FRACCIONES ALGEBARAICAS TERCERO DE SECUNDARIA REY DE REYES

1. FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Prof. FIDEL GILBERTO MAIMA LAZO
cel.: 973697116
email: fmaima@gmail.com
pág. web: www.fmaima.orgfree.com

2. La fracción algebraica (F.A.) es el cociente indicado de dos
polinomios racionales donde el denominador no debe ser una
constante.
FRACCIÓN ALGEBRAICA
Si es F.A. No es F.A.
𝒙 + 𝟕
𝒙 − 𝟐
𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗
𝟒
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 − 𝟑
𝒙 𝟑 − 𝒙 + 𝟒
𝟓𝒙 + 𝟔
𝒙 𝟐 + 𝟕
𝟏𝟏
𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏𝟐 𝟏/𝟑
𝒙 − 𝟑

3. Sea P(X)=N(x)/D(x) una F.A. se define como valor admisible x0 de la
fracción si ocurre que D(x0) es diferente de cero, si ocurre que
D(xc)=0 se dice que xc es un valor no admisible de la fracción ; por
lo tanto el conjunto de valores admisibles se denota así
CVA= R-{xc}
VALOR ADMISIBLE DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA
Ejemplo Determinar el conjunto de
V.A. de la fracción
  
3 2 5 1
(x)
2 3
x x
P
x x
 

 

4. CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS
I. Según el grado de
sus términos
Propias:
Cuando el grado del
numerador es menor que
el grado del denominador.
𝟑𝒙
𝒙 𝟐 + 𝟐
Impropias:
Cuando el grado del
numerador es mayor que
el grado del denominador.
𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 − 𝟔
𝒙 𝟐 − 𝟓
II. De acuerdo a sus
denominadores
Homogéneas:
Son aquellas cuyos
denominadores son
polinomios idénticos.
𝒙 + 𝟔
𝒙 𝟐 + 𝟏
;
𝒙 𝟒
− 𝟕
𝒙 𝟐 + 𝟏
Heterogéneas:
Son aquellas cuyos
denominadores son
polinomios diferentes.
𝒙 𝟑
+ 𝟏
𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙
;
𝟒𝒙 + 𝟐
𝒙 𝟓 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟖
III. Relación entre
fracciones
Equivalentes:
Dos o más F.A. son
equivalentes si tienen el
mismo valor numérico para
variables que no anule el
denominador.
𝒙 𝟐
− 𝟒
(𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙)
=
𝒙 + 𝟐
𝟐𝒙
Irreductible:
Una F.A. es irreductible si
sus términos son
polinomios primos entre sí.
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐
;
𝟒𝒙 + 𝟐
𝒙 𝟓 + 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟏𝟑

5. FRACCIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES
Ejemplo
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes si se
verifica que
P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
(x) (x)
(x) (x)
P R
Q S


6. FRACCIÓN DE VALOR CONSTANTE
Ejemplo: evaluar P(x) es una
fracción de valor constante
Llamada fracción equivalente
y es aquella que admite el
mismo valor numérico al
sustituir sus variables por
cualquiera de sus valores
admisibles
3 6
(x)
2
x
P
x



PROPIEDAD: En toda fracción
de valor constante los
cocientes obtenidos al dividir
los términos del numerador y
el denominador son iguales al
valor constante

7. SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA
Simplificar una F.A. es
transformarla en otra
fracción equivalente de tal
forma que esta última sea
irreductible.
Para simplificar se factoriza
el numerador y denominar.
Luego, se eliminan los
factores comunes.
Ejemplo:
Simplifica:
𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟑
𝒙 𝟐 − 𝟏
Solución:
Factorizamos el numerador y el
denominador.
𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟏 =
x -3
x -1 (x + 1)(x – 1)
(x – 3)(x – 1)
Luego:
𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟑
𝒙 𝟐 − 𝟏
=
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟏)
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
=
𝒙 − 𝟑
𝒙 + 𝟏

8. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Adición y sustracción
• Se simplifica las
fracciones si es posible
mediante la factorización
de los numeradores y
denominadores.
• Se calcula el MCM de los
denominadores.
• Se efectúa la
multiplicación, luego se
reducen y simplifican los
términos.
Ejemplo:
Efectúa:
𝑬 =
𝟐𝒙 + 𝟒
𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟐
−
𝒙 + 𝟑
𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑
Solución:
Factorizamos:
𝒙 𝟐
+ 𝒙 − 𝟐 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟑
x +2 x +3
x -1 x -1
(x + 2)(x - 1) (x + 3)(x – 1)
Luego:
𝑬 =
𝟐(𝒙 + 𝟐)
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)
−
𝒙 + 𝟑
𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟏
𝑬 =
𝟐
𝒙 − 𝟏
−
𝟏
𝒙 − 𝟏
=
𝟏
𝒙 − 𝟏

