Root locus cap_9_parte_2_color

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Projeto parte II: PD (melhora resposta transitória, rede ativa); Exemplo de uso do SisoTool (Control and Estimation Tools Manager) do MATLAB - interface gráfica para projeto de controladores para sistemas SISO.

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Root locus cap_9_parte_2_color

  1. 1. Prof. Fernando Passold fernando.passold@ucv.cl Escuela de Ingeniera Eléctrica Pontifica Universidad Católica de Valparaíso 23 de octubre de 200923 de octubre de 2009
  2. 2. Resumen Parte I:Parte I: Propuestas de “nuevos” controladores: PI + ceros: Ventaja: e(∞)=0, Desventaja: respuesta + lenta Por atraso de fase (Lag Compensator): s K K sK s K KsC       + =+= 1 2 1 2 1)( Cero cerca del polo Polo en la origen Por atraso de fase (Lag Compensator): Ventaja: Respuesta + rápida, Desventaja: e(∞)≠0 )( )( )( c c ps zsK sC + + = Pareja polo-cero cerca de la origen
  3. 3. Contenido Parte II Controlador PDControlador PD Mejorar respuesta transitoria Controlador D ideal Ventajas Desventajas Controlador por Adelanto (Lead Compensator) Parte III…
  4. 4. Ideas para mejorar Respuesta Transitoria Formas de mejorar:Formas de mejorar: 1. Compensador PD (Proportional-plus-Derivative Controller) Añadir un diferenciador puro en la malla directa para compensación derivativa ideal (red activa) Diseñar una respuesta que respecta un valor deseable de sobrepaso, con menores tiempo de asentamiento ( ↓ ts = settling time)time) 2. Controlador por Adelanto de Fase (Lead Controller) Hace diferenciación aproximada usando red pasiva (añade un cero y un polo distante en la malla directa)
  5. 5. Compensación Derivativa Ideal (PD) zssC +=)( czssC +=)( • Selección adecuada de la ubicación para garantizar respuesta + rápida • Modifica RL! • Ejemplo: )5)(2)(1( )( +++ = sss K sGPlanta )2( + = sK Propuestas de Controladores PD )5)(2)(1( )2( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )3( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )4( )()( +++ + = sss sK sGsC Zero en zc= -2 Zero en zc= -3 Zero en zc= -4
  6. 6. Compensación Derivativa Ideal (PD) )5)(2)(1( )( +++ = sss K sG )5)(2)(1( )3( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )2( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )4( )()( +++ + = sss sK sGsC
  7. 7. Compensación Derivativa Ideal (PD) )5)(2)(1( )( +++ = sss K sG )5)(2)(1( )3( )()( +++ + = sss sK sGsC Conclusiones: 1) Partes reales + negativas ↓ ts )5)(2)(1( )2( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )4( )()( +++ + = sss sK sGsC ↓ ts
  8. 8. Compensación Derivativa Ideal (PD) )5)(2)(1( )( +++ = sss K sG )5)(2)(1( )3( )()( +++ + = sss sK sGsC Conclusiones: 2) Mismo ζ ≅ OS% )5)(2)(1( )2( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )4( )()( +++ + = sss sK sGsC ≅ OS%
  9. 9. Compensación Derivativa Ideal (PD) )5)(2)(1( )( +++ = sss K sG )5)(2)(1( )3( )()( +++ + = sss sK sGsC Conclusiones: 3) Mayores partes imaginarias ↓ Tp (tiempos de pico) )5)(2)(1( )2( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )4( )()( +++ + = sss sK sGsC ↓ Tp (tiempos de pico)
