C:\Users\Manuel Romero\Documents\Manuel 2010 I\Reportaje\Manual I\Cap1
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  • 1. MANUAL DE SCILAB DE APOYO EN LOS CURSOS COMUNICACIONES I Y II ´ PARA LA UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL MANUEL FRANCISCO ROMERO manuelfox189@hotmail.com
  • 2. Parte I ´ INTRODUCCION 1
  • 3. Cap´ ıtulo 1 VECTORES 1.1. ´ ¿QUE ES UN VECTOR? gráfica de un vector 10 8 P 6 y 4 2 0 O −2 −1 0 1 2 3 4 x −2 vector (2,8) Figura 1.1: Vector Geom´trico e Un vector es la representaci´n de una posici´n en el punto P (x1, x2) sobre el plano cartesiano o o la cual posee magnitud, direcci´n dada por un angulo, como podemos observar en la figura1.1. Un o ´ vector puder ser representado de igual forma por una matriz 2 × 1 en un espacio bidireccional. 2
  • 4. CAP´ ITULO 1. VECTORES 3 x a= (1.1) y Donde x e y son n´meros reales, los cuales se denominan componentes del vector a, y donde la u matriz tambi´n es asociada por el punto unico P (x, y). Observamos en la figura 1.1 del segmento e ´ OP , donde O es el origen y P es el extremo, a esto se le denomina vector o vector geom´trico. La e magnitud de OP es la longitud del segmento OP , y se denota por OP . Una aplicaci´n de los vectores lo podemos obtener en una onda de propagaci´n1 ya que estan o o constituidas por un campo el´ctrico y un campo magn´tico y se representados por vectores los cuales e e nos permite observar la direcci´n de propagaci´n de cada campo. o o Con SCILAB2 vamos a definir las instrucciones para la representaci´n gr´fica de un vector en un o a punto dado: Ejemplo 1.1.1 Grafiqu´ por medio de Scilab el vector (2, 8): e //Camando para definir el Vector(2 8) x=[0 2];//Los componente en X [Xo X1] Xo el punto de origen de x, X1 el valor de x. y=[0 8];//Los componente en Y [Yo Y1] Yo el punto de origen de y, Y1 el valor de y . // Comando para generer un vector en el plano. plot2d4(x,y,5,rect=[-2,-2,4,10],leg="vector (2,8)"); xtitle("gr´fica de un vector","x","y");//T´tulo de la gr´fica. a ı a //Comando que permite realizar mejoras en la gr´fica. a a=gca();//a es la varible que se va a cambiar. a.x_location="middle";//Ubicaci´n del t´tulo en x. o ı a.y_location="middle";//Ubicaci´n del t´tulo en y. o ı a.title.font_style=7;//Estilo del t´tulo. ı a.title.font_size=3;//Tama~o del t´tulo. n ı xstring(0,0,["O"])//Etiquetas de la gr´fica. a xstring(2,8,["P"])//Etiquetas de la gr´fica. a xgrid(3);//Mustra una malla gu´a en el gr´fico. ı a 1.2. ´ ´ ADICION Y SUSTRACCION DE VECTORES La suma de dos vectores genera un nuevo vector llamado vector resultante, por ejemplo, si sumamos los vector P = (−1 2) y Q = (2 8), la respuesta es el vector resultante en el punto P = (1 10) como se observa en la figura 1.2, ahora observemos algunas caracteristicas de la suma de vectores, si unimos los puntos O, P , R y Q obtendremos un paralelograma de la forma OP RQ, con esto determinamos que el segmento OR es la diagonal de los segmentos OP y OQ o en otras ´ 1 Ver ecuaciones de Maxwell 2 Para este trabajo se presentar´ un desarrollo vectorial gr´fico, si desea obtener mayor informacion sobre las a a ´ instrucciones se sugiere consultar ”FUNDAMENTOS DE SCILAB Y APLICACIONES”, por Andres Alfonso Caro y Cesar Valero Sepulveda.
