Integrales

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Material teorico sobre integrales

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Integrales

  1. 1. La Integral de Riemann Facilitadora: Ing. Formocina Rivero Punto Fijo; Abril de 2010 Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda Área de Tecnología. Departamento de Física y Matemática U N E F M Coro Edo. Falcón
  2. 2. Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda Área de Tecnología. Departamento de Física y Matemática U N E F M Coro Edo. Falcón <ul><li>Objetivo Didáctico : </li></ul><ul><li>Al finalizar la unidad el estudiante será capaz de resolver problemas matemáticos en donde use como herramienta la integral definida. </li></ul><ul><li>Contenidos </li></ul><ul><li>Integral de Riemann </li></ul><ul><li>Propiedades de la Integral de Riemann </li></ul><ul><li>Teorema Fundamental del Cálculo </li></ul><ul><li>Técnicas de Integración </li></ul><ul><li>La Integral como límite </li></ul><ul><li>Integrales Impropias </li></ul>
  3. 3. Departamento de Física y Matemática Introducción Por los cursos tomados en Física de Bachillerato: La parte correspondiente a CINEMÁTICA B M B m h U N E F M Propiedades Introducción Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Integral de Riemann Integrales Impropias Tiempo (t) Distancia (d) Área 1 2 2 2 6 6 3 12 12 4 20 20
  4. 4. Departamento de Física y Matemática Integral de Riemann Definición: Si I: [a,b] es un intervalo cerrado acotado en R, entonces una partición de I se escribe: Un conjunto finito y ordenado tal que : Subintervalos no traslapados: U N E F M Propiedades Integral de Riemann Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  5. 5. Departamento de Física y Matemática Integral de Riemann Si es una función acotada, y si P es una partición cualquiera de I, para k = 1, 2, 3, …, n Se define: Por otra parte, se define: U N E F M Propiedades Integral de Riemann Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  6. 6. Departamento de Física y Matemática Integral de Riemann La función f es positiva: Suma Inferior Suma Superior Área de unión de los rectángulos de base Y altura Área de unión de los rectángulos de base Y altura U N E F M Propiedades Integral de Riemann Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  7. 7. Departamento de Física y Matemática Integral de Riemann Definición : Se dice que Q es un refinamiento de la partición P, cuando Q tiene todos los puntos de P y otros más. Si Q es refinamiento de P, se cumple las siguientes afirmaciones: U N E F M Propiedades Integral de Riemann Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  8. 8. Departamento de Física y Matemática Integral de Riemann Lema : Si Q es un refinamiento de P, entonces U N E F M Propiedades Integral de Riemann Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  9. 9. Departamento de Física y Matemática Integral de Riemann Definición de Integral de Riemann : Sea I:= [a,b] y sea f: I -> R acotada en I. Se dice que f es Riemann integrable en I si: L(f) = U(f). En este caso se dice que la integral de Riemann toma el valor: L(f) = U(f), y este número por lo general, se representa por: Se tiene además que: La función constante es Integrable EJEMPLO 1: Definición : Sea I:= [a,b] y sea f: I -> R acotada en I. Entonces la integral inferior de f en I es el número: La integral superior de f en I es el número: y U N E F M Propiedades Integral de Riemann Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  10. 10. Departamento de Física y Matemática Propiedades de la Integral de Riemann TEOREMA 1: Sea I: [a,b] y sea f,g: I -> R integrables en I, sea , entonces, las funciones: y son integrables en I con: TEOREMA 2: Sea I: [a,b] y sea f: I -> R integrable en I, si entonces U N E F M Integral de Riemann Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  11. 11. Departamento de Física y Matemática Propiedades de la Integral de Riemann Corolario: Sea I: [a,b] y sea f y g: I -> R integrables en I, si entonces: DEMOSTRACIÓN U N E F M Integral de Riemann Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  12. 12. Departamento de Física y Matemática Teorema Fundamental del Cálculo ANTIDERIVADA La función F se le llama ANTIDERIVADA (primitiva) de una función f en un intervalo I, se si cumple que: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en todos los puntos de [a,b] y F cualquier ANTIDERIVADA de f en [a,b], entonces: U N E F M Integral de Riemann Teorema Fundamental Propiedades Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias Teorema Fundamental del Cálculo TFC Evaluar Integrales Definidas Evaluar Sin usar Riemann Para lo cual Antiderivada y EVALUAR