  10. 10. Compensación Derivativa Ideal (PD) )5)(2)(1( )( +++ = sss K sG )5)(2)(1( )3( )()( +++ + = sss sK sGsC Conclusiones: 4) Cuanto más alejado esta el cero de los polos dominantes los polos de lazo )5)(2)(1( )2( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )4( )()( +++ + = sss sK sGsC polos dominantes los polos de lazo cerrado se mueven más cerca de los polos no compensados
  11. 11. Compensación Derivativa Ideal (PD) Step Response 1.2 Cero en -2 Cero en -3 Amplitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Sistema no Compensado Cero en -4 Conclusiones: 1. Partes reales + negativas ↓ ts; 2. Mismo ζ ≅ OS%; 3. Mayores partes imaginarias ↓ Tp (tiempos de pico) Time (sec) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 )5)(2)(1( )( +++ = sss K sGPlanta Propuestas de Controladores PD )5)(2)(1( )2( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )3( )()( +++ + = sss sK sGsC )5)(2)(1( )4( )()( +++ + = sss sK sGsC Zero en zc= -2 Zero en zc= -3 Zero en zc= -4 Ventajas principales: • Menores ts, • Menores OS%. ↓ Tp (tiempos de pico) 4. Cuanto más alejado esta el cero de los polos dominantes los polos de lazo cerrado se mueven más cerca de los polos no compensados
  12. 12. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 1. Descubriendo ζ deseado: ( )100/%ln OS− >> num=1; >> zeta=(-log(16/100))/(sqrt(pi*pi+(log(16/100))^2)) zeta = Matlab: ( ) ( )100/%ln 100/%ln 22 OS OS + − = π ζ =0,504 zeta = 0.5039 >> den=poly([0 -4 -6]); >> g=tf(num,den); >> zpk(g) Zero/pole/gain: 1 ------------- s (s+6) (s+4) >>
  13. 13. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 2. Verificando RL original… >> zpk(g) Zero/pole/gain: 1 ------------- 1 2 3 0.504 Root Locus ImaginaryAxis ------------- s (s+6) (s+4) >> rlocus(g) >> sgrid(zeta,0) >> axis([-9 1 -3 3]) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 0.504 Real Axis ImaginaryAxis
  14. 14. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 3. Descubriendo K necesario… >> [k,poles]=rlocfind(g) Select a point in the graphics window selected_point = -1.2156 + 2.0031i 0 1 2 3 0.504 Root Locus ImaginaryAxis -1.2156 + 2.0031i k = 41.6859 poles = -7.5532 -1.2234 + 2.0056i -1.2234 - 2.0056i >> -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 0.504 Real Axis ImaginaryAxis
  15. 15. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: ↓ )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 4. Acelerando el sistema: ↓ Ts poles = -7.5532 -1.2234 + 2.0056i -1.2234 - 2.0056i >> Ts=4/real(-poles(2)) 0 1 2 3 0.504 Root Locus ImaginaryAxis Ts original! Respectando ζ deseado >> Ts=4/real(-poles(2)) Ts = 3.2696 >> Ts=4/real(-poles(2)) Ts = 3.2696 > newTs=Ts/3 newTs = 1.0899 >> -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 0.504 Real Axis ImaginaryAxis d Ts σ 4 = ( )φ σ σ −= ⇒±−= − d t dd wAe tcjwpoles d cos )( σd Nuevo Ts!
  16. 16. Compensación Derivativa Ideal (PD) )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - Otro ejemplo: ↓ newTs = 1.0899 >> newsigma=4/newTs newsigma = 0 1 2 3 0.504 Root Locus ImaginaryAxisNuevo σ para el Nuevo T ! α=120.23o θ=59.74o Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 5. Descubriendo la nueva posición del polo de lazo cerrado para el nuevo ts newsigma = 3.6702 >> theta=acos(zeta) theta = 1.0427 >> theta*180/pi ans = 59.7438 >> -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 0.504 Real Axis ImaginaryAxis el Nuevo Ts ! nd s w T ζσ 44 == θζ cos=
