계산 종이접기 분야를 소개합니다. - 2019. 10. 12. 대전 소모임 '내가 만드는 작은 강연' 발표자료 · 범위 計算折り紙入門 (上原隆平) 제2장 전개도의 기초지식 - 전개도의 기본적인 성질 - 변전개도의 개수 - 아키야마-나라의 정리 · 회전벨트에 의한 무한종류의 접기 · 아키야마·나라의 정리의 확장

2. 자기소개
윤승용 (91.8.26.)
- 과학기술정보통신부 사이버침해대응과
- 뼈속까지 컴돌이가 코드 대신 문서 쓰고 전화 받느라 고생 중
- 일본 나고야공업대학 정보공학과 미디어계
세키 히로히사 연구실

3. 계산 종이접기 입문
Introduction to Computational Origami
(2) 전개도의 기초지식(1)
윤승용
forcom@forcom.kr
2019.10.12. 대전 소모임 ‘내가 만드는 작은 강연’

4. 도형기초
꼭짓점
(정점,노드,버텍스)
모서리
(변,엣지)
면
볼록다각형 오목다각형
(볼록)다면체
(볼록)정다면체
(오목)다면체

5. 복습
정의 1.0.1.
◦ 각 면이 다각형인 입체 Q에 대해, 변과 면을 잘라 평탄하게 펼친 다각형 P를
전개도(development/net)라고 한다. 단, 여기서 P는 연결되어 있고, 겹치지 않아야 한다.
◦ 단, 여기서 P는 연결되어 있고, 겹치지 않아야 한다.
(중요하니까 두 번 반복)
←이런 것들 안 됨→
↓

6. 오늘의강연목표
우선 기초지식으로, 전개도가 신장나무(spanning tree)에 의해 특징이 부여될 수 있
음을 배우고, 그래프 이론과의 관련을 지적한다. 다음으로 아키야마·나라의 정리를 보
인다. 이는 사면체의 전개도와 타일링과의 관계를 보여주는 아름다운 수학적 정리다.
뭐라고요?
(이걸 비전공도 이해할 수 있게 설명해야 한다고?)

7. 2.1
전개도의
기본적인 성질

8. 정리2.1.1
볼록다면체 Q의 일반 전개에서, Q를 잘라 펼칠 때 자르는 선의 집합을 C라 하고, 펼쳐서 얻은
전개도가 다각형 P라고 할 때,
자르는 선의 집합 C는 Q 위의 모든 정점을 잇는 신장 나무다. 또, P의 둘레는 C의 길이의 2배다.
⇒ 자르는 선들은 다 이어져 있고, 볼록다면체의 모든 꼭짓점을 지나고 있다.
또, 전개도의 둘레의 길이를 재보면 자르는 선들의 길이의 2배다.
볼록다면체 Q 자르는 선의 집합 C
전개도 P

9. 계 2.1.2
모든 변이 단위길이인 정다면체 Q의 정점수를 n이라고 할 때, 변전개도의 둘레는 모두 2n-2다.
n = 4
(둘레)=6
n = 8
(둘레)=14
n = 6
(둘레)=10
n = 20
(둘레)=38
n = 12
(둘레)=22

10. 연습문제2.1.1
정사면체의 전개도 중에서 자르는 선의 길이가 최소인 것을 찾아라
(힌트) 자르는 선의 길이가 3보다 작은 게 있음

11. 연습문제2.1.1 풀이
정사면체의 전개도 중에서 자르는 선의 길이가 최소인 것을 찾아라
자르는 선의 길이는 2 +
3
2
= 2.86
(그런데 답은 아님)

12. 연습문제2.1.1 풀이
정사면체의 전개도 중에서 자르는 선의 길이가 최소인 것을 찾아라
자르는 선의 길이는 7 = 2.65
대각선의 길이는
왼쪽이 더 짧음
슈타이너 나무
(Steiner tree)