  • 5. CAP´ ITULO 1. VECTORES 4 palabras, OR es la respuesta de la suma de los vectores OQ y OP . En los puntos OSQ vemos que se forma un tri´ngulo semenjante al que se forma en los puntos P M R, de esta forma podemos decir que a el segmento OQ es el igual al segmento de P R y tambi´n el segmento OP es igual al segmento QR, e por lo cual obtenemos dos tri´ngulos semejantes con la misma direcci´n y magnitud. A esto proceso a o se le conoce como la regla del paralelograma para la adici´n de vectores geom´tricos. o e Como ya s´ a enunciado el vector es representado por una matriz, la suma de los dos vectores a y b e en este caso es el vector: x1 + x2 a + b= (1.2) y1 + y2 gráfica del paralelogramo 10 R 8 M P 6 a+b=c b y 4 Q 2 a S 0 0 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x −2 suma vector(−1,2)+(2,8) Figura 1.2: Adici´n de Dos Vectores o Por medio de Scilab podemos representar la suma de vectores y comprobar la regla de paralelo- grama de la siguiente forma: Ejemplo 1.2.1 Determine el vector resultante de la suma de los vectores (−1, 2) y (2, 8): //Suma de vectores a=[-1 2];//componentes X b=[2 8];//componentes Y c=a+b//vector resultante x=[0 a(1)];y=[0 a(2)];// vector a segmento OQ
  • 6. CAP´ ITULO 1. VECTORES 5 x1=[0 b(1)];y1=[0 b(2)];//vector b segmento OP x2=[0 c(1)];y2=[0 c(2)];// vector resultante c segmento OR x3=[b(1) c(1)];y3=[b(2) b(2)];// segmento MP x4=[c(1) c(1)];y4=[b(2) c(2)];//segmento MR x5=[c(1) a(1)];y5=[c(2) a(2)];//segmento RQ x6=[b(1) c(1)];y6=[b(2) c(2)];//segmento RP x7=[a(1) a(1)];y7=[a(2) 0];//segmento QS //Comando para generer la gr´fica del vector en el plano a plot2d4([x,x1,x6],[y,y1,y6],5,rect=[-2,-2,3,2],leg="suma vector(-1,2)+(2,8)"); plot2d4(x2,y2,2); plot2d4([x3,x4,x5,x7],[y3,y4,y5,y7],1); xtitle("gr´fica del paralelogramo","x","y");//T´tulo del gr´fico a ı a xstring(b(1),b(2),"P");xstring(c(1),c(2),"R");//Etiquetas de la gr´fica. a xstring(c(1)/2,c(2)/2,"a+b=c");xstring(a(1)/2,a(2)/2,"a"); xstring(a(1),a(2),"Q");xstring(b(1)/2,b(2)/2,"b"); xstring(a(1),0,"S");xstring(c(1),b(2),"M"); xstring(0,0,"0") //Comando que permite realizar mejoras en la gr´fica. a a=gca();//a es la varible que se va a cambiar. a.x_location="middle";//Ubicaci´n del t´tulo. o ı a.y_location="middle";//Ubicaci´n del t´tulo. o ı a.title.font_style=2;//Estilo del t´tulo en x. ı a.title.font_size=6;//Tama~o del t´tulo en y. n ı xgrid(3)//Mustra una malla gu´a en el gr´fico. ı a El valor del vector resultante3 de la suma de dos vectores es: c = 1. 10. La sustracci´n de dos vectores4 la definimos como a − b = a + (−b) es decir que −b es el vector o opuesto a b, como lo podemos observar en la figura 1.3. Por medio de Scilab lo podemos graficarlo de la siguiente ejemplo. Ejemplo 1.2.2 Determine el vector resultante de la resta de los vectores (−1, 2) y (2, 8): //Sustracci´n de los Vectores (-1 2)-(2 8) o a=[-1 2]//componente en X b=[2 8]//componente en Y c=a-b //vector resultante de la resta de los vectores a-b x=[0 a(1)];y=[0 a(2)];//definici´n del vector (-1 2) o 3 Para poder visualizar los resultados en Scilab debemos debemos ir a la Console, adem´s en la edici´n cuando a o ingresemos las variables le podemos poner el signo punto y como para ocultar el resultadola, en el caso de querer saber la respuesta omitimos el signo. 4 No se tratar´ mucho sobre la resta de vectores, ya que el signo negativo refleja el sentido del vector a
