DINAMICA ROTACIONAL: BACHILLERATO
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DINAMICA ROTACIONAL: BACHILLERATO DINAMICA ROTACIONAL: BACHILLERATO Presentation Transcript

  • DINÁMICA ROTACIONAL PROFESOR: FLORENCIO PINELA FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 Junio de 2010
  • TORQUE Y BRAZO DE PALANCA La distancia perpendicular r┴ medida desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza es llamada brazo de palanca y es igual a r sin θ. El torque, o fuerza de torsión, que produce movimiento rotacional, se define como el producto de la fuerza y el brazo de palanca.  rF   rFsen FLORENCIO PINELA - ESPOL 2 Junio de 2010
  • Solo la fuerza perpendicular a la “palanca” produce un torque.   ( Fsen )r   F (rsen ) FLORENCIO PINELA - ESPOL 3 Junio de 2010
  • Q10.1 The three forces shown all have the same magnitude: Fa = Fb = Fc. Which force produces the greatest torque about the point O (marked by the red dot)? 1. the force Fa 2. the force Fb 3. the force Fc 4. not enough information given to decide FLORENCIO PINELA - ESPOL 4 Junio de 2010
  • Q10.2 In which of the situation(s) shown here does the force produce a torque about O that is directed into the plane of the drawing? 1. situation (i) 2. situation (ii) 3. situation (iii) 4. situation (iv) 5. more than one of the above FLORENCIO PINELA - ESPOL 5 Junio de 2010
  • Q10.3 A plumber pushes straight down on the end of a long wrench as shown. What is the magnitude of the torque he applies about point O? 1. (0.80 m)(900 N)sin 19° 2. (0.80 m)(900 N)cos 19° 3. (0.80 m)(900 N)tan 19° 4. none of the above FLORENCIO PINELA - ESPOL 6 Junio de 2010
  • EL TORQUE: COMO CANTIDAD VECTORIAL FLORENCIO PINELA - ESPOL 7 Junio de 2010
  • EQUILIBRIO Se dice que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio mecánico si se cumplen las dos condiciones:   EQUILIBRIO TRASLACIONAL Fneta  F  0   EQUILIBRIO ROTACIONAL  neto    0 FLORENCIO PINELA - ESPOL 8 Junio de 2010
  • Q11.2 A massless rod of length L is suspended from the ceiling by a string attached to the center of the rod. A sphere of mass M is suspended from the left-hand end of the rod. Where should a second sphere of mass 2M be suspended so that the rod remains horizontal? 1. at x = 2L/3 2. at x = 3L/4 3. at x = 4L/5 4. at x = 3L/5 5. none of the above FLORENCIO PINELA - ESPOL 9 Junio de 2010
  • Q11.3 A metal advertising sign (weight w) is suspended from the end of a massless rod of length L. The rod is supported at one end by a hinge at point P and at the other end by a cable at an angle  from the horizontal. What is the tension in the cable? 1. T = w sin  2. T = w cos  3. T = w/(sin ) 4. T = w/(cos ) 5. none of the above FLORENCIO PINELA - ESPOL 10 Junio de 2010
  • Q11.4 When an airplane is flying at a constant altitude, three vertical forces act on it — the weight w, an upward lift force L exerted by the wing, and a downward force T exerted by the tail. In equilibrium, what are the magnitudes L and T? 1. L = w, T = 0 2. L = w(1 + a/b), T = w(a/b) 3. L = w(1 – a/b), T = w(a/b) 4. L = w(a/b), T = w(1 + a/b) 5. L = w(a/b), T = w(1 – a/b) FLORENCIO PINELA - ESPOL 11 Junio de 2010
  • Torque Example and ACT A person raises one leg to an angle of 30 degrees. An ankle weight (89 N) attached a distance of 0.84 m from her hip. What is the torque due to this weight? 1) Draw Diagram 2)  = F r sin   F r 30 F=89 N  F r cos(30) = 65 N m If she raises her leg higher, the torque due to the weight will A) Increase B) Same C) Decrease FLORENCIO PINELA - ESPOL 12 Junio de 2010
  • Equilibrium Acts  A rod is lying on a table and has two equal but opposite forces acting on it. What is the net force on the rod? A) Up B) Down C) Zero  Will the rod move? A) Yes B) No y F x F FLORENCIO PINELA - ESPOL 13 Junio de 2010
  • Equilibrium  Conditions for Equilibrium  F=0 Translational EQ (Center of Mass)  =0 Rotational EQ  Can choose any axis of rotation…. Choose Wisely!  A meter stick is suspended at the center. If a 1 kg weight is placed at x=0. Where do you need to place a 2 kg weight to balance it? A) x = 25 B) x=50 C) x=75 D) x=100 E) 1 kg can’t balance a 2 kg weight. 50 cm d =0 9.8 (0.5) – (19.6)d = 0 19.6 N d = 25 9.8 N FLORENCIO PINELA - ESPOL 14 Junio de 2010
  • Static Equilibrium and Center of Mass  Gravitational Force Weight = mg  Acts as force at center of mass  Torque about pivot due to gravity  = mgd  Object not in static equilibrium pivot rcm   ri mi d Center of mass  mi W=mg FLORENCIO PINELA - ESPOL 15 Junio de 2010
  • Static Equilibrium Not in equilibrium Equilibrium pivot pivot d Center of mass W=mg Center of mass Torque about pivot = 0 Torque about pivot  0 A method to find center of mass of an irregular object FLORENCIO PINELA - ESPOL 16 Junio de 2010