  17. 17. Compensación Derivativa Ideal (PD) )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - Otro ejemplo: ↓ >> newomega=newsigma*tan(theta) newomega = 6.2918 >> hold on; 5 10 15 0.504 Root Locus ImaginaryAxis ωd θ ζ -3.6702 + j6.2918 Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 5. Descubriendo la nueva posición del polo de lazo cerrado para el nuevo ts >> hold on; >> plot([-newsigma 0.2],[newomega newomega],'b:') >> plot([-newsigma -newsigma],[- newomega newomega],'b:') -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -15 -10 -5 0 0.504 ImaginaryAxis -σd θ Punto deseado en el RL! Pero este lugar esta fuera del RL…
  18. 18. Punto deseado Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: ↓ )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - 3 4 5 6 7 0.504 RootLocus Punto deseado en el nuevo RL! -3.6702 + j6.2918 Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 6. Determinando la posición deseada para el cero del PD: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 0 1 2 3 RealAxis θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=118.2o )12(180)()( +±=−∠−−∠ ∑∑ ipscs n o j m i
  19. 19. 6 7 0.504 Root Locus Punto deseado en el nuevo RL! -3.6702 + j6.2918 >> th_p1=atan2(newomega,-newsigma) th_p1 = 2.0626 >> th_p1*180/pi ans = 118.1757 6. Determinando la posición deseada para el cero del PD )12(180)()( +±=−∠−−∠ ∑∑ ipscs n o j m i 2 3 4 5 6 -3.6702 + j6.2918118.1757 >> th_p2=atan2(newomega,4-newsigma) th_p2 = 1.4710 >> th_p2*180/pi ans = 84.2838 >> th_p3=atan2(newomega,6-newsigma) th_p3 = 1.1749 >> th_p3*180/pi -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 0 1 Real Axis θp1θp2θp3 >> th_p3*180/pi ans = 67.3164 >> sum_th_p=th_p1+th_p2+th_p3 sum_th_p = 4.7085 >> sum_th_p*180/pi ans = 269.7759 >>
  20. 20. )12(180)()( +=−∠−−∠ ∑∑ ipscs n o j m i 6 7 0.504 Root Locus Punto deseado en el nuevo RL! -3.6702 + j6.2918 >> th_p1=atan2(newomega,-newsigma) th_p1 = 2.0626 >> th_p1*180/pi ans = 118.1757 6. Determinando la posición deseada para el cero del PD 2 3 4 5 6 -3.6702 + j6.2918 =118.2o 118.1757 >> th_p2=atan2(newomega,4-newsigma) th_p2 = 1.4710 >> th_p2*180/pi ans = 84.2838 >> th_p3=atan2(newomega,6-newsigma) th_p3 = 1.1749 >> th_p3*180/pi -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 0 1 Real Axis θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=118.2 >> th_p3*180/pi ans = 67.3164 >> sum_th_p=th_p1+th_p2+th_p3 sum_th_p = 4.7085 >> sum_th_p*180/pi ans = 269.7759 >>
  21. 21. 6 7 0.504 Root Locus Punto deseado en el nuevo RL! -3.6702 + j6.2918 >> sum_th_p=th_p1+th_p2+th_p3 sum_th_p = 4.7085 >> sum_th_p*180/pi )12(180)()( +=−∠−−∠ ∑∑ ipscs n o j m i 6. Determinando la posición deseada para el cero del PD 2 3 4 5 6 -3.6702 + j6.2918>> sum_th_p*180/pi ans = 269.7759 >> >> th_c=sum_th_p-pi th_c = 1.5669 >> th_c*180/pi ans = 89.7759 >> =118.2o θc=89.8o -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 0 1 Real Axis θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=118.2 θc=89.8 σDeterminado el punto σ Para el cero del PD!
