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CINEMÁTICA: BACHILLERATO Y Nivel Cero B (ESPOL)
 

CINEMÁTICA: BACHILLERATO Y Nivel Cero B (ESPOL)

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Conceptos relativos al movimiento de una partícula en una y dos dimensiones con aceleración constante

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    CINEMÁTICA: BACHILLERATO Y Nivel Cero B (ESPOL) CINEMÁTICA: BACHILLERATO Y Nivel Cero B (ESPOL) Presentation Transcript

    • CINEMATICA Entender el movimiento es entender la naturaleza - Leonardo da Vinci FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 06/02/2010 9:34
    • EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (VELOCIDAD CONSTANTE) t = t – t0 v v x ORIGEN: Posición Posición X=0 Inicial Final X= X0 X= Xf =X t0 = 0 x=v t tf = t x – x0 = v t x = x0 + vt FLORENCIO PINELA - ESPOL 2 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (VELOCIDAD t CONSTANTE) 2t 3t v v v X x 2 x 3 x x t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 3 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (VELOCIDAD t CONSTANTE) v v 2t v 3t X x 2 x 3 x x t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 4 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO VELOCIDAD TIEMPO: V vs T (VELOCIDAD t CONSTANTE) 2t 3t v v v X x 2 x 3 v x t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 5 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (ACELERACIÓN t CONSTANTE) v 2t 3t x1 X x2 x3 x Aceleración Positiva t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 6 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO POSICIÓN TIEMPO: X vs T (ACELERACIÓN t CONSTANTE) v 2t 3t x1 X x2 x3 x Aceleración Negativa t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 7 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO VELOCIDAD TIEMPO: V vs T (ACELERACIÓN CONSTANTE) t 2t 3t v x1 X x2 x3 V Aceleración Positiva t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 8 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO VELOCIDAD TIEMPO: V vs T (ACELERACIÓN CONSTANTE) t 2t 3t x1 X x2 x3 V Aceleración Negativa t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 9 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO VELOCIDAD TIEMPO: V vs T (ACELERACIÓN CONSTANTE) t 2t 3t v x1 X x2 x3 V Desplazamiento Positivo x = x3 – x2 t 2t 3t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 10 06/02/2010 9:38:45
    • EL GRÁFICO VELOCIDAD TIEMPO: V vs T (ACELERACIÓN CONSTANTE) t 2t 3t v x1 X x2 x3 V Desplazamiento Aceleración Positiva Negativo x = x3 – x2 2t 3t t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 11 06/02/2010 9:38:45
    • Aceleración Existe diferencia entre aceleración negativa y desaceleración: Aceleración Negativa es una aceleración en dirección negativa definida por el sistema de coordenadas. Desaceleración ocurre cuando la aceleración es opuesta a la dirección de la velocidad. ¿Cuál es la aceleración de este vehículo, si el cambio de velocidad ocurrió en 3 s? A) 20/3 m/s2 B) – 10/3 m/s2 C) 10/3 m/s2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 12 06/02/2010 9:34
    • IMPORTANTE RECORDAR Si la velocidad y la Su movimiento es aceleración tienen el ACELERADO; aumenta su rapidez mismo sigo Si la velocidad y la aceleración tienen Su movimiento es signo contrario RETARDADO; disminuye su rapidez FLORENCIO PINELA - ESPOL 13 06/02/2010 9:38:45
    • EL CONCEPTO DE ACELERACIÓN Siempre que una partícula al cambiar de posición experimente cambios o variaciones en el vector velocidad, se dice que la partícula se encuentra acelerada. ¡Esto significa que si una partícula realiza una trayectoria NO rectilínea, ésta se encuentra acelerada! FLORENCIO PINELA - ESPOL 14 06/02/2010 9:34
    • INDICAR CUÁL DE LOS SIGUIENTES OBJETOS EXPERIMENTA LA MAYOR ACELERACIÓN FLORENCIO PINELA - ESPOL 15 06/02/2010 9:34
    • Los gráficos representan el movimiento de una partícula en línea recta en los planos posición-tiempo y velocidad-tiempo. Para cada uno de los gráficos, ¿cuántas veces la partícula cambió la dirección de su movimiento? x v t t A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 FLORENCIO PINELA - ESPOL 16 06/02/2010 9:34
    • El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta en el plano posición-tiempo. ¿En qué punto la partícula experimentó la máxima rapidez? 4 x 3 2 5 t 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 FLORENCIO PINELA - ESPOL 17 06/02/2010 9:34
