2. Glosario
Funciones
La recta numérica real
La función inversa
Trazadas de gráficos de la forma (y=mx+b)
La gráfica (Ax+by=c); (y=Ax2+Bx+c)
Los ceros de la función cuadrática
La función exponencial
La función logarítmica
3. Funciones
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más
cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes,
quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos
variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o
correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y. La variable X, a la que se asignan libremente valores,
se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables
dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores
que toma Y constituye su recorrido".
4. La recta numérica real
La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los
números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido
(normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una
correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el
cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al
número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.
5. La función inversa
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f -1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f -1(b) = a.
Podemos observar que:
El dominio de f -1 es el recorrido de f .
El recorrido de f -1 es el dominio de f .
6. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
f o f -1 = f -1 o f = x
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
7. Trazadas de gráficos de la forma
(y=mx+b)
Definir la función de las gráficas de forma y=mx+b.
Este tipo de funciones representan un lugar geométrico que es la línea recta, cuya fórmula es una ecuación
lineal.
Ax + B y + c = 0
La forma y = m x + b es una ecuación que representa una recta en función de la pendiente, la pendiente m es el
lugar geométrico de dos puntos diferentes:
La b es la ordenada al origen; y es el punto donde la abscisa es igual a cero. Toda ecuación con dos cógnitas
representa una recta. Como dos puntos determinan una recta, basta localizar dos puntos de la gráfica y hacer
pasar por ellos la recta. Las expresiones que emplean los símbolos >(mayor que); <(menor que), =(mayor o
igual que) y =(menor o igual que), reciben el nombre de inecuaciones o desigualdades.
8. La gráfica (Ax+by=c); (y=Ax2+Bx+c)
Es aquella en la cual las variables x, y aparecen multiplicadas o divididas por coeficientes constantes y
sumadas o restadas entre sí o con un término constante (o sola en un lado de la ecuación).
Ejemplos:
a) 6x + 12y = 60 b) -4x1 + 10 = 5(x2 - 3)
c) C = 1200 + 15 Q d) D = 3000 - 200t
Casi siempre cuando una variable está despejada en una ecuación, dicha variable es dependiente (o
determinada por la otra variable) y se representan sus valores en el eje vertical. Por ejemplo, en la
ecuación C = 1200 + 15 Q, la variable C (costo) es dependiente y se localizan sus valores numéricos en el eje
Vertical. Un concepto importante cuando se plantea una ecuación lineal es la pendiente o grado de
inclinación de la recta que dicha ecuación representa, al expresar la ecuación en la forma: y = mx + b, es
decir con la variable dependiente despejada, entonces la pendiente es el coeficiente m que multiplica a la
variable independiente (x), el término independiente del lado derecho de la ecuación (b) se llama ordenada
al origen e indica en que punto del eje vertical pasa la recta.
Ejemplo: en la ecuación D = 3000 - 200t, la variable dependiente es D, la pendiente es negativa (m = -200) y
la ordenada al origen es positiva(b = 3000). En economía se presenta con frecuencia el caso de ecuaciones
lineales de la forma: Ax + By = C, donde A, B y C son constantes positivas (mayores que cero), para este tipo
de ecuaciones la pendiente será siempre negativa pues al despejar y se obtiene:
9. , por lo tanto la pendiente es m =
El método de las intersecciones para graficar ecuaciones lineales se aplica a ecuaciones de la forma:
Ax + By = C (donde A, B y C son constantes positivas) o bien a ecuaciones y = mx + b con pendiente
negativa y ordenada al origen positiva, y se describe a continuación.
MÉTODO DE LAS INTERSECCIONES
Se hace igual a cero la variable independiente, se sustituye en la ecuación y se obtiene el valor
correspondiente de la otra variable, de este modo conocemos el punto (0, yo) en el eje vertical por el cual
cruza la recta. Se hace igual a cero la variable dependiente, se sustituye en la ecuación y se obtiene el valor
correspondiente de la otra variable, de este modo conocemos el punto (xo, 0) en el eje horizontal por el cual
cruza la recta. Se localizan en los ejes de coordenadas los puntos de intersección previamente determinados y se
traza el segmento de recta que une a dichos puntos.
