CAMPOS MAGNETICOS: FISICA C -ESPOL
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    CAMPOS MAGNETICOS: FISICA C -ESPOL CAMPOS MAGNETICOS: FISICA C -ESPOL Presentation Transcript

    • Las leyes de Biot-Savart y de Ampere P • dB q Rq r r R q z z q R x r dB dx I x FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 23/11/2009 13:16
    • • Dos formas de calcular – Ley de Coulomb  dq dE  k 2 r ˆ Para cualquier distribución de r carga – Ley de Gauss r r e 0  E  dS  q “Alta simetría" ¿Cuáles son las ecuaciones análogas para el Campo Magnético? FLORENCIO PINELA - ESPOL 2 23/11/2009 13:16
    •  • Dos formas de calcular  μ0 I dl  r ˆ dB  – Ley de Biot-Savart 4π r 2 (“Cualquier distribución de corriente”)   – Ley de Ampere (“Alta simetría”)   B  dl  0 I –Superficie Amperiana I (Trayectoria Amperiana.) Estas son las ecuaciones análogas FLORENCIO PINELA - ESPOL 3 23/11/2009 13:16
    • El Campo Magnético en un punto p, generado por una carga q en movimiento, siempre apunta Perpendicular al plano formado entre la Posición del punto p (r) y la velocidad de la partícula (v). Analogías en las definiciones de g, E y B Gm kq Kqv g r2 E 2 r B 2 r ¿Cómo representamos la condición de que B es perpendicular a v y r ?    Kqv  r ˆ o qvxrˆ o qvsen B  B r 2 4 r 2 4 r2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 4 23/11/2009 13:16
    • Pregunta de concepto Una carga puntual positiva se mueve directamente hacia un punto P. El campo magnético que la carga puntual produce en el punto P 1. Apunta desde la carga hacia el punto P 2. Apunta desde el punto P hacia la carga 3. Es perpendicular a la línea que va desde el punto P hasta la carga 4. Es cero 5. La respuesta depende de de la rapidez de la carga  puntual  o qvxrˆ B 4 r 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 5 23/11/2009 13:16
    • Pregunta de concepto Dos cargas puntuales positivas se mueven paralelamente y en la misma dirección con la misma velocidad. La fuerza magnética que la carga superior ejerce sobre la carga inferior 1. Está dirigida hacia la carga superior (esto es, la fuerza es de atracción) 2. Se dirige alejándose de la carga superior (esto  es, la fuerza es de repulsión)  o qvxrˆ B 3. Está en la dirección de la velocidad 4 r 2 4. Está en dirección opuesta a la velocidad    F  qv  B 5. Ninguna es correcta FLORENCIO PINELA - ESPOL 6 23/11/2009 13:16
    • La paradoja que dio origen a la teoría especial de la relatividad q2 1 o q 2 v 2 FE  FB  4e o r 2 4 r 2 FB 1  oe o v 2 c FE  oe o   o qvxrˆ B 4 r 2 2 FB v  2 Cuando v es pequeña comparada con c, la fuerza magnética es mucho FE c menor que la fuerza eléctrica FLORENCIO PINELA - ESPOL 7 23/11/2009 13:16
    • Contribución diferencial del campo magnético ( dB ), en un punto P, generado por un tramo diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )   o qvxrˆ B 4 r 2 Tenemos que adaptar la expresión para el campo B de una carga, al de un “flujo” de cargas FLORENCIO PINELA - ESPOL 8 23/11/2009 13:16
    • o qvsen Campo generado por una B carga q moviéndose con 4 r2 velocidad v dq = n(Adl)e o dq vd sen dB  4 r2 o (nAdle)vd sen dB  4 r2 o (nAvd e)dlsen dB  4 r2  o Idlsen  o I dlxrˆ dB  4 dB  r2 4 r 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 9 23/11/2009 13:16
    •   o I dlxrˆ dB  4 r 2 Expresión vectorial oi dlsen dB  4 r2 Expresión escalar r - es la magnitud del vector posición r, éste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribución del campo. dl - es la magnitud del vector dl, éste vector es tangente al conductor y apunta en la dirección de la corriente convencional. FLORENCIO PINELA - ESPOL 10 23/11/2009 13:16