    • Una partícula parte de la posición indicada a t=0 y se mueve en trayectoria rectilínea, con velocidad inicial Vo y aceleración constante a. ¿cómo sería el gráfico de este movimiento en el plano posición-tiempo y velocidad-tiempo? a Vo X=0 x v t t FLORENCIO PINELA - ESPOL 18 06/02/2010 9:34
    • LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON   ACELERACIÓN CONSTANTE  v2 v1 a Si, v2 v, v1 vo , y t1 0 v at t2 t1 v v vo at v El área bajo la curva representa el at 2 v v vo at desplazamiento 2 vo     Desplazamiento vo t 1 2 t x vot at t 2 v vo O el área del trapecio. x t 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 19 06/02/2010 9:34
    • LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE. Cont. Despejando t de esta ecuación y v vo at remplazándolo en la del desplazamiento 2 at v vo x vot t 2 a 2 2 v v o 2a x FLORENCIO PINELA - ESPOL 20 06/02/2010 9:34
    • CAIDA LIBRE •En ausencia de la resistencia producida por el arrastre del aire, un objeto cerca de la superficie de la Tierra caerá con la aceleración constante de la gravedad: g. ¿Qué errores hay en esta animación? EL MOVIMIENTO DE ESTE PARACAIDISTA NO ES CONSIDERADO COMO CAÍDA LIBRE FLORENCIO PINELA - ESPOL 21 06/02/2010 9:34
    • CAIDA LIBRE En el movimiento de caída libre se consideran: Despreciable la resistencia del aire. Constante el valor de la gravedad. FLORENCIO PINELA - ESPOL 22 06/02/2010 9:34
    • LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO y EN CAIDA LIBRE 2 gt y voy t 2 vy voy y t -g 2 +g y vy voy gt 2 2 v y v oy 2g y FLORENCIO PINELA - ESPOL 23 06/02/2010 9:34
    • Tenga cuidado, y representa el desplazamiento de la partícula, NO es la distancia recorrida. Si tomamos el origen del sistema de coordenadas como nuestro punto de referencia del movimiento, el desplazamiento corresponde a la posición del objeto. 1 2 y voy t gt 2 y y yo , si yo 0 1 2 y voy t gt 1 2 2 y voy t gt 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 24 06/02/2010 9:34
    • Con respecto al punto de referencia (la mano de la persona) ¿Cuál es la posición de la pelota al pasar por el punto P? A) 2 ymax + h B) 2 ymax - h C) h D) - h FLORENCIO PINELA - ESPOL 25 06/02/2010 9:34
    • ¿Cuál de estos gráficos x Vs t describe mejor el movimiento de la pelota? (A) (B) (C) FLORENCIO PINELA - ESPOL 26 06/02/2010 9:34
    • ¿Cuál de estos gráficos V vs t describe mejor el movimiento de la pelota? FLORENCIO PINELA - ESPOL 27 06/02/2010 9:34
    • Velocidad vs tiempo: Caida libre v t2 La pendiente de ésta Y+ recta representa la aceleración de la gravedad: g=-9,8 m/s2 -g vo t1 t3 v1 t to t4 t1 t2 t3 t4 v3 -vo t5 Se ha graficado el viaje 28 de ida y regreso. FLORENCIO PINELA - ESPOL 06/02/2010 9:34
    • Pregunta de Concepto  Alicia y Pedro se encuentran en la parte superior de un edificio de altura H. Los dos lanzan una bola con rapidez inicial v0, Alicia hacia abajo y Pedro verticalmente hacia arriba. La rapidez de las bolas cuando ellas golpean el suelo son vA y vB respectivamente. ¿Cuál de las alternativas es verdad?: (a) vA < vB (b) vA = vB (c) vA > vB Alicia v0 Pedro v0 H vA vB FLORENCIO PINELA - ESPOL 29 06/02/2010 9:34
    • ¿CUÁL DE ESTOS COHETES ALCANZARÁN LA MÁXIMA ALTURA SI TODOS SON LANZADOS DESDE LA MISMA POSICIÓN? FLORENCIO PINELA - ESPOL 30 06/02/2010 9:34
    • PREGUNTA DE ACTIVIDAD Un cohete parte desde el reposo y se acelera verticalmente con aceleración constante, luego de cierto tiempo se apagan repentinamente sus motores y el cohete vuelve al suelo. ¿Cuál de los siguiente gráficos representaría mejor su movimiento en el plano v-t, desde el instante que parte hasta que llega al suelo.. FLORENCIO PINELA - ESPOL 31 06/02/2010 9:34
    • Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle con una rapidez de 20 m/s y es atrapada por una persona desde una ventana que se encuentra a 12 m de altura. Si la pelota es atrapada cuando va de bajada, el tiempo que la pelota estuvo en el aire fue 1 2 y voy t gt 2 12 20 t 4,9 t 2 4,9 t 2 20 t 12 0 ( 20) 202 4(4,9)(12) t 2(4,9) t1 3,35 s t2 0, 73 s FLORENCIO PINELA - ESPOL 32 06/02/2010 9:34
    • Ejemplo: un objeto se lanza verticalmente desde la parte superior de un acantilado de 50 m de altura como se indica en la figura. Se determina que el objeto tarda 5,07 s en llegar al suelo. Determinemos la velocidad con la que fue lanzado el objeto, el valor de33 altura máxima y el tiempo que la tarda en llegar a la altura máxima, y hagamos un esbozo del gráfico del movimiento en un plano Posición Vs Tiempo. Determinemos la velocidad con que fue lanzado el objeto 1 2 y voy t gt 2 Para el sistema de coordenadas y el punto de referencia del diagrama 50 voy (5,07) 4,9(5,07)2 voy 14,98 m / s FLORENCIO PINELA - ESPOL 06/02/2010 9:34