9. Multiplicación
• Se multiplican los numeradores y
denominadores de cada F.A.
Ejemplo:
Efectúa:
𝑭 =
𝒙 𝟐
− 𝟗
𝒙 + 𝟔
𝟐𝒙 + 𝟏𝟐
𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑
Solución:
Factorizamos convenientemente:
𝑭 =
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)
𝒙 + 𝟔
𝟐(𝒙 + 𝟔)
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟏)
Simplificamos:
𝑭 =
𝟐(𝒙 − 𝟑)
𝒙 − 𝟏
División
• Se invierte la fracción que hace de
divisor y se opera como en la
multiplicación.
Ejemplo:
Efectúa:
𝑮 =
𝒙 𝟐
− 𝟑𝟔
𝒙 + 𝟒
÷
𝟓𝒙 + 𝟑𝟎
𝟑𝒙 + 𝟏𝟐
Solución:
Factorizamos convenientemente:
𝑮 =
(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟔)
𝒙 + 𝟒
÷
𝟓(𝒙 + 𝟔)
𝟑(𝒙 + 𝟒)
𝑮 =
(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟔)
𝒙 + 𝟒
𝟑(𝒙 + 𝟒)
𝟓(𝒙 + 𝟔)
𝑮 =
𝟑(𝒙 − 𝟔)
𝟓

10. EJERCICIOS
1. Simplifica la expresión:
𝑨 =
𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟒
𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒
Solución:
Factorizamos :
𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒
x -4 x -4
x -1 x +1
(x - 4)(x - 1) (x - 4)(x + 1)
Luego:
𝑨 =
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟏)
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏)
𝑨 =
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏
2. Simplifica la expresión:
𝑩 =
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 − 𝟐𝟒
𝒙 𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
Solución:
Factorizamos :
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 − 𝟐𝟒 𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
x +8 x -4
x -3 x -3
(x + 8)(x - 3) (x - 4)(x - 3)
Luego:
𝑩 =
(𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟑)
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟑)
𝑩 =
𝒙 + 𝟖
𝒙 − 𝟒

11. 3. Reduce la expresión:
𝑪 =
𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟗𝒙
𝒙 𝟑 − 𝟐𝟕
Luego, calcula la suma del numerador y
denominador.
Solución:
Factorizamos :
𝒙 𝟑
+ 𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟗𝒙 𝒙 𝟑
− 𝟐𝟕
𝒙(𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟗) (𝒙 − 𝟑)(𝒙 𝟐
+𝟑𝒙 + 𝟗)
Luego:
𝑪 =
𝒙(𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟗)
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟗)
𝑪 =
𝒙
𝒙 − 𝟑
Nos piden: x + x – 3= 2x - 3
4. Efectúa e indica el término
independiente del numerador
resultante:
𝟐
𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎
+
𝟑
𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
Solución:
Factorizamos los denominadores:
𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
x +5 x +2
x +2 x +1
(x + 5)(x + 2) (x + 2)(x + 1)
Luego:
𝟐
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟐)
+
𝟑
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟏)
𝟐 𝒙 + 𝟏 + 𝟑(𝒙 + 𝟓)
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟏)
𝟓𝒙 + 𝟏𝟕
(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟏)
Nos piden: T.I. = 17

12. 5. Simplifica la expresión:
𝒙 + 𝟑
𝒙 + 𝟏
+
𝒙 + 𝟓
𝒙 − 𝟑
+
𝟑𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟏
+
𝒙 − 𝟏𝟏
𝒙 − 𝟑
Solución:
Agrupamos las F.A. homogéneas:
𝒙 + 𝟑
𝒙 + 𝟏
+
𝟑𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟏
+
𝒙 + 𝟓
𝒙 − 𝟑
+
𝒙 − 𝟏𝟏
𝒙 − 𝟑
𝒙 + 𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟏
+
𝒙 + 𝟓 + 𝒙 − 𝟏𝟏
𝒙 − 𝟑
𝟒𝒙 + 𝟒
𝒙 + 𝟏
+
𝟐𝒙 − 𝟔
𝒙 − 𝟑
𝟒(𝒙 + 𝟏)
𝒙 + 𝟏
+
𝟐(𝒙 − 𝟑)
𝒙 − 𝟑
4 + 2= 6
6. Simplifica la expresión:
𝑻 =
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
−
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏
+
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟐 + 𝟏
𝟐𝒂 − 𝟐𝒃
÷
𝟐𝒙
𝒂 − 𝒃
Solución:
𝑻 =
(𝒙 + 𝟏) 𝟐
−(𝒙 − 𝟏) 𝟐
(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)
(𝒙 − 𝟏) 𝟐+(𝒙 + 𝟏) 𝟐
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
𝒙 𝟐
+ 𝟏
𝟐(𝒂 − 𝒃)
÷
𝟐𝒙
𝒂 − 𝒃
𝑻 =
𝟒𝒙
(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)
𝟐(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
𝒙 𝟐
+ 𝟏
𝟐(𝒂 − 𝒃)
.
𝒂 − 𝒃
𝟐𝒙
𝑻 =
𝟒𝒙
𝟐(𝒙 𝟐 + 𝟏)
𝒙 𝟐
+ 𝟏
𝟐(𝒂 − 𝒃)
.
𝒂 − 𝒃
𝟐𝒙
𝑻 =
𝟏
𝟐

13. Ahora a resolver los ejercicios
Nunca consideres el estudio como una
obligación, sino como una
oportunidad para penetrar en el
bello y maravilloso mundo del saber