  • 7. CAP´ ITULO 1. VECTORES 6 Resta de Dos Vectores 10 8 b 6 4 a 2 y 0 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 x −2 −4 c −6 vector (−1,2)−(2 8) Figura 1.3: Sustracci´n de Dos Vectores o x1=[0 b(1)];y1=[0 b(2)];//definici´n del vector (2 8) o x2=[0 c(1)];y2=[0 c(2)];//vector resultante (-3 -6) //Comando para generer la gr´fica del vector en el plano a plot2d4([x],[y],5,rect=[-4,-7,3,10],leg="vector (-1,2)-(2 8)"); plot2d4([x1],[y1],5);//Gr´fica del vector x1 ,y1 a plot2d4([x2],[y2],2);//Gr´fica del vector x2 ,y2 a xtitle("Resta de Dos Vectores","x","y");//t´tulo de la gr´fica ı a Comando que permite realizar mejoras en la gr´fica. a a=gca();//a es la varible que se va a cambiar. a.x_location="middle";//Ubicaci´n del t´tulo en x. o ı a.y_location="middle";//Ubicaci´n del t´tulo en y. o ı a.title.font_style=7;//Estilo del t´tulo. ı a.title.font_size=3;//Tama~o del t´tulo. n ı xgrid(3);//Mustra una malla gu´a en el gr´fico. ı a El vector resultante de la resta de dos vectores es: c = - 3. - 6.
  • 8. CAP´ ITULO 1. VECTORES 7 1.3. ´ MULTIPLICACION POR UN ESCALAR Un escalar c es un n´mero real esta definido como la cantidad que s´lo posee magnitud, cuando u o es multiplicado con un vector A, obtenemos otro vector con la misma direci´n, si c es positivo; si no o sera opuesto si c es negativo y se define como: x cx A=c×( )=( ) (1.3) y cy En otras palabras el producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.Por medio de Scilab la podemos describir de la siguiente manera: Ejemplo 1.3.1 Multiplique el vector (2, 1 5) por el escalar 2. // Multiplicaci´n de un vector por un escalar. o A=[2 1 5];// vector A B=2*A // escalar 2 por el vecor A. El valor resultante de la multiplicaci´n de un vector por un escalares: o B = 4. 2. 10. 1.4. ESPACIO VECTORIA DE TRES DIMENCIONES Un vector en el espacio bidimencional se representa por medio de una matriz 2 × 1, por lo tanto cuando tenemos un vector en el espacio tridimencional lo representar´ como 3 × 1, como se ve en ıa la figura 1.4. x a= y (1.4) z Podemos representar un vector 3D por medio de scilab de la siguiente forma: Ejemplo 1.4.1 Grafique por medio de Scilab un vector en el espacio 3D. //Vectores ( 2 3 4) x=[0,2]; //componente en X y=[0,3]; //componente en Y z=[0,4]; //componente en Z //comandos que genera un gr´fica 3D a plot3d3(x,y,z) plot3d(x,y,z,leg="eje x@eje y@eje z") xgrid(1);//Mustra una malla gu´a en el gr´fico. ı a
  • 9. CAP´ ITULO 1. VECTORES 8 VECTOR EN TRES DIMENCIONES 4.0 3.5 3.0 2.5 eje z 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 2.0 0.4 0.8 ejey 2.5 1.6 1.2 3.0 2.0 eje x Figura 1.4: Vector Geom´trico de Tridimenciones e Suponiendo la analog´ de los dos espacios vectoriales podemos decir que ´ste nuevo vector ıa e pertenece a la familia del paralelograma descrito anteriormente, y a la ley de adici´n de vectores o geom´tricos, como vemos en la figura 1.5. La suma de los vectores