  • Pre-VUELO The picture below shows two people lifting a heavy log. Which of the two people is supporting the greatest weight? 1. The person on the left is supporting the greatest weight 2. The person on the right is supporting the greatest weight 3. They are supporting the same weight FLORENCIO PINELA - ESPOL 17 Junio de 2010
  • Equilibrium Example A 75 kg painter stands at the center of a 50 kg 3 meter plank. The supports are 1 meter in from each edge. Calculate the force on support A. 1 meter 1 meter A B 1) Draw FBD FA FB 1 meter 2) F = 0 FA + FB – mg – Mg = 0 3) Choose pivot 0.5meter 4)  = 0 mg Mg -FA (1) sin(90)+ FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) + Mg(0.5) sin(90) = 0 FA = 0.5 mg + 0.5 Mg = 612.5 Newtons FLORENCIO PINELA - ESPOL 18 Junio de 2010
  • Equilibrium Example If the painter moves to the right, the force exerted by support A A) Increases B) Unchanged C) Decreases 1 meter 1 meter A B FLORENCIO PINELA - ESPOL 19 Junio de 2010
  • Equilibrium Example How far to the right of support B can the painter stand before the plank tips? 1 meter 1 meter A B Just before board tips, force from A becomes zero 1) Draw FBD FB 2) F = 0 FB – mg – Mg = 0 3) Choose pivot Mg mg 0.5meter x 4)  = 0 FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) – Mg(x) sin(90) = 0 0.5 m = x M FLORENCIO PINELA - ESPOL 20 Junio de 2010
  • Equilibrium Example A 50 kg diver stands at the end of a 4.6 m diving board. Neglecting the weight of the board, what is the force on the pivot 1.2 meters from the end? 1) Draw FBD 2) Choose Axis of rotation 3)   = 0 Rotational EQ F1 (1.2) – mg (4.6) = 0 F1 = 4.6 (50 *9.8) / 1.2 F1 = 1880 N 4)  F = 0 Translational EQ F1 F1 – F2 – mg = 0 F2 F2 = F1 – mg = 1390 N mg FLORENCIO PINELA - ESPOL 21 Junio de 2010
  • Una escalera de 15 kg descansa contra una pared lisa. Un hombre con una masa de 78 kg está parado en la escalera como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza de fricción debe actuar sobre la base de la escalera para que no resbale. FLORENCIO PINELA - ESPOL 22 Junio de 2010
  • Una escalera de 15 kg descansa contra una pared lisa. Un hombre con una masa de 78 Kg. sube por la escalera, inclinada 50 grados, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la altura máxima que puede subir el hombre en la escalera sin que esta resbale?, el coeficiente de rozamiento estático entre la escalera y el piso es de 0,3 FLORENCIO PINELA - ESPOL 23 Junio de 2010
  • Estabilidad y centro de gravedad (a) Cuando un objeto se encuentra en equilibrio estable, cualquier desplazamiento desde su posición de equilibrio resulta en una fuerza o torque que lo retorna a su posición de equilibrio estable FLORENCIO PINELA - ESPOL 24 Junio de 2010
  • CUANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD ESTÁ ARRIBA DEL ÁREA DE SOPORTE DE UN OBJETO Y DENTRO DE ELLA, EL OBJETO ESTÁ EN EQUILIBRIO ESTABLE. FLORENCIO PINELA - ESPOL 25 Junio de 2010
  • DINÁMICA ROTACIONAL MOMENTO DE INERCIA (I)  Al actuar una fuerza neta sobre un cuerpo, la inercia es la propiedad Fneta de la materia que determina la a aceleración que experimentará. m  Al actuar un torque neto sobre un cuerpo, la propiedad de la materia que determina la aceleración  neto angular que experimentará, se  denomina Momento de Inercia I FLORENCIO PINELA - ESPOL 26 Junio de 2010
  • CANTIDADES LINEALES Y ANGULARES Y SUS RELACIONES s  r s  r t t v  r vt (r )  atan   r  r t t t 2 v arad  r  2 r FLORENCIO PINELA - ESPOL 27 Junio de 2010
  • EL TORQUE, LA VELOCIDAD ANGULAR (ω) Y LA ACELERACIÓN ANGULAR () Si la velocidad angular es  constante, el torque neto y   valen cero! t  neto   Fr  0  Si la velocidad angular varía, existe un torque neto y  es  diferente de cero! t  neto   Fr  I FLORENCIO PINELA - ESPOL 28 Junio de 2010
  • Analogías entre cantidades lineales (traslación) y angulares (rotación) Denominación representación Denominación Representación distancia s ángulo  Velocidad lineal v Velocidad  angular Aceleración a Aceleración  lineal angular Fuerza F Torque  Masa m Momento de I inercia FLORENCIO PINELA - ESPOL 29 Junio de 2010
  • Linear and Angular: Relation Linear Angular Displacement x  Velocity v  Acceleration a  Inertia m I KE ½ m v2 ½ I 2 2Da Newton. F=ma  = I Momentum p = mv L = I FLORENCIO PINELA - ESPOL 30 Junio de 2010
  • Tension….. T1 T2 F m1 m2 m3 Compare the tension T1 and T2 as the blocks are accelerated to the right. A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2 T1 < T2 since T2 – T1 = m2 a. It takes force to accelerate block 2. T1 m2 m1 T2 Compare the tension T1 and T2 as block 3 falls m3 A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2 T1 < T2 since RT2 – RT1 = I2 . It takes force (torque) to accelerate the pulley. FLORENCIO PINELA - ESPOL 31 Junio de 2010
