1) O documento descreve os tipos e características geométricas de curvas de transição utilizadas para conectar trechos retos e curvos em estradas. 2) As curvas de transição mais comuns são a clotóide e a lemniscata de Bernoulli, que permitem uma variação suave da superelevação, aceleração e curvatura. 3) Os parâmetros geométricos dessas curvas, como o comprimento e afastamento, devem ser calculados de forma a proporcionar segurança e conforto aos veículos.

1. CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIÇÃO

2. 5. Introdução
A definição do traçado de uma estrada por
meio de linhas retas concordando diretamente
com curvas circulares cria problemas nos pontos
de concordância.
Assim, é necessário que tanto nos PCs quanto
nos PTs, exista um trecho com curvatura
progressiva para cumprir as seguintes funções:

3. a)Permitir uma variação contínua da
superelevação
Na tangente não há superelevação, ou seja
inclinação transversal. No trecho circular, há
necessidade de superelevação. Seria
impossível construir uma estrada nessas
condições, pois teríamos um degrau no PC.

4. A criação de um trecho de curvatura
variável entre a tangente e a curva circular
permite uma variação contínua da inclinação
transversal da pista até atingir a superelevação
no trecho circular.

5. b) Criar uma variação contínua de aceleração
centrípeta na passagem do trecho reto para o
trecho circular.
A força centrípeta Fc= m.V2/R, em que m é a
massa do veículo,V, a velocidade e R, o raio da
curva, seu valor é nulo na reta e, dependendo do
raio pode assumir um valor significativo após o
PC.

6. O aparecimento de uma força transversal
de maneira brusca causa impacto no veículo e
em seus ocupantes, acarretando desconforto
para estes e falta de estabilidade para o
veículo.

7. c) Gerar uma traçado que possibilite ao
veículo manter-se no centro de sua faixa de
rolamento.
Uma curva de raio variável possibilita que
a trajetória do veículo coincida com o traçado
ou pelo menos, aproxime-se bastante dele.

8. d) Proporcionar um trecho fluente, sem
descontinuidade da curvatura e esteticamente
agradável
Essas curvas de curvatura progressiva são
chamadas de curvas de transição e possuem raio
instantâneo variando de ponto para ponto desde
o valor Rc (em concordância com o trecho circular
de raio Rc) até o valor infinito (em concordância
com o trecho reto).

9. Fig. 1 Perspectiva de curva horizontal

10. 5.1 Tipos de Curva de Transição
Do ponto de vista teórico, o que se deseja é
limitar a ação da força centrífuga sobre o veículo,
para que sua intensidade não ultrapasse um
determinado valor. Isso se consegue através da
utilização de uma curva de transição intercalada
entre o alinhamento reto (trecho em tangente) e
a curva circular.

11. As curvas mais usadas são:
a)CLOTÓIDE (também denominada ESPIRAL)
b)LEMNISCATA DE BERNOUILLE,
c)PARÁBOLA CÚBICA

12. Fig. 2 Curvas de raio variável

13. 5.2 Características geométricas da
Espiral
Entre as diversas curvas que podem ser usadas
como transição, a clotóide é a mais vantajosa do ponto
de vista técnico.
Sendo a espiral uma curva de equação R.L=K onde,
R é o raio, L, o comprimento percorrido e K uma
constante. O valor a ser adotado para a constante K
está relacionado ao comprimento escolhido para a
transição e ao raio do trecho circular.

14. Chamando Ls o comprimento da curva de
transição, nos pontos de concordância das
espirais com a circular, o raio instantâneo da
espiral será Rc , definindo o valor de K:
K  Ls .Rc
Cada valor de K corresponde a uma
determinada curva dentro da família das
clotóides.

15. Equações utilizadas

17. O valor de TT localiza os pontos TS e ST em
relação ao PI; o valor de Q, abscissa do centro,
serve para localizar o centro O’ em relação ao
TS(ou ST); o valor de p mede o afastamento da
curva circular em relação às tangentes.
Fig. 3 Curva com transição

18. 5.3 Comprimento de Transição
Um dos motivos para usar a curva de
transição é evitar o impacto pelo
aparecimento brusco de uma força transversal.

19. Se fizermos um gráfico da força centrípeta
ao longo de um traçado com curva circular
simples teremos uma figura como a seguinte:

20. De nada adiantaria introduzirmos uma
variação gradativa da força centrípeta se essa
variação fosse muito rápida. O gráfico ficaria
assim:

21. É necessário que a variação da aceleração
centrípeta não ultrapasse uma taxa máxima,
para que haja segurança e conforto. A essa
taxa máxima corresponderá um comprimento
mínimo de transição:

22. Critérios para estabelecer o
comprimento mínimo
a) Critério dinâmico: Consiste em estabelecer a
taxa máxima de variação de aceleração
centrípeta por unidade de tempo, que
representaremos por J na relação:

23. Na condição mais desfavorável, quando J =
Jmáx e V = Vp, tem-se:

24. Estabeleceu para J o valor máximo de 0,6
m/s2. Substituindo o valor de j e
transformando a velocidade para Km/h fica:

25. Critério de Tempo: estabelece o tempo
mínimo de dois segundos para o giro do volante
e, consequentemente, para o percurso de
transição.
Usando Vp em km/h e Lsmin em metros,
temos:

26. Critério estético: estabelece que a diferença
de greide entre a borda e o eixo não deve
ultrapassar um certo valor, que depende da
velocidade de projeto:
onde e em (%) é a superelevação e lf em (m) é a
largura da faixa de trafego.

27. Comprimento Máximo
Para obter o comprimento máximo, que
corresponde a SC=CS, basta impor dc = 0
na equação .
Temos
Sendo

28. Comprimento Desejável
Para obter o comprimento desejável
utiliza-se a fórmula:
V
Rc
Lsdes
3
 0,072 .

29. 5.4Concordância da curva de transição
Para que seja geometricamente possível a
concordância da transição com a tangente e a
curva circular é necessário criar um espaço,
que chamaremos de afastamento (p), entre a
curva circular e a tangente.

30. A cada valor de K na equação R.L = K
corresponde uma única curva de transição.
Adotado um valor Ls para o comprimento de
transição e conhecendo-se o raio Rc da curva
circular, fica definida a constante K = Rc . Ls e
também o afastamento p.
Concordância da curva de transição

31. Há três maneiras de conseguir o afastamento p
a)Com a redução do raio Rc da curva circular.
Método do centro conservado.
b) Mantendo a curva circular em sua posição
original e afastando as tangentes a uma distância
p. Método do centro e raio conservados.

32. c) Afastando o centro (O) da curva circular para
uma nova posição (O’), de forma que seja
conseguido o afastamento desejado (p)
conservando o raio e as tangentes. Método do
raio conservado.
Métodos para a obtenção do afastamento

33. O método do raio conservado é,
geralmente, o mais usado, apresentando a
vantagem de não alterar o raio
preestabelecido para a curva circular nem a
posição das tangentes.

34. 5.5 Estacas dos Pontos Notáveis da
Curva
Conhecida a estaca do PI, temos
Estaca do TS = estaca do PI – TT
Estaca do SC = estaca do TS + Ls
Estaca do CS = estaca do SC + Dc
Estaca do ST = estaca do CS + Ls

35. 5.6 Desenho da Curva
As tangentes e o raio circular são
conhecidos previamente ; estabelecido o
comprimento de transição (Ls), fica
determinada a constante da espiral (K = Ls .
Rc).
Calculamos então, os parâmetros na
seguinte ordem: Ѳs, Xs, Ys, Q, p, TT.

36. Marcamos o segmento TT do PI para trás,
determinando o ponto TS. Por simetria,
determinamos o ponto ST na segunda tangente.
A partir do TS, marcamos os segmentos Q e
Xs, fazendo o mesmo em sentido inverso, a parir
do ST. Pelos dois pontos obtidos com o segmento
Q, traçamos perpendiculares às tangentes, cujo
cruzamento é o centro da circunferência(O’).

37. Com o centro em O’ e o raio Rc traçamos a
circunferência. A distância do centro à tangentes
será (Rc + p).
A seguir, pelos pontos obtidos com o
segmento Xs, traçamos perpendiculares às
tangentes e marcamos sobre estas o segmento Ys,
obtendo os pontos SC e CS, que devem ficar
sobre a circunferência.

38. Traçamos o arco entre o CS e o SC também
as clotóides, entre TS e o SC e entre o CS e o
ST, concordando nos extremos e passando
pelo centro do afastamento p.

39. 5.7 Locação da Curva
A locação da curva de transição pode ser feita de
duas formas:
a) Com o uso das coordenadas X e Y calculadas com
as equações da seção 5.2 com origem no TS (ou ST), o
eixo x na direção da respectiva tangente e o sentido
do TS(ou ST) para o PI.
Locação da curva de transição

40. b) Pelas deflexões d em cada ponto.
Para facilitar a locação, constrói-se uma
tabela como a seguir.