  13. 13. EJEMPLO 2 Resolvamos las siguientes integrales. EJEMPLO 3 (Determinemos el área usando antiderivadas) Calcular el área acotada por el eje X y la parábola Departamento de Física y Matemática Teorema Fundamental del Cálculo U N E F M Integral de Riemann Teorema Fundamental Propiedades Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  14. 14. Área entre curvas (A) Departamento de Física y Matemática Teorema Fundamental del Cálculo U N E F M Integral de Riemann Teorema Fundamental Propiedades Técnicas de Integración La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  15. 15. Departamento de Física y Matemática Técnicas de Integración U N E F M Integral de Riemann Técnicas de Integración Propiedades Teorema Fundamental La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias Técnicas de Integración Procedimientos para cambiar integrales no conocidas por integrales que podemos reconocer en una tabla o evaluar por computadora Sustitución o Cambio de variables Integración Por Partes Sustitución Trigonométrica Fracciones Parciales Se agrupan en 4 técnicas
  16. 16. Departamento de Física y Matemática Técnicas de Integración EJEMPLO 4 Resolvamos las siguientes integrales U N E F M Integral de Riemann Técnicas de Integración Propiedades Teorema Fundamental La Integral Como Límites Introducción Integrales Impropias
  17. 17. Departamento de Física y Matemática La Integral Como Límites Sumas de Riemann Definición : Sea I:=[a,b] y sea acotada en I, si es una partición cualquiera de I y si son números tales que para K= 1,2,….,n Entonces la suma: Se conoce como Suma de Riemann de f correspondientes a una partición P y puntos intermedios U N E F M Integral de Riemann La Integral Como Límites Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración Introducción Integrales Impropias
  18. 18. Departamento de Física y Matemática La Integral Como Límites Definición: Integral Definida Sea f una función que ha sido definida en un intervalo cerrado [a,b]. Si existe Se dice que f es integrable en [a,b]. Además la llamada integral definida (o integral de Riemann) de f entre a y b es el valor U N E F M Integral de Riemann La Integral Como Límites Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración Introducción Integrales Impropias
  19. 19. Departamento de Física y Matemática Integrales Impropias i) El dominio de integrando en [a,b] debe ser finito ii) El rango del integrando sea finito en este dominio << Si estas condiciones no se cumplen, entonces la integral es impropia>> Resolvamos la siguiente integral : Se podría pensar que la soluciòn es: Por lo tanto: U N E F M Integral de Riemann Integrales Impropias Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración Introducción La Integral Como Límites
  20. 20. Departamento de Física y Matemática Integrales Impropias <ul><li>CASO 1 : (Límites de Integración Infinitos) </li></ul><ul><li>Definición: </li></ul><ul><li>Si f(x) es continua en , entonces: </li></ul><ul><li>Si f(x) es continua en , entonces: </li></ul><ul><li>Si f(x) es continua en , entonces: </li></ul><ul><li>Dónde c es cualquier número real </li></ul>Si el Límite es “finito” decimos que la integral impropia CONVERGE y que el límite es el valor de la integral Impropia. Si el límite no existe, la integral impropia DIVERGE U N E F M Integral de Riemann Integrales Impropias Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración Introducción La Integral Como Límites
  21. 21. Departamento de Física y Matemática Integrales Impropias Resolvamos la siguiente integral EJEMPLO 5 U N E F M Integral de Riemann Integrales Impropias Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración Introducción La Integral Como Límites
  22. 22. Departamento de Física y Matemática Integrales Impropias <ul><li>CASO 2 : Integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto </li></ul><ul><li>Dentro del intervalo de integración </li></ul><ul><li>Si f(x) es continua en , entonces: </li></ul><ul><li>Si f(x) es continua en , entonces: </li></ul><ul><li>Si f(x) es discontinua en C dónde a < c < b y continua en </li></ul><ul><li>, entonces: </li></ul>Si el Límite es “finito” decimos que la integral impropia CONVERGE y que el límite es el valor de la integral Impropia. Si el límite no existe, la integral impropia DIVERGE U N E F M Integral de Riemann Integrales Impropias Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración Introducción La Integral Como Límites
  23. 23. Departamento de Física y Matemática Integrales Impropias EJEMPLO 6 U N E F M Integral de Riemann Integrales Impropias Propiedades Teorema Fundamental Técnicas de Integración Introducción La Integral Como Límites
  24. 24. Departamento de Física y Matemática formocina @hotmail.com <ul><li>TODO A SU TIEMPO </li></ul><ul><li>Hay un tiempo para cada cosa, y un momento para hacerla bajo el cielo. </li></ul><ul><li>Hay tiempo de nacer y tiempo para morir; tiempo para plantar y tiempo para arrancar lo plantado. </li></ul><ul><li>Un tiempo para llorar y otro para reir, un tiempo para los lamentos y otros para las danzas- </li></ul><ul><li>Un tiempo para buscar y otro para perder, un tiempo para callarse y otro para hablar. </li></ul><ul><li>Me puse a considerar los varios centros de interés que Dios presenta a los hombres, y noté lo siguiente: </li></ul><ul><li>“ EL HACE QUE CADA COSA LLEGUE A SU TIEMPO, PERO TAMBIÉN INVITA A MIRAR EL CONJUNTO, Y NOSOTROS NO SOMOS CAPACES DE DESCUBRIR EL SENTIDO GLOBAL DE LA OBRA DE DIOS, DESDE EL COMIENZO HASTA EL FIN” </li></ul><ul><li>Eclesiastés 3:1-11 </li></ul><ul><li>Gracias Dios </li></ul>
  25. 25. Departamento de Física y Matemática formocina @hotmail.com Gracias Por su Atención

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