P (x1, y2, z3) y de Q(x2, y2, z2) e se representa en forma matricial como: x1 + x2 a + b= y1 + y2 (1.5) z1 + z2 Por medio de scilab podemos representar la suma de vectores en 3D de la siguiente forma: Ejemplo 1.4.2 Grafique por medio de Scilab el vector resultante en 3D en los puntos (2 3 4), (4 5 2): //Vectores ( 2 3 4) ,(4 5 2) a=[2 3 4];// vector a b=[4 5 2];//vector c c=a+b;//vector resultante c x=[0 a(1)];y=[0 a(2)];z=[0 a(3)];//componente del vector a x1=[0 b(1)];y1=[0 b(2)];z1=[0 b(3)];//componente del vector b x2=[0 c(1)];y2=[0 c(2)];z2=[0 c(3)];//componentes del vector resultante c x3=[a(1) c(1)];y3=[a(2) c(2)];z3=[a(3) c(3)];//uni´n de los puntos a y c o
  • 10. CAP´ ITULO 1. VECTORES 9 x4=[c(1) b(1)];y4=[c(2) b(2)];z4=[c(3) b(3)];//uni´n de los puntos b y c o x5=[a(1) a(1)];y5=[0 a(2)];z5=[0 0];//Eje y del vector a x6=[a(1) a(1)];y6=[a(2) a(2)];z6=[0 a(3)];//Eje z del vecot a x7=[a(1) 0];y7=[a(2) a(2)];z7=[0 0];//Eje x del vector a x8=[b(1) b(1)];y8=[0 b(2)];z8=[0 0];// Eje y del vector b x9=[0 b(1)];y9=[b(2) b(2)];z9=[0 0];//eje x del vector b x10=[b(1) b(1)];y10=[b(2) b(2)];z10=[b(3) 0];//eje z del vector b x11=[c(1) c(1)];y11=[0 c(2)];z11=[0 0];// Eje y del vector c x12=[0 c(1)];y12=[c(2) c(2)];z12=[0 0];//Eje x del vector c x13=[c(1) c(1)];y13=[c(2) c(2)];z13=[0 c(3)];//Eje z del vector c //Comandos que genera un gr´fica 3D a plot3d3([x],[y],[z])//vector a plot3d3([x1],[y1],[z1])// vector b plot3d3([x2],[y2],[z2])//vector resultante plot3d3([x3,x4],[y3,y4],[z3,z4])//uni`n de los vector o plot3d3([x5,x6,x7],[y5,y6,y7],[z5,z6,z7])//ejes del vector a plot3d3([x8,x9,x10],[y8,y9,y10],[z9,z8,z10])// ejes del vector b plot3d3([x11,x12,x13],[y11,y12,y13],[z11,z12,z13])//ejes del vector c plot3d1(x,y,z,leg="eje x@ejey@eje z") xgrid(1) xgrid(3) xstring(a(1),a(2),"a") xstring(b(1),b(2),"b") xstring(c(1),c(2),"a X b") Como vemos en la figura 1.5 el vector a se representa con el color caf´, el vector b por el color amarillo e y el vector resultante c por el color verde; los segmentos de la uni´n de los vectores b y c como de los o vectores a y c son representados por el color violeta y los componentes del segmentos a con el color rojo, del segmento b az´l y del segmento c negro. u 1.5. VECTOR UNITARIO Y DISTANCIA Podemos definir que un vector unitario aA es un vector de magnitud igual a 1, el cual nos da la direcci´n a los valores de un vector A, donde A es la magnitud, es decir: o A A x ax + A y ay + A z az aA = = (1.6) |A| A2 + A 2 + A 2 x y z
  • 11. CAP´ ITULO 1. VECTORES 10 Paralrlogramo En 3D 6 5 4 eje z 3 2 1 a 0 0 b 2 1 0 1 3 2 3 4 5 c 5 4 eje x ejey 6 7 8 6 Figura 1.5: Paralelograma Tridimencional a1 b1 EL vector distancia lo podemos representar en su forma matricial: a = b2 y b = b2 entonces: c3 b3 a1 − b1 a − b = a2 − b2 (1.7) a3 − b3 o tambi´n de la forma: ´ e |a − b| = (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + (a3 − b3)2 (1.8) Para entender un poco el concepto de vector unitario y de distancia vemos el siguiente ejemplo: Ejercicio 1.5.1 Dados los vectores A = 2ax − 5ay + 3az y B = 2ax + 7ay + 6az determine: La componente de A a lo largo de ay . |A + B| La distancia de A y B.
