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  • 1. Introducción al Diseño deExperimentos (DOE) 1
  • 2. Contenido A. Diseño de experimentos  1. Introducción  2. Terminología  3. Planeación y diseño de experimentos  4. Aleatorización y bloques aleatorios  5. Experimentos factoriales completos  6. Experimentos factoriales fraccionales  7. Conceptos de robustez de Taguchi  8. Experimentos con mezclas 2
  • 3. 8. Contenido B. Metodología de superficies de respuesta  1. Experimentos en trayectoria de asecenso y descenso rápido  2. Experimentos de alto orden C. Operaciones evolutivas EVOP 3
  • 4. 8A1. Perspectiva histórica Ronald Fisher los desarrolla en su estación agrícola experimental de Rothamsted en Londres (ANOVA) 1930 Otros que han contribuido son: F. Yates, G.E.P. Box, R.C. Bose, O. Kempthorne, W.G. Cochran, G. Taguchi Se ha aplicado el DOE en la agricultura y ciencias biológicas, industria textil y lana, en los 1930’s Después de la II Guerra mundial se introdujeron en la industria Química e industria electrónica 4
  • 5. 8A1. Introducción El cambiar un factor a un tiempo presenta las desventajas siguientes:  Se requieren demasiados experimentos para el estudio  No se puede encontrar la combinación óptima de vars.  No se puede determinar la interacción  Se puede llegar a concluiones erroneas  Se puede perder tiempo en analizar las variables equivocadas 5
  • 6. 8A1. Introducción El DOE intenta evitar estos problemas con una planeación adecuada variando varios factores simultaneamente de forma que se puede identificar su efecto combinado en forma económica:  Se pueden identificar los factores que son significativos  Se pueden lograr mejoras en la calidad y productividad  No es necesario un conocimiento profundo estadístico  Las conclusiones obtenidas son confiables  Se pueden encontrar los mejores niveles de factores controlables que inmunizen al proceso contra variaciones en factores no controlables 6
  • 7. 8A1. ¿Qué es el diseño deexperimentos? Es una prueba o serie de pruebas donde se inducen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso, para observar su influencia en la variable de salida o respuesta Es el proceso de planear un experimento para obtener datos apropiados, que pueden ser analizados mediante métodos estadísticos, con objeto de producir conclusiones válidas y objetivas. X’s Y´s respuestas Factores De control Z’s factores no controlables 7
  • 8. 8A1. ¿Qué es un experimento diseñado?Cambios deliberados y sistemáticos de las variables de entrada(factores) para observar los cambios correspondientes en lasalida (respuesta).Entradas Salidas (Y) Entradas Salidas (Y) Diseño de Proceso Producto 8
  • 9. 8A1. Experimentos Diseñados Medir Caracterización Se usa para examinar Analizar una gran cantidad de variables.Estrategia deGran Impacto Se usa para identificar Mejorar variables de entrada críticas y cuantificar su Optimización efecto en la salida. Controlar 9
  • 10. 8A1. Principios básicos Obtención de réplicas: repetición del experimento (5 probetas en cada medio de templado)  Para determinar el error experimental con objeto de identificar diferencias significativas estadísticamente en los datos observados  Calcular una estimación más precisa del efecto de un factor en el experimento si se usa la media de la muestra como estimador de dicho efecto (n = 1, Y1 =145, Y2 = 147) 10
  • 11. 8A1. Principios básicos Aleatorización: hacer en forma aleatoria,  Permite confundir el efecto de los factores no controlables  La asignación de los materiales utilizados en la experimentación  El orden en que se realizan los experimentos Ejemplo: asignación de probetas con diferente grosor asignadas aleatoriamente a dos métodos de templado (en lugar de las gruesas a un método y las delgadas a otro) 11
  • 12. 8A1. Principios básicos Análisis por bloques, para mejorar la precisión del experimento  Un bloque es una porción del material experimental que es más homogéneo que el total del material experimental.  Se comparan las condiciones de interés dentro de cada bloque  Por ejemplo las condiciones de un día específico o un turno específico 12
  • 13. 8A1. Factores y niveles Los factores son los elementos que cambian durante un experimento para observar su impacto sobre la salida. Se designan como A, B, C, etc. - Los factores pueden ser cuantitativos o cualitativos - Los niveles se designan como alto / bajo (-1, +1) o (1,2)Factor NivelesB. Temp de Moldeo 600 700E. Tipo de Material Nylon Acetal Factor cuantitativo, o o dos niveles Factor cualitativo, dos niveles 13
  • 14. 8A1. Estrategias de DOE Orden aleatorio - El orden de las corridas aleatorio, reduce los efectos de variables que no se consideraron en el diseño. Bloqueo - Orden de corridas aleatorio en cada bloque(Ej. , bloque de tiempo: AM vs PM, o Día 1 vs Día 2). 14
  • 15. 8A2. Términos Bloques:  Unidades experimentales homogeneas Bloqueo  Considerar las variables que el experimentador desea reducir su efecto o variablidad Colinealidad  Ocurre cuando 2 variables están completamente correlacionadas Confundidos  Cuando el efecto de un factor no se puede separar del efecto de alguna de sus interacciones (B y BC) 15
  • 16. 8A2. Términos Covarianza  Cosas que cambian durante los experimentos pero no fueron planeadas a cambiar Curvatura  Comportamiento no lineal que requiere un modelo de al menos segundo grado Grados de libertad (DOF, DF, df o )  Número de mediciones independientes para estimar un parámetro poblacional EVOP (Evolutive operations)  Describe una forma secuencial de experimentación haciendo pequeños cambios en el proceso para mejorarlo 16
  • 17. 8A2. Términos Error experimental  Variación en respuesta bajo las mismas condiciones de prueba. También se denomina error residual. Fraccional  Un arreglo con menos experimentos que el arreglo completo (1/2, ¼, etc.) Factorial completo  Arreglo experiemental que considera todas las combinaciones de factores y niveles Interacción  Ocurre cuando el efecto de un factor de entrada en la respuesta depende del nivel de otro factor diferente 17
  • 18. 8A2. Términos Nivel  Un valor específico para un factor controlable de entrada Efecto principal  Un estimado del efecto de un factor independientemente del efecto de los demás Experimento con mezclas  Experimentos en los cuales las variables se expresan como proporciones del todo sumando 1.0 Optimización  Hallar las combinaciones de los factores que maximizen o minimizen la respuesta 18
  • 19. 8A2. Términos Ortogonal o balanceado  Es el arreglo que permite estimar los efectos de los factores principales y de sus interacciones sin confundirlos (el factorial completo es un ejemplo) Experimentos aleatorios  Reduce la influencia de variables extrañas en la experimentación Réplicas  Experimentos repetidos en diferente tiempo para estimar el error experimental Error residual  Es la diferencia entre los valores observados y los estimados por un modelo 19
  • 20. 8A2. Términos Resolución I  Experimentos donde se varia sólo un factor a la vez Resolución II  Experimentos donde algunos efectos principales se confunden, es indeseable Resolución III- Exp. fraccionales  Experimentos fraccionales donde no se confunden los efectos principales entre sí, sólo con sus interacciones de dos factores Resolución IV- Exp. fraccionales  No se confunden los efectos principales ni con sus interacciones pero si lo hacen las interacciones entre si 20
  • 21. 8A2. Términos Resolución V – Exp. Fraccionales  Sólo puede haber confusión entre interacciones de dos factores con interacciones de tres factores o mayor orden Resolución VI - Exp. Factorial completo V+  Experimentos sin confusión factoriales completos o dos bloques de 16 experimentos Resolución VII – Exp. Factoriales completos  Experimentos en 8 bloques de experimentos 21
  • 22. 8A2. Términos Método de Superficie de respuesta  Sirve para descubrir la forma de la superficie de respuesta y aprovecha los conceptos geométricos Variable de respuesta  Variable que muestra los resultados observados de un tratamiento experimental, es la variable dependiente Diseño robusto  De acuerdo a Taguchi, un experimento en el cual la variable de respuesta es inmune a los factores de ruido Experimento de filtrado  Técnica para identificar los factores más importantes para el diseño de experiementos 22