Ejemplo: para la ecuación 200x + 500y = 1000, los puntos de intersección son: x = 0 Þ 200(0) + 500y = 1000
Þ y = 1000/500 = 2 (0,yo) = (0, 2) y = 0 Þ 200x + 500(0) = 1000 Þ x = 1000/200 = 5 (xo,0) = (5, 0) y la
gráfica queda como sigue:
10. MÉTODO DE TABULACIÓN CON DOS PUNTOS
Cuando una ecuación lineal de la forma: Ax + By = C tiene algún coeficiente negativo o igual a cero, o bien
si es de la forma y = mx + b y la pendiente es positiva (o cero), será preferible utilizar este método que
consiste en seleccionar dos valores de la variable independiente: x = a , x = b (generalmente dentro del
rango de valores de x de interés para el problema particular) y calcular los respectivos valores de la
variable dependiente (sustituyendo x en la ecuación y despejando y). De esta forma se obtienen dos
puntos (a, ya); (b, yb), los cuales se localizan en el sistema de coordenadas y se dibuja la recta que pasa
por dichos puntos.
11. Funciones del tipo y= ax2 + bx + c
En tercer lugar vas a trabajar con las funciones de tipo y = ax2 + bx, en las que falta el término independiente.
Ahora se pretende que encuentres qué relación hay entre los coeficientes y el vértice. En el caso anterior el
vértice de la parábola siempre estaba sobre la misma recta: el eje de ordenadas, ahora verás otros casos. Cambia
los valores de b y observa que cambia el vértice pero no la forma de la parábola. Rellena la siguiente
tabla y trata de encontrar la relación hay entre los coeficientes a y b y las coordenadas del vértice.
Observa qué curva describe el vértice cuando se va cambiando el parámetro b.
12. Los ceros de la función cuadrática
Raíces o ceros de una función cuadrática Las “raíces o ceros” de una función son los valores de “x”
para los cuales f(x)=0. Como vimos, la expresión general de una función cuadrática es:
Como vimos, la expresión general de una función cuadrática es:
f (x) = ax2 + bx + C entonces, si f(x)=0
Las soluciones (raíces o ceros) de esta ecuación pueden calcularse mediante:
13. La función exponencial
Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el
producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes
naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de
exponente: un número entero, racional o, en general, un número real .
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se
llama función exponencial de base a y exponente x. Como ax >0 para todo X=R ,la función exponencial es
una función de R en R+ . En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función
exponencial.
Gráfica de la Función Exponencial
En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios
adicionales. En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de
base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).
14. Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial y = ax (fig.1) no está acotada superiormente.
Es decir, ax crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior.
Esto es , ax tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. Igualmente, cuando la base a < 1, la
función exponencial y = ax (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores
grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, ax crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos
y ax tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial
ax con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función
exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se
exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima
sección. En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en
otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.
Observación.
Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales,
es e = 2.7182818284….,la función exponencial ex ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente,
se denota por Exp( x ) = ex.
15. La función logarítmica
Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de
raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. El proceso de multiplicación es reemplazado por
una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la
extracción de raíces, por una división. Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros
métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. La igualdad N = ax ,donde N es un número real
y N = ax, es una expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales:
Dada la base a y el exponente x ,encontrar N.
Dados N y a, encontrar x.
El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para el
segundo, la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que N = ax ,
cuando N y a son reales positivos y a≠1. Lo anterior da lugar a la siguiente definición:
Sea a un real positivo fijo, a≠1 y sea x cualquier real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base a≠1, denotada y=logax
por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número logax se llama logaritmo de x en la base a.
16. La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es
el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. En el teorema siguiente, se presentan las
propiedades más importantes de los logaritmos.
Teorema ( Propiedades de los logarítmos )
Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, logax < logay .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es
estrictamente creciente en su dominio.
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, logax > logay.Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1;
es estrictamente decreciente en su dominio. Para todo número real , y0 existe un único número real x0 tal que .
logax 0=y0 Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .
17. Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones y = log2x e y = log1/2x ,en concordancia con
las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. En la figura 5, se han trazado conjuntamente
las curvas y = 2x e y = log2x.Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede
notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.