    • Ejemplo: un objeto se lanza verticalmente desde la parte superior de un acantilado de 50 m de altura como se indica en la figura. Se determina que el objeto tarda 5,07 s en llegar al suelo. Determinemos la velocidad con la que fue lanzado el objeto, el valor de la altura máxima y el tiempo que tarda en 34 llegar a la altura máxima, y hagamos un esbozo del gráfico del movimiento en un plano Posición Vs Tiempo. Determinemos la altura máxima 2 2 vy voy 2g y 2 2 voy 0 voy 2g y y ymax ima 11,44 m 2g vy voy gt Determinemos el tiempo de altura máxima 0 14,98 9,8 t t 1,52 s FLORENCIO PINELA - ESPOL 06/02/2010 9:34
    • Movimiento en 2-D bajo la aceleración constante de la gravedad En esta sección, se estudia un caso particular de movimiento curvilíneo, el tiro parabólico. Se tratará de mostrar que el tiro parabólico es la composición de dos movimientos: • Uno uniforme a lo largo del eje X. • Otro uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y. FLORENCIO PINELA - ESPOL 35 06/02/2010 9:34
    • Movimiento en 2-D bajo la aceleración constante de la gravedad Al NO haber componente horizontal de la gravedad, la componente horizontal del movimiento corresponde a un MRU. Como la aceleración de la gravedad apunta verticalmente, la componente vertical del movimiento corresponde a uno de caída libre. El movimiento parabólico se lo puede descomponer en dos movimientos rectilíneos completamente independientes. FLORENCIO PINELA - ESPOL 36 06/02/2010 9:34
    • • Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y y x • Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X 06/02/2010 9:34 FLORENCIO PINELA - ESPOL 37
    • • Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y y La componente horizontal de la velocidad inicial siempre se mantiene constante vo voy x vox • Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X 06/02/2010 9:34 FLORENCIO PINELA - ESPOL 38
    • Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en cuenta que el movimiento resultante es la composición de dos movimientos: • Movimiento rectilíneo y •Uniformemente uniforme a lo largo del acelerado a lo largo del eje X eje Y ay g ax 0 Vy Voy ( g )t vx vox 1 2 x vox t y yo Voy t ( g )t 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 39 06/02/2010 9:34
    • Caídas de agua—Tiempo de llegada al suelo ¿Cuál(es) de las caídas de agua tarda el mayor tiempo en llegar al suelo? A) A B) A, B y C C) C ¡Cuando el lanzamiento es D) D horizontal, el tiempo de vuelo E) E depende únicamente del valor de la altura! F) F FLORENCIO PINELA - ESPOL 40 06/02/2010 9:34
    • Proyectil lanzado Horizontalmente 1 2 y yo Voy t gt No hay componente 2 vertical de la x vox t velocidad inicial 1 2 2h y gt t 2 g Alcance horizontal! Al no existir componente horizontal de la aceleración, la componente horizontal de la velocidad se debe mantener constante. Si el proyectil es lanzado horizontalmente, el tiempo de vuelo es idéntico al de un objeto dejado caer desde el reposo. FLORENCIO PINELA - ESPOL 41 06/02/2010 9:34
    • Alcance Horizontal máximo ¿Cuál de los carritos experimenta el mayor alcance horizontal al llegar al suelo? y 1 2 2 gt t 2h g x vox t FLORENCIO PINELA - ESPOL 42 06/02/2010 9:34
    • Determine el valor de la velocidad con la que fue lanzado el proyectil. 1 2 y Voy t gt 2 2h 2( 50) t 3,19 s g 9,8 x voxt 90 vox 28, 2 m / s 3,19 FLORENCIO PINELA - ESPOL 43 06/02/2010 9:34
    • Un jugador de fútbol efectúa un saque de arco, la pelota pica en la cancha 60 m más adelante y 4 s después de haber partido. Encuentre la velocidad de la pelota en el punto más alto de su trayectoria. A) 0 m/s. B) 24.0 m/s. C) 21.0 m/s. D) 18.0 m/s. E) 15.0 m/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 44 06/02/2010 9:34
    • Un jugador de fútbol efectúa un saque de arco, la pelota pica en la cancha 60 m más adelante y 4 s después de haber partido. Determine el valor de la velocidad de la pelota en el instante en que llega a tierra. A) 21.3 m/s. B) 24.7 m/s. C) 26.2 m/s. D) 29.8 m/s. E) 33.5 m/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 45 06/02/2010 9:34
    • LANZAMIENTO No-Horizontal DE PROYECTILES voy Al no existir componente horizontal de la gravedad, la componente horizontal de la velocidad inicial vox se mantiene constante. La componente vertical de la velocidad corresponde a la de un movimiento de caída libre con velocidad inicial voy FLORENCIO PINELA - ESPOL 46 06/02/2010 9:34