  • 23. 8A2. Términos Experimentos secuenciales  Se realizan uno después de otro Simplex  Es una figura geométrica que tiene un número de vértices (esquinas) mayor en uno al número de dimensiones en el espacio factorial Diseño simplex  Un diseño espacial usado para determinar todas las combinaciones posibles de factores de entrada en una prueba experimental Tratamientos  Son los diversos niveles de los factores que describen como se debe realizar el experimento (30º y 3pH) 23
  • 24. 8A3. El Diseño de experimentos tienecomo objetivos determinar: Las X’s con mayor influencia en las Y’s El mejor valor de X’s para lograr Y’s nominales El mejor valor de X’s de manera que la variabilidad de Y sea pequeña El mejor valor de las X’s de manera que se minimizen los efectos de las Z’s – Proceso robusto 24
  • 25. 8A3. Aplicación del DOE Selección entre diversas alternativas Slección de los factores clave que afectan la respuesta Modelado de la superficie de respuesta para:  Llegar al objetivo  Reducir la variabilidad  Maximizar o minimizar la respuesta  Hacer un proceso robusto  Buscar objetivos múltiples 25
  • 26. Claves para Experimentar con Éxito1. Medición Adecuada de los Resultados Usar un resultado relacionado directamente con la función del proceso, usar datos variables..2. Diseño Experimental Sólido Ni el mejor análisis de datos puede compensar un experimento mal diseñado. Selecciona cuidadosamente la respuesta de salida, los factores y los niveles así como el esquema del DEE.3. Planeación Metículosa Para asegurar que las condiciones se puedan controlar como se estableció en el diseño experimental, se deben preparar con anticipación todos los recursos (gente, materiales, etc.) necesarios para realizar el experimento. 26
  • 27. Claves para Experimentar con Exito4. Sistemas de Medición Verificados Para asegurar que todos los datos sean ―buenos‖, verifica todos los sistemas de medición antes de realizar el DEE.5. Identifica las Unidades Experimentales Marca cada unidad de acuerdo con la condición experimental que la produce. De lo contrario, se perderá toda la información. 27
  • 28. 8A3. Pasos para Diseñar y Realizar un Diseño de Experimentos1. Observar datos históricos y/o recolectar datos para establecer la capacidad actual del proceso debe estar en control estadístico.2. Determinar el objetivo del experimento (CTQs a mejorar).Por medio de un equipo de trabajo multidisciplinario3. Determinar qué se va a medir como resultado del experimento.4. Identificar los factores (factores de control y de ruido) que pueden afectar el resultado. 28
  • 29. 8A3. Pasos para Diseñar y Realizar un Diseño de Experimentos5. Determinar el número de niveles de cada factor y sus valores reales.6. Seleccionar un esquema experimental que acomode los factores y niveles seleccionados y decidir el número de replicas.7. Verificar todos los sistemas de medición (R&R < 10%)8. Planear y preparar los recursos (gente, materiales, etc.) para llevar a cabo el experimento. Hacer un plan de prueba.9. Realizar el experimento, marcar partes con la condición experimental que la produce. 29
  • 30. Pasos para Diseñar y Realizar un Diseño de Experimentos10. Medir las unidades experimentales.11. Analizar los datos e identificar los factores significacivos.12. Determinar la combinación de niveles de factores que mejor alcance el objetivo.13. Correr un experimento de confimación con esta combinación "óptima".14. Asegurar que los mejores niveles para los factores significativos se mantengan por largo tiempo mediante la implementación de Procesos de Operación Estándar y controles visuales.15. Re evaluar la capacidad del proceso. 30
  • 31. Ejemplo: Proceso de soldadura de unatarjeta de circuito impreso Objetivos de los experimentos  Caracterizar el proceso (identificar los factores que influyen en la ocurrencia de defectos)  Optimizar, identificar el nivel óptimo de los factores críticos para reducir el número de defectos en los circuitos impresos Identificar la variable de respuesta Identificar los factores controlables que pueden afectar Y Identificar los factores de ruido que no podemos o queremos controlar 31
  • 32. Ejemplo: Proceso de soldadura de unatarjeta de circuito impreso Variables de control X’s  Temperatura de la soldadura  Temperatura de precalentamiento  Velocidad de la banda  Tipo de fundente  Densidad relativa del fundente  Altura de la ola de soldadura  Angulo de la banda transportadora 32
  • 33. Ejemplo: Proceso de soldadura de unatarjeta de circuito impreso Variables que no se pueden o desean controlar Z’s – Variables de ruido  Espesor de la tarjeta de circuito impreso  Tipos de componentes usados en el CI  Disposición de los componentes  Operario  Ritmo de producción 33
  • 34. Los Factores Pueden Afectar...1. La Variación del Resultado 3. La Variación y el Promedio Temp Tiempo de Alta Ciclo Largo Temp Tiempo de Baja Ciclo Corto Dimensión de la Parte Dimensión de la Parte2. El Resultado Promedio 4. Ni la Variación ni el Promedio Presión de Presión de Sujeción Alta Sujeción Baja Ambos materiales producen el mismo resultado Dimensión de la Parte Dimensión de la Parte 34
  • 35. Tipos de SalidasLas salidas se clasifican de acuerdo con nuestros objetivos. Objetivo Ejemplos de Salidas1. El Valor Meta es el Mejor Lograr un • Dimensión de la Parte valor meta con variación mínima • Voltaje • ILD de Uretano Meta2. El Valor Mínimo es el Mejor Tendencia de • Tiempo de Ciclo salida hacia cero • Contracción de la Parte • Desviación 0 3. El Valor Máximo es el Mejor Tendencia de salida • Fuerza hacia arriba • Durabilidad
  • 36. Estrategia cuando el “Valor Meta es Mejor”Paso 1: Encuentra los factores que afectan la variación. Usa estos factores para reducir al mínimo la variación.Paso 2: Encuentra los factores que desplazan el promedio (y no afectan la variación). Usa estos factores para ajustar la salida promedio con la meta deseada. Meta 36
  • 37. Estrategia cuando el “Valor Mínimo es Mejor” Tendencia de salida baja 0• El objetivo en este caso es encontrar los factores que afectan la salida promedio (tiempo). Usa estos factores para hacer que la tendencia del promedio sea baja.• Cuando se reduce la variación en la salida al mínimo, también se mejora la salida al detectar los factores que contribuyen en gran medida a la variación. 37
  • 38. Respuesta de Salida La salida que se mide como resultado del experimento Dimensión de la Parte y se usa para juzgar los efectos de los factores. Factores A. Tiempo de Ciclo B. Temp. de MoldeoLas variables de entrada de proceso que se C. Presión de Sujeciónestablecen a diferentes niveles para observar D. Tiempo de Sujeciónsu efecto en la salida. E. Tipo de Material Factor NivelesNiveles B. Temp. de Moldeo 600 700Los valores en los que se establecen los factores. E. Tipo de Material Nylon AcetalInteracciones Tiempo x Temp:El grado en que los factores dependen unos de otros. El mejor nivel de tiempoAlgunos experimentos evalúan el efecto de las depende de lainteracciones; otros no. temperatura establecida. Corridas A B C D E DatosPruebas o Corridas Experimentales 1 -1 -1 -1 -1 -1Las combinaciones de pruebas específicas de factores y 2 -1 -1 +1 +1 +1 3 -1 +1 -1 +1 +1niveles que se corren durante el experimento. . . -1=Nivel Bajo 38 +1=Nivel Alto
  • 39. Tipos de ExperimentosTipos Comunes Número Típico dede Experimentos Objetivos Factores Controlables • Encontrar los niveles de 4 o menos1. Factorial Completo factor que proporcionan(todas las combinaciones de factores los mejores resultados.y niveles) • Construir un modelo matemático (evalúa todas las interacciones). • Encontrar los niveles de2. Fraccional Factorial factor que proporcionan 5 o más(subgrupo del número total de los mejores resultados.combinaciones) • Construir un modelo matemático (evalúa todas las interacciones).3. Examen • Probar muchos factores para encntrar los pocos vitales. 7 o más 39 (no evalúa interacciones).
