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La distribucion binomial
 

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    La distribucion binomial La distribucion binomial Presentation Transcript

    • La distribución binomial UNIDAD 3 TIPOS DE DISTRIBUCIONES O 3.1 BINOMIAL O 3.1.1 PROPIEDADES: MEDIA, VARIANZAS Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR O 3.1.2 GRÁFICA *ALUMNOS: ADRIAN A. MURILLO ROSALES CÉSAR JAVIER QUIROZ RMZ.  
    • IntroducciónEn las empresas tenemos muchas situaciones dondese espera que ocurra o no un evento específico. Éstepuede ser de éxito o fracaso sin dar paso a un puntomedio. Por ejemplo, en la producción de un artículo,éste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es unresultado de interés. Para situaciones como éstas seutiliza la distribución binomial.Se describe el uso de la distribución binomial paraobtener la probabilidad de ocurrencia de ese eventoque representa un resultado esperado. 
    • Objetivo general Esperamos que cuando termines esta presentación puedas utilizar la distribución binomial para obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales con dos posibles resultados. 
    • Objetivos específicosAdemás, esperamos que puedas:O  Identificar las propiedades de una distribución binomial.O  Determinar los valores de éxitos p y fracasos q para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades.O  Establecer el promedio, la varianza y la desviación estándar utilizando las variables de la distribución binomial.
    • Dato histórico    El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.
    • Utilidad La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados.Por ejemplo:  Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.
    • Utilidad También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones.Por ejemplo: Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta. Estos ejemplos los podemos considerar como “experimentos de Bernoulli”
    • Propiedades de un experimento de Bernoulli1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posiblesresultados: éxitos o fracasos.2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de losresultados obtenidos en pruebas anteriores.3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamospor p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad delcomplemento es 1- p  y la representamos por q . Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial.
    • La distribución binomialLa distribución de probabilidad binomial es un ejemplo dedistribución de probabilidad discreta.Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli.Los resutados de cada experimento son mutuamenteexcluyentes.Para contruirla necesitamos: 1 - la cantidad de pruebas n 2 - la probabilidad de éxitos p 3 - utilizar la función matemática.
    • Características analíticasO Su función de probabilidad esO dondeO siendo las combinaciones de enEjemploO Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):O Propiedades características
    • La función P(x=k)A continuación vemos La función de probabilidad de ladistribución Binomial, también denominada Función de ladistribución de Bernoulli: k - es el número de aciertos. n - es el número de experimentos. p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga"cara" al lanzar la moneda.1- p - también se le denomina como “q ”
    • Ejemplo1 de la función F(x=k)¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda10 veces?El número de aciertos k es 6. Esto es x=6El número de experimentos n son 10La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar lamoneda es 50% ó 0.50La fórmula quedaría:P (k = 6) = 0.205Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 vecesuna moneda es de 20.5% .
    • Ejemplo 2 de la función F(x=k)¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 allanzar un dado ocho veces?El número de aciertos k es 4. Esto es x=4El número de experimentos n son 8La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 altirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)La fórmula queda:P (k = 4) = 0.026Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces elnúmeros 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.
    • Tabla de probabilidad binomial Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los ejemplos anteriores.Para esto debe saber los valores k y B (n,p) .O k es el número de éxitos que buscamos. Este valor se encuentra entre 0 y n.O En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde 0 al 1.
    • Ejemplo 3 B(n,p)En una fábrica de cámaras el 5% sale condefectos. Determine la probabilidad de que enuna muestra de 12 se encuentren 2 cámarasdefectuosas.Solución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12,0.05). Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a kque en este caso es 2. Esto es P (k=2).Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la partesuperiror p=0.05 . La probabilidad estará en x=2El resultado es 0.0988
    • Ejemplo 4 B(n,p)En una oficina de servicio al cliente se atienden100 personas diarias. Por lo general 10 personasse van sin recibir bien el servicio. Determine laprobabilidad de que en una encuesta a 15 clientes3 no hayan recibido un buen servicio. Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad  P(X=3). El resultado es 0.1285
    • La media μ y desviación estándar σ Características de la distribución  binomial Media µ E(X) = n p = P(X) n = 5 p = 0.1 .6 .4 µ 5 · 0.1 = 0.5 = .2 0 X µ 5 · 0.5 = 0.25 = 0 1 2 3 4 5Desviación estándar P(X) n = 5 p = 0.5σ np(1 − ) = p .6 .4σ 5 ⋅0.1⋅(1 −.1) = .67 = 0 0 .2 0 Xσ 5 ⋅0.5 ⋅(1 −.5) =.1 = 0 1 0 1 2 3 4 5 17
    • En resumenHemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la funciónbinomial. Además, aprendimos que:O La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli  O La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de nxpO La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q.O El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.
    • Ejercicio de prueba #1Un comerciante de verduras tienen conocimiento de que el10% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 4verduras al azar, encuentre la probabilidad de que. a) las 4 estén descompuestas. b) de 1 a 3 estén descompuestas. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0.6561 + 0.2916 + 0.0486
    • Ejercicio de prueba #2En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontróque el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estosamortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviación estándar deamortiguadores con defectos. La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).
    • Ejercicio de prueba #3Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidadde una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10alternadores de un lotes. Si el 15% de los alternadores del loteestán defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén con defectos Para la pregunta “d” puede realizar la siguiente operación: 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]
    • Ejercicio de prueba #4La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sinque falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestrade 15, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.
    • Ejercicio de prueba #5Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el código de construcción,¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, queselecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción
    • Aproximación de la distribución   binomial por la normalUna distribución binomial B (n, p) se puedeaproximar por una distribución normal, siempre que nsea grande y p no esté muy próxima a 0 ó 1 . Laaproximación consiste en utilizar una distribuciónnormal con la misma media y desviación típica de ladistribución binomial.En la práctica se utiliza la aproximación cuando: n>30, np>5, nq>5En cuyo caso : x= B(n,p) se puede aproximar a N(μ=np, σ =√ npq )
    • O Distribución BinomialO La figura es la gráfica de una distribución binomial(n, 0.5) para n = 20, 40, 60, 80, 100. Puede ver la aproximación a la distribución normal.
    • Glosario de términos Distribución de probabilidad discreta - distribución con un númerofinito de valores.Distribución binomial – Distribución discreta que se aplica cuando serealizan más de una vez y de forma independiente el experimento deBernoulli.Experimento de Bernoulli – Experimento con dos posibles resultados(éxito o fracaso).Experimento independiente – Cuando el resultado de unexperimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento