Flsantos_SIEMXXII

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2.º GRAU RECORRENDO À FOLHA DE CÁLCULO Fernando Luís Santos(*) Escola Superior de Educação Jean Piaget, Almada fsantos@almada.ipiaget.org António Domingos(*) Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa amdd@fct.unl.pt (*) UIED – Unidade de Investigação em Educação e DesenvolvimentoResumo No âmbito de um estudo sobre a implementação de um currículo e demetodologias de ensino e aprendizagem da matemática num curso de formação inicialde professores, tendo como pressuposto teórico as teorias sobre o PensamentoMatemático Avançado (PMA), desenvolveu-se uma tarefa com 60 alunos de um cursode Educação Básica (EB) sobre equações de 2.º grau recorrendo à folha de cálculo e aoGeoGebra, a ser entregue num fórum específico na plataforma institucional de ensino adistância. A engenharia didáctica, utilizada como metodologia de investigaçãocaracterizou-se como um esquema experimental baseado nas tarefas realizadas. Os resultados mostram que apesar de somente 50% dos estudantes teremconcluído a tarefa (que decorreu durante uma semana) estes desenvolveram graus deautonomia e de pro-actividade em tarefas posteriores, recorrendo a estas ferramentaspara promover tarefas de experimentação matemática dos conceitos desenvolvidos atéao final da Unidade Curricular (UC).Palavras-chave: Aprendizagem autónoma, experimentação matemática, formação deprofessores, pensamento matemático avançado.Introdução O ensino da matemática na formação inicial de professores assume comoobjectivos fundamentais: suportar o conhecimento matemático e desenvolver o sentidodidáctico e criativo pelo desenvolvimento do seu pensamento matemático adquirindouma compreensão matemática mais profunda dos conceitos a ensinar. Juntamente com os desafios que o Processo de Bolonha trouxe ao EnsinoSuperior em Portugal existe uma crescente preocupação com a educação em ciência,tecnologia e matemática expressa pelos responsáveis políticos e com resultados menossatisfatórios em alguns relatórios internacionais (Ramalho, 2002, GAVE-ME, 2004,Pinto-Ferreira, 2007). Pretende-se assim desenvolver actividades que permitamidentificar aprendizagens e estratégias de ensino e aprendizagem matemática.

A experiência empírica mostra que muitos estudantes têm dificuldade naaprendizagem dos conceitos teóricos, adquirindo sobretudo rotinas de memorização emecanização de procedimentos. As razões principais podem prender-se com adificuldade na abstracção dos conceitos, a apresentação formal das ideias matemáticas ea dificuldade em acompanhar os raciocínios dedutivos que as demonstrações exigem(Tsvigu, 2007). Para tentar lidar com este problema foram desenvolvidas metodologiasde ensino e de aprendizagem baseadas na teoria do PMA e na aprendizagem auto-regulada (AA-r). Neste artigo descreve-se o caso das equações de 2.º grau recorrendo aferramentas computacionais tais como a folha de cálculo e o GeoGebra. As tarefas foram aplicadas no âmbito da UC de Matemática II do currículo do1.º Ciclo de EB (Licenciatura) de uma Instituição de Ensino Superior na zona da GrandeLisboa. Para além de 2 sessões presenciais de 2 horas (uma onde se introduzia o tema eoutra onde se explicou a utilização das ferramentas), foram disponibilizadosapontamentos e vídeos explicativos na página da UC na Moodle. Desta forma podemesclarecer dúvidas de modo autónomo estando a plataforma disponível a qualqueraltura, promovendo assim a AA-r. Juntamente com este material foram preparadosalguns exercícios que foram distribuídos como um trabalho a desenvolver e entregueonline.Enquadramento do estudo Investigações anteriores e correntes têm-se centrado no ensino e naaprendizagem da matemática e não tanto no conhecimento conceptual do professor. Osestudos sobre este tópico têm evidenciado preocupações pois este tipo de conhecimentomatemático não está presente em muitos professores (Veloso, 2004). Muitosinvestigadores têm escrito sobre os problemas na compreensão e na utilização de teoriasmatemáticas, principalmente de teoremas, na passagem para o nível da matemáticaformal (Leron citado por Abramovitz et al, 2007) utilizando os teoremas como fórmulasmágicas a ser memorizadas e utilizadas na resolução de problemas juntamente com umconjunto de regras de procedimento e algoritmos. Considerando uma conjugação de factores (que envolve as alterações a nível daformação de professores, os resultados de estudos internacionais e um novo programapara o Ensino Básico) elaborou-se um currículo de matemática para a formação inicialde professores combinando três níveis de intervenção: (i) uma formação matemáticasólida para todos os níveis da EB (pré-escolar, 1.º e 2.º ciclos); (ii) uma aprendizagemdas conexões entre os actos de conhecer e de ensinar matemática e (iii) promoção decompetências tecnológicas em ambientes educativos.

Argumenta-se que o currículo deve fornecer uma matriz matemáticasuficientemente forte e flexível para que possam manipular e criar condições para queaprendam matemática com base nos 3 problemas que enfrenta a educação matemática:identificar conteúdos relevantes; entender como o conhecimento deve ser aprendido e oque é necessário para ensinar conceitos matemáticos. Torna-se então necessário que asestratégias pedagógicas e didácticas na área de matemática os encorajem a assumir umpapel activo no seu processo de aprendizagem. Gertek citado por Joffrion (2010)explica que o conceito de experiência enquanto interacção do sujeito com o seuambiente reflecte a crença do construtivismo pois o currículo deve ser relevante vendo aaprendizagem pela prática como factor crucial. O pensamento matemático avançado (PMA) Em 1988 Tall argumentou que o PMA podia ser interpretado de duas formasdistintas: Pensamento relacionado com a matemática avançada ou, formas avançadas depensamento matemático. Mas, o que é o PMA? Desde que o termo foi introduzido quetem existido discussão sobre o mesmo, alguns autores apontam as diferenças cognitivasentre os estudantes do ensino secundário e o início do ensino superior até os defensoresdos conflitos cognitivos inerentes aos modos diferentes de pensamento, o que podeacontecer em qualquer idade, e com qualquer conteúdo matemático. Segundo Leikin et al (2010) o grupo do PMA do CERME (Congress of theEuropean Society for Research in Mathematics Education) abordou a discussão sobduas perspectivas: Uma centrada na matemática considerando-se as relações com osconteúdos e conceitos matemáticos apresentando investigações sobre aquisiçõesconceptuais, técnicas de prova e demonstração, resolução de problemas, técnicas deensino e processos de abstracção, outra centrada no pensamento onde as investigaçõesse focam nos estudantes com grande potencial em matemática relacionando diferentesgrupos com conteúdos de matemática avançada. Aprender matemática significa participar em diferentes tipos de práticasmatemáticas, uma forma de explicar as variações entre cada prática pode ser vistaatravés de definições de Tall (2002) sobre o PMA e o pensamento matemáticoelementar (PME) partindo do problema identificado por Dreyfus (Tall, 2002) como ociclo de generalização → síntese → abstracção considerado fundamental nodesenvolvimento de conceitos matemáticos avançados ou complexos. Estas diferenças também são trabalhadas por Dubinsky (Tall, 2002) quando seaborda a dualidade da abstracção entre empírica e reflexiva mais tarde caracterizadapela teoria APOS (Edwards, Dubinsky & McDonald, 2005).

A educação matemática vista pela sua vertente mais restrita, a didáctica damatemática é uma área aplicada em que as margens entre o trabalho científico e aprática construtivista é, no mínimo, ténue. Para Winkelmann (Biehler, Scholz, Sträßer& Winkelmann, 1994) as reflexões e/ou melhoramentos no processo dedesenvolvimento curricular em matemática servem como ponte para os vários gruposenvolvidos na educação matemática. A tradução de conceitos, seus princípios, técnicas e métodos de pensamento doponto de vista do matemático para o ponto de vista do professor de matemáticaenvolvem pelo menos 2 factores importantes: a escolha dos conceitos matemáticos aensinar e a forma como os ensinar. Para futuros professores estas questões são aindamais empoladas de modo a que estas experiências de aprendizagem sejam maisenvolventes e efectivas também na área do conhecimento sobre como os alunosaprendem matemática. Tall (1981, 1995, 2002) descreve o PMA com base em 2 componentes - aespecificação dos conceitos por definições matemáticas precisas e as deduções lógicasde teoremas salientando que a formalização e sistematização dos conceitos matemáticosé a etapa final do pensamento matemático mas não a actividade completa. Edwards et al(2005) centram-se na definição do fenómeno que parece ocorrer durante a experiênciamatemática quando estes relacionam conceitos abstractos e demonstrações dedutivas,reconhecendo que as estruturas mentais que garantiam sucesso académico já nãoresultam, ligando assim o conceito de PMA a este período de transição. Rassmussen et al (2005) propõem uma abordagem alternativa ao PMA em queutilizam a expressão advancing mathematical activity (no original) que foi traduzidapara tarefas de pensamento matemático avançado justificando a expressão dirigida parao processo total e não para a parte final do processo referida por Tall, estacaracterização tem um enfoque especial nas práticas matemáticas importantes e nasdiferentes abordagens práticas a essa actividades reflectindo a caracterização dopensamento matemático como um acto de participação nas diferentes práticasmatemáticas. A utilização de símbolos, de algoritmos e de tarefas representam, semserem exaustivas, um núcleo útil de práticas transversais a todos os domínios damatemática. Para isso é necessário fazer a ponte entre a AA-r (Wolters, 2010) e odesenvolvimento de competências de aprendizagem da matemática ligando aspectosdidácticos e pedagógicos à utilização de ambientes educativos potenciadostecnologicamente. Argumenta-se que é possível por intermédio de ferramentascomputacionais encontrem potenciais conteúdos matemáticos e que pela

experimentação obtenham benefícios para o pensamento matemático, baseado nafamiliarização para desenvolver ideias matemáticas. A folha de cálculo e o GeoGebra Quando criou o VisiCalc, Bricklin nunca esperava que as folhas de cálculotivessem tantas formas de utilização, de uma mera ferramenta para contabilidade a folhade cálculo tem ganho visibilidade no ensino e na aprendizagem (Baker & Sugden,2003). Para Abramovich & Brantlinger (1998) uma das vantagens da modelaçãomatemática é a possibilidade dos estudantes explorarem conceitos matemáticosmediados por ferramentas computacionais em ambientes alternativos, neste caso a folhade cálculo e o GeoGebra que segundo Laborde (2010) assumem um papel essencialpelas suas características específicas de visualização, nomeadamente de expressõesalgébricas pois estas estão interligadas.Metodologia O objectivo deste estudo é identificar características inerentes à resolução detarefas com equações de 2.º grau recorrendo à folha de cálculo e ao GeoGebra de formaa promover a experimentação matemática. Utilizou-se a engenharia didáctica (ED) (Brun, 2000) enquanto metodologia deinvestigação, caracterizada por um esquema experimental baseado na concepção,realização, observação e análise de tarefas matemáticas. No caso deste estudo, visto serlimitado no tempo a uma tarefa, optou-se pelo nível da micro-engenharia. Para Turingam e Yang (2009) a AA-r descreve um reportório de estratégias paraultrapassar os desafios que são colocados, espera-se que durante o processo estes setornem mais pro-activos e procurem oportunidades de obter novas aprendizagens. Nestesentido, esta metodologia de ensino e de aprendizagem pretende envolvê-los numconjunto de actividades de PMA na óptica das sugestões de Rasmussen et al (2005). Assumindo que as tarefas podem ser descritas pelo modelo da AA-r sugeridopor Pintrich (Wolters, 2010) como construtoras activas, asseguram-se as seguintes 4fases: (i) antecipação enquanto planificação e estabelecimento de objectivos bem comoo reconhecimento de conhecimentos anteriores; (ii) monitorização enquanto se mantêmregisto dos progressos; (iii) a utilização da gestão dos conteúdos e a regulação dasvárias estratégias de aprendizagem para completar a tarefa e (iv) reflexão, geração deconhecimento a nível do PMA, nomeadamente a extensão do problema e suageneralização.

Participantes Os participantes foram 60 estudantes do 2.º ano do 1.º ciclo da EB a frequentar aUC de Matemática II durante o 2.º semestre de 2011. Estes têm formações (antes doensino superior) muito diversas onde a maioria não tem contacto com a disciplina desdeo 9.º ano de escolaridade e tendo frequentado a UC de Matemática I cujos conteúdosversaram sobre cálculo proposicional, teoria de conjuntos e aritmética racional. O material de aprendizagem Uma grande parte dos instrumentos utilizados recorre a exemplos consideradostradicionais (exercícios de papel e lápis), vídeos explicativos e tutoria recorrendo àsvárias ferramentas disponíveis na Moodle definindo à partida qual o trabalho adesenvolver e os objectivos pretendidos. De acordo com o modelo, o material fornecidopor intermédio da Moodle é um complemento das aulas presenciais (teóricas e práticas)leccionado a distância. No caso apresentado a tarefa e o trabalho foi introduzido nas aulas práticas nasemana anterior à aula teórica sobre o mesmo tópico. Compreendeu 3 tipos de material:(i) documento explicativo sobre a resolução de equações de 2.º grau com exercícios; (ii)vídeo a explicar a resolução de equações de 2.º grau; (iii) 2 vídeos a explicar a utilizaçãoda folha de cálculo e do GeoGebra. O documento abordava a noção do que é uma equação de 2.º grau e explicava osprocedimentos de resolução com exemplos de exercícios resolvidos contemplando asvárias possibilidade de resultados no conjunto R. O primeiro vídeo tem a mesmaestrutura do documento explicativo dos procedimentos. Os segundos vídeos explicam aintrodução de fórmulas nas células de uma folha de cálculo com exemplos da colocaçãode equações e exploração das mesmas, e a introdução das equações na secção de álgebrado GeoGebra e posterior visualização do gráfico respectivo. Das 10 equações apresentadas, 5 eram impossíveis em R, 2 eram possíveis comzeros naturais, 1 era possível com um só zero (natural), 1 era possível com dois zerosfraccionários e uma era possível com um zero natural e outro fraccionário. Estas secçõesrepresentam a fase da concepção à luz da ED. A tarefa desenvolvida Na 2.ª fase da ED (realização) solicitou-se a escolha de uma de 10 equações de2.º grau disponibilizadas e posterior exploração recorrendo à folha de cálculo,pretendia-se a analise da equação escolhida e a sua separação nas parcelascorrespondentes às várias partes da equação conforme a figura seguinte:

Figura 1. Processo de transformação de uma equação de 2.º grau na forma canónica para uma tabela na folha de cálculo. Este processo permite a exploração de vários valores de x e, ao mesmo tempo,fornece informações de como a equação se altera consoante os valores introduzidos.Nesta parte da tarefa pretendeu-se a experimentação das alterações e/ou regularidadesdos resultados e/ou dos parâmetros da equação de uma forma meramente numérica,para, na segunda parte da tarefa explorarem a mesma equação no GeoGebra permitindoa verificação gráfica da evolução da equação, aferida com os valores da folha decálculo. A tarefa após concluída (ficheiro de folha de cálculo e ficheiro do GeoGebra)foi entregue no espaço de fórum de partilha na Moodle como forma dos restantescolegas com dúvidas pudessem questionar e/ou aprofundar a sua aprendizagempromovendo assim a noção de comunidade de prática (CoP) onde as tarefas sãopartilhadas por todos. Era esperado, que, durante a tarefa, os estudantes se apercebessem das relaçõesentre os vários termos da equação e a forma como os parâmetros se alteram quando sealteram os valores da mesma. Pretendia-se que após a visualização numérica ealgébrica/geométrica a percepção/compreensão que têm das equações fosse maisconsistente com o que se espera de um futuro professor.Resultados Da observação e análise dos resultados (duas últimas fases da ED) realizado atéà data limite de entrega (1 semana) a percentagem de respostas foi de 50%, ou seja só30 entregaram o trabalho completo, foram entregues mais 3 trabalhos que não foramcontabilizados pois os ficheiros entregues não continham as fórmulas de cálculo (umdos trabalhos estava mesmo em formato PDF), o terceiro estava incompleto (faltava oficheiro do GeoGebra). Um dos dados que se verifica pela análise das equações escolhidas é apresentadona seguinte tabela:

Tabela 1. Estatística descritiva das respostas obtidas em cada equação. Equação N.º de respostas % de respostas 3x2 +x− 4= 0 2 6,67 x² − 5x− 6= 0 16 53,33 2 x²+6 x+5= 0 4 13,33 4 x²+2 x+2= 0 1 3,33 − 3 x²+ 5x− 8= 0 0 0 − 5 x²+ 3x− 3= 0 0 0 x²=4x− 4 5 16,67 9 x²+3 x=− 2 0 0 − 2= − 2 x²− 3x 1 3,33 x²+x− 1= 0 1 3,33 Total 30 100 Pela análise da tabela, a 2.ª equação destaca-se com 53%, este valor pode serjustificado pelo facto dos resultados serem colocado em fórum público e ter ocorridoum fenómeno de repetição pela visualização dos trabalhos dos colegas, bem como aentreajuda existente (evidências de criação de uma CoP), como se verifica na figura 2.Figura 2. Exemplo retirado do fórum onde um dos estudantes ajuda outro, antes da intervenção do professor.

A participação no fórum foi relativamente elevada tendo em conta o resto daUC, com um conjunto de dúvidas sobre a inserção de fórmulas na folha de cálculo, bemcomo dos que escolheram as equações sem zeros como se verifica na figura 3. Figura 3. Exemplo retirado do fórum sobre dúvidas na inserção de fórmulas. De acordo com uma análise aos conteúdos das participações no fórum existe atendência de alguns estudantes para atingirem o quarto nível da AA-r, ou seja a tentativade extensão para tarefas semelhantes tal como em 4 dos 30 trabalhos entregues teremsurgido evidências de tentativas de generalização dos conceitos envolvidos (estudantesque tentaram resolver mais do que uma das equações para verificar se o processo sepoderia replicar), como se verifica pelas figuras 4 e 5. Figura 4. Folha de cálculo com a resolução de mais de uma equação.

Figura 5. GeoGebra com mais de uma equação. Esta conclusões precisam de ser validadas recorrendo a outros instrumentos depesquisa, tais como entrevistas para comprovar esta hipótese.Considerações finais e futuros desenvolvimentos Torna-se importante salientar que os estudantes não estavam familiarizados coma utilização das fórmulas na folha de cálculo, e muitos iniciaram a sua utilizaçãoimediatamente antes desta tarefa, pela análise ao conteúdo das conversações nos fórunsas questões prendiam-se mais sobre a inserção de fórmulas, do que sobre a tarefa em si. A abordagem que fizeram partiu da experimentação das equações que estavammais familiarizados como se pode constatar pela escolha das equações que tinham sidomais trabalhadas em aula (67% com 2 zeros), os restantes participaram mais nos fórunse exploraram o facto das equações escolhidas terem 1 só zero ou nenhum zero o queimplicou uma constante verificação dos resultados obtidos (na folha de cálculo e noGeoGebra) o que evidencia alguma tentativa de passar da exploração dos dadosnuméricos para uma compreensão do conceito (abordando assim o PMA) na linha dociclo identificado por Dreyfus, ou mesmo pela generalização reflexiva da teoria APOS,estas impressões finais carecem de validação, necessitando de uma análise maisprofunda.

Após esta tarefa o grupo tornou-se mais activo nas tarefas seguintes,nomeadamente com o estudo das funções e estas tarefas utilizando a folha de cálculo e oGeoGebra fomentaram a experimentação em matemática num ambiente ideal paradesenvolver essa mesma tarefa tal como enunciado por Wolters (2010). Indícios desta postura investigativa por parte dos estudantes foram evidenciadaspelo tempo investido na prova e demonstração de que as suas conjecturas estãocorrectas. Esta actividade aponta para a necessidade de envolver mais os estudantesneste ambiente investigativo, mas é necessário mais trabalho de forma a flexibilizar eintegrar estas actividades não só na realidade da experiência matemática de futurosprofessores, mas que estes transportem essas experiências para a sua práticaprofissional.Referências bibliográficasAbramovitz B., Berezina M., Berman A. & Shvartsman L. (2007). Lagranges theorem: wath does the theorem mean?. In D. Pitta-Pantazi & G. Philippou (Eds.), Proccedings of the fifth congress of the euopean society for research in mathematics education. Acedido em http://ermeweb.free.fr/CERME%205/CERME5%20Proceedings%20Book.pdfAbramovich, S., & Brantlinger, A. (1998). Tool Kit Approach to Using Spreadsheets in Secondary Mathematics Teacher Education. In S. McNeil, J.D. Price, S. Boger-Mehall, B. Robin,J. Willis (Eds), Technology and Teacher Education Annual, 1998, 573—577. Charlottesville, VA.Biehler, R., Scholz, R. W., Sträßer, R., & Winkelmann, B. (1994). Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrech: Kluwer Academic Publishers.Dewey, J. (2009). Education as engineering. Journal of Curriculum Studies. 41, nº1, 1-5. DOI: 10.1080/00220270802169345 (Original work published in 1922).Baker, J. & Sugden, S. J. (2003). Spreadsheets in Education –The First 25 Years. Spreadsheets in Education (eJSiE): Vol. 1: Issue 1, Article 2. Acedido em http://epublications. bond.edu.au/ejsie/vol1/iss1/2Brun, J. (Dir) (2000). Didáctica das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget.Edwards, B. S., Dubinsky, E. & McDonald, M.A. (2005). Advanced Mathematical Thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7(1), 15-25. Doi: 10.1207/s15327833mtl0701_2Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação. (2004). PISA 2003 – Concietos fundamentais em jogo na avaliação de literacia matemática. Lisboa: Autor.Joffrion. C. (3 de Outubro de 2010). Influence of Educational Theorists on Thinking in Education. ezine@rticles. Acedido em http://ezinearticles.com/?Influence-of- Educational-Theorists-on-Thinking-in-Education&id=5142815Laborde, C. (2010). Linking geometry and algebra through dynamic and interactive Geometry. In Z. Usiskin, K. Andersen & N. Zoto (Eds.). Future curricular trends in school algebra and geometry: Proceedings of a conference. Charlotte, NC: Information Age Pub.Leikin, R., Cazes, C., Mamona_Dawns, J., & Vanderlond, P. (2010). Cerme 6 – working group 12 Advanced Mathematical Thinking. In V. Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne, & F. Arzarello (Eds.), Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 2236-2445). Lyon: Institut National de

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by Fernando Luís Santos on Dec 31, 2011

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