    • oi dlsen dB dB  4 r2 I Φ- Representa el ángulo formado entre los vectores dl y r. r o - Es una constante conocida como permeabilidad magnética del espacio libre (vacío), en SI su valor es: dl 4x10-7 Wb/A.m ó (T.m/A) N 0  4 10 7 A2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 11 23/11/2009 13:16
    • El campo magnético “circula” alrededor del alambre Observe que el campo B es siempre tangente a una línea de campo. Mientras más nos aproximamos al alambre, el campo se vuelve más intenso FLORENCIO PINELA - ESPOL 12 23/11/2009 13:16
    • Pregunta de concepto Un alambre recto largo se encuentra a lo largo del eje de y, y lleva la corriente en la dirección positiva. Una carga positiva se mueve a lo largo del eje x en la dirección positiva. La fuerza magnética que el alambre ejerce sobre la carga… 1. is in the positive x direction 2. is in the negative x direction 3. is in the positive y direction    4. is in the negative y direction F  qv xB 5. none of the above FLORENCIO PINELA - ESPOL 13 23/11/2009 13:16
    • Pregunta de concepto Dos hilos largos que llevan corrientes iguales se cruzan sin tocarse en ángulo recto según se indica. Existen puntos de intensidad de campo magnético cero en las regiones a.- IV y II II I b.- I y II c.- II y III d.- IV y III III IV FLORENCIO PINELA - ESPOL 14 23/11/2009 13:16
    •   o I dlxrˆ dB  4 r 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 15 23/11/2009 13:16
    • El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la “pizarra”  o i dlsenq dB  4 r 2 ¿Podemos sumar (integrar) esta contribución (dB) para encontrar el campo total en el punto P, generada por un tramo de una longitud L? ¡Si!, ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma dirección  o i dlsenq oi dlsenq B   dB   4 r 2 4  r 2 B Recuerde que es una saquemos las constantes integral de línea, aquí fuera de la integral vemos 3 “variables”. FLORENCIO PINELA - ESPOL 16 23/11/2009 13:16
    • oi dlsenq Pongamos r y q en R senq  4  r 2 B función de l r r 2  R2  l 2  o i dl R 4  r 2 r B  o iR dl oiR dl 4  r 3 4   R 2  l 2 3/ 2 B B FLORENCIO PINELA - ESPOL 17 23/11/2009 13:16
    • 0 oiR dl 4  B 3 (R2  l ) 2 2  o iR b dl 4  a ( R 2  l 2 ) B 3 2 dx x 1  ( x 2  a 2 ) 3 2  a 2 ( x 2  a 2 ) 12 (1) xdx 1  ( x 2  a 2 ) 3 2 ( x  a 2 ) 12  2 (2) FLORENCIO PINELA - ESPOL 18 23/11/2009 13:16
    • Integrales útiles de recordar. dx x 1  ( x 2  a 2 ) 3 2 a ( x  a 2 ) 12  2 2 (1) xdx 1  ( x 2  a 2 ) 3 2 ( x  a 2 ) 12  2 (2) Utilicemos el resultado de la integral (1) oiR b dl oiR  l  b 4  a ( R 2  l 2 ) B 3 B  1  4  R 2 (l 2  R 2 )   a 2 1 2 o i  b a  B  2  2  4 R  (b  R ) (a  R 2 )  2 1 1 2 2 Este resultado lo podemos simplificar FLORENCIO PINELA - ESPOL 19 23/11/2009 13:16
    • a b o i  b a  B  2  2    4 R  (b  R ) 21 (a  R 2 )  2 1 2 R o i B (cos   cos  ) 4 R P Alambre muy largo (infinito), o R es pequeña o i comparada con la longitud del alambre, los B (cos 0o  cos 0o ) ángulos α y β tienden a cero grados 4 R o i B 2 R Válida para puntos ubicados fuera del alambre FLORENCIO PINELA - ESPOL 20 23/11/2009 13:16
    • Preguntas de concepto Dos alambres rectos y largos se orientan perpendicular al plano xy. q R Los alambres transportan corriente de magnitud I en las direcciones mostradas. En el punto P, el campo magnético debido a estas corrientes 1. Está en la dirección positiva x 2. Está en la dirección negativa x 3. Está en la dirección positiva y 4. Está en la dirección negativa y 5. Ninguna de las anteriores FLORENCIO PINELA - ESPOL 21 23/11/2009 13:16
