10/2009 11:46 FIN DE ESTA UNIDAD  LA PROXIMA CLASE: • LECCION SOBRE “VECTORES”
  62. 62. Para los vectores mostrados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? a) j + g - c = a + 2e b) b + f - i = j + h - a c) a + b + c = 2g d) a + b + d + e = f + h + i e) b + f + i = a + j + h ACTIVIDAD 08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 63

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