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Transcript

  • 1. Glosario
  • 2. Glosario
    • Números Reales
    • La Recta Numérica
    • Valor Absoluto
    • Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto
    • Exponentes y Propiedades
    • Radicales y Propiedades
    • Radicación
  • 3. Números Reales
    • Se representan con la letra R .
    • El conjunto de los Números Reales ( R ) está integrado por:
    • El conjunto de los Números Racionales ( Q ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.
    • El conjunto de los Números Irracionales ( I ) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
    • Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( R ) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I .
  • 4. Recta Numérica
    • La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son:
    • Mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.
    • Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando
    • especialmente números negativos.
    • Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.
  • 5. Valor Absoluto
    • En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin
    • tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor
    • absoluto de 3 y de -3.
    • El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
    • contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
    • generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados,
    • cuerpos o espacios vectoriales.
  • 6. Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto
    • ECUACIONES
    • Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros,
    • en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados
    • mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o
    • constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras
    • operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se
    • pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
    • La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son
    • constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la
    • satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla
    • la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:
  • 7.
    • Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo
    • no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la
    • incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso
    • infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.
    • INECUACIONES
    • Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad;
    • siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede
    • tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como
    • Intervalo.
    • En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos. La
    • notación a < b significa que a es menor que b; y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas
    • relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a = b (a es menor o igual a
    • b); y a = b (a es mayor o igual que b).
  • 8. Exponentes y Propiedades
    • El exponente o potencia surge al considerar un número como factor tantas veces como se desee.
    • Los exponentes indican que un número se esta multiplicando por si mismo n veces.
    • Así 3 3 indica que se quiere realizar la operación (3)(3)(3) y se lee 3 al cubo. a2, indica que la base a, se va a
    • multiplicar por sí misma 2 (exponente) veces. Y se lee a al cuadrado. x4 indica que el número x se va a utilizar
    • como factor 4 veces, es decir (x)(x)(x)(x) y se lee x a la cuarta potencia.
    • Para exponentes mayores a 3, se lee, para cualquier variable x, x4;; “x a la cuarta”,x7; “x a la séptima”, y así
    • sucesivamente.
  • 9.
    • Un número puede descomponerse en n factores deseados
    • a0 = 1
    • a1 = a
    • a2 = aa
    • a3 = aa2 = aaa
    • a4 = aa3 = aaaa
    • an = aan-1 = aa…a n factores
    • de donde puede obtenerse la regla del producto para los exponentes: a 3 a 2 = a 3 + 2 = a 5
    • Regla del producto para exponentes:
    • Para toda variable a,b ; pertenecientes al conjunto de números naturales, entonces x a x b = x a + b
    • Como puedes ver, en un producto de expresiones, se conserva la base y se suman los exponentes.
    • Se considera importante señalar que la regla del producto para exponentes solo puede utilizarse en aquellas
    • expresiones que tienen la misma variable como base.
    • Cualquier variable x 0 = 1
    • Considerando otros ejemplos
    • (a 0 ) 3 = a 0 a 0 a 0 = a 0+0+0 = (a 0 ) 3 = 1
  • 10.
    • De los ejemplos anteriores se puede obtener la regla de potencia para los exponentes.
    • Regla de potencia para los exponentes:
    • Para toda variable a,b; (x a ) b = x ab (xy) a = x a y a para y diferente de 0
    • Hay que tener cuidado en los casos en que la variable x = 0 ya que 0 0 es un número indefinido. Es decir, la base
    • nunca puede ser cero, en ningún caso. Es conveniente aprender aquí a expresar el número 1 en términos de
    • fracciones. Dicha forma de expresión será muy útil posteriormente. Así el 1 puede expresarse como una
    • expresión fraccional donde el denominador es idéntico al numerador.
    • Exponente negativo: x m x -m = x m-m = x 0 = 1
    • Para que este resultado sea congruente con las reglas hasta aquí mencionadas, entonces es necesario que x -m , sea
    • el inverso multiplicativo de x m . Es decir que es necesario que , resultado que es congruente con las propiedades
    • mencionadas. Entonces se puede dar la siguiente definición:
  • 11.
    • Regla del cociente
    • Ejemplo: (3 2 ) (3 -2 ) = 3 2 - 2 = 3 0 = 1
    • Para finalizar con este apartado, tenemos el siguiente teorema:
    • RESUME
  • 12. Radicales y Propiedades
    • Un radical es una expresión de la forma n √¯a.
    • Simplificación de radicales si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los
    • exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
    • Reducción de radicales a índice común un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal
    • que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
    • Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un
    • radical equivalente.
    • 1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.
    • 2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus
    • exponentes correspondientes.
  • 13.
    • Extracción de factores fuera del signo radical
    • Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se
    • deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un
    • exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente
    • del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
    • Introducción de factores dentro del signo radical
    • Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical
    • a n √¯b= n √¯a n b
    • Suma de radicales
    • Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son
    • radicales con el mismo índice e igual radicando.
    • a n √¯k+ b n √¯k+ c n √¯k=(a+b+c) n √¯k
  • 14. Radicación
    • La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite
    • facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
    • Podemos distinguir tres casos:
    • Racionalización del tipo
    • Se multiplica el numerador y el denominador por √¯c
  • 15.
    • Racionalización del tipo
    • Se multiplica el numerador y el denominador por n √¯c n-m
    • Racionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
    • Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
    • El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
  • 16.
    • También tenemos que tener en cuenta que: &quot;suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados&quot;.

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