    •  o I o I  ˆ Btotal (1)     ( j )  2 (2d ) 2 (4d )  Campo magnético generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la pizarra, en puntos sobre el eje “x” FLORENCIO PINELA - ESPOL 22 23/11/2009 13:16
    • Una lámina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d, transporta corriente I como se indica en la figura. Determine el campo magnético en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor. FLORENCIO PINELA - ESPOL 23 23/11/2009 13:16
    • Dividimos la lámina en un conjunto muy grande de “alambres” muy largos de “diámetro” dx oi B  2R Adaptamos ésta expresión para el “alambre” o I ' dB  o Idx 2 ( w  b  x) dB  ' 2 w( w  b  x) I I  wd dxd o I w dx 2 w  w  b  x B dx I  ' I 0 w FLORENCIO PINELA - ESPOL 24 23/11/2009 13:16
    • Campo magnético en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente.   o I dlxr ˆ dB  4 r 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 25 23/11/2009 13:16
    • Por simetria las componentes o I dlsen B   dB  0 perpendiculares a “x” se dB  cancelan 4 r 2 Suma de todas las B   dB   dB cosq contribuciones α: ángulo entre dl y r paralelas a “x” 0 I dl sen B cosq 4 r 2 a cos q  r sen  1 o I adl B 4 r 3 FLORENCIO PINELA - ESPOL 26 23/11/2009 13:16
    • o I adl o Ia B B 3  dl 4 r 3 4 r o Ia B (2 a) 4 ( x  a ) 2 2 32  o Ia 2 B ˆ i 2( x  a ) 2 2 3/ 2 Espira con corriente Regla de la Campo similar al generado mano derecha por un magneto FLORENCIO PINELA - ESPOL 27 23/11/2009 13:16
    • Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras por unidad de longitud. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en un punto ubicado a una distancia z medida desde uno de los extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una espira circular y aplíquelo a la contribución de un diferencial de espiras y luego integre) o Ia 2 B 2( x 2  a 2 )3/ 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 28 23/11/2009 13:16
    • Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras por unidad de longitud. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en un punto ubicado a una distancia z medida desde uno de los extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una espira circular y aplíquelo a la contribución de un diferencial de espiras y luego integre) o Ia 2 B 2( x 2  a 2 )3/ 2 o Ia 2 o (ndlI )a 2 B  dB  2( x  a ) 2 2 3/ 2 2( x 2  a 2 )3/ 2 (dl, l y x son la misma variable) o na 2 I  z  L dx  B 2    z 2 3/ 2  (x  a )  2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 29 23/11/2009 13:16
    • Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0) o Ia 2 o I B 2( x 2  a 2 )3/ 2 B Para cualquier punto 2a sobre el eje de la espira Para un arco de o I  q  circunferencia B   2a  2  FLORENCIO PINELA - ESPOL 30 23/11/2009 13:16
    • Determine el valor del campo magnético en el punto P. Indique además, si al liberar las espiras, estas se atraen o se repelen. o Ia 2 B 2( x 2  a 2 )3/ 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 31 23/11/2009 13:16
    • Preguntas de concepto A wire consists of two straight sections with a semicircular section between them. If current flows in the wire as shown, what is the direction of the magnetic field at P due to the current? 1. to the right 2. to the left 3. out of the plane of the figure 4. into the plane of the figure 5. none of the above FLORENCIO PINELA - ESPOL 32 23/11/2009 13:16