  • MOMENTO DE INERCIA DE UNA PARTÍCULA DE MASA m v at  Si sobre la partícula actúa una fuerza tangencial, ella experimentará una aceleración tangencial, además de la aceleración centrípeta. t F v v  r r  m at  r t at  r FLORENCIO PINELA - ESPOL 32 Junio de 2010
  • at  r Ft  mat Ft  m(r ) F Multipliquemos ambos lados de la r ecuación por r m v Ft r  (mr 2 )   (mr 2 ) Segunda Ley de Newton para Fneta  ma la traslación Segunda Ley de Newton para la rotación  neto  I I  mr 2 Momento de inercia de una partícula FLORENCIO PINELA - ESPOL 33 Junio de 2010
  • The Hammer! You want to balance a hammer on the tip of your finger, which way is easier A) Head up B) Head down C) Same R =I m g R sin() = mR2  mg Torque Inertia increases increases Angular acceleration decreases with with R as R2 R!, so large R is easier to balance. g sin() / R =  FLORENCIO PINELA - ESPOL 34 Junio de 2010
  • AL APLICAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACION, RECUERDE QUE EL MOMENTO DE INERCIA SE CALCULA CON RESPECTO AL MISMO PUNTO QUE SE DETERMINO EL TORQUE NETO. En cuál de los dos casos el sistema rotará con mayor aceleración angular?  neto  I FLORENCIO PINELA - ESPOL 35 Junio de 2010
  • I  m1 x12  m2 x2 2 I  30(0,5)2  30(0,5)2  15kg.m2 I  m1 x12  m2 x2 2 I  40(0,5)2  10(0,5)2  12,5kg.m2 I  m1 x12  m2 x2 2 I  30(1,5)2  30(1,5) 2  135kg.m2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 36 Junio de 2010
  • Para el sistema de masas mostrado, determine el momento de inercia en torno a: a) El eje x b) El eje y c) Un eje que pasa por el origen y es perpendicular a la página. FLORENCIO PINELA - ESPOL 37 Junio de 2010
  • I x  m1 y12  m2 y2  m3 y3  m4 y4 2 2 2 I x  2(1,52 )  3(1,52 )  4(1,52 )  1(1,52 )  22,5kgm2 I y  m1 x12  m2 x2  m3 x3  m4 x4 2 2 2 I y  2(2,5) 2  3(2,5) 2  4(2,5) 2  1(2,5) 2  62,5kgm 2 I z  m1 z12  m2 z2  m3 z3  m4 z4 2 2 2 I z  2(2,52  1,52 )  3(2,52  1,52 )  4(2,52  1,52 )  1(2,52  1,52 )  85kgm2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 38 Junio de 2010
  • Moments of inertia of some uniform-density objects with common shapes FLORENCIO PINELA - ESPOL 39 Junio de 2010
  • Rotation ACT Two wheels can rotate freely about fixed axles through their centers. The wheels have the same mass, but one has twice the radius of the other. If the same force F is applied to each wheel, compare their angular accelerations Recall:  = F d sin , and I = MR2 for the wheel (A) 1 > 2 (B) 1 = 2 (C) 1 < 2 F  neto Fr  F  2 I MR 1 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 40 Junio de 2010
  • Teorema de los ejes paralelos El momento de inercia respecto a un eje paralelo a otro que pasa por el centro de masa del cuerpo es I = ICM + Md2, donde M es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre los ejes. FLORENCIO PINELA - ESPOL 41 Junio de 2010
  • I extremo  I C .M  Md 2 2 1 L I extremo  ML  M   2 12 2  1 1 I extremo  ML    2  12 4  1 I extremo  ML2 3 FLORENCIO PINELA - ESPOL 42 Junio de 2010
  • FLORENCIO PINELA - ESPOL 43 Junio de 2010
  • Q10.4 A glider of mass m1 slides without friction on a horizontal air track. It is connected to an object of mass m2 by a massless string. The string turns the pulley without slipping or stretching. If the glider and object are released, the glider accelerates to the right and the object accelerates downward. During this motion, what is the relationship among T1 (the tension in the horizontal part of the string), T2 (the tension in the vertical part of the string), and the weight m2g of the object? 1. m2g = T2 = T1 2. m2g > T2 = T1 3. m2g > T2 > T1 4. m2g = T2 > T1 5. none of the above FLORENCIO PINELA - ESPOL 44 Junio de 2010
  • Q10.5 A string is wrapped several times around the rim of a small hoop. (The weight of the string is negligibly small compared to the weight of the hoop.) If the free end of the string is held in place and the hoop is released from rest, the string unwinds and the hoop descends. As the hoop descends, how does the tension in the string (magnitude T) compare to the weight of the hoop (w)? 1. T = w 2. T > w 3. T < w 4. not enough information given to decide FLORENCIO PINELA - ESPOL 45 Junio de 2010
  • Q10.6 A solid bowling ball rolls down a ramp. Which of the following forces exerts a torque on the bowling ball about its center? 1. the weight of the ball 2. the normal force exerted by the ramp 3. the friction force exerted by the ramp 4. more than one of the above 5. answer depends on whether or not the ball is rolling without slipping FLORENCIO PINELA - ESPOL 46 Junio de 2010
  • APLICACIONES DE LA DINÁMICA ROTACIONAL Polea con inercia Un bloque de masa m cuelga de una cuerda que pasa por una polea, de masa M y radio R, cuyo eje no presenta fricción. Si el bloque se suelta desde el reposo. ¿Qué magnitud tendrá la aceleración lineal del bloque, en función de M, m, R? (desprecie la masa de la cuerda) FLORENCIO PINELA - ESPOL 47 Junio de 2010
  • Traslación del bloque Fneta  ma mg  T  ma Rotación de la polea  neto   eje  Ieje TR  I Relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular: la aceleración del bloque es igual a la aceleración tangencial de la polea a R FLORENCIO PINELA - ESPOL 48 Junio de 2010
  • Tomemos las ecuaciones de traslación, rotación y su relación: mg  T  ma 1 TR  I I  MR 2 2 a R Momento de inercia de la polea (cilindro) 1 2 a TR  MR 2 R 1 T  Ma 2 1 mg  a(m  M ) 2 2mg  mR 2  a  g 2m  M  mR  I  2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 49 Junio de 2010
  • Falling weight & pulley  A mass m is hung by a string that is wrapped around a pulley of radius R attached to a heavy flywheel. The  I moment of inertia of the pulley + R flywheel is I. The string does not slip on the pulley. T Starting at rest, how long does it take for the mass to fall a distance L. m a mg What method should we use to solve this problem L A) Conservation of Energy (including rotational) B)   I and then use kinematics FLORENCIO PINELA - ESPOL 50 Junio de 2010
  • Falling weight & pulley: Experimental procedure...  Using 1-D kinematics we can solve for the time required  I for the weight to fall a R distance L: 1 2 y  y0  v0t  at T 2 m 1 2 2L L at t 2 a a mg Using this result we can L  mR 2  calculate the moment of where a g 2  mR  I  inertia of the pulley FLORENCIO PINELA - ESPOL 51 Junio de 2010
  • A string is wrapped several times around the rim (weight w) of a small hoop. (The weight of the string is negligibly small compared to the weight of the hoop.) If the free end of the string is held in place and the hoop is released from rest, the string unwinds and the hoop descends. As the hoop descends, what is the acceleration of the center of mass of the hoop? FLORENCIO PINELA - ESPOL 52 Junio de 2010
  • T  F = ma => mg – T = ma R o o = I => TR = I  a=R a mg TR = I (a/R) mg – I a/R2 = ma a(m + I/R2) = mg mg a m I /R 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 53 Junio de 2010
  • Dos masas penden de una polea. La polea tiene una masa de 0,2 Kg. y un radio de 0,15 m y un momento de fuerza constante (torque) de 0,35 N.m debido a la fricción entre ella y el eje sobre el que gira. ¿Cuál es el valor de la aceleración de las masas? Si m1= 0,4 Kg. y m2 = 0,8 Kg. FLORENCIO PINELA - ESPOL 54 Junio de 2010
  • F  ma m2 g  T2  m2 a T2 R  T1 R   friccion  I  T1  m1 g  m1a  eje  I eje T1  m1 g  m1a T2 R  T1 R   friccion  I  1 2 a T2 R  T1R   friccion  MR 2 R f1 T2  T1   Ma R 2 m2 g  T2  m2 a f g (m2  m1 )  a(m1  m2  M / 2)  R g (m2  m1 )   f / R a (m2  m1  M / 2) FLORENCIO PINELA - ESPOL 55 Junio de 2010
  • LOS BLOQUES MOSTRADOS EN LA FIGURA NO PRESENTAN ROZAMIENTO CON EL PLANO. DETERMINE LAS TENSIONES EN LA CUERDA Y EL MOMENTO DE INERCIA DE LA POLEA, SUPONGA QUE LA POLEA TIENE UN RADIO EFECTIVO DE 20 cm.. FLORENCIO PINELA - ESPOL 56 Junio de 2010
  • T1  m1 gsen30  m1a o T1  m1 ( gsen30  a ) o m2 gsen60  T2  m2 a o T2  m2 ( gsen60  a ) o T2 R  T1 R  I  a T2  T1  I 2 R FLORENCIO PINELA - ESPOL 57 Junio de 2010
  • Rolling Una esfera uniforme de 2 Kg. y 0,15 m de diámetro rueda desde la parte superior (H= 1m) de un plano inclinado 30 grados como se indica en la figura. a) ¿Qué aceleración tiene el centro de masa de la esfera? b) La velocidad del centro de masa al llegar a la parte inferior del plano. c) La velocidad angular en la parte inferior del plano. FLORENCIO PINELA - ESPOL 58 Junio de 2010
  •  punto de cont .  I p.c. Mgsen (r )  ( I C .M  Mr ) 2 2 Mgsen (r )  ( Mr  Mr ) 2 2 5 FLORENCIO PINELA - ESPOL 59 Junio de 2010
  • Mgsen (r )  ( I cm  Mr 2 ) a  r a Mgsen (r )  ( I cm  Mr ) 2 r  Msen r 2  a  g 2   I cm  Mr  FLORENCIO PINELA - ESPOL 60 Junio de 2010
  • Rolling  An object with mass M, radius R, and moment of inertia I rolls without slipping down a plane inclined at an angle  with respect to horizontal. What is its acceleration?  Consider CM motion and rotation about the CM separately when solving this problem I M R  FLORENCIO PINELA - ESPOL 61 Junio de 2010
  • Rolling...  Static friction f causes rolling. It is an unknown, so we must solve for it.  First consider the free body diagram of the object and use FNET = Macm : In the x direction: Mg sin  - f = Macm  Now consider rotation about the CM M and use  = I realizing that R f  = Rf and a = R  Mg a a  Rf  I f I 2 R R FLORENCIO PINELA - ESPOL 62 Junio de 2010