    • ¿Cuál de las flechas indicadas alcanza la máxima altura si todas son lanzadas desde la misma posición inicial? 1 2 y Voy t gt 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 47 06/02/2010 9:34
    • Proyectiles—Tiempo de Vuelo ¿Cuál (s) de los siguientes proyectiles permanece el mayor tiempo en el aire? G. Todos permanecen el mismo tiempo FLORENCIO PINELA - ESPOL 48 06/02/2010 9:34
    • Proyectiles—Distancia Horizontal ¿Cuál (s) de los siguientes proyectiles experimenta el mayor alcance horizontal? x vox t Todos experimentan el mismo alcance horizontal. FLORENCIO PINELA - ESPOL 49 06/02/2010 9:34
    • La figura muestra dos lanzamientos consecutivos de un golfista. En los dos golpes las bolas alcanzan la misma altura sobre el suelo, pero la bola Q viaja el doble de distancia que la bola P. ¿Cuál de lo siguiente es DIFERENTE para las bolas P y Q? A. El tiempo de vuelo. B. La rapidez inicial. C. La fuerza gravitacional. D. El tiempo de vuelo y la rapidez inicial FLORENCIO PINELA - ESPOL 50 06/02/2010 9:34
    • Varios cañones son disparados desde el punto O. las trayectorias de los proyectiles se muestran abajo. despreciando la resistencia del aire, ¿Qué cañón tiene la mayor rapidez de salida del proyectil? A) A B) B C) C D) D E) no hay suficiente información para dar una respuesta. FLORENCIO PINELA - ESPOL 51 06/02/2010 9:34
    • LANZAMIENTO No-Horizontal DE PROYECTILES Con la información dada en la animación, determine: la velocidad inicial del proyectil. La altura del acantilado. El alcance horizontal al llegar al suelo. FLORENCIO PINELA - ESPOL 52 06/02/2010 9:34
    • LANZAMIENTO No-Horizontal DE PROYECTILES Con la información dada en la figura, determine: El tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. La altura máxima medida desde el suelo. El alcance horizontal al llegar al suelo. La velocidad del proyectil al impactar el suelo. FLORENCIO PINELA - ESPOL 53 06/02/2010 9:34
    • Alcance Máximo Como se puede observar en las animaciones, cada bola de cañón sigue una trayectoria parabólica. Las tres son lanzadas con la misma rapidez La bola lanzada a 45 grados tiene el máximo alcance. La bola lanzada a 60 grados tiene la mayor “altura máxima”, mayor tiempo en el aire. La bola lanzada a 30 grados llega primero al suelo. FLORENCIO PINELA - ESPOL 54 06/02/2010 9:34
    • Un atleta olímpico lanza una jabalina con cuatro ángulos diferentes respecto a la horizontal, cada lanzamiento con la misma rapidez y a: 30 , 40 , 60 , y 80 . ¿Qué par de lanzamientos de la jabalina darán lugar al mismo alcance horizontal? x voxt vo cos t ; voy vo sen vy voy gt , t, g g 2 2vo sen 2vo sen cos x voxt vo cos g g A) 30 y 80 B) 40 y 60 C) 40 y 80 D) 30 y 60 E) Imposible, con cada ángulo se logra alcance diferente FLORENCIO PINELA - ESPOL 55 06/02/2010 9:34
    • Un proyectil es lanzado desde la parte superior de un acantilado de altura H. Al instante de llegar al suelo se determina que lo impacta con una velocidad cuya componente horizontal es de 30 m/s y la componente vertical 60 m/s, si el proyectil tardó 10 segundos en llegar al suelo, determine: El valor de la velocidad inicial con la que fue lanzado el proyectil. A) 37,5 m/s B) 48,4 m/s C) 67,0 m/s D) 102,2 m/s E) 162,0 m/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 56 06/02/2010 9:34
    • Un proyectil es lanzado desde la parte superior de un acantilado de altura H. Al instante de llegar al suelo se determina que lo impacta con una velocidad cuya componente horizontal es de 30 m/s y la componente vertical 60 m/s, si el proyectil tardó 10 segundos en llegar al suelo, determine: El valor de la altura H del acantilado. A) 6 m B) 48 m C) 98 m D) 110 m. E) 870 m FLORENCIO PINELA - ESPOL 57 06/02/2010 9:34
    • Un proyectil es lanzado desde la parte superior de un acantilado de altura H. Al instante de llegar al suelo se determina que lo impacta con una velocidad cuya componente horizontal es de 30 m/s y la componente vertical 60 m/s, si el proyectil tardó 10 segundos en llegar al suelo, determine: El valor del ángulo θ con que fue lanzado el proyectil. A) 45,0 ° B) 51,7 ° C) 58 ,2° D) 63,4° E) 66,5° FLORENCIO PINELA - ESPOL 58 06/02/2010 9:34
    • VELOCIDAD RELATIVA Observadores en diferentes marcos de referencia pueden medir DIFERENTES desplazamientos, velocidades y aceleraciones para un objeto dado. FLORENCIO PINELA - ESPOL 59 06/02/2010 9:34