  • 40. Tipos de Experimentos (continuación)Tipos Comunes Número Típico dede Experimentos Objetivos Factores Controlables • Optimizar4. Diseño Central • Construir un modelo matemático 3 o menos• Compuesto cuando no haya efectos lineales o Box-Behnken (Superficie de respuesta).5. Diseño Robusto • Optimizar • Para encontrar los niveles de factores a fin de reducir al mínimo la variación 5 o más ante factores de ruido cambiantes. 6. Diseño Robusto • Optimizar • Optimizar la función de un producto Dinámico de o proceso de manufactura. Taguchi • Reducir al mínimo la sensibilidad al 7 o más (Función Ideal) ruido y aumentar al máximo la sensibilidad a la señal de entrada. 40
  • 41. 8A4. Experimentos factorialesaleatorizados y bloqueados Ver Parte 7 en las secciones de ANOVA De dos vías, Cuadrado Latino y Cuadrado Grecolatino 41
  • 42. 8A5. Experimentos factorialescompletos 42
  • 43. 8A5. Experimento factorial completo – sin interacción Un experimento factorial completo es un experimento donde se prueban todas las posibles combinaciones de los niveles de todos los factores. Factor A : -1 +1 +1 30 52 Y = Respuesta Factor B : -1 20 40 B+1 Efecto del factor A = (52+40)/2 - (30+20)/2 = 21 Efecto del factor B = (30+52)/2 - (20+40)/2 = 11 B-1 Efecto de A*B = (52+20)/2 – (30+40)/2 =1 A -1 +1 43
  • 44. Modelo de regresión linealy   0  1 x1   2 x2  12 x1 x2ˆ  (20  40  30  52) / 4  35.5 0 ˆ1  21/ 2  11ˆ 2  11/ 2  5.5 ˆ12  1/ 2  0.5y  35.5  10.5 x1  5.5 x2  0.5 x1 x2ˆ El coeficiente 0.5 es muy pequeño dado que no hay interacción 44
  • 45. Gráfica de contornos 1 49 Dirección De ascenso 46 rápido .5 40X2 34 0 28 -.5 22 -1 X1 -1 -.6 -.4 -.2 0.0 +.2 +.4 +.6 +.8 +1 45
  • 46. Superficie de respuesta Superficie de respuesta X2 Gráfica del modelo de regresión X1 46
  • 47. 8A5. Experimento factorial completo – con interacción Un experimento factorial completo es un experimento donde se prueban todas las posibles combinaciones de los niveles de todos los factores. Factor A : -1 +1 +1 40 12 Y = Respuesta Factor B : -1 20 50 B+1 Efecto de A*B = {(12+20)-(40+50)}/2 = -29 B-1 A -1 +1 47
  • 48. Modelo de regresión linealy   0  1 x1   2 x2  12 x1 x2ˆ  (20  40  30  52) / 4  30.5 0 ˆ1  2 / 2  1ˆ 2  18 / 2  9 ˆ12  58 / 2  29y  30.5  1x1  9 x2  29 x1 x2ˆ El coeficiente -29 es muy grande representando la interacción 48
  • 49. Gráfica de contornos 1 49 Dirección De ascenso 25 43 rápido .5 40X2 31 34 0 28 -.5 -1 X1 -1 -.6 -.4 -.2 0.0 +.2 +.4 +.6 +.8 +1 49
  • 50. Superficie de respuesta Superficie de respuesta Gráfica del modelo de regresión 50
  • 51. 8A5. Experimento factorial completo  Un experimento factorial completo es un experimento donde se prueban todas las posibles combinaciones de los niveles de todos los factores. Factor A : Temperatura de Salida o 700 900 o y1 y5Factor B : 30 min. y2 Y6Tiempo en Horno Y = Dureza de la Parte y3 y7 60 min. y4 y8 51
  • 52. Análisis del efecto de la media Factor A : Temperatura de Salida 700 900 Factor B : Tiempo en Horno 90 84 30 min. 87 87 Y = Dureza de la Parte 95 79 60 min. 92 78Un análisis de la media responde estas preguntas:1. ¿El cambio de temperatura afecta la dureza promedio de la parte?• ¿El cambio de tiempo en Horno afecta la dureza promedio de la parte?• ¿Qué efecto tiene la interacción entre la temperatura y el tiempo sobre la dureza promedio de la parte? 52
  • 53. El Efecto de la Temperatura de Salida Factor A : Temperatura de Salida Factor B : Tiempo en Horno A1 = 700 A2 = 900 90 84 B1 = 30 min. 87 87 95 79 B2 = 60 min. 95 92 78 Dureza de Brinnell 91 90 A1 = 90 + 87 + 95 + 92 = 91 85 82 4 80 84 + 87 + 79 + 78 = 82 A2 = 700 o 900 o 4 ¿El cambio de temperatura de salida parece cambiar la dureza promedio de la parte?
  • 54. El Efecto del Tiempo en Horno Factor A : Temperatura de Salida Factor B : Tiempo A1 = 700 A2 = 900 en Horno 90 84 B1 = 30 min. 87 87 95 79 B2 = 60 min. 92 78 95 Dureza de Brinnell 90 87 86B1 = 90 + 87 + 84 + 87 = 87 85 4 80 95 + 92+ 79 + 78 = 86B2 = 30 min. 60 min. 4 ¿El cambio de tiempo en horno parece cambiar la dureza promedio de la parte?
  • 55. El Efecto de la Interacción Factor A : Temperatura de Salida Factor B : Tiempo A1 = 700 o A2 = 900 o en Horno B1 = 30 90 84 min. 87 87 B2 = 60 95 79 min. 92 78 95 Dureza de Brinnell A1 A2 90 B1 88.5 85.5 85 B2 93.5 78.5 80 30 min. 60 min. A,B, = 90 + 87 = 88.5 2• En una gráfica de interacción, las líneas paralelas indican que no hay interacción. ¿Por qué?• ¿La temperatura y el tiempo en horno parecen interactuar?• ¿Qué niveles de temperatura y tiempo deben usarse para aumentar al máximo la dureza delas partes?
  • 56. Corrida con Minitab – Creación del diseñopara 2 factores 2 nivelesStat > DOE > Factorial > Create Factorial Designo Two levelDesigns: Number of center points 0 Number of Replicates 2 Number of blocks 1 OKOptions Non randomize runs OKFactors Introducir el nombre real de los factores y en forma opcional los niveles realesResults Summary table, alias table OK 56
  • 57. Corrida con Minitab – Diseño para 2 factores con 3 o más nivelesStat > DOE > Factorial > Create Factorial DesignType of Design: General Full FactorialDesigns: Number of levels 3, 3 Number of Replicates 2Options Non randomize runs OKFactors Introducir el nombre real de los factores y en forma opcional los niveles reales 57
  • 58. Corrida con Minitab – Análisis del diseño factorial  Hacer una columna de RESPUESTAS e introducir los datos correspondientes a cada celdaStat > DOE > Factorial > Analyze Factorial DesignResponse Seleccionar la columna de las respuestas Residuals EstandardizedTerms Pasar todos los términos a Selected con >> OKGraphs Seleccionar Effects Plots Normal y Pareto Seleccionar Residual plots: Normal y vs fits OKResults Full table of fits and residuals Seleccionar todos los términos con >> OKOK 58
  • 59. Corrida con Minitab –Interpretación de gráficasMAIN EFFECTS La gráfica de EFFECTS PLOT debe indicar fuera de la recta los factores e interacciones que son significativas La gráfica EFFECTS PARETO debe indicar en sus barras principales más allá de la recta de 0.1 o 0.05 los factores e interacciones significativasRESIDUALS La gráfica NORMPLOT de residuos debe mostrar los puntos cerca de la recta La gráfica de residuos RESIDUALS vs FITS debe mostrar aleatoriedad en los residuos 59
  • 60. Corrida con Minitab – Interpretación de resultadosEstimated Effects and Coefficients for Res (coded units)Term Effect Coef SE Coef T P Variables significativas (p < 0.05, 0.1)Constant 86.500 0.6614 130.78 0.000A -9.000 -4.500 0.6614 -6.80 0.002B -1.000 -0.500 0.6614 -0.76 0.492A*B -6.000 -3.000 0.6614 -4.54 0.011Modelo de regresión Y = 86.5 – 4.5 A – 3 AB (incluyendo sólo las variables significativas)Analysis of Variance for Res (coded units)Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 164.00 164.00 82.000 23.43 0.006 Existencia del modelo2-Way Interactions 1 72.00 72.00 72.000 20.57 0.011Residual Error 4 14.00 14.00 3.500 Pure Error 4 14.00 14.00 3.500Total 7 250.00 60
  • 61. Tabla ANOVA – Experimento de Tratamiento TérmicoOrigen DF SS Sec SS Aj MS Aj F P La Temperatura es significativa.Temp 1 162.000 162.00 162.00 46.29 0.002 El Tiempo, porTiempo 1 2.000 2.000 2.000 0.57 0.492 sí solo, no es significativo.Temp* 1 72.000 72.000 72.000 20.57 0.011Tiempo El Tiempo, enError 4 14.000 14.000 3.500 combinación con laTotal 7 250.000 Temperatura, es significativa. 61
  • 62. Error Experimental Si la variabilidad a causa de un factor (o interacción) es suficientemente mayor que el error experimental (normalmente 0.05) , el factor (o interacción) afecta la salida. La precisión de las pruebas de efectos significativos depende de la exactitud del cálculo del error experimental. 62
  • 63. Tamaño de la Muestra El tamaño de la muestra (la cantidad de valores de los datos en cada combinación de prueba) también ejerce un impacto sobre el cálculo del error experimental. Generalmente, mientras más datos (más grados de libertad), mejor el cálculo. Sin embargo, debemos evaluar las consideraciones prácticas contra las consideraciones estadísticas. Aunque pueden existir excepciones, una buena práctica es recolectar un mínimo de 3 valores de datos para cada combinación de prueba. 63
  • 64. Corridas con Minitab – Gráficas factoriales Crear las gráficas factoriales y de interacción:Stat > DOE > Factorial > Factorial PlotsSeleccionar Main effects e Interaction Plots Setup para ambas: Seleccionar columna Respuesta y con >> seleccionar todos los factores OKSeleccionar Data Means OK 64
  • 65. Gráfica de efectos principales Main Effects Plot (data means) for Res -1 1 -1 1 90 88 Res 86 84 82 A B 65
  • 66. Gráfica de interacciones Interaction Plot (data means) for Res A -1 1 90Mean 85 80 -1 1 B 66
  • 67. Corridas con Minitab – Gráficas de contorno y superficie de respuesta Crear las gráficas de contorno y superficies de respuesta:Stat > DOE > Factorial > Contour/Surface PlotsSeleccionar Contour / Surface Plots Setup para ambas: Entrar a opción y dar OKSeleccionar OK 67
  • 68. Gráfica de contorno Contour Plot of Res 1 82.5 85.0 87.5 90.0 92.5 0 B -1 -1 0 1 A 68
  • 69. Gráfica superficie de respuesta Surface Plot of Res 95 90 Res 85 80 1 0 -1 B 0 -1 A 1 69
  • 70. Experimentos de Factoriales Completos-todas las combinaciones Niveles Factores Bajo Alto Temperatura 350 400 Tiempo 1min. 2min. Todas las combinaciones Temperatura Tiempo Corrida 1: 350 1min. Corrida 2: 350 2min. Corrida 3: 400 1min. Corrida 4: 400 2min. 70
  • 71. Número de Niveles• En Dos Niveles nos permite considerar únicamente los efectos lineares.• En Tres Niveles hay la necesidad de ejecutar más pruebas, sin embargo, nos permite buscar la curvatura, es decir, los efectos cuadráticos. y y 1 2 1 2 3 2 Niveles 3 Niveles 71
  • 72. Diseños de Dos Niveles• Una estrategia que frecuentemente se emplea es la de considerar un gran número de factores, cada uno dispuesto en dos niveles para identificar los factores que son significativos. 72
  • 73. Determinación del Número de Combinaciones de PruebaEl número de combinaciones de prueba para unfactorial completo con factores k, cada uno en dosniveles es: n2kPor lo tanto, a estos diseños se lesconoce como diseños 2k . 73
  • 74. Codificación de los Niveles de los FactoresLos niveles de los factores para los diseños 2k se codifican como: Nivel bajo = -1 Nivel alto = +1 Diseño 22: Diseño 23: Corrida A B Corrida A B C 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 2 +1 -1 2 +1 -1 -1 3 -1 +1 3 -1 +1 -1 4 +1 +1 4 +1 +1 -1 5 -1 -1 +1 6 +1 -1 +1 Minitab puede manejar 7 -1 +1 +1 diseños hasta 27 . 8 +1 +1 +1 74
  • 75. Factorial Completo con 3 Factores Diseño 23, Factores A, B, C.Permite la evaluación de todos los efectos: Efectos Interacciones con Interacciones conPrincipales 2 factores 3 factores A AB ABC B AC C BC 75
  • 76. Factorial completo con 3 factores Corrida A B C 1 -1 -1 -1 2 +1 -1 -1 3 -1 +1 -1 4 +1 +1 -1 5 -1 -1 +1 6 +1 -1 +1 7 -1 +1 +1 8 +1 +1 +1 76
  • 77. Diseño 23 con Columnas de Interacción Fila A B C AB AC BC ABC 1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 2 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 3 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 4 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 5 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 6 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 7 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1Las columnas de interacción se obtienen multiplicandolos datos ingresados en la columna factor.Las columnas de interacción no se usan para ejecutarlas pruebas.Estas se usan en el análisis de los datos resultantes.
  • 78. Análisis de los Datos1. Análisis de las Medias Determina los factores que afectan la respuesta promedio.2. Análisis de Desviación Estándar Determina los factores que afectan la variabilidad en la respuesta. En ambos casos, se analizan los datos usando…… - Tablas y Gráficas de Respuesta - Los valores P para significancia de los coeficientes. 78
  • 79. Experimento Factorial - 2 niveles A B C Leyenda: 1. - - - - : Nivel bajo de un factor 2. + - - + : Nivel alto de un factor 3. - + - Factor – +A. Perfil #1 Posición 1 Posición 2 4. + + -B. Angulo 90° 105° 5. - - +C. Presión Baja Alta 6. + - + 7. - + + Esta distribución experimental muestra todas 8. + + + las combinaciones posibles de 3 factores en 2 niveles 79
  • 80. La Distribución Experimental A B C Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 1. - - - 19.18 19.02 19.09 2. + - - 3. - + - 4. + + - 5. - - + 6. + - + 7. - + + 8. + + +Las corridas experimentales Entonces, tres piezas seestán dadas por las filas. Por manufacturan con el procesoejemplo, la corrida #1 nos establecido en los niveles bajos dedice que todos los factores A, B y C. La dimensión interna sedeben posicionarse en susniveles bajos (-). mide y se registra. 80
  • 81. Datos Experimentales Completos A B C Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 1. - - - 19.18 19.02 19.09 2. + - - 19.15 19.40 19.62 3. - + - 19.41 18.82 19.14 4. + + - 19.89 18.94 19.40 5. - - + 18.73 18.63 18.79 6. + - + 19.17 18.76 18.94 7. - + + 18.40 18.73 19.04 8. + + + 18.54 19.46 18.97Se estableció cada una de las 8 combinaciones de laprueba y se manufacturaron tres piezas en cadacombinación. 81
  • 82. Búsqueda de los Factores que Afectan alDiámetro Promedio A B C Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Prom. 1. - - - 19.18 19.02 19.09 19.10 2. + - - 19.15 19.40 19.62 19.39 3. - + - 19.41 18.82 19.14 19.12 4. + + - 19.89 18.94 19.40 19.41 5. - - + 18.73 18.63 18.79 18.72 6. + - + 19.17 18.76 18.94 18.96 7. - + + 18.40 18.73 19.04 18.72 8. + + + 18.54 19.46 18.97 18.99 Para identificar cuáles son los factores que afectan la dimensión promedio de las piezas, primero calculamos el promedio de cada una de las combinaciones de prueba. 82
  • 83. Evaluación del Efecto del Factor C A B C Prom. 1. - - - 19.10  19 .39  19.12  19 .41 2. + - - 19.39 Prom. en C  19 .10  19 .26 3. - + - 19.12 4 4. + + - 19.41 5. - - + 18.72    6. + - + 18.96 Prom. en C  18.72 18.96 18.72 18.99  18.85 7. - + + 18.72 4 8. + + + 18.99El Factor C tiene un efecto en la respuesta promedio si la dimensión promedio en el nivel C– difiere de la dimensión promedio en el nivel C+. 83
  • 84. Tabla de Respuesta para las Medias A B C Prom. A B C1. - - - 19.10 – 18.92 19.04 19.262. + - - 19.393. - + - 19.12 + 19.19 19.06 18.85 Es el Efecto más Grande4. + + - 19.41  0.27 0.02 -0.415. - - + 18.726. + - + 18.96 También es un7. - + + 18.72 Efecto significativo8. + + + 18.99 84
  • 85. Gráficas de los Efectos de losFactores (Medias) Gráfica de Efectos Principales (medias de los datos) para Dimensión 19.25 19.15Dimensión 19.05 18.95 18.85 A B C 85
  • 86. La Interacción AB A B C AB = ( A x B) = AB 1. – – – + = (-1 x -1) = +1 2. + – – – = (+1 x -1) = -1 3. – + – – = (-1 x +1) = -1 4. + + – + = (+1 x +1) = +1 5. – – + + = (-1 x -1) = +1 6. + – + – = (+1 x -1) = -1 7. – + + – = (-1 x +1) = -1 8. + + + + = (+1 x +1) = +1 86
  • 87. El Efecto de la Interacción AB A B C AB Prom.1. + 19.102. - 19.39 19.34  19.12  18.96  18.723. - 19.12 Prom. en AB    19.05 44. + 19.415. + 18.72 19.10  19.41  18.72  18.996. - 18.96 Prom. en AB    19.057. - 18.72 48. + 18.99 A B C AB - 18.92 19.04 19.26 19.05 + 19.19 19.06 18.85 19.05  0.27 0.02 -0.41 0.00 87
  • 88. Columnas de interacciones A B C AB AC BC ABC Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Prom.1 – – – + + + – 19.18 19.02 19.09 19.102 + – – – – + + 19.15 19.40 19.62 19.393 – + – – + – + 19.41 18.82 19.14 19.124 + + – + – – – 19.89 18.94 19.40 19.415 – – + + – – + 18.73 18.63 18.79 18.726 + – + – + – – 19.17 18.76 18.94 18.967 – + + – – + – 18.40 18.73 19.04 18.728 + + + + + + + 18.54 19.46 18.97 18.99 Las columnas de interacción AC, BC y ABC Se obtienen multiplicando las columnas A,B,C. 88
  • 89. Tabla de Respuesta para Medias A B C AB AC BC ABC– 18.92 19.04 19.26 19.05 19.06 19.05 19.05+ 19.19 19.06 18.85 19.05 19.04 19.05 19.06 0.27 0.02 -0.41 0.00 -0.02 0.00 0.01 89
  • 90. Efectos principales e Interacciones Gráfica de Interacción (medias de los datos) Gráfica de Interacción (medias de los datos) para Dimensión para Dimensión A A 19.2 -1 19.4 -1 1 1 19.3 19.2 19.1 Media Media 19.1 19.0 19.0 18.9 18.8 18.9 -1 1 -1 1 B C Gráfica de Interacción (medias de los datos) para Dimensión B -1 19.25 1 19.15 Media Las líneas paralelas significan que 19.05 18.95 no hay interacción. 18.85 -1 1 C 90
  • 91. Ecuación de Predicción A B  AB y  y( ˆ )A  ( )B  ( ) AB  ... 2 2 2 ˆ y = Respuesta predicha A  Mitad del efecto para el factor A 2 B  Mitad del efecto para el factor B 2 y  Promedio de todos los datosEn la ecuación de predicción se incluyen únicamente los efectos quese consideran importantes (cuyo valor de P es menor o igual a 0.05). 91
  • 92. Factores que Afectan la Variación Se identifican los factores que afectan la variación en la respuesta. Se calcula la desviación estándar de cada uno de los conjuntos de replicas. Se analiza dicha columna de la misma manera que se analizó el promedio: - Tabla de Respuesta (las deltas grandes muestran los factores o interacciones que están afectando la variación). - Gráficas (El eje vertical representa la desviación estándar). - Los valores P para la prueba de los coeficientes (generar un modelo s-hat usando los términos significativos). 92
  • 93. Factores que Afectan la Variación Desviación A B C Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Estándar 1. - - - 19.18 19.02 19.09 0.080 2. + - - 19.15 19.40 19.62 0.235 3. - + - 19.41 18.82 19.14 0.295 4. + + - 19.89 18.94 19.40 0.475 5. - - + 18.73 18.63 18.79 0.081 6. + - + 19.17 18.76 18.94 0.206 7. - + + 18.40 18.73 19.04 0.320 8. + + + 18.54 19.46 18.97 0.460 Para identificar cuales son los factores que afectan la variación en la dimensión de los rieles, primero calculamos la desviación estándar de cada una de las corridas. 93
  • 94. Tabla de Respuesta de la Desviación Estándar A B C AB AC BC ABC – 0.194 0.150 0.271 0.264 0.278 0.264 0.270 + 0.344 0.388 0.267 0.274 0.260 0.274 0.268  0.150 0.237 -0.005 0.010 -0.018 0.010 -0.002 Se generó una tabla de respuesta, con las desviaciones estándar, que muestre la fuerza que tiene cada factor e interacción sobre la variación de la dimensión 94
  • 95. Gráficas de los Efectos de los Factores (Variación) Gráfica de Efectos Principales (medias de los datos) de la Desviación Estándar Desviación Estándar 0.39 0.33 0.27 0.21 0.15 A B C Las gráficas muestran el efecto de cada factor sobre la variación. 95
  • 96. Mejoramiento en Dos Pasos Paso 1: Usar el análisis de desviación estándar para reducir la variabilidad. Paso 2: Usar el análisis de la media para ajustar el proceso o producto con la meta establecida, sin aumentar la variación. Si se tiene conflicto con el nivel de algún factor, se debe dar preferencia al nivel que reduzca la variabilidad 96
  • 97. Efectos de las Variables de RuidoLas variables no controladas durante un experimento (tales como lascondiciones ambientales) pueden producir cambios en la respuesta de lasalida. Si una variable de fondo cambia un factor de la misma forma quenuestro experimento lo cambia, entonces, nuestra conclusión esincorrecta cuando decimos que el factor está produciendo el efecto. Presión Las Corridas 1 a 4 se ejecutaron de Datos Inyección en la mañana cuando la 1. - 1.4 temperatura ambiental en la 2. - 1.6 Prom.= 1.23 planta es templada. 3. - 1.0 Las Corridas 5 a 8 se ejecutaron 4. - 0.9 ¿ Por qué en la tarde cuando hace calor. 5. + 1.1 la diferencia? La diferencia observada en la salida, ¿se debe al cambio en la 6. + 0.7 presión de inyección o al cambio 7. + 0.6 Prom.= 0.73 en la temperatura ambiental? 8. + 0.5 97
  • 98. Orden Aleatorio de las CorridasUna estrategia para protegerse de las variables de ruido esaleatorizar el orden de las corridas experimentales. Ejecutar el A B C A B C experimento en orden1. — — — 2. + — — aleatorio promediará, los efectos de las2. + — — 6. + — + variables de ruido.3. — + — 4. + + —4. + + — 7. — + + Sin embargo, por lo5. — — + 3. — + — general es mejor tratar las variables6. + — + 8. + + + de ruido como un7. — + + 5. — — + FACTOR DE RUIDO8. + + + 1. — — — y así, ¡lograr una fuerza contra el Orden Estándar Orden Aleatorio ruido! 98
  • 99. Factoriales Completos en 3 NivelesPara todos los factores en 3 niveles, los diseñosfactoriales completos se vuelven muy grandes, inclusopara 3 factores. 2 factores: 32 = 9 corridas 3 factores: 33 = 27 corridas 4 factores: 34 = 81 corridas etc…La información que se necesita para la construcción deun modelo (la ecuación de predicción) se puedeobtener con menos pruebas mediante otros tipos dediseño, tales como los fraccionales factoriales. 99
  • 100. 8A6. Diseños factorialesfraccionales de dos niveles 100
  • 101. 8A6. Pasos para el DOE Seleccionar el proceso Identificar la variable de respuesta de interés Identificar los factores de entrada y sus niveles Seleccionar el diseño apropiado Realizar los experimentos bajo las condiciones predeterminadas Colectar los datos de respuestas Analizar los datos y obtener conclusiones 101
  • 102. 8A6. Diseño factorial fraccional Ventajas  Se pueden obtener conclusiones parecidas que con experimentación de diseños factoriales completos con menos experimentos (1/2 o ¼)  Resulta más económico  Dado que en muchos casos las interacciones no son significativas, no importa que su efecto se confunda con los de los factores principales Desventajas  En muchos casos sólo se pueden estimar los efectos principales de los factores (diferencia de promedios) 102
  • 103. 8A6. Diseños dePlackett - Burman Se utilizan para identificar los factores significativos de entre varios factores como filtro.  El número de experimentos es múltiplo de 4 (4, 8, 16, 32, 64, 128) donde cada efecto de interacción está confundido con exactamente un efecto principal  Hay arreglos no geométricos de 12, 20, 24, 28, etc. Cada interacción está parcialmente confundida con los efectos principales, significa que si las interacciones no son significativas se pueden utilizar sólo para efectos principales, por ejemplo un arreglo de 12 experimentos para 11 factores 103
  • 104. 8A6. Diseños dePlackett - Burman Ventajas  Son muy económicos Desventajas  Sólo proporcionan una guía de cuales factores son significativos para posteriormente hacer un diseño factorial completo o menos fraccional con ellos y estimar los puntos óptimos 104
  • 105. 8A6. Diseño de Experimentosde Taguchi 105
  • 106. Diseño de experimentos de TaguchiSugiere tres pasos que son: a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de toleranciasDe estas tres etapas, la más importante es el diseño deparámetros cuyos objetivos son:a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad encuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad. b) Definir los niveles “optimos” en que debe fijarse cadaparámetro o factor, a fin de optimizar la operación delproducto y hacerlo lo más robusto posible. c) Identificar factores que no afecten substancialmente lacaracterística de calidad a fin de liberar el control de estosfactores y ahorrar costos de pruebas. 106
  • 107. DISEÑO DE EXPERIMENTOSTaguchi ha propuesto una alternativa no deltododiferente que se que conoce comoArreglos Ortogonales y las GráficasLineales.La herramienta son diseños Factorialesfraccionados, sin embargo cuando el número defactores se ve incrementado, las posiblesinteracciones aumentan, así como lacomplicaciones para identificar cuáles son lascondiciones específicas a experimentar. 107
  • 108. Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera queconserva el concepto de ortogonalidad y contrastes.Un experimento factorial fraccionado estambién un arreglo ortogonal . Taguchi desarrolló una serie de arreglos particularesque denominó: La (b)C a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es elnúmero de renglones o líneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número decolumnas. Ejemplo : L4 F A C T O R E S (c) No. (a) A B C Resultado 1 1 1 1 Y1 2 1 2 2 Y2 3 2 1 1 Y3 4 2 2 1 Y4 1 , 2 = Niveles de los Factores (b) , Contrastes. Experimento de 2 niveles y 3 factores por lo que se requieren 4 pruebas . En la matriz se pueden observar los contrastes de cada factor , formando las columnas de los factores ; (1) significa que el factor esta a su nivel bajo (-) y (2) a su nivel alto o de signo (+). 108
  • 109. Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles: La. Número de condiciones Número de factores o efectos maximo experimentales(renglones) que se pueden analizar y número de lineas o pruebas. columnas L4 4 3 L8 8 7 L12 12 11 L16 16 15 L32 32 31 L64 64 63 Ejemplo: En un proceso de formación de paneles, una característica no deseada es la emisión de formaldehido en el producto final. Se cree que 5 factores pueden estar afectando la emisión, éstos son : Factor Descripción Nivel I Nivel 2 A Tipo de resina Tipo I Tipo II B Concentración 5% 10% C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 seg D Humedad 3% 5% E Presión 800 psi. 900 psi. Se desea analizar el efecto de cada factor y proponer las mejores condiciones de operación. En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 factores o efectos, a dos niveles cada uno. Por lo tanto, se utilizará un arreglo ortogonal L8. 109
  • 110. Se ejecutarán por lo tanto 8 pruebas o condiciones experimentales, ¿ A qué columna especificamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna, aunque se recomienda que aquellos factores que en la practica sea más dificil de variar de nivel continuamente, sean los que se asigne a las primeras columnas. El arreglo L8 y su descripción para este caso se muestra a continuación:No. A B C D E e e Resina Concen. Tiempo Humedad Presión Yi 1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.49 2 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.42 3 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.38 4 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.30 5 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.21 6 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.24 7 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.32 8 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28 110
  • 111. Observe que los factores Resina, concentración, tiempo, humedad y presión fueron asignados en orden alas columnas A, B, C, D, y E. En las columnas restantes, F y G no se asignó ningún factor y nos ser-virán para tener una estimación del error aleatorio. Esto se explica porque con ocho observacionestenemos siete grados de libertad, como estamos interesados únicamente en cinco factores quedan dosgrados de libertad para el error aleatorio. El análisis de variancia de los resultados es:A1 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 1 = 0.49 + 0.42 + 0.38 + 0.30 = 1.59A2 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 2 = 0.21 + 0.24 + 0.32 + 0.28 = 1.59SSA = Suma de cuadrados debido al factor A SSA = (A2 - A1)2 /8 = 0.3645 con 1 g.lSimilarmente :SSB = (B2 - B1)sq/8= 0.00080 con 1g.lSSC = (C2 -C1)sq/8 = 0.01805 con 1g.lSSD = (D2 -D1)sq/8= 0.00320 con 1g.lSSE = (E2 - E1)sq/8= 0.00245 con 1g.lSse1 = (F2 - F1)sq/8= 0.00080 con 1g.l, 1a. Columna de error FSse2 = (G2 -G1)sq/8= 0.00045 con 1g.l 2a. Columna de error GLas sumas de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor se toman como asignaciones delerror, en este caso SSF y SSG se consideran como error y se obtiene:Sse = SSF + SSG = 0.00080 + 0.00045 = 0.00125 con 2g.l. 111
  • 112. La tabla ANOVA es :Efecto SS G.L. V Fexp. % Contrib. A 0.03645 1 0.03645 58.32* 57.59 B 0.0008 1 0.0008 1.28 0.28 C 0.01805 1 0.01805 28.88** 28.01 D 0.0032 1 0.0032 5.12 4.14 E 0.00245 1 0.00245 3.92 2.93 Error 0.00125 2 0.000625 7.03 Total 0.0622 7 100* significante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51** significante al nivel 10% ya que F0.10 (1,2) = 8.16Nota : No se incluye en esta tabla específicamente la suma de cuadrados del promedio omedia. El error total es la suma de cuadrados total corregida por el factor de corrección.Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como erroraleatorio a fin de obtener una mejor estimación del error aleatorio, (con mayor número degrados de libertad). 112
  • 113. En éste caso, por ejemplo, la estimación de Sse es :Sse = SSB + SSD + SSE + Sse = 0.00080 + 0.00320 + 0.00245 + 0.00125 = 0.0077Con , 1 + 1 + 1 + 2 = 5 grados de libertad.Y (Ve) = (Sse) /5 = 0.0077 / 5 = 0.00154Al nivel 5%, el valor crítico de tablas es F 0.05 (1,5) = 6.607877Las estimaciones que se obtienen de esta forma se suelen escribir entre paréntesis.Fc para el factor (A ) = 23.66 y Fc para el factor (C) = 11.72, comparando ambos contraFcrítico = 6.6, continuan siendo significativos los factoresA y CLos promedios de la emisión de Formaldehido para cada nivel son: Efecto Nivel 1 Nivel 2 A A1avg. = A1/4 =0.3975 A2avg. = A2/4 =0.2625 B B1avg =0.3400 B2avg =0.3200 C C1avg =0.3775 C2avg =0.2825 D D1avg =0.3500 D2avg =0.3100 E E1avg =0.3475 E2avg =0.3125 113