  • Rolling...  We have two equations: Mg sin  - f = Ma a f I R2  We can combine these to eliminate f:  MR 2sin   a  g   MR  I  2 I For a sphere: A M R    MR sin   5 2 a  g 2   7 gsin   MR  MR  2 2   5  FLORENCIO PINELA - ESPOL 63 Junio de 2010
  • ROLLING EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA COMBINACION DE LOS MOVIMIENTOS DE ROTACION Y TRASLACION Ejemplo: si una bicicleta de mueve con velocidad de 5 m/s. la velocidad del centro de masa de una de las ruedas será también de 5 m/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 64 Junio de 2010
  • EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA COMBINACION DE LOS MOVIMIENTOS DE ROTACION Y TRASLACION FLORENCIO PINELA - ESPOL 65 Junio de 2010
  • y Rolling A wheel is spinning clockwise such that the speed x of the outer rim is 2 m/s. 2 m/s What is the velocity of the top of the wheel relative to the ground? What is the velocity of the bottom of the wheel relative to the ground? 2 m/s You now carry the spinning wheel to the right at 2 m/s. What is the velocity of the top of the wheel relative to the ground? A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s What is the velocity of the bottom of the wheel relative to the ground? A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 66 Junio de 2010
  • Si un objeto rueda sin resbalar, la longitud del arco entre dos puntos de contacto en la circunferencia es igual a la distancia lineal recorrida. Esta distancia es s = rθ. La rapidez del centro de masa es vCM = rω. Ejemplo: si una bicicleta de mueve con velocidad de 5 m/s. y las ruedas tienen un radio de 0,5 m. La velocidad angular de las ruedas será de 10 rad/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 67 Junio de 2010
  • Rotational Kinetic Energy  Consider a mass M on the end of a string being spun around in a circle with radius r and angular frequency   Mass has speed v =  r M  Mass has kinetic energy  K = ½ M v2  = ½ M 2 r2 = ½ (M r2) 2 = ½ I 2 K  Rotational Kinetic Energy is energy due to circular motion of object. FLORENCIO PINELA - ESPOL 68 Junio de 2010
  • TRABAJO ROTACIONAL Y ENERGÍA CINÉTICA El trabajo realizado por una fuerza tangencial para hacer rotar un cuerpo se conoce como trabajo rotacional W  Fs W  F ( r ) W   FLORENCIO PINELA - ESPOL 69 Junio de 2010
  • Teorema trabajo-energía y energía cinética Utilizando la ecuación del trabajo rotacional: Wneto    ( I )  I ( )  2  o2  2( )   2  o  2 Wneto I   2  1 2 1 2 Wneto  I   I o 2 2 El trabajo neto es igual al cambio en la energía cinética rotacional FLORENCIO PINELA - ESPOL 70 Junio de 2010
  • 1 2 1 2 Wneto  I   I o 2 2 Wneto  K  K  K o 1 2 1 2 K  I K  mv 2 2 ENERGÍA CINÉTICA ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL TRASLACIONAL FLORENCIO PINELA - ESPOL 71 Junio de 2010
  • Contest! FLORENCIO PINELA - ESPOL 72 Junio de 2010
  • Inertia Rods Two batons have equal mass and length. Which will be “easier” to spin A) Mass on ends B) Same C) Mass in center FLORENCIO PINELA - ESPOL 73 Junio de 2010
  • Rolling Race (Hoop vs Cylinder) A hoop and a cylinder of equal mass roll down a ramp with height h. Which has greatest KE at bottom? A) Hoop B) Same C) Cylinder FLORENCIO PINELA - ESPOL 74 Junio de 2010
  • Preflight Rolling Race (Hoop vs Cylinder) A hoop and a cylinder of equal mass roll down a ramp with height h. Which has greatest speed at the bottom of the ramp? A) Hoop B) Same C) Cylinder I = MR2 I = ½ MR2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 75 Junio de 2010
  • Merry Go Round Four kids (mass m) are riding on a (light) merry-go-round rotating with angular velocity =3 rad/s. In case A the kids are near the center (r=1.5 m), in case B they are near the edge (r=3 m). Compare the kinetic energy of the kids on the two rides. A B A) KA > KB B) KA = KB C) KA < KB FLORENCIO PINELA - ESPOL 76 Junio de 2010
  • ENERGÍA CINÉTICA DE UN OBJETO QUE RUEDA SOBRE UNA SUPERFICIE HORIZONTAL SIN RESBALAR. 1 K  I i 2 2 Ii es el momento de inercia respecto al eje instantáneo de rotación FLORENCIO PINELA - ESPOL 77 Junio de 2010
  • 1 K  I i 2 2 I i  I CM  MR 2 1 1 K  ICM   MR 2 2 2 2 2 1 1 K  ICM   MR 2 2 2 vCM   R 2 2 1 1 K  I CM   MvCM 2 2 2 2 K total  K Rotacion  KTraslacion FLORENCIO PINELA - ESPOL 78 Junio de 2010
  • Energy Conservation!  Friction causes object to roll, but if it rolls w/o slipping friction does NO work!  W = F d cos  d is zero for point in contact  No dissipated work, energy is conserved  Need to include both translation and rotation kinetic energy.  K = ½ m v2 + ½ I 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 79 Junio de 2010