    • Los tramos o I  q  horizontales no B   contribuyen al 2a  2  campo en C. o I Campo generado por un arco B de circunferencia 4r Las contribuciones de los dos B  B1  B2 tramos circulares estan en la misma direccion o I  1 1  B    Entrando al plano del papel 4  R1 R2  en el punto C. FLORENCIO PINELA - ESPOL 33 23/11/2009 13:16
    • Fuerza magnética entre conductores paralelos La corriente en cada uno de los alambres está inmersa en el campo generado por la corriente vecina. FLORENCIO PINELA - ESPOL 34 23/11/2009 13:16
    •    dF  IdlxB dF1  I1dlB2 sen90 o o I 2 dF1  I1 dl 2 d o I1I 2 F1 o I1 I 2  L Corrientes en la misma dirección se atraen. F1  2 d  0 dl L 2 d Corrientes en direcciones contrarias se repelen. FLORENCIO PINELA - ESPOL 35 23/11/2009 13:16
    • LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL. DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA. F1 o I1 I 2  L 2 d FLORENCIO PINELA - ESPOL 36 23/11/2009 13:16
    • Las fuerzas F3 y F4 se cancelan F  F1  F2 o I1 I 2 L F1  2 d1 o I1 I 2 L F2  2 d 2  o I 2 L  1 1  F   ˆ j 2  d1 d2  d1=0,03m, d2=0,08m, L=0,1m FLORENCIO PINELA - ESPOL 37 23/11/2009 13:16
    • RESUMEN: LEY DE BIOT-SAVART oi dlsen o i dB  B (cos   cos  ) 4 r 2 4 R ALAMBRES RECTOS o Ia 2 B 2( x 2  a 2 )3/ 2 ESPIRAS CIRCULARES o I B 2 R o I  q  B   ALAMBRES RECTOS 2a  2  MUY LARGOS SEGMENTO CIRCULAR FLORENCIO PINELA - ESPOL 38 23/11/2009 13:16
    • LA LEY DE AMPERE La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetría, muy similar a la ley de Gauss para el campo eléctrico, esta ley es de fácil aplicación en los casos que presentan distribuciones simétricas de campos magnéticos, producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente. FLORENCIO PINELA - ESPOL 39 23/11/2009 13:16
    • La ley de Ampere establece que la suma de todos los    productos  Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada l (circulación del campo magnético), es directamente proporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie S limitada por la trayectoria l.     B  dl  I Corriente Superficie S atravesada neta I por la corriente I La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada, es B proporcional a la corriente neta I que encierra la Trayectoria trayectoria. cerrada l dl     B  dl   I o FLORENCIO PINELA - ESPOL 40 23/11/2009 13:16
    •     B  dl  o I Integral alrededor de una Corriente “encerrada” trayectoria cerrada … con suerte que sea simple por la trayectoria Usualmente la trayectoria cerrada  I coincide con una línea de inducción FLORENCIO PINELA - ESPOL 41 23/11/2009 13:16
    • Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los de la ley de Gauss. 1. Dada la distribución de corrientes deducir la dirección del campo magnético FLORENCIO PINELA - ESPOL 42 23/11/2009 13:16
    • 2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético. Generalmente el camino cerrado coincide con una línea de campo magnético a) Corriente “positiva” por convención b) Corriente “negativa” por convención FLORENCIO PINELA - ESPOL 43 23/11/2009 13:16
    • 3.Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado 4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético. FLORENCIO PINELA - ESPOL 44 23/11/2009 13:16
    • Pregunta de concepto La figura muestra, en sección transversal, tres conductores que transportan corriente perpendicular al plano de la figura. Si las corrientes I1, I2, e I3 todas tienen las misma magnitud, ¿para cuál trayectoria(s) es cero la integral de línea del campo magnético? 1. Sólo la trayectoria a 2. Las trayectorias a y c 3. Las trayectorias b y d 4. Las trayectorias a, b, c, y d 5. La respuesta depende de si la integral va en sentido horario o anti-horario en la trayectoria cerrada FLORENCIO PINELA - ESPOL 45 23/11/2009 13:16
