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Recta Numerica
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Recta Numerica

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  • 1. Glosario
  • 2. Glosario Números Reales La Recta Numérica Valor Absoluto Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto Exponentes y Propiedades Radicales y Propiedades Radicación
  • 3. Números RealesSe representan con la letra R.El conjunto de los Números Reales (R ) está integrado por: El conjunto de los Números Racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica. Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales (R) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I.
  • 4. Recta Numérica La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son:Mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicandoespecialmente números negativos. Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.
  • 5. Valor Absoluto En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sintener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valorabsoluto de 3 y de -3.El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentescontextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puedegeneralizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados,cuerpos o espacios vectoriales.
  • 6. Ecuaciones e Inecuaciones conValor AbsolutoECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros,en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionadosmediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes oconstantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otrasoperaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que sepretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación: La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 sonconstantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que lasatisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumplala igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:
  • 7.  Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargono todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de laincógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o inclusoinfinitos conjuntos de valores que la satisfagan.INECUACIONES Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad;siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puedetomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce comoIntervalo. En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos. Lanotación a < b significa que a es menor que b; y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estasrelaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a = b (a es menor o igual ab); y a = b (a es mayor o igual que b).
  • 8. Exponentes y Propiedades El exponente o potencia surge al considerar un número como factor tantas veces como se desee. Los exponentes indican que un número se esta multiplicando por si mismo n veces.Así 33 indica que se quiere realizar la operación (3)(3)(3) y se lee 3 al cubo. a2, indica que la base a, se va amultiplicar por sí misma 2 (exponente) veces. Y se lee a al cuadrado. x4 indica que el número x se va a utilizarcomo factor 4 veces, es decir (x)(x)(x)(x) y se lee x a la cuarta potencia.Para exponentes mayores a 3, se lee, para cualquier variable x, x4;; “x a la cuarta”,x7; “x a la séptima”, y asísucesivamente.
  • 9. Un número puede descomponerse en n factores deseados a0 = 1 a1 = a a2 = aa a3 = aa2 = aaa a4 = aa3 = aaaa an = aan-1 = aa…a n factoresde donde puede obtenerse la regla del producto para los exponentes: a3 a2 = a3 + 2 = a5Regla del producto para exponentes:Para toda variable a,b; pertenecientes al conjunto de números naturales, entonces xaxb = xa + bComo puedes ver, en un producto de expresiones, se conserva la base y se suman los exponentes.Se considera importante señalar que la regla del producto para exponentes solo puede utilizarse en aquellasexpresiones que tienen la misma variable como base.Cualquier variable x0 = 1Considerando otros ejemplos (a0)3 = a0 a0 a0 = a0+0+0 = (a0)3 = 1
  • 10.  De los ejemplos anteriores se puede obtener la regla de potencia para los exponentes.Regla de potencia para los exponentes:Para toda variable a,b; (xa)b = xab (xy)a = xaya para y diferente de 0Hay que tener cuidado en los casos en que la variable x = 0 ya que 0 0 es un número indefinido. Es decir, la basenunca puede ser cero, en ningún caso. Es conveniente aprender aquí a expresar el número 1 en términos defracciones. Dicha forma de expresión será muy útil posteriormente. Así el 1 puede expresarse como unaexpresión fraccional donde el denominador es idéntico al numerador.Exponente negativo: xmx-m = xm-m = x0 = 1Para que este resultado sea congruente con las reglas hasta aquí mencionadas, entonces es necesario que x -m, seael inverso multiplicativo de xm. Es decir que es necesario que , resultado que es congruente con las propiedadesmencionadas. Entonces se puede dar la siguiente definición:
  • 11. Regla del cociente Ejemplo: (32) (3-2) = 32 - 2 = 30 = 1Para finalizar con este apartado, tenemos el siguiente teorema:RESUME
  • 12. Radicales y Propiedades Un radical es una expresión de la forma n√¯a.Simplificación de radicales si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o losexponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.Reducción de radicales a índice común un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con talque cuando a sea negativo, n ha de ser impar.Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene unradical equivalente.1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por susexponentes correspondientes.
  • 13. Extracción de factores fuera del signo radicalSe descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente sedeja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Unexponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponentedel factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.Introducción de factores dentro del signo radicalSe introduce los factores elevados al índice correspondiente del radicalan√¯b= n√¯anbSuma de radicalesSolamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si sonradicales con el mismo índice e igual radicando.an√¯k+ bn√¯k+ cn√¯k=(a+b+c) n√¯k
  • 14. Radicación La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permitefacilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.Podemos distinguir tres casos:Racionalización del tipoSe multiplica el numerador y el denominador por √¯c
  • 15. Racionalización del tipoSe multiplica el numerador y el denominador por n√¯c n-mRacionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
  • 16. También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

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