41. Os valores de L, Ѳ, X, Y e d são calculados pelas
equações:
L = distância do TS (ou ST) ao ponto considerado, ao
longo da curva.
L
 
Rc Ls

2
2








     ...

10 216
1
2 4  
X L







3 5   
     ...

3 42 1320
Y L
Y
X
d  def lexão arctg

42. Para locar pelas coordenadas, basta medir
X ao longo da tangente e Y na perpendicular,
determinando o ponto.

43. 5.8 Curvas Horizontais com transição
Assimétrica
Curvas horizontais com espirais não simétricas são
curvas circulares com transição, nas quais o comprimento
escolhido para a transição de entrada é diferente do
comprimento da transição de saída, isto é, em vez de a
curva ter um Ls único para as duas transições a transição de
entrada tem um comprimento Ls1 e a de saída, um
comprimento Ls2. Curvas desse tipo são desaconselhadas
em traçados de estradas, sendo usadas apenas em casos
especiais.

44. Calculo das Transições não simétricas
Conhecida a posição das tangentes (deflexão
AC), a posição do PI (estaca do PI), o raio da curva
circular Rc e escolhidos os valores Ls1 e Ls2 dos
primeiros comprimentos das transições, podemos
calcular os elementos Ѳs, Xs, Ys, Q, e p para cada
uma das transições, usando as equações das
seção 5.2

46. Sendo consequentemente,
2 1 Ls Ls  2 1 pp
isto é, a circular terá afastamentos diferentes
em relação às tangentes .

47. Chamando a diferença entre os
afastamentos.
teremos as tangentes totais:
e o comprimento do trecho circular:

48. Curva horizontal com transição assimétrica

49. 5.9 Transição entre duas Curvas
Circulares
Trata-se da concordância entre duas
curvas circulares consecutivas de raios
diferentes, como mostra a Figura abaixo.
Transição entre curvas circulares

50. Analogamente à transição entre reta e
curva circular, usaremos um trecho de clotóide
(espiral) para a concordância entre as
circulares de raio Rc1 e RC2 figura a seguir.
Trecho da clotóide utilizado entre curvas circulares

51. 5.9.1 Parâmetros da curva
Dada uma curva composta por duas
circulares de raios Rc1 e RC2, a condição
necessária para concordá-las com o uso de
uma curva de transição é que uma esteja
contida na outra.

52. Definindo um valor adequado para Ls
(comprimento do trecho de transição)
analogamente à concordância entre a curva
circular e tangente, temos:
Equação da espiral R . L = K
Adotando índice 1 para os parâmetros da
curva 1, índice 2 para os da curva 2 chamando de:

53. L1 o comprimento da espiral entre a
origem A e o ponto CS (início da transição
entre as curvas);
L2 o comprimento da espiral entre a
origem A e o ponto SC (fim da transição entre
as curvas);

55. Calculados os afastamentos p1 e p2 (entre as
circunferências e a tangente de referência)
podemos calcular o afastamento pc entre as
curvas circulares medido sobre a linha que une
os centos O1 e O2 das curvas.

56. = ângulo de transição relativo ao trecho de
espiral compreendido entre os pontos CS e SC.
ou

57. O significado dos parâmetros calculados pode ser visto na
figura abaixo
Parâmetros da curva

58. 5.9.2Locação da curva
Dadas duas curvas circulares de raios Rc1 e RC2, a
inclusão da transição entre elas tem a seguinte
sequência de operações.
a) Manter a circular de raio maior em sua posição
original e afastar a curva de raio menor. Supondo se
Rc1 o raio maior, mudamos o centro O2 para a posição
O2 sobre a reta O1 O2, que dista pc de O2, criando o
afastamento.

59. b) Marcar os pontos CS e SC com o uso dos
ângulos aeb, respectivamente.
c) Determinar a posição da tangente de referência
com o uso do ângulo Ѳc e do comprimento Rc1 +
p1 (a tangente de referência será perpendicular á
reta BO1).
d) Sobre a tangente de referência, marcar o ponto
A à distância Q1 do ponto B.

60. e) Qualquer ponto da espiral pode ser
determinado por suas coordenadas X e Y em
relação á tangente de referência e à origem A,
para qualquer L compreendido no intervalo
L1  L  L2

61. Referências Bibliográficas
PIMENTA C. R. T.; OLIVEIRA M. P. Projeto
Geométrico de Rodovias. Editora Rima, São
Carlos, 2004.