    • CAMPO MAGNÉTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE Campo magnético producido por una corriente rectilínea Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R, centrada en la corriente rectilínea, y que coincida con una línea de inducción. • El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl. • El campo magnético B tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia. FLORENCIO PINELA - ESPOL 46 23/11/2009 13:16
    • La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale       B  dl   Bdl cosq  B dl  B2 r La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r. B 2 r  oi Despejamos el módulo del campo magnético B. o i B 2 r Llegamos a la misma expresión obtenida aplicando la ley de Biot y Savart. El campo magnético para puntos fuera del cable se comporta igual que si la corriente circulara a lo largo de su eje FLORENCIO PINELA - ESPOL 47 23/11/2009 13:16
    • Para r < R     B  dl   I o       B dl   BdlCos 0o  B  dl  B (2 r ) I´, fracción de corriente que atraviesa la superficie B(2 r )  0 I ' de radio r. I ,  r2  I  R2 0 I o I B o I B B r 2 R 2 r 2 r 2 R 2 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 48 23/11/2009 13:16
    • DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE COAXIAL. FLORENCIO PINELA - ESPOL 49 23/11/2009 13:16
    • Para R2 < r < R3 ¡lo único que nos queda por encontrar!       B dl   BdlCos 0o  B  dl  B (2 r )  o I neta I neta  I o  I ´ I ,  (r 2  R2 ) 2 Nota: estos problemas  I o  ( R32  R2 ) 2 se resuelven  R32  r 2  fácilmente cuando en B(2 r )  o I o  2 2   R3  R2  (r 2  R2 ) 2 lugar de la corriente I  2 Io ( R3  R2 ) 2 se dan la densidad de o I o  R32  r 2  1  (r 2  R2 )  corriente, J: B  2 2  2  R3  R2  r 2 I neta  I o 1  2 2  I´= JA  ( R3  R2 )  FLORENCIO PINELA - ESPOL 50 23/11/2009 13:16
    • TIPOS DE SOLENOIDES FLORENCIO PINELA - ESPOL 51 23/11/2009 13:16
    • CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL L a a << L FLORENCIO PINELA - ESPOL 52 23/11/2009 13:16
    • Las líneas de campo magnético salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro. Las líneas de campo magnético se vuelven paralelas en la parte central del solenoide. FLORENCIO PINELA - ESPOL 53 23/11/2009 13:16
    • EL SOLENOIDE IDEAL Tomemos como trayectoria de   integración el rectángulo   trayect . B dl  o I neta cerrada    B  dl  0 Para las trayectorias, excepto a-b    B dl   Bdl  BL   I o neta Ineta = la corriente que atraviesa el rectángulo = nLI Solenoide con n espiras n: número de espiras por por unidad de longitud unidad de longitud BL = onLI B = o n I FLORENCIO PINELA - ESPOL 54 23/11/2009 13:16
    • Solenoides El campo magnético de un solenoide es esencialmente idéntico al de una barra imantada. La grán diferencia es que nosotros podemos encender “on” y apagar “off “! Y él atrae/repele otro imán permanente; siempre atrae materiales ferromagnéticos. FLORENCIO PINELA - ESPOL 55 23/11/2009 13:16
    • El Toroide • El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i. • B=0 fuera del toroide! (Considere integrar B sobre un círculo fuera del toroide) • Para encontrar B dentro, considere un círculo de radio r, centrado en el centro del toroide.     B  dl  B(2 π r )  o I neta I neta  Ni Aplique Ley de Ampere:   μ0 Ni   B  dl  μ0 I neta B 2πr FLORENCIO PINELA - ESPOL 56 23/11/2009 13:16