  • Translational + Rotational KE  Consider a cylinder with radius R and mass M, rolling w/o slipping down a ramp. Determine the ratio of the translational to rotational KE. Translational: KT = ½ M v2 Rotational: KR = ½ I 2 1 V use I  MR 2 and  2 R KR = ½ (½ M R2) (V/R)2 = ¼ M v2 = ½ KT H FLORENCIO PINELA - ESPOL 80 Junio de 2010
  • Rolling Act  Two uniform cylinders are machined out of solid aluminum. One has twice the radius of the other.  If both are placed at the top of the same ramp and released, which is moving faster at the bottom? (a) bigger one (b) smaller one (c) same Ki + Ui = Kf + Uf 1 1 MgH  I  2  MV 2 2 2 2 1 1 2 V 1 MgH   MR  2  MV 2 2 2 R 2 4 V gH Independiente dela masa 3 FLORENCIO PINELA - ESPOL 81 Junio de 2010
  • When an object rolls down an inclined plane, potential energy is converted to translational and rotational kinetic energy. This makes the rolling slower than frictionless sliding. FLORENCIO PINELA - ESPOL 82 Junio de 2010
  • UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN PLANO INCLINADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA DETERMINE LA VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA PARTE INFERIOR DEL PLANO. FLORENCIO PINELA - ESPOL 83 Junio de 2010
  • UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN PLANO INCLINADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA DETERMINE LA VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA PARTE INFERIOR DEL PLANO. Einicial  mgh 1 2 1 E final  mvcm  I  2 2 2 1 2 1  vcm  2 mgh  mvcm  (mR 2 )  2  2 2 R  vcm  gh Comparelo con vcm  2gh FLORENCIO PINELA - ESPOL 84 Junio de 2010
  • Translational + Rotational KE  Consider a cylinder with radius R and mass M, rolling w/o slipping down a ramp. Determine the ratio of the translational to rotational KE. Energy conservation: Ki + Ui = Kf + Uf 0+ MgH = ½ I 2 + ½ M v2 + 0 1 1 MgH  I  2  MV 2 2 2 1 V but I  MR 2 and  2 R 2 1 1 2 V 1 MgH   MR  2  MV 2 2 2 R 2 1 1 3 MgH  MV 2  MV 2  MV 2 H 4 2 4 4 V gH 3 FLORENCIO PINELA - ESPOL 85 Junio de 2010
  • Massless Pulley Example Consider the two masses connected by a pulley as shown. Use conservation of energy to calculate the speed of the blocks after m2 has dropped a distance h. Assume the pulley is massless. W NC  K  U U initial  Kinitial  U final  K final 1 1 0  0   m2 gh  m1v  m2v 2 2 2 2 2m2 gh  m1v 2  m2v 2 2m2 gh v m1  m2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 86 Junio de 2010
  • Massive Pulley Act Consider the two masses connected by a pulley as shown. If the pulley is massive, after m2 drops a distance h, the blocks will be moving A) faster than B) the same speed as C) slower than Slower because some energy if it was a massless pulley goes into spinning pulley! U initial  Kinitial  U final  K final m gh   1 m v 2  1 m v 2  1 Mv 2 2 1 2 2 2 4 1 1 1 2 0  m2 gh  m1v  m2v  I 2 2 2m2 gh 2 2 2 v 2 m1  m2  M / 2 1 1 11 2  v  m2 gh   m1v  m2v   MR   2 2 2 2 2 2  R  FLORENCIO PINELA - ESPOL 87 Junio de 2010
  • Una esfera de acero baja rodando por una pendiente y entra en un rizo de radio R. A) ¿Qué rapidez mínima debe tener en el cenit del rizo para mantenerse en su pista. B) A qué altura vertical h en la pendiente, en términos del radio del rizo, debe soltarse la esfera para que tenga esa rapidez en el cenit del rizo. (desprecie las pérdidas por fricción) A) v=gR B) h=2,7 R FLORENCIO PINELA - ESPOL 88 Junio de 2010
  • Torque: ACTIDAD  When a force is applied to the string, the spool will 1) Roll right 2) Roll Left 3) Depends on angle F FLORENCIO PINELA - ESPOL 89 Junio de 2010
  • Spool on a rough surface..: Equilibrio  Consider all of the forces acting: tension T and friction f.  Using FNET = 0 in the x direction: T cos   f  0 f  T cos  Using NET = 0 about the CM axis: aT  bf  0 aT  bf T  Solving: a cos   a y b b x f FLORENCIO PINELA - ESPOL 90 Junio de 2010
  • Spool on a rough surface...  There is another (slick) way to see this:  Consider the torque about the point of contact between the spool and the ground. We know the net torque about this (or any other) point is zero. Since both Mg and f act through this point, they do not contribute to the net toque. T Therefore the torque due to T must also be zero.  Therefore T must act along a line that passes a y through this point! b Mg x f Physics 101: Lecture 15, Pg 91
  • Spool on a rough surface... Giant yo-yo  Sowe can use geometry to get the same result. T a cos   b  a  b Physics 101: Lecture 15, Pg 92
  • FLORENCIO PINELA - ESPOL 93 Junio de 2010
  • Potencia rotacional La potencia se define como la relación entre el trabajo realizado y el tiempo empleado en hacerlo. W   W  P P  t t Rotación P   Traslación P  Fv FLORENCIO PINELA - ESPOL 94 Junio de 2010
  • Linear and Angular Linear Angular Displacement x  Velocity v  Acceleration a  Inertia m I KE ½ m v2 ½ I 2 N2L F=ma  = I Momentum p = mv L = I Physics 101: Lecture 16, Pg 95
  • CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR  La fuerza es la razón •El torque es la razón de que de que los cuerpos los cuerpos cambien su cantidad de movimiento cambien su momento angular. lineal.   v F m t  mv  F t  p  F t FLORENCIO PINELA - ESPOL 96 Junio de 2010
  • La cantidad de movimiento angular   r F v p  mv m p  m(r ) rp  mr  2   L  I La cantidad de movimiento angular de un cuerpo tiene la misma dirección que la velocidad angular FLORENCIO PINELA - ESPOL 97 Junio de 2010
  • EL TORQUE Y LA VARIACION DEL MOMENTO ANGULAR   v F m p t F  mv  F t t  p  (rp) F Fr  t t   L   t FLORENCIO PINELA - ESPOL 98 Junio de 2010
  • Define Angular Momentum Momentum Angular Momentum p = mV L = I conserved if Fext = 0 conserved if ext =0 Vector Vector! units: kg-m/s units: kg-m2/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 99 Junio de 2010
  • La fuerza y la variación El torque y la variación del del momento lineal momento angular   I F  ma  v  I F m t t ( I ) p  F t t L  t FLORENCIO PINELA - ESPOL 100 Junio de 2010
  • Right Hand Rule  Wrap fingers of right hand around direction of rotation, thumb gives direction of angular momentum.  What is direction of angular momentum for wheel A) Up B) Down C) Left D) Right Physics 101: Lecture 16, Pg 101
  • CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR  En ausencia de un momento de fuerza externo (torque) la cantidad de movimiento angular total (L) de un sistema se conserva. L  neto  0 t L  0  L  Lo I   I 0o  0 I   I 0o FLORENCIO PINELA - ESPOL 102 Junio de 2010
  • I   I oo FLORENCIO PINELA - ESPOL 103 Junio de 2010
  • FLORENCIO PINELA - ESPOL 104 Junio de 2010
  • Act: Two Disks  A disk of mass M and radius R rotates around the z axis with angular velocity i. A second identical disk, initially not rotating, is dropped on top of the first. There is friction between the disks, and eventually they rotate together with angular velocity f. A) f = i B) f = ½ i C) f = ¼ i z z i f FLORENCIO PINELA - ESPOL 105 Junio de 2010
  • Act: Two Disks  First realize that there are no external torques acting on the two-disk system.  Angular momentum will be conserved! 1 Li  I1 1  0  MR i 2 L f  I1 1  I 2 2  MR  f 2 2 1 MR i  MR  f 2 2 2 z z 1 2 i   f 1 2 0 f FLORENCIO PINELA - ESPOL 106 Junio de 2010
  • Pre-vuelo You are sitting on a freely rotating bar-stool with your arms stretched out and a heavy glass mug in each hand. Your friend gives you a twist and you start rotating around a vertical axis though the center of the stool. You can assume that the bearing the stool turns on is frictionless, and that there is no net external torque present once you have started spinning. You now pull your arms and hands (and mugs) close to your body. FLORENCIO PINELA - ESPOL 107 Junio de 2010
  • Bonus Question!  There are No External forces acting on the “student+stool” system. A) True B) False C) What!? FLORENCIO PINELA - ESPOL 108 Junio de 2010
  • Pre-vuelo What happens to the angular momentum as you pull in your arms? 1. it increases 2. it decreases 3. it stays the same L1 L 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 109 Junio de 2010
  • Pre-vuelo What happens to your kinetic energy as you pull in your arms? 1 2 1. it increases 2. it decreases I1 I2 3. it stays the same L L You do work as you pull in your arms! 1 2 2 1 2 1 K  I 2  I   L (using L = I ) 2 2I 2I Si L es constante, al disminuir I aumenta K FLORENCIO PINELA - ESPOL 110 Junio de 2010
  • What about Energy Conservation? A) Energy isn’t conserved here B) Energy comes from weights C) Gravitational energy is being converted to rotational kinetic energy D) Energy comes from “watallarin”. FLORENCIO PINELA - ESPOL 111 Junio de 2010
  • Turning the bike wheel A student sits on a barstool holding a bike wheel. The wheel is initially spinning CCW in the horizontal plane (as viewed from above) L= 25 kg m2/s She now turns the bike wheel over. What happens? A. She starts to spin CCW. B. She starts to spin CW. C. Nothing FLORENCIO PINELA - ESPOL 112 Junio de 2010
  • Turning the bike wheel (more) She is holding the bike wheel and spinning counter clockwise. What happens if she turns it the other ½ rotation (so it is basically upside down from how it started). A) Spins Faster B) Stays same C) Stops FLORENCIO PINELA - ESPOL 113 Junio de 2010
  • Turning the bike wheel...  Since there is no net external torque acting on the student- stool system, angular momentum is conserved.  Remenber, L has a direction as well as a magnitude! Initially: LINI = LW,I = + 25 kg m2/s Finally: LFIN = LW,F + LS = -25 kg m2/s + Ls Ls = 50 kg m2/s LS LW,I = LW,F + LS LW,I LW,F FLORENCIO PINELA - ESPOL 114 Junio de 2010