  • 114. Diseños de experimentos - TaguchiEl promedio global es_Y = (0.3975+ 0.34+ 0.3775+ 0.35 + 0.3475+ 0.2625+ 0.32+ 0.31+0.3125)/ 10 = 0.33Sí únicamente los factores A y C son significativos, estos factores deberán fijarse al nivel que minimicela emisión de Formaldehido, ésto es A2 y C2; resina tipo II y 15 segundos como tiempo de prensado. Elresto de los factores se fijará a su nivel más económico, ya que no afectan la característica de calidaddentro del intervalo analizado¿Cuál será el nivel esperado de emisión ?, el efecto de cada factor respecto al promedio general es:EF A = A2 - Y = 0.2665 - 0.33 = -0.06435EF C = C2 - Y= 0.2825 - 0.33 = -0.0475Y el efecto estimado bajo las condiciones A2 y C2 esEF A + EF C + Y = -0.0635 - 0.0475 + 0.33 = 0.219 114
  • 115. 1 2 3 Diseños de Taguchi LecturasSi las lecturas no siguen un orden secuencial, o se toman en otra pruebabajo las mismas condiciones se le conoce como “Replica”. Taguchiconsidera dos tipos de error aleatorio con lecturas multiples:Error Primario. (e1). Error que existe entre las diferentes condiciones deexperimentación, aparte del efecto de los factores en si. Es decir lo quehace diferentes a las lecturas bajo diferentes condiciones deexperimentación.Error Secundario (e2). Aquel que hace diferentes las lecturas tomadasbajo una misma condición experimental. Cuando se toma una lectura noes posible evaluar el error secundario. 115
  • 116. Ejemplo: Considere que el acabado superficial de un proceso de maquinado, medido en picos/plg.Se puede ver afectado por cinco factores que son: Factor Descripción Nivel I Nivel 2 A Tipo de lubricante Tipo I Tipo II B Tipo de corte Continuo Intermitente C Angulo de corte (en grados) 25° 35° D Velocidad de corte (r.p.m.) 100% 1200% E Avance (cm/min) 1 1.5 Dado que se tienen 5 factores, se necesitan por lo menos 5 grados de libertad, se usará por lo tanto un arreglo ortogonal . Los factores se asignarán en orden, a las primeras cinco columnas . Resultados TotalNo. A B C D E F G 1 2 3 Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 15 17 18 50 2 1 1 1 2 2 2 2 16 15 15 46 3 1 2 2 1 1 2 2 22 21 24 67 4 1 2 2 2 2 1 1 18 20 18 56 5 2 1 2 1 2 1 2 25 24 22 71 6 2 1 2 2 1 2 1 23 27 20 70 7 2 2 1 1 2 2 1 19 17 16 52 8 2 2 1 2 1 1 2 17 16 18 51 Total 463 116
  • 117. La suma de cuadrados del total es:SST = Yi2 - T2 / ndonde  Yi2 es la suma de lecturas individuales al cuadrado.n es el número de lecturas y T es el total de las Yi’s. Para este caso : 2 2 2 2 2 2 2SST = 15 + 17 + 18 +…………..17 + 16 + 18 - 463/24SST = 278.9584 con 24 - 1 grados de libertad.El error secundario se calcula individualmente Sse2 = Y12 + Y22+ Y32 - T2i / ni Por ejemplo para el experimento i = 1 se tiene: Sse2 = 15*15 + 17*17 + 18*18 - (15 + 17 + 18)2 / 3 = 4.6666 Y así se continua para cada uno de los restantes 7 experimentos obteniéndose la tabla de la página siguiente. 117
  • 118. Condición SSe2 1 4.6667 2 0.6667 3 4.6667 4 2.6667 5 4.6667 6 24.6667 7 4.6667 8 2.000 Total SSe2 = 48.669El error primario es localizado en las columnas F y G ¿por que?.SSe1 = SSeF + SSeGSSe1 = 4.08334 con 2 grados de libertadLa suma de cuadrados de los factores se calcula de la misma manera que ya se conoce.SSA = (A2 -A1)2 / n y así sucesivamente para todas las columnas,SSA = 26.04167, SSB = 5.04167……...Finalmente recordemos que suma de cuadrados del error primario, secundario, primario y de losefectos es igual a la suma de cuadrados total 278.9586. 118
  • 119. Reglas de Análisis: 1.-Antes de la ANOVA el primer críterio es probar el error 1 e1 vs. el error 2 e2. Sí no resulta significante se adicionan y se obtiene una estimación del error aleatorio “e”, contra el que se prueban todos los demás factores. 2.- Sí el error 1 es significativo, entonces todos los factores se prueban contra el. 3.- Realizar la ANOVA. Prueba de e1 vs e2 Fexp = e1/e2 = 4.08334/2 / 48.666/16 Fexp para e1 = 0.6712 con 2 gL en el numerador y 16 en el denominador. El F de tablas con (0.05, 2, 16) = 3.63; por lo tanto los errores se suman 4.08334 + 48.6667 = 52.7500La tabla ANOVA queda como:Efecto SS G.L. V Fexp. A 26.0417 1 26.0417 8.8863 B 5.0417 1 5.0417 1.7204 C 176.0417 1 176.0417 60.0711 D 12.0417 1 12.0417 4.1090 E 7.0417 1 7.0417 2.4028 Error 52.7500 18 2.9306 0 Total 278.9583 23.0000 Dado que F tablas con (0.05, 1, 18) = 4.41, sólo los efectos A y C son significantes al nivel del 5%. Sólo lubricante y ángulo de corte 119
  • 120. Nota: Sí las lecturas provienen de “Replicas”, no se puede diferenciar el error 1 y 2, por loque se adicionan sin más tramites.Regla del pulgar . Sí la Fc = Fexp. es menor a 2, no es significante.Arreglos con Interacciones.Al analizar una característica de calidad con n factores se tiene la posibilidad de queinteractuen entre si y se afecten positiva o negativamente. En ese caso la interacción pasaa ocupar una columna en los arreglos ortogonales, como si fuera otro factor.Se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan las columnas, para quesus interacciones no se confundan con otros factores principales.Gráficas Lineales. Para ayudar en la asignación de factores en las columnas de unarreglo G. Taguchi diseñó las gráficas lineales cuyo objetivo es simplificar el diseño delexperimento y evitar patrones indeseables de confusión. 120
  • 121. Gráficas lineales para el arreglo ortogonal L8 Columna 1 2 3 4 5 6 7 Col (1) 3 2 5 4 7 6 A Col (2) 1 Col (3) 6 7 7 6* 4 5 5 4 Col (4) 1 2 3 Col (5) 3 2 Col (6) 1 Col (7) 1 B 3 5 . 7 2 6 4 2 3 5 C 1 4 6 7 121
  • 122. A La matriz triangular las columnas están remarcadas, las interacciones forman la parte interior deltriangulo. Como ejemplo, sí asignamos el factor A en la columna 3 y el factor B en la columna 5, lainteracción AxB aparecerá en la en la intersección de las columnas, el número 6.B En esta gráfica se observa el arreglo de tres factores ( 1,2 y 4) y la interacción entre ellos líneas 3,5 y 6.C En esta gráfica se indican cuatro factores (puntos 1,2,4 y 7) y las interacciones en las lineas 3, 5 y 6. 1 2 3 4 5 6 7 No. A B AXB D AxD AxC G 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 El arreglo ortogonal es exactamente el mismo, en este caso un L8. 122
  • 123. Método Taguchi - Pasos Definir factores y niveles  Factores de control (que se controlarán – arreglo interno)  Factores de ruido (no se quieren o pueden controlar pero se controlan durante el experimento – arreglo externo) Crear diseño de experimentos ortogonal de Taguchi Analizar el diseño de experimentos de Taguchi 123
  • 124. Método Taguchi – Crear Diseño Usar Stat / DOE / Taguchi / Create Taguchi Design para crear el diseño ortogonal de Taguchi  2 level Design, Number of factors (2 a 7) - 3  Designs L8  Factors (opcional para cambiar nombres de factores y niveles; Assign columns of the array as specified below)  Options Store designs in worksheet Ingresar al menos dos columnas de respuestas 124