  • 12. CAP´ ITULO 1. VECTORES 11 Un vector unitario paralelo a 3A + B. La instrucci´n en scilab para definir los vectores es: o Ejemplo 1.5.1 A=[2 -5 4]; B=[2 7 6]; C=A+B; ay=A(2)//La componente de A a lo largo de ay m=norm(C) //magnitud de A+B d=B-A //vector distancia d_a_b=norm(d) //distancia de A a B vunit=(((3*A)+B))/norm(((3*A)+B))// vector unitario 3*A+B n_vunit=norm(vunit)//norma del vector unitario La soluci´n de los vectores es: o ay = - 5. m = 10.954451 d = 0. 12. 2. d_a_b = 12.165525 vunit = 0.3762883 - 0.3762883 0.8466488 n_vunit = 1. Observemos que el componente del vector A a lo largo de ay corresponde al valor de −5 en la coordenada y. La suma de los vectores A y B genera un nuevo vector el cual llamaremos C, su magnitud corresponde al valor de 10.95. El vector distancia es la diferencia de B respecto a A y esto genera un nuevo vector que llamaremos d que se encuentra en las coordenadas (0 12 2), la magnitud correspondiente al vector distancia corresponde a 12.16. Ahora los valores de las componentes de los vectores unitario paralelo a 3A + B son los siguientes (0,3762883 − 0,3762883 0,8466488) y su magnitud corresponde es igual a 1. 1.6. ORTOGONALIDAD DE DOS VECTORES Definimos que dos vectores X = [x1 , y1 ] y Y = [x2 , y2 ] son ortogaonales si y s´lo si su producto o escalares es igual a cero o con un angulo de 90o : ´ ´ Por medio de scilab lo podemos expresar el producto escalar de la siguente manera:
  • 13. CAP´ ITULO 1. VECTORES 12 Ejemplo 1.6.1 Determine si los vectores (4 5)y(5 -4) son ortogonales con su respectiva gr´fica. a //ORTOGONALIDAD DE LOS VECTORES (4 5)Y(5 -4) A=[4 5]; //Vector A fila B=[5;-4]; // Vector B columna C=[A*B] // Producto escalar x=[0 4];// componente x=4 y=[0 5];//componente y=5 x1=[0 5];//componente x=5 y1=[0 -4];//componente y=-4 plot2d4([x],[y],5,rect=[-2,-5,6,6],leg="vector (4,5)punto(5,-4)"); plot2d4([x1],[y1],11); xtitle("ORTOGONALIDAD","x","y"); a=gca(); a.x_location="middle"; a.y_location="middle"; a.title.font_style=7; a.title.font_size=3; xstring(x(2),y(2),["(4 5)"]) xstring(x1(2),y1(2),["(5 -4)"]) xgrid(3); C = 0 El producto escalar de los vectores A y B da cero, por lo tanto podemos decir que son ortoganales y su representaci´n gr´fica se observa en la figura 1.6. o a 1.7. ´ MULTIPLICACION DE VECTORES Cuando se desea multiplicar dos vectores A y B, el resultado de esta operaci´n puede ser un o vector o un escalar, seg´n el tipo de multiplicaci´n que se realice que se definen a continuaci´n. u o o 1.7.1. Producto Escalar o Punto a1 b1 Dados los vectores A = a2 y b = b2 vectores en es el espaci´n R3 . El producto interno o a3 b3 3 escalar en R se denomina como el n´mero real a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . El producto punto de A y B u y se denota por A · B, por lo tanto, A · B = a 1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 . (1.9)
  • 14. CAP´ ITULO 1. VECTORES 13 ORTOGONALIDAD 6 (4 5) 4 2 y 0 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 x −2 −4 (5 −4) vector (4,5)punto(5,−4) Figura 1.6: Ortogonalidad de Dos Vectores Tambi´n se denomina geom´tricamente como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno e e del angulo entre ellos. ´ A·B cosφAB = . (1.10) |A| |B| Se dice que dos vectores A y B son ortogonales o perpendiculares entre s´ A · B = 0. ı Por medio de scilab, definimos el producto punto de la siguiente manera: Ejemplo 1.7.1 Determine el valor del producto punto de los vectores N=(4 5 5) y M=(-5 4 7); // PRODUCTO PUNTO N=[4 5 5];//vector fila M=[-5;4;7];// vector columna A=N*M El valor de producto punto es: A = 35.