  • Act 2 Rotations  A puck slides in a circular path on a horizontal frictionless table. It is held at a constant radius by a string threaded through a frictionless hole at the center of the table. If you pull on the string such that the radius decreases by a factor of 2, by what factor does the angular velocity of the puck increase? (a) 2 (b) 4 (c) 8  FLORENCIO PINELA - ESPOL 115 Junio de 2010
  • Act 2 Solution  Since the string is pulled through a hole at the center of rotation, there is no torque: Angular momentum is conserved. 2 L1 = I11 = mR21 = L2 = I22 = m  R  2   2 1 2 mR21 = m R 2 4 1 1 = 2 2 = 41 4 m R 1 m 2 R/2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 116 Junio de 2010
  • Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable. •¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno? •¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno? FLORENCIO PINELA - ESPOL 117 Junio de 2010
  • Un bloque de masa m=20 kg, unido mediante una cuerda a una polea sin masa desliza a lo largo de una mesa horizontal con coeficiente de rozamiento dinámico =0.1. La polea está conectada mediante otra cuerda al centro de un carrete cilíndrico de masa M=5 kg, y radio R=0.1 m que rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º (véase la figura). a) Relacionar la aceleración del bloque y del centro de masas del cilindro. b) Calcular la aceleración del centro de masas del cilindro y las tensiones de las cuerdas. c) Calcular la velocidad del centro de masas del cilindro cuando ha descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo FLORENCIO PINELA - ESPOL 118 Junio de 2010
  • Un bloque y un cilindro de 2 y 8 Kg respectivamente, están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa por una polea en forma de disco de 0.5 Kg de masa y 20 cm de radio, situada en la unión de dos planos inclinados de 30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de 0,2 y que el cilindro rueda sin deslizar. Calcular: • La(s) tensión(es) de la cuerda y la aceleración del sistema • La velocidad de los cuerpos cuando se han desplazado 2 m a lo largo de los planos, sabiendo que parten del reposo. Calcular por dos procedimientos este apartado comprobando que se obtienen los mismos resultados FLORENCIO PINELA - ESPOL 119 Junio de 2010
  • Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa. La esfera rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º. Hallar · La(s) tensión(es) de la cuerda. · La aceleración del sistema • La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este apartado). Dato, el momento de inercia de la esfera es 2/5 mr2. FLORENCIO PINELA - ESPOL 120 Junio de 2010
  • En la figura se muestra un cilindro de 4.5 kg de masa que rueda sin deslizar, a lo largo de un plano inclinado 42º con la horizontal. El centro del cilindro está unido mediante una cuerda al borde de una polea en forma de disco de 2.2 kg de masa y 85 mm de radio. Sabiendo que en el eje de la polea existe un rozamiento cuyo momento es de 1.3 Nm. Calcular: • La aceleración del cilindro y la tensión de la cuerda. • La velocidad del bloque una vez que haya descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo (emplear los dos procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que salen los mismos resultados). FLORENCIO PINELA - ESPOL 121 Junio de 2010
  • Dos discos iguales de masa m y radio R, están dispuestos como se indica en la figura. Calcular • La aceleración del c.m. del disco inferior • La velocidad del c.m. del disco inferior cuando ha descendido x metros partiendo del reposo (efectuando el balance energético) FLORENCIO PINELA - ESPOL 122 Junio de 2010
  • Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura. ¿Qué principio físico aplicas?. Razona la respuesta Calcular: La velocidad angular del disco después del disparo El sentido en que gira. FLORENCIO PINELA - ESPOL 123 Junio de 2010
  • Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema. Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular: a) la velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla. Qué principio físico aplicas?. Por qué?. b) Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos. Datos: momento de inercia de una esfera y de la varilla FLORENCIO PINELA - ESPOL 124 Junio de 2010
  • Vamos a aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular I1 I2 L1  L2  I11  I 22 1  2 l 2  I1  ml 2   2  Mr 2  M    4,19 kg m 2 12  5 16   1  2 l 2  I 2  ml 2   2  Mr 2  M    13,19 kg m2 12  5 4   I1   4,19  2  1    4    3,99 rad / s  I2   13,19  FLORENCIO PINELA - ESPOL 125 Junio de 2010
  • (using L = I ) 1 2 K L 2I Como L es constante, podemos calcularlo de la condición inicial: L= I11 K1  330,8 J K2  105 J FLORENCIO PINELA - ESPOL 126 Junio de 2010