  22. 22. 6 7 0.504 Root Locus Punto deseado en el nuevo RL! -3.6702 + j6.2918 ( )oo sigma 7759.89180tan 3702.3 2918.6 −= − 6. Determinando la posición deseada para el cero del PD 2 3 4 5 6 -3.6702 + j6.2918 =118.2o θc=89.8o El PD se queda: ( )sigma 7759.89180tan 3702.3 −= − >> sigma = newsigma - ( newomega / tan(pi -th_c) ) sigma = 3.3948 >> )3948.3()( += sKsC -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 0 1 Real Axis θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=118.2 θc=89.8 σ )6)(4( )3948.3( )()( ++ + = sss sK sGsC )3948.3()( += sKsC y:
  23. 23. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: ↓ )6)(4( ++ sss KR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: 5 10 15 0.504 Root Locus ImaginaryAxis ωd θ ζ -3.6702 + j6.2918 )3948.3()( += sKsC )6)(4( )3948.3( )()( ++ + = sss sK sGsC 7. Verificando el RL final… -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -15 -10 -5 0 0.504 ImaginaryAxis -σd θ
  24. 24. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: ↓ )6)(4( )( ++ + sss sK σR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: )3948.3()( += sKsC )6)(4( )3948.3( )()( ++ + = sss sK sGsC >> num2=[1 sigma]; >> den2=den; >> cg=tf(num2,den2); >> zpk(cg) Zero/pole/gain: (s+3.395) 7. Verificando el RL final y K necesario… (s+3.395) ------------- s (s+6) (s+4) >> >> figure(3);rlocus(cg)
  25. 25. Compensación Derivativa Ideal (PD) )6)(4( )( ++ + sss sK σR(s) Y(s)E(s)+ - Otro ejemplo: ↓ )3948.3()( += sKsC )6)(4( )3948.3( )()( ++ + = sss sK sGsC 0 5 10 15 0.504 Root Locus ImaginaryAxis Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -15 -10 -5 0 0.504 Real Axis ImaginaryAxis 7. Verificando el RL final y K necesario…
  26. 26. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: Requerimientos: %OS )6)(4( )( ++ + sss sK σR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: Verificando el RL final y K necesario… >> figure(3);rlocus(cg) >> sgrid(zeta,0) >> axis([-7 1 -7 7]) 0 5 0.504 Root Locus ImaginaryAxis K=42 >> axis([-7 1 -7 7]) >> rlocfind(cg) Select a point in the graphics window selected_point = -3.4076 + 5.7174i ans = 42.0068 >> -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -5 0 0.504 Real Axis ImaginaryAxis
  27. 27. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: Requerimientos: %OS )6)(4( )( ++ + sss sK σR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: Comparando respuestas… >> tf1=feedback(43.35*g,1); K=42 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Amplitude >> tf2=feedback(42*cg,1); >> figure(4);step(tf1,tf2) >> legend('no compensado','PD') >> 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 0.6 Time (sec) Amplitude no compensado PD
  28. 28. Compensación Derivativa Ideal (PD) Otro ejemplo: Requerimientos: %OS )6)(4( )( ++ + sss sK σR(s) Y(s)E(s)+ - Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts Solución: Comparando respuestas… >> tf1=feedback(43.35*g,1); 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Amplitude K=42 >> tf2=feedback(42*cg,1); >> figure(5);ltiview(tf1,tf2) >> 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 0.6 Time (sec) Amplitude no compensado PD
  29. 29. Compensación Derivativa Ideal (PD) Idea original: Mejorar (acelerar) la respuesta transitoria 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Amplitude no compensado PD Realización mediante Controlador derivativo (PD): Desventajas: 1. Requiere circuito activo para realizar la diferenciación; 2. Diferenciación puede generar malos resultados en caso de procesos ruidosos Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente señal: 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 Time (sec) PD Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente señal: donde: sin(t) = señal original de frecuencia = 1 rad/s y amplitud = 1; an = amplitud del ruido, de frecuencia = 100 rad/s. ruído n wtatty )sen()sen()( ⋅+=
  30. 30. 1 2 y(t) 2. Diferenciación puede generar malos resultados en caso de procesos ruidosos Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente Compensación Derivativa Ideal (PD) 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 0 t(s) 1 2 dy(kT) Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente señal: donde: sin(t) = señal original de frecuencia = 1 rad/s y amplitud = 1; an = amplitud del ruido, de frecuencia = 100 rad/s. Si aplicamos la derivada por sobre el señal anterior, mismo que si la amplitud del ruido corresponda a ruído n wtatty )sen()sen()( ⋅+= 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 0 t(s) T=0.01 mismo que si la amplitud del ruido corresponda a solamente 1% de amplitud del señal original (an = 0,01), tendremos como respuesta el señal como mostrado en la parte de debajo de la figura al lado Perciba que la derivada (continua) de este señal nos conduce a: )cos()cos( )( wtwat dt tdy n ⋅⋅+= “derivative kicks”