13. 연습문제2.1.1 풀이
정사면체의 전개도 중에서 자르는 선의 길이가 최소인 것을 찾아라
정사면체를 많이 만들어야 한다면,
이런 패턴으로…

14. 정리2.1.3
볼록다면체 Q의 전개도가 P일 때, Q에서 정점이었던 점은 P의 둘레 위에 있다

15. 2.2
변전개도의 개수

16. 정다면체(regularpolyhedra)
모든 면이 합동이고, 각 정점의 주위에 같은 수의 정다각형이 모여 있는 입체
◦ 정다면체는 정사면체, 정육면체(입방체), 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체만 존재
◦ 플라톤 입체(plato solid)라고도 함

17. 정다면체의변전개
정다면체의 변전개도의 종류
◦ 정사면체 : 2개
◦ 정육면체 : 11개
◦ 정팔면체 : 11개
◦ 정십이면체 : 43,380개
◦ 정이십면체 : 43,380개
정다면체는 어떠한 변전개를 하더라도 겹치지 않음(2011년, Horiyama, Shoji)
◦ 컴퓨터로 모든 변전개를 조사하여 증명
깎은 정이십면체(축구공)는?
◦ 변전개 중 일부는 겹침(전개도가 안 됨)
◦ 변전개의 방법은 3,127,432,220,939,473,920종류(312경) (2013년, Horiyama, Shoji)
◦ 변전개도의 개수는 아직까지 알려지지 않음

18. 쌍대(dual)관계
정다면체의 각각의 면의 중심을 새로운 정점으로 하고, 변으로 접한 면의 중심끼리 변으로
이어서 만든 입체
◦ 새로 만들어진 입체의 변의 개수는 원래 입체의 변의 개수와 같음
◦ 새로 만들어진 입체의 정점의 개수는 원래 입체의 면의 개수와 같음

19. 정리2.2.1
정다면체에 대해서, 원래 입체와 쌍대다면체의 변전개의 개수는 서로 같음

20. 2.3
아키야마·나라의 정리

21. 타일링
어떤 평면도형 P가 타일링(tiling)이라고 할 때는, P의 복사본을 대량으로 준비해서 이들로
평면을 빈틈없이 채울 수 있음을 말함

22. 정리2.3.1
임의의 삼각형은 타일링이다. 또, 임의의 사각형은 타일링이다.
← 일반삼각격자(general triangular grid)
정삼각형일 때 삼각격자(regular triangular grid)
정사각형이라면 정방격자(regular grid)

23. 사단면체(tetramonohedron)
사단면체란 합동인 면 4개로 구성된 사면체
일반삼각격자에서 적당히 연결된 삼각형 4개를 고르면 만들어짐

24. p2타일링(p2tiling)과회전중심(rotationcenter)
p2타일링(p2 tiling)이란 “평면도형의 복사본을 180도 반전시켜 평면을 빈틈없이 채우는 방식”
◦ 참고로 타일링의 종류는 총 17가지가 있음
회전중심(rotation center)이란, 타일링에서 평면도형을 반전시킬 때의 중심점
동치(equivalent)인 회전중심이란, 타일링이 무한하게 이뤄진다고 가정하고, 두 회전중심을
겹쳐보았을 때, 타일링이 겹치는 회전중심들을 말함

25. 정리2.3.2(아키야마·나라의정리)
다각형 P가 다음 조건을 모두 만족할 때, P는 사단면체의 전개도다
◦ P는 p2타일링이다
◦ P에 의한 타일링에는 동치인 회전중심이 4종류 존재한다
◦ 회전중심은 모든 일반삼각격자 상의 교점이며, 반대로 일반삼각격자 상의 교점은 어떤 것도 이 p2
타일링의 회전중심이다
이 때, P를 사단면체의 전개도로 보았을 때, 일반삼각격자 상의 점(회전중심)은 P로부터 접을 수
있는 사단면체의 정점이 된다

26. 아키야마·나라의정리의예시

27. 정리2.3.3
임의의 직사각형으로부터 무한히 서로 다른 사단면체를 접을 수 있다

28. 정리2.3.4(아키야마·나라의정리의확장)
크기 a×b×c의 상자 Q의 임의의 전개도 P가 있다고 하자. 단, 여기서 a, b, c는 모두 자연수라고
한다. 이 때 P를 정방격자 상에 잘 배치하면, Q의 정점을 모두 격자 위에 놓을 수 있다.

29. 감사합니다.
반응이 좋다면, 다음 강연은 “여러 개의 직육면체를 접는 전개도”