  • 15. CAP´ ITULO 1. VECTORES 14 1.7.2. Producto Vectorial o Cruz El producto de los vectores A y B es define como una cantidad vectorial con magnitud igual al area del paralelograma y con la misma direcci´n indicada y se denota A × B y el resultado es un ´ o vector. Dados los vectores A = a1 i + a2 j + a3 k y B = b1 i + b2 j + b3 k donde a1 , a2 , a2 pertenecen a c1 los n´mero reales, podemos encontrar un vector C = c2 ortogonal o perpendicular a A y a B. u c3 Por lo cual necesitamos que A · C = 0 y B · C = 0, lo cual conduce a un sistema lineal. a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0 b1 c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0 (1.11) Podemos comprobar que, a2 b 3 − a 3 b 2 C = a3 b 1 − a 1 b 3 (1.12) a1 b 2 − a 2 b 1 Es posible expresar como: C = (a2 b3 − a3 b2 )i + (a3 b1 − a1 b3 )j + (a1 b2 − a2 b1 )k. (1.13) o ´ i j k a1 a2 a3 =A×B (1.14) b1 b2 b3 Por medio de scilab lo definimos el producto cruz de la siguiente manera: Ejemplo 1.7.2 //PRODUCTO CRUZ a=[1 2 1]//vector fila de a b=[1 3 2]//vector fila de b //producto cruzado c=[a(2)*b(3)-a(3)*b(2) a(3)*b(1)-a(1)*b(3) a(1)*b(2)-a(2)*b(1)] //gr´fica del producto cruz a x=[0 a(1)];y=[0 a(2)];z=[0 a(3)];//componente del vector a x1=[0 b(1)];y1=[0 b(2)];z1=[0 b(3)];//componente del vector b x2=[0 c(1)];y2=[0 c(2)];z2=[0 a(3)];//componente del vector a x b x3=[a(1) a(1)];y3=[a(2) a(2)];z3=[0 a(3)]; x4=[b(1) b(1)];y4=[b(2) b(2)];z4=[0 b(3)]; x5=[c(1) c(1)];y5=[c(2) c(2)];z5=[0 c(3)]; plot3d3(x,y,z)//vector a plot3d3(x1,y1,z1)// vector b plot3d3(x2,y2,z2)//producto cruz plot3d3(x3,y3,z3)//eje z del vector a plot3d3(x4,y4,z4)//eje z del vector b
  • 16. CAP´ ITULO 1. VECTORES 15 plot3d3(x5,y5,z5)//eje z del vector a X b plot3d1(x,y,z,leg="eje x@eje y@eje z") xgrid(3) xstring(a(1),a(2),"a") xstring(b(1),b(2),"b") xstring(c(1),c(2),"a X b") c = 1. - 1. 1. Producto Cruz 2.0 1.8 1.6 1.4 eje z 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 aXb −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 a eje y 2.0 2.5 b 0.5 0.0 3.0 1.0 eje x Figura 1.7: Pruducto Cruz Vemos en la figura 1.7 que el vector color negro es a y de color rojo el vector b, el producto cruz se ve de color verde, la interpretaci´n se asume como si tomaramos el eje z y en este caso ser´ el nuevo o ıa vector a × b si lo movieramos seg´n los valore de los vectores a y b sobre un plano, podemos decir u que el producto cruz permite a una recta desplazar en el eje de rotaci´n con una direcci´n. o o