    •  Si el bote se dirige directamente a la orilla opuesta (vBW) y el río se mueve de manera transversal, velocidad del río respecto a la orilla (vWS).  El bote experimentará una velocidad resultante igual a la suma de estas dos velocidades, velocidad del bote respecto a la orilla (vBS). FLORENCIO PINELA - ESPOL 60 06/02/2010 9:34
    • Si el bote quisiera llegar a la orilla opuesta, en la misma dirección de partida. ¿En qué dirección tendría que dirigirse? VBW: velocidad del bote respecto al agua. VWS: velocidad del agua respecto a la orilla. VBS: velocidad del bote respecto a la orilla. Si el bote quisiera llegar a la orilla opuesta, tendrá que apuntar su dirección de tal forma que la velocidad resultante se dirija exactamente en esa dirección (vBS). FLORENCIO PINELA - ESPOL 61 06/02/2010 9:34
    • Ejemplo 1: Composición de velocidades paralelas. O P Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v =4 m/s. Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).  Cuando el bote navega aguas abajo la V velocidad del bote respecto de tierra es C c+v, es decir de 7 m/s. O P •Cuando el bote navega en sentido C V contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s. FLORENCIO PINELA - ESPOL 62 06/02/2010 9:34
    • Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O. C •El tiempo que tarda el bote en V O P hacer el viaje de ida es V C d t Vrelativa t1=d/(v+c) =14,3 s •El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es d t2=d/(v-c) t Vrelativa =100 s FLORENCIO PINELA - ESPOL 63 06/02/2010 9:34
    • Ejemplo 2: Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río y vuelva al punto de partida. Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. El bote se mueve, con respecto al rio, con una velocidad de v = 4 m/s. P Vbote respecto a la c orilla Vbote resp. agua  ¿Cómo debe ser d dirigido el bote para v que llegue a un punto V C agua resp. orilla P situado en la orilla Viaje de ida Viaje de vuelta opuesta enfrente de O? O FLORENCIO PINELA - ESPOL 64 06/02/2010 9:34
    • Ejemplo 2: Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río y vuelva al punto de partida. Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. El bote se mueve, con respecto al rio, con una velocidad de v = 4 m/s. P ¿Cuál es la velocidad del bote respecto a la orilla? V c v d V v2 c2 42 32 2,65 m / s v c V Viaje de ida Viaje de vuelta O FLORENCIO PINELA - ESPOL 65 06/02/2010 9:34
    • Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d =100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O. P El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. V c El tiempo total de viaje v será d v c V d t 2 O Viaje de vuelta Vrelativa Viaje de ida 100 t 2 75, 6 s 2, 65 FLORENCIO PINELA - ESPOL 66 06/02/2010 9:34
    • Un nadador puede nadar con una velocidad de 1.0 m/s en agua en reposo. El nadador desea cruzar un rio de manera perpendicular, de sur a norte. El rio tiene una velocidad de 0.50 m/s y corre de este a oeste. Si el nadador desea llegar directamente al otro lado de la orilla debe nadar en una dirección que forme un ángulo de: A) tan-1(1/2) al este. B) sen-1(1/2) al este. C) directamente a través del rio, perpendicular a la velocidad del rio. D) sen-1(1/2) al oeste E) tan-1(1/2) al oeste FLORENCIO PINELA - ESPOL 67 06/02/2010 9:34
    • Una lancha de motor cruza un río que corre a 5.6 km./h y se dirige de tal modo que alcanza la orilla en un punto exactamente al frente del punto de partida. Para hacer esto el bote viaja aguas arriba (contra corriente) con un ángulo de desviación de 30º con respecto a la línea recta de viaje. Entonces la velocidad de la lancha respecto al agua es: A) 11.2 km/h B) 15.0 km/h C) 20.2 km/h D) 5.3 km/h E) 9.6 km/h FLORENCIO PINELA - ESPOL 68 06/02/2010 9:34
    • El Movimiento Circular Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. En esta sección vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo. FLORENCIO PINELA - ESPOL 69 06/02/2010 9:34
    • Posición angular, • En el instante t el móvil se encuentra en P2 el punto P1. Su posición angular viene s dada por el ángulo , que hace el punto P1 P, el centro de la circunferencia C y el C O origen de ángulos O. • El ángulo (en radianes), es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, = s/r • La posición angular es el cociente entre Radianes! dos longitudes y por tanto, no tiene 06/02/2010 9:34 FLORENCIO PINELA - ESPOL dimensiones.