  31. 31. Compensación Derivativa Ideal (PD) Idea original: Mejorar (acelerar) la respuesta transitoria Realización mediante Controlador derivativo (PD):Realización mediante Controlador derivativo (PD): Desventajas: 1. Requiere circuito activo para realizar la diferenciación; 2. Diferenciación puede generar malos resultados en caso de procesos ruidosos K2s       +=+= 2 1 212)( K K sKKsKsC R(s) Y(s) E(s)+ - K1 G(s) U(s) Derivativo Proporcional + +
  32. 32. SISOTOOL SISO Design Tool.SISOTOOL opens the SISO Design Tool. This Graphical User Interface lets you design single-input/single-output (SISO) compensators by graphically interacting with the root locus, Bode, and Nichols plots of the open-loop system. To import the plant data into the SISO Tool, select the Import item from the File menu. By default, For example >> sisotool({'nichols','bode'})select the Import item from the File menu. By default, the control system configuration is r -->[ F ]-->O--->[ C ]--->[ G ]----+---> y - | | +-------[ H ]----------+ where C and F are tunable compensators. SISOTOOL(G) specifies the plant model G to be used in the SISO Tool. Here G is any linear model created with TF, ZPK, or SS. SISOTOOL(G,C) and SISOTOOL(G,C,H,F) further specify values for the feedback compensator C, sensor H, and prefilter F. By default, C, H, and F are all unit gains. >> sisotool({'nichols','bode'}) Opens a SISO Design Tool showing the Nichols plot and Bode diagrams for the open loop CGH. SISOTOOL(INITDATA) initializes the SISO Design Tool with more general control system configurations. Use SISOINIT to build the initialization data structure INITDATA. SISOTOOL(SESSIONDATA) opens the SISO Design Tool with a previously saved session where SESSIONDATA is the MAT file for the saved session.F. By default, C, H, and F are all unit gains. SISOTOOL(VIEWS) or SISOTOOL(VIEWS,G,...) specifies the initial set of views for graphically editing C and F. You can set VIEWS to any of the following strings or combination of strings: 'rlocus' Root locus plot 'bode' Bode diagram of the open-loop response 'nichols' Nichols plot of the open-loop response 'filter' Bode diagram of the prefilter F session. See also sisoinit, ltiview, rlocus, bode, nichols. Reference page in Help browser doc sisotool >>
  33. 33. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) >>
  34. 34. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) >>
  35. 35. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) EditandoEditando visualización: 1) Ventana “Control and Estimation Tools Manager”, 2) Pestana “Graphical Tuning”,Tuning”, 3) Plot 2, Open Loop 1, Seleccionar de “Open-Loop Bode” para “None”
  36. 36. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) EditandoEditando visualización: 1) Ventana “Control and Estimation Tools Manager”, 2) Pestana “Graphical Tuning”,Tuning”, 3) Plot 2, Open Loop 1, Seleccionar de “Open-Loop Bode” para “None”
  37. 37. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) EditandoEditando visualización: 4) Ventana “Figure X: SISO…”, 5) Pressionar boton derecho por sobre la venta grafica, 6) Seleccionar “Design“Design Requitements”, New, 7) Seleccionar “Damping Ratio” y alterar valor
  38. 38. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) EditandoEditando visualización: 4) Ventana “Figure X: SISO…”, 5) Pressionar boton derecho por sobre la venta grafica, 6) Seleccionar “Design“Design Requitements”, New, 7) Seleccionar “Damping Ratio” y alterar valor
  39. 39. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) EditandoEditando visualización: 4) Ventana “Figure X: SISO…”, 5) Pressionar boton derecho por sobre la venta grafica, 6) Seleccionar “Design“Design Requitements”, New, 7) Seleccionar “Damping Ratio” y alterar valor
  40. 40. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) EditandoEditando visualización: 4) Ventana “Figure X: SISO…”, 5) Pressionar boton derecho por sobre la venta grafica, 6) Seleccionar “Design“Design Requitements”, New, 7) Seleccionar “Damping Ratio” y alterar valor
  41. 41. >> sisotool(g) Step Response Pole-Zero Map Real Axis ImaginaryAxis 1.5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -4 -2 0 2 4 Time (sec) Amplitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1
  42. 42. >> sisotool(.) >> sisotool(g,1) 0 Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1) 15 Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) >> -90 -150 -100 -50 G.M.: 47.6 dB Freq: 4.9 rad/sec Stable loop0 5 10 10 -2 10 0 10 2 10 4 -270 -225 -180 -135 P.M.: 89 deg Freq: 0.0417 rad/sec Frequency (rad/sec) -20 -15 -10 -5 0 5 -15 -10 -5 Real Axis

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