  • 125. ArregloArregl Externo oIntern oA B C Resp1 Resp21 1 1 19.0 16.01 1 1 18.4 18.01 2 2 17.5 17.01 2 2 18.6 17.52 1 2 19.3 17.02 1 2 19.1 18.52 2 1 18.4 16.02 2 1 17.0 16.5 125
  • 126. Método Taguchi – Analizar Diseño Usar Stat / DOE / Taguchi / Analize Taguchi Design para analizar los resultados  Response Data are in (al menos dos columnas de respuestas)  En Graphs seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations, Interaction Plots (pasar con >>)  Display Interactions in Matrix o Separate Graph  En Tables seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations  En Options seleccionar Mayor es mejor, Nominal es mejor o Menor es mejor para las relaciones Señal / Ruido, para que en estas gráficas S/N se seleccionen los niveles que maximicen la respuesta (para minimizar la variabilidad) 126
  • 127. Response Table for Signal to Noise RatiosLarger is betterLevel A B C1 24.9490 25.1379 24.76922 24.9302 24.7412 25.1099Delta 0.0188 0.3967 0.3408Rank 3 1 2Response Table for MeansLevel A B C1 17.750 18.1625 17.41252 17.725 17.3125 18.0625Delta 0.025 0.8500 0.6500Rank 3 1 2Response Table for Standard DeviationsLevel A B C1 0.98789 1.17022 1.167002 1.03722 0.85489 0.85810Delta 0.04933 0.31533 0.30890Rank 3 1 2 127
  • 128. Main Effects Plot for Means Main Effects Plot for Standard Deviations A B C A B C 18.2 1.17 18.0 1.09 17.8 StDev Mean 1.01 17.6 0.93 17.4 0.85 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Main Effects Plot for S/N Ratios A B C 25.15 25.05S/N Ratio 24.95 24.85 24.75 1 2 1 2 1 2 128
  • 129. Método Taguchi – Predicción derespuestas Usar Stat / DOE / Taguchi / Predict Taguchi Results para predecir las respuestas en base a niveles de factores seleccionados como óptimos  Seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations  En Terms pasar todos los términos con >>  En Levels seleccionar Uncoded units (valores reales) o Coded units (1 y 2) y Select levels from a list (niveles usados  OK, se mostrarán las respuestas estimadas por concepto 129
  • 130. 8A8. Diseños de mezclas Los factores independientes son proporciones de diferentes componentes de una mezcla Cuando las proporciones tienen la restricción de sumar la unidad se pueden utilizar modelos de estructura Simplex o Simplex con centroide Cuando además algunos componentes tienen la restricción adicional de tener un valor máximo o mínimo los modelos a utilizar son los de Vértices extremos 130
  • 131. 8A8. Diseños de mezclas Un diseño de estructura Simplex para q componentes cuya proporción puede tomar los niveles m+1 igualmente espaciados entre 0 y 1  Xi = 0, 1/m, 2/m, ...., 1 para i = 1, 2, ..., q Para una mezcla de q = 3 componentes donde el número de niveles igualmente espaciados para cada componente es m + 1 = 4 (X1 = 0, 0.333, 0.666, 1) Las mezclas posibles con los 3 componentes es: 131
  • 132. 8A8. Diseños de mezclas X1 X2 X3 Rendimiento 0 0 1 0 0.333 0.667 0 0.667 0.333 0 1 0 0.333 0 0.667 0.333 0.333 0.333 0.333 0.667 0 0.667 0 0.333 0.667 0.333 0 1 0 0 X2 132
  • 133. 8A8. Diseños de mezclas Las ecuaciones de la restricción y del modelo lineal son: ( q  m  1)! Puntos  m !( q  1)! X1  X 2  X 3  1 q E (Y )   i 1 i Xi 133
  • 134. 8A8. Diseños de mezclas Ejemplo: Se tienen 3 componentes y m=2 niveles, X1=polietileno, X2=Poliestireno, X3=polipropileno mezclados para formar fibras, de las cuales se mide la elongación en dos réplicas X1 X2 X3 Rendimiento 0 0 1 16.8, 16 0 0 0.5 10.0, 9.7, 11.8 0 1 0 8.8, 10.0 0.5 0 0.5 17.7, 16.4, 16.6 0.5 0.5 0 15.0, 14.8, 16.1 1 0 0 11.0, 12.4 X2 134
  • 135. 8A8. Análisis del diseño Simplex Minitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, C Est. Regression Coefficients for Resp (component proportions)Y=11.7X1+9.4X2+16.4 X3 + 17.4X1X2 + 12X1X3 –12.2 X2X3 Term Coef SE Coef T P VIF A 11.70 0.4941 * * 1.500 B 9.40 0.4941 * * 1.500 C 16.40 0.4941 * * 1.500 A*B 17.40 2.4207 7.19 0.000 1.500 A*C 12.00 2.4207 4.96 0.003 1.500 B*C -12.20 2.4207 -5.04 0.002 1.500 S = 0.69881 PRESS = 11.720R-Sq = 97.44% R-Sq(pred) = 89.78% R-Sq(adj) = 135 95.31%
  • 136. 8A8. Análisis del diseño Simplex Como b3 > b1 > b2 se concluye que el componente 3 produce la mayor elongación Como b12 y b13 son positivos la mezcla de componentes 1 y 2 así como 2 y 3 aumenta la elongación Como b23 es negativo la mezcla de los componentes 2 y 3 tiene efectos antagónicos en la mezcla 136
  • 137. 8B1. Diseños de superficie derespuesta 137
  • 138. 8B1. Superficie de respuesta Un modelo de primer orden es el siguiente: y   0   1 x1   2 x 2  ...  k x k   Su gráfica de contornos son líneas rectas que nos permiten seguir experimentando en la trayectoria de ascenso rápido, perpendicular a los contornos 138
  • 139. 9B1. Trayectoria de ascenso rápido Vari Codif Variabl naturales Respuesta able . es sPasos X1 X2 1 2 yOrigen 0 0 35 155 1 0.42 5 2Orig.+ 1 0.42 40 157 41.0Orig.+2 2 0.84 45 159 42.9 139
  • 140. 9B1. Trayectoria de ascenso rápidoOrig.+8 8 3.36 75 173 70.4Orig.+9 9 3.78 80 175 77.6Orig.+10 10 4.20 85 177 80.3Orig.+11 11 4.62 90 179 76.2Orig.+12 12 5.04 95 181 75.1 140
  • 141. 8B1. Trayectoria de ascenso rápidoRespuesta Pasos 141
  • 142. 8B2. Superficie de respuesta Si en la prueba de ANOVA el modelo presenta curvatura significativa entonces el modelo a aplicar es: k k k 1 k Y   0    i X i    ii X   i 2  X X ij i j  i 1 i 1 i 1 j 2 142
  • 143. 8B2. Diseño central compuesto Puntos axiales en 1.414 Réplicas en (0,0) para el error puro 143
  • 144. 8B2. Diseño central compuesto del Proceso codificadas RendimientoCorrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y2 1 80 170 -1 -1 76.5 2 80 180 -1 1 77.0 3 90 170 1 -1 78.0 4 90 180 1 1 79.5 5 85 175 0 0 79.9 6 85 175 0 0 80.3 7 85 0 0 80.0 175 8 85 0 0 79.7 9 85 175 0 0 79.8 175 10 92.07 1.414 0 78.4 175 11 77.93 -1.414 0 75.6 175 12 85 0 1.414 78.5 182.07 13 85 0 -1.414 77.0 167.93 144
  • 145. 8B2. Diseño central compuesto Estimated Regression Coefficients for Y Term Coef SE Coef T P Constant 79.940 0.11896 671.997 0.000 A 0.995 0.09405 10.580 0.000 Si P<0.05 son signif. B 0.515 0.09405 5.478 0.001 A*A -1.376 0.10085 -13.646 0.000 B*B -1.001 0.10085 -9.928 0.000 A*B 0.250 0.13300 1.880 0.102Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 5 28.2478 28.2478 5.64956 79.85 0.000 Linear 2 10.0430 10.0430 5.02148 70.97 0.000 Square 2 17.9548 17.9548 8.97741 126.88 0.000 145
  • 146. 8B2. Diseño central compuesto La ecuación de regresión de la superficie de respuesta es:Y = 79.94 + 0.995ª + 0.515B –1.376 A*A – 1.001 B*B + 0.25AB Con las ecuaciones de la página siguiente el punto máximo óptimo queda en X1 = 0.389 y X2 = 0.306 Con una respuesta estimada Yest = 80.21 146
  • 147. 8B2. Diseño central compuesto  x1  x x   2 ...     xk    ˆ  1    ˆ 2   0.995 b    ...   0.515    ˆ  k ˆ ˆ ˆ  11 , 12 / 2,..., 1k / 2    ˆ ˆ ˆ  12 / 2,  22 ,.... 2 k / 2   1.376, 0.1250 B       0.1250, 1.001   matriz.simetrica ,  ˆ   kk 1 1 1  0.7345, 0.0917   0.995   0.389 xs   B b    0.515    0.306  2 2  0.0917, 1.006      ˆ 1ys   0 ˆ xs b 2 147
  • 148. 8B2. Diseño central compuesto Contour Plot of Y Surface Plot of Y 75 76 1 77 78 80.5 79 79.5 80 78.5 0B 77.5 76.5 Y 75.5 74.5 1.5 1.0 -1 73.5 0.5 0.0 -1.5 -1.0 -0.5 B -0.5 -1.0 0.0 0.5 -1.5 A 1.0 1.5 -1 0 1 A Localización del punto óptimo 148