    • Velocidad angular, (rad./s) P2 • En el instante t1 el móvil se encontrará en P1 la posición P1 dada por el ángulo 1. El C O móvil se habrá desplazado = 2- 1 en el intervalo de tiempo t = t2 – t1. • Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo. t (Radianes/segundo) 71 FLORENCIO PINELA - ESPOL
    • Dirección del vector velocidad angular FLORENCIO PINELA - ESPOL 72 06/02/2010 9:34
    • Movimientos circulares. Magnitudes angulares v Movimientos circulares P2 s r 2 P1 Su trayectoria es una r 1 circunferencia de radio R  El vector de posición r cambia de ri dirección. Cumple que v r =R  es siempre tangente a la El vector velocidad v trayectoria y normal al vector  r FLORENCIO PINELA - ESPOL 73 06/02/2010 9:34
    • Movimientos circulares. Magnitudes angulares R Magnitudes angulares R Si s = R, se dice que el ángulo mide un radián. Una circunferencia completa 360° 2 rad Por definición s Se mide en rad R (rad/s) ó bien 1 rpm = 2 rad/s t 60 FLORENCIO PINELA - ESPOL 74 06/02/2010 9:34
    • El movimiento circular uniforme Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad t=1s constante en módulo s R t=2s t=0s v R cte t t t=4s = cte (por ser R cte) La velocidad angular de este MCU es: t=3s /2 rad/s Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa y se mide en segundos Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que tarda el móvil por unidad de tiempo. Es la inversa del período IMAGEN FINAL FLORENCIO PINELA - ESPOL 75 06/02/2010 9:34
    • FRECUENCIA Y PERIODO  Periodo (T) es el tiempo en que un objeto tarda en dar una vuelta o revolución.  Frecuencia (f) es el número de vueltas o revoluciones que un objeto da en un determinado intervalo de tiempo 1 f T •La frecuencia se expresa es Hertz (Hz) •El periodo en segundos 2 f •La velocidad angular en rad/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 76 06/02/2010 9:34
    • FRECUENCIA ( f ) Y VELOCIDAD ANGULAR ( ) Angulo 1Re volucion 2 2 f Tiempo 1Periodo T radianes 2 f segundo FLORENCIO PINELA - ESPOL 77 06/02/2010 9:34
    • La misma velocidad angular pero diferente velocidad tangencial La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial V= r V= (rad/s) r (m) = m/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 78 06/02/2010 9:34
    • Relación entre las magnitudes angulares y lineales  De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio.  Como sabemos, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su l R radio v R l Arco t t R radio V= r Arco = Ángulo x Radio FLORENCIO PINELA - ESPOL 79 06/02/2010 9:34
    • Comparada con la rueda dentada de menor radio de una bicicleta, la rueda dentada frontal de mayor radio tiene 1. Mayor velocidad lineal y mayor velocidad angular 2. La misma velocidad lineal y mayor velocidad angular 3. Menor velocidad lineal y la misma velocidad angular 4. la misma velocidad lineal y menor velocidad angular 5. Ninguna es correcta FLORENCIO PINELA - ESPOL 80 06/02/2010 9:34
    • La aceleración en los movimientos Z P curvilíneos a v r a a X a Y Un móvil tiene aceleración a si varía al menos algún factor (módulo o dirección) del vector velocidad Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, a = a + a v a = cuando t 0 está relacionada con la variación t del módulo está relacionada con la variación de la dirección de la a = v 2 R velocidad FLORENCIO PINELA - ESPOL 81 06/02/2010 9:34
    • La aceleración normal y Tangencial La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que el módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente Movimiento circular uniformemente acelerado cambia su dirección. 82 FLORENCIO PINELA - ESPOL
    • Independiente de la dirección de movimiento del objeto en Movimiento Circular Uniforme, la aceleración estará dirigida siempre hacia el centro de la trayectoria. FLORENCIO PINELA - ESPOL 83 06/02/2010 9:34
    • La aceleración siempre apunta en la dirección del vector CAMBIO de velocidad Si el intervalo de tiempo tiende a cero, la aceleración apunta hacia el centro de la trayectoria, de ahí el término aceleración CENTRIPETA. FLORENCIO PINELA - ESPOL 84 06/02/2010 9:34
    •  El vector vvtiene dirección radial y se dirige hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo  y de color azul de la figurav isósceles y semejantes son por lo que se puede establecer una relación entre ellos.  v r  s v    r v v v FLORENCIO PINELA - ESPOL 85 06/02/2010 9:34
    •   v v v v   s r r v v s v v s r  r v • Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo t = t'-t v v s t r t FLORENCIO PINELA - ESPOL 86 06/02/2010 9:34
    • Cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero, la cuerda s se aproxima al arco, y el cociente s/ t nos da la velocidad v del móvil, 2 v v s v aN aC t r t r La aceleración normal an tiene dirección radial y dirigida hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes: 2 v 2 aN aC r r FLORENCIO PINELA - ESPOL 87 06/02/2010 9:34
    • 2 v 2 aN aC r r FLORENCIO PINELA - ESPOL 88 06/02/2010 9:34
    • Un DVD rota con velocidad angular de 10000 RPM. Si rQ = 4rP .Compare la velocidad angular, la velocidad tangencial, y la aceleración centrípeta de P y Q sobre la superficie a) P > Q b) P < Q c) P = Q a) vP > vQ b) vP < vQ c) vP = vQ a) aP > aQ b) aP < aQ c) aP = aQ FLORENCIO PINELA - ESPOL 89 06/02/2010 9:34
    • Ejemplo Un DVD rota con velocidad angular constante de 10000 RPM. rP = 3 cm y rQ = 5 cm. Si el disco parte de la posición indicada en la figura, determine; 1. La posición angular del punto P al cabo de 4 s. 2. La distancia lineal recorrida por el punto Q 3. La aceleración centrípeta del punto Q 4. La velocidad tangencial del punto P FLORENCIO PINELA - ESPOL 90 06/02/2010 9:34
    • Un DVD rota con velocidad angular constante de 10000 RPM. rP = 3 cm y rQ = 5 cm. Si el disco parte de la posición indicada en la figura, determine; 1. La posición angular del punto P al cabo de 4 s. o t t Re v 2 rad min 0 10000 4 4188,8rad min Re v 60 s 2. La distancia lineal recorrida por el punto Q s s R s 4188,8 rad 5 cm 20944 cm R 3. La aceleración centrípeta del punto Q 2 2 1047 rad / s ac R ac 1047 (0,05) 54810 m / s 2 4. La velocidad tangencial del punto P rad v R v 1047 (0, 03)m 31, 41 m / s s FLORENCIO PINELA - ESPOL 91 06/02/2010 9:34
    • Ejemplo Un conductor ajusta el control de crucero de su automóvil y amarra el volante para que el vehículo viaje con rapidez uniforme de 15 m/s en un círculo con diámetro de 120 m a) ¿Qué distancia angular recorre el coche en 4 minutos. b) ¿qué distancia lineal recorre en ese tiempo. FLORENCIO PINELA - ESPOL 92 06/02/2010 9:34
    • Un conductor ajusta el control de crucero de su automóvil y amarra el volante para que el vehículo viaje con rapidez uniforme de 15 m/s en un círculo con diámetro de 120 m a) ¿Qué distancia angular recorre el coche en 4 minutos. s 3600 m 60 rad R 60 m b) ¿qué distancia lineal recorre en ese tiempo. s s v t 15x4 x60 3600 m v t FLORENCIO PINELA - ESPOL 93 06/02/2010 9:34
    • Si el ciclista pedalea a razón de 40 rpm. Y si r1=15 cm y r2=5 cm. determine: 1. La velocidad lineal de la cadena 2. La relación entre la aceleración centrípeta de las “ruedas dentadas” para puntos ubicados en el perímetro exterior La velocidad lineal de la cadena corresponde a la velocidad tangencial de la polea. 2 v r v1 40 rev 2 rad min x x 4,18 rad ac1 r1 r2 min rev 60 s s 2 3 ac 2 v2 r1 rad v 4,18 x15 cm 62,7 cm / s r2 s FLORENCIO PINELA - ESPOL 94 06/02/2010 9:34
    • Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Hallar la velocidad ; angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de: a) Un punto de su periferia. b) Un punto situado a 10 cm del centro. c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º? d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones? La velocidad angular no depende de la distancia que separa al punto considerado del centro del disco. Todos los puntos de un mismo radio del disco describen el mismo ángulo en el mismo tiempo. Pasamos la longitud del radio y la velocidad angular a unidades del sistema internacional: R=0,2 m revol 1 min 2 rad 33,3 3,5 rad/s 1 min 60 s 1 revol FLORENCIO PINELA - ESPOL 95 06/02/2010 9:34
    • Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Hallar la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de: a) Un punto de su periferia. b) Un punto situado a 10 cm del centro. c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º? d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones? a) Un punto de su periferia. v R 3,5 rad/s 0,2 s = 0,7 m/s 2 2 V 0, 7 aC 2,5 m/s 2 R 0, 2 b) Un punto situado a 10 cm del centro. v R 3,5 rad/s 0,1 m = 0,35 m/s V2 0,352 aC 1, 23 m/s 2 R 0,1 FLORENCIO PINELA - ESPOL 96 06/02/2010 9:34
    • c) Calculamos las vueltas que da el disco dividiendo los 780º ; entre 360º que describe en cada vuelta: 33,3 rpm 3,5 rad/s Ya lo conocemos! 780º ; nº vueltas 2,17 vueltas 360º También podemos pasar los 780ª a radianes: 2 rad 780º 4.33 rad 360º 4.33 rad t ; 3.5rad / s t t 3.9 s FLORENCIO PINELA - ESPOL 97 06/02/2010 9:34
    • d) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 15 revoluciones? ; 33,3 rpm 3,5 rad/s t 15 rev t 27 s 33.3 rev / min FLORENCIO PINELA - ESPOL 98 06/02/2010 9:34
    • Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular giran cuando el automóvil se desplaza a 72 km/h. r =60/2=30 cm = 0,3 m km 1000 m 1 h v = 72 20 m/s h 1 km 3600 s v 20 m/s v= R ; = 66, 7 rad/s R 0,3 m FLORENCIO PINELA - ESPOL 99 06/02/2010 9:34
    • Un automóvil que va a 20 m/s recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. a) Determinar el radio de la misma. b) ¿Tiene aceleración el automóvil? En caso afirmativo, determina su módulo, su dirección y su sentido. a) Calculamos la velocidad angular y hallamos el radio a partir de la ecuación que relaciona la velocidad angular y la lineal: 2 2 rad = 0,105 rad/s T 60 s v 20 m/s v= R ; R= = 191 m 0,105 rad/s FLORENCIO PINELA - ESPOL 100 06/02/2010 9:34
    • b) Si, tiene aceleración centrípeta aunque el módulo de su velocidad sea constante, ya que describe un movimiento circular. Su dirección es la de la recta que une al punto donde se encuentra el móvil con el centro de la circunferencia; su sentido, hacia el centro de la circunferencia y su módulo: 2 2 V (20 m/s) 2 aC 2,1 m/s R 191 m FLORENCIO PINELA - ESPOL 101 06/02/2010 9:34
    • Un automóvil recorre con velocidad constante una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de 10 Hz. Determina: •El período. •La velocidad angular y lineal. •Su aceleración. T= 1 1 0,1 s f 10 Hz 2 2 = 2 f 62,8 rad/s T 0,1 s v= .R 62,8 rad/s 0,5 m 31,4 m/s V2 (31, 4 m/s) 2 aC 1971,9 m/s 2 R 0,5 m FLORENCIO PINELA - ESPOL 102 06/02/2010 9:34
    • La luna da una vuelta a la Tierra en 27.3 días en una órbita casi circular de 3.8 x105 km de radio. Suponiendo que el movimiento orbital de la Luna es circular uniforme. ¿Qué aceleración, en m/s2 tiene la luna al “caer” hacia la Tierra? Calculemos la velocidad lineal de la Luna dis tan cia 2 R 2 x3,14 x3,8 x108 m v 1011,7 m / s tiempo T 27,3x24 x3600 s v2 ac 2, 69 x10 3 m / s 2 R FLORENCIO PINELA - ESPOL 103 06/02/2010 9:34
    • Si el radio medio de la Tierra es de 6370 km. ¿Cuál sería el valor de la aceleración de un sistema de referencia fijo a la superficie? 2 v 2 ac R R 2 2 7, 27 x10 5 rad / s T 24 x3600 2 ac R 0, 034 m / s 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